高三數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí)空間角與距離

1、第二十四、二十五講空間角與距離高考在考什么【考題回放】1. （2008湖南卷9）長方體ABCD- A1B1CD的8個頂點在同一球面上，且AB=2, AD=J3, AA=1,則頂點 A B間的球面距離是（C ）A.22二C ,2：C.22 、( 2008陜西卷14）長方體ABCD1AB1 cig各 頂點 都在球o的球面上，其中AB: AD3、（2008福建卷6）如圖，在長方體ABCDABCD中，AB=BC=2, AA=1,則BC與平面BBDD所成角的正弦值A(chǔ).B.2.65C.155D.Tc54、（2008全國一 16）等邊三角形ABC與正方形 ABDE有一公共邊 AB ,二面角C-AB-D的余弦

2、值B兩點的球面距離記為m , A, D1兩點的球面距離記為n ,則的值nY3, m, N分別是AC, BC的中點，則EM, AN所成角的余弦值等于3（2008安徽卷16）已知A, B, C, DB同一個球面上，AB_L平面BCD, BC _L CD,若AB =6, AC =2屈，AD =8 ,則B,C兩點間的球面距離是B, C三點，AB=1, BC=J2, A, C兩點的球面6、（ 2008遼寧卷14）在體積為4j3n的球的表面上有 A,距離為冗，則球心到平面 ABC勺距離為 37、（2008北京卷16）如圖，在三棱錐 P - ABC中，AC= BC=2, /ACB=90, AP = BP =

3、 AB,PC -L AC .（I ）求證：PC _L AB ;（n）求二面角BAPC的大小;（出）求點C到平面APB的距離.解法一：(I )取AB中點D ,連結(jié)PD, CD .V AP = BP , :. PD _L AB , ； AC = BC ,- CD _L AB . vPD PCD = D ,二 AB _L平面 PCD .V PC u 平面 PCD ,. PC _L AB .(n ) A AC =BC , AP = BP ,.APC BPC .又 PC _L AC ,PC _L BC .又 ZACB =900，即 AC _L BC ,且 AC Q PC =C ,B BC _L 平面 P

4、AC .取AP中點E .連結(jié)BE, CE .A AB = BP ,二 BE _L AP .V EC是BE在平面PAC內(nèi)的射影，CE _L AP .BEC是二面角BAPC的平面角.在 ABCE 中，NBCE=900, BC =2 , BE= AB = V6, sin ZBEC =-BC = 2BE 3，二面角B-AP-C的大小為arcsin畫3（出）由（I ）知AB，平面PCD ,，平面APB _L平面PCD .過C作CH _LPD ,垂足為H .V平面APB n平面PCD = PD，二CH工平面APB .a CH的長即為點C到平面APB的距離.由（I ）知 PC _L AB ,又 PC _L

5、AC ,且 ABAC = A,PC _L平面 ABC . C CD u 平面 ABC，: PC .L CD .1、3-二 PC =JPD2 -CD2 =2 .CHPC CD 2 3PD 3一 一2% 3，點C到平面APB的距離為 .3解法二：(I)Vac =bc , ap = bp ,.APC 9A BPC .又 PC _L AC ,二 PC -L BC .VAC HbC =C , PC _L 平面 ABC . A AB 二平面 ABC ,二 PC 1 AB .(n )如圖，以C為原點建立空間直角坐標(biāo)系 C -xyz .則 C(0,0,0), A(0,2,0), B(2,0,0).設(shè) P(0,

6、0, t) . / PB = AB =272 ,，t =2 , P(0,0,2) .取 AP 中點 E ,連結(jié) BE, CE .；AC =|PC , AB = BP ,二 CE -L AP , BE -L AP .C在RtPCD 中，cd=ab=V2 PD = PB = /6, 22:/BEC是二面角BAPC的平面角.；E(011), EC=(0,-1,-1), EB = (2,-1,-1),cos.- BEC =EC *EBEC EB263,面角B - AP -C的大小為arccos 3（出）7AC =BC =PC ,二C在平面APB內(nèi)的射影為正 APB的中心 如（n ）建立空間直角坐標(biāo)系

