高一數(shù)學數(shù)學歸納法及其應用知識精講

1、高一數(shù)學數(shù)學歸納法及其應用【本講主要內(nèi)容】數(shù)學歸納法及其應用數(shù)學歸納原理的科學性，數(shù)學歸納法的證明步驟，數(shù)學歸納法的應用舉例.【知識掌握】【知識點精析】.歸納法：對特殊情況加以研究而得出一般規(guī)律的方法叫歸納法.它分為不完全歸納法和完全歸納法.由部分特殊情況而得出的一般規(guī)律的方法叫不完全歸納法，對全部(有限的)特殊情況加以研究而得出的一般規(guī)律的方法叫完全歸納法.例如：觀察下列式子： 6=3+3, 8=3 + 5, 10 = 3+7=5+ 5, 12=5+7, 14 = 3+11 = 7+7, 20= 3+ 17= 7+ 13.歸納：每個大于或等于 6且小于或等于20的偶數(shù)可表示為兩個奇素數(shù)的和.

2、這里采用的是完全歸納法.結論正確.在等差數(shù)列an中，已知首項為as公差為d,那么 a1=ai + 0,d, a2 = a1 + 1 , d, a3=ai + 2,d, a4 = a1 + 3 , d,，a n= ?歸納：an= a 1 + (n 1) d.這里采用的是不完全歸納法.結論正確.(這個結論的正確性，后面我們將給出證明)由數(shù)列的通項公式 an = (n2 -5n +5)2得 a1 =1, a2 =1, a3 = 1, a4 = 1,歸納：an =1 (n w N ),但 a5 = 25 / 1 , 這里采用的是不完全歸納法，結論不正確說明：完全歸納法得出的結論是正確的，而不完全歸納法

3、得出的結論不一定正確，但通過