7、C -xyz .H ,且CH的長為點C到平面APB的距離.r 2 2 2b BH = 2HE，二點 H 的坐標(biāo)為.一,一，一.3 3 32,3323,點C到平面APB的距離為 3（2008天津卷）如圖，在四棱錐P - ABCD中，底AB=3, AD =2,PA=2, PD =2乏,/PAB =60 :（I）證明AD _L平面PAB ；（n ）求異面直線 PC與AD所成的角的大小；（出）求二面角P - BD A的大小.（19）本小題主要考查直線和平面垂直，異面直線所成的角、 二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，運算能力和推理論證能力.滿分 12分.A B C星矩形.已知面（I）證明：在 APAD

8、中，由題設(shè)PA = 2,PD =2J萬可得_2_ 22 一PA2 + AD2 =PD2于是 AD _L PA.在矩形 ABCD 中，AD 1 AB .又 PAAB = A ,所以AD _L平面PAB .（n）解：由題設(shè)，BC / AD ,所以NPCB （或其補角）是異面直線 PC與AD所成的角.在APAB中，由余弦定理得PB 二：PA2 AB2 -2PA AB cosPAB =,7由(I)知 AD _L平面PAB , PB u平面PAB ,所以AD _L PB ,因而BC _L PB ,于 PB是APBC是直角三角形，故tanPCB= BC所以異面直線 PC與AD所成的角的大小為t 、7arc

9、tan 2（出）解：過點 P做PH _LAB于H,過點 因為AD _L平面PAB , PH仁平面PAB ,H做HE _L BD于E,連結(jié)PE 所以 AD _L PH 又 AD Q AB = A ,因而PH _L平面ABCD，故HE為PE再平面ABCD內(nèi)的射影.由三垂線定理可知, BD -L PE ,從而NPEH是二面角P - BD - A的平面角。PHBHHE由題設(shè)可得，=PA sin60 = 3, AH = PA cos60 =1,=AB - AH =2, BD = . AB2 AD2 = 13, TOC o 1-5 h z AD4BH 二BD13“39于是再RTAPHE中，tanPEH =

10、上空4“一 a . 39所以二面角P - BD A的大小為arctan上 .4高考考什么【考點透視】異面直線所成角，直線與平面所成角，求二面角每年必考，作為解答題可能性最大.【熱點透析】.轉(zhuǎn)化思想：線線平行 U線面平行U面面平行，線_1線二線_1面面，面將異面直線所成的角，直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化為平面角，然后解三角形.求角的三個步驟：一猜，二證，三算.猜是關(guān)鍵，在作線面角時，利用空間圖形的平行，垂直，對稱關(guān)系,猜斜線上一點或斜線本身的射影一定落在平面的某個地方，然后再證.二面角的平面角的主要作法：定義三垂線定義 垂面法距離【考點透視】判斷線線、線面、面面的平行與垂直，求點到平面的距離及多面體的

11、體積?！緹狳c透析】轉(zhuǎn)化思想：線線平行 仁 線面平行 仁 面面平行，線_1線仁 線_1面之 面_1面 ；異面直線間的距離轉(zhuǎn)化為平行線面之間的距離，平行線面、平行面面之間的距離轉(zhuǎn)化為點與面的距離。2.空間距離則主要是求點到面的距離主要方法：體積法；直接法，找出點在平面內(nèi)的射影高考將考什么OAB =【范例1】（07北京？理？ 16題）如圖，在RQAOB中，以通過Rt AOB以直線AO為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角B - AO -C是直（I）求證：平面COD ,平面AOB；（II）當(dāng)D為AB的中點時，求異面直線 AO與CD所成角的大??；（III）求CD與平面AOB所成角的最大值.解法一：（I）由題意，CO,A

12、O, BO 1 AO , 二/ BOC是二面角B-AO -C是直二面角，又,二面角BAOC是直二面角，二 CO -L BO ,又AO n BO = O ,花6 ,斜邊 AB = 4 . Rt A0c 可面角.動點D的斜邊AB上.:，CO 1 平面 AOB ,又CO u平面COD二平面COD 1平面AOB .(II)作DE 1OB ,垂足為E ,連結(jié)CE (如圖)，則DE / AO , ，/CDE是異面直線AO與CD所成的角.八1八OE = BO =1在 RtCOE 中 CO=BO=22CE = CO2 OE2 = 5DE = AO = 3又 2,二在 RtCDE 中,tanCDECE _ ,5

13、 、石 一 DE 一13 - 3arctan*，異面直線AO與CD所成角的大小為3(III )由(I)知，CO,平面 AOB,二/CDO是CD與平面當(dāng)OD最小時，ZCDOtanCDOAOB所成的角，且最大,OCOD2OD2. 3 tan CDO = 3znDiAi TOC o 1-5 h z oaLobOD3這時，OD _L AB ,垂足為D ,ABarctan2 3二CD與平面AOB所成角的最大值為3 .解法二：(I )同解法一.(II )建立空間直角坐標(biāo)系O -xyz,如圖，則0(0,0,0), A(0,0,2,C(2,0,0)D(01,.3) TOC o 1-5 h z T，一.0A =

14、 (0,0,2.3)CD=(-21,3)?I ?T -0oA CD, cos =力OA“CDarcc0s諉二異面直線AO與CD所成角的大小為4(III )同解法一【點晴】 本題源于課本，高于課本，不難不繁，體現(xiàn)了通過平移求線線、通過射影求線面角的基本方【變式】 如右下圖，在長方體 ABCD-AiBiCD中，已知 AB= 4, AD =3, AA i= 2 .E、F分別是線段 AB BC上的點，且 EB= FB=1.(1)求二面角C- DE- Ci的正切值；(2) 求直線EC與FD所成的余弦值.解：(I)以a為原點，AB,AD,AAi分別為x軸，y軸，z軸的正向建立空間直角坐標(biāo)系， 則有 D(0

15、,3,0) 、D(0,3,2) 、E(3,0,0)、F(4,i,0) 、C(4,3,2),故皿二母-3，。)，3,2)2 =(-422)a1e_e設(shè)向量n = (x,y,z)與平面CiDE垂直，則有3x - 3y =0二 xx 3 y 2 z = 0n=(VZ，z) = Z(1,2)，其中 z 0取n0 = (1,1,2)，則n0是一個與平面C1 DE垂直的向量丁向量 AA 1 = (0,0,2)與平面 CDE 垂直，n 0 與 AA1所成的角e為二面角C - DE C/勺平面角t an 二| n 0 | | AA 1 |. 114. 004、.22_6_亍2(II )設(shè)EC與FD所成角為3

16、,則EC1 *FD11 (-4) 3 2 2 2| EC1 | | FDi |12 32 2 2(-4)2 22 22.2114【點晴】空間向量在解決含有三維直角的立體幾何題中更能體現(xiàn)出它的優(yōu)點，但必須注意其程序化的 過程及計算的公式，本題使用純幾何方法也不難，同學(xué)不妨一試?！痉独?】(07福建？理？ 18題)如圖，正三棱柱 ABC- A1B1C1的所有棱長都為 2, D為CC1中點。(I)求證： ABL面 ABD; (n)求二面角 A- A1D- B的大小；分析：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點到平面的 距離等知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力.解答：解法一：

17、(I )取BC中點O ,連結(jié)AO .ABC為正三角形，二AO BC .正三棱柱ABCABG中，平面abc平面BCGB ,AO 平面 BCCiBi連結(jié)B。，在正方形bBCiC中，o, BC, CCi 的中點J. B1OXBDD分別為二 AB1 1 BD在正方形ABi,平面 ABD(n)設(shè)ABv AB交于點g ,在平面ABD中，作G AdF ,連結(jié)AF，由(I)得 AB1 ,平面Abd二 AF AD./AFG 為二面角 A-AD-B的平面角.AL 4,5AF =在 AAD中，由等面積法可求得5 ,- AG:.sinZ AFG =，+1-AF. AGAB1 =V2又2,所以二面角 AAD-B的大小為

18、.10 arcsin4(出)BD在正三棱柱中,中 bd=ad=/5, ab = 2三二 sja A到平面bCCiBi的距離為J3.A1BD=6SA BCD = 1設(shè)點C到平面ABD的距離為d .d )2 二&ABD2V - V二 SzbcdI_ 3 = - Sa A1BD-d由 VA 出CD Vc/BD 得 33 r2點C到平面A|BD的距離為2 .解法二：(I)取BC中點0 ,連結(jié)AO .ABC為正三角形，二AO BC .在正三棱柱 取B。1中點O1ABC_AB1中平面普上1,以0 為原點,OB, 。1, 0A平面BCG4的方向為x,二 AD 平面 BCCi Biy,州 B(1,0,0) D

19、(1,1,0) A(02圾 A(0,0,石)口(1,2,0) AB1 =(12,-.3) BD=(-2,10)BA=(-1,2,3)7 ABi_BD -2 2 0 -0 ABLBA - -1 4-3 = 0T T - -, AB1 BD AB，BA，AB，平面 ABD(np設(shè)平面 AAD 的法量為 n =(x, y, z) AD =(-1,1,- AA =(0,2,0). Tn AA,n AD=0,=0,令z =1得nz軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,-x y - 辰=0,y =0，,_二:u2y = 0,x = - 3z.=(-樞01)為平面AA一個法向量.ABi ,平面ABD ,二AB1為平

20、面ABD的法向量.cos 二 n二面角【點晴】7Tn LAB1-v3-、.,36AB1 A不/三天,6AAD-B 的大小為 arccosT .由線線、線面、面面的位置尋找滿足某些條件的點的位置，它能考查學(xué)生分析問題、解決問 題的能力，兩種方法各有優(yōu)缺點，在向量方法中注意動點的設(shè)法，在方法二中注意用分析法尋找思路。【變式】 在梯形 ABCM, AB=BC=1 AD=2 /CBA=/BAD =90：沿對角線ACW起，使點B在平面AC咕的射影0恰在AC(1)求證：AB_L平面BCD(2)求異面直線 BC與AD所成的角。解：在梯形 ABCD, AC = DC，AD=2, AC2 +DC2 =AD2 ,

21、二 AC I DC又 BO _L平面 ACD 故 AB _L CD又 AB _L BC ,且 BC c CD = C，AB _L 平面 BCD(2)因為 BA=BC BO .L AC ,0為AC中點,取CD中點E, AB中點F,連結(jié)OE OF EF,則OE/ZAD, OF/ZBC,所以AD與BC所成的角為/EOF或其補角.作FH/BO交AC于H,連結(jié) HE,則FH_L平面 ACD2_2_2_2_2EF = FH EH = FH HC EC1在二角形EOF中，又丫 FO = ，EO=121由余弦定理知 cos. EOF = -,. . EOF =120 2故異面直線BC與AD所成的角為120 =

22、【點晴】折疊問題必須注意折疊前后之間的關(guān)系和區(qū)別，【范例3】在四錐P-ABCD中，ABCM正方形，PAL面本題使用空間向量的方法也不失一種好方法。ABCD PA= AB= a, E 為 BC中點.(1)求平面PDE與平面PAB所成二面角的大小；(2)求平面PBA與平面PDC/f成二面角的大小 解：(1)延長AR DE交于點F,則PF為平面PDE與平面PAD所成二面角的棱，. PAL平面 ABCD- ADL PA AB, PAAAB=A DAL平面 BPA于A, 過A作AOL PF于O 連結(jié) OD,則/AOD即為平面PDE與平面PAD所成二面角的平面角。,口55信tan/AOD =,故面PDE與

23、面PAD所成一面角的大小為 atctan 22(2)解法 1 (面積法)如圖.ADLPA AB, PAAAB=ADAL平面 BPA于A,同時BC1平面 BPA于B,.PBA是4PCD在平面PBA上的射影,設(shè)平面 PBA與平面 PDC所成二面角大小為0 , cos 0 =SaPae/S apc=V2 /2=。=45,即平面BAP與平面PDC/f成的二面角的大小為 45 解法2 (補形化為定義法)如圖將四棱錐P-ABCE#形得正方體 ABCD-PQMN貝U PQL PA PD,于是/ APD是兩面所成二面角的平面角。在 RtPAD 中，PA=ADi /B則/APD=45 。即平面 BAP與平面PD

24、C所成二面角的大小為45?！军c晴】求線面角、面面角關(guān)鍵在于準(zhǔn)確作出角，同樣遵循一作二證三計算的步驟，但應(yīng)用面積射影法求二面角可避免找角，同學(xué)們注意經(jīng)常使用。【范例4】(2006年福建卷)如圖，四面體 ABCD中， O、E分別是CA =CB =CD =BD =2,AB = AD =二.(I)求證：AO_L平面BCD (II )求異面直線 AB與CD所成角的大小； (III )求點E到平面ACD的距離。BD、BC的中點，方法一：(I )證明：連結(jié)BO =DO,ABBO =DO,BCOC二 AD,.二CD,在必0c中，由已知可得AO _ BD.CO BD.AO =1,CO = .3._ _ 22_

25、_ 2而 AC =2, AO CO = AC ,二/AOC =90，即 AO IOC.BD PlOC =O,AO_L平面 BCD(II )解：取AC的中點M連結(jié)OM ME 二直線OE與EM所成的銳角就是異面直線OE,由 E為 BC的中點知 ME/AB,OE/ DCAB與CD所成的角 TOC o 1-5 h z 1.2EM = - AB =在 &OME 中，22八 1八,OE =一 DC =1,212OM AC =1, cos - OEM =,OM是直角MOC斜邊AC上的中線，24,2 arccos . ，異面直線AB與CD所成角的大小為4(III )解：設(shè)點E到平面ACD勺距離為h.11Ve

26、幺CD =Va_CDE,- h.S ACD = .AO.33S -CDE.S ACDAO =1,Scde 而1、32、32 =h = A0.S CDES ACD. 21在 MCD 中，CA = CD=2,AD = T2,C(0, ,3.0),13A(0,0,1), E(-,一 J2,0), BA =(-1,0,1),CD =(-1,- .3.0).點E到平面ACD勺距離為 7方法二：(I )同方法一。(II )解：以O(shè)為原點，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,0), D(一1QQ),，異面直線AB與CD所成角的大小為2 arccos-4(JI上解：設(shè)平面ACD的法向量為n=(x,y,z),

27、則：.”=(% y,z).(-1,0,-1)=0, n.AC =(x,y,z).(0,、3, -1)=0, 令 y =1,得 n=(-6,1，x z = 0,-z = 0.是平面 ACD勺一個法向量。1EC ,0), 點E到平面ACD的距離BACD.cos : BA, CD= M BAICD【點晴】 本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成的角以及點到平面的距離基本知識, 考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力。【變式】已知正三棱柱 ABC-ABC的側(cè)棱長和底面邊長均為 1, M是底面BC邊上的中點，N是側(cè)棱CG上的點，且CN= 2GN.(I )求二面角 Bi- AM- N的平面角的

28、余弦值;解(I)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則1_M (0, 2,0) ,C(0,1,0), N (0,1,23)，A (H)求點Bl(0,0,1),3 1 一，一 ,02 2B到平面AMN勺距離。所以AM=(芻0,0)M=(0,1)MN =(0,1,2) 222 3因為所以故MBlAM 二蟲2 TC C /1、 C ,-0 0 (-) 0 1=02MB1?，同法可得MN _ AM oMB1，MN 為二面角 B1,-AM- N的平面角. cos =MB1MN x5MN,V故二面角1fBAM-N的平面角的余弦值為 5 。(n)設(shè)n=(x, y, z) 為平面AMN勺一個法向量，則由3x =02

29、ly 2z=023x =04y = -z.3n=(0,-,故可取，4,1)cosa =設(shè)MB1與n的夾角為a,則MB1 mb12x53所以B到平面AMN勺距離為MB1:cos aO-5 2.5二二 I25。【范例5】如圖，所示的多面體是由底面為 BC=2, CC1=3 BE=1.(I )求BF的長；(n)求點 C到平面AEC1F的距離.解法1: (I)過 E作EH/BC交CC1于H,ABCM長方體被截面 AEC1F所截面而得到的，其中貝U CH=BE=1 EH/AD,且 EH=AD.1. AF/ EC1, ./ FAD至 C1EH. /.RtAADfRtAEHCl.-.DF=C1H=2. BF

30、 = BD2 DF2 =2 6(n )延長 C1E與CB交于G,連ag則平面 AEC1F與平面 ABCD交于 AG.過C作CML AG垂足為M連C1M由三垂線定理可知 AGL C1M由于 AGL面C1MC且AG=面AEC1F所以平面 AEC1F_面 C1MC.M G在RtC1CM中，作CQLMC1垂足為 Q則CQ的長即為C到面AEC1F的距離.由里=BG可得，bg =1,從而AG ZAB2 +BG2 =$萬.CC1 CG4由 NGAB =/MCG 知,CM =3cosMCG =3cosGAB = 3父一；=1712.17AB=4,“ CM CGCQMC1123 17L4 . 331117解法2

31、: (I)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則 D (0, 0, 0) , B (2, 4, 0),A (2, 0, 0) , C (0, 4, 0) , E (2, 4, 1) , C1 (0, 4, 3).設(shè) F (0, 0, z).C1.AEC1F為平行四邊形，二由AEC1F為平行四邊形.由AF =EC1彳#,(-2,0, z) =(-2,0,2), .z =2. F (0,0,2). EF =(-2,42).于是| bF |=2j6,即BF的長為26.(II )設(shè)n1為面AEC1F的法向量,顯然Q不垂直于平面ADF ,故可設(shè)n1 =(x, y,1)上 n1 AE =0,/日由二.,得n1A

32、F =0,0Mx+4xy+1=0_2xx+0 xy+2 =0即4y +1 =0, 2x+2 = 0,x = 1,1又CC1 =(0,0,3)，設(shè)CC1與n1的夾角為a,則d =| CC1 | cos ： = 3.C到平面AEC1F的距離為|CCi| 1nli4,33 _ 4. 334冬33333311【點晴】本小題主要考查線面關(guān)系和空間距離的求法等基礎(chǔ)知識，空間距離也遵循一作二證三計算的 步驟，但體積法是一種很好的求空間距離的方法，同學(xué)們不妨一試?！疚摹空庵?ABC -2巳心的底面邊長為8,對角線B1C=10, d是AC的中點。求點B1求直線到直線AC的距離.AB1到平面C1BD 的距離.解:所以(1)連結(jié)BD, B1D ,由三垂線 定理可得：B1 D 1 AC , B1D就是B1 點到直線AC的距離。在 Rt BBD中 BB1BQ2 -BC2二102 -82 =6, BD = 4.3,B1D = BD2 B1B2 =2.21C,、(2)因為AC與平面BDC1交于AC的中點D, 設(shè) BQCBG =E,則 AB1/DE,所以 AB1/ 所以ABl 到平面BDC1的距離等于A點到平面平面GBDBDC1的距離，等于C點到平面錐c-bdg的高，BDC1的距離，也就等于三棱 - Vc -BDC1 =Vj-BDCCB1hQ. -1包nS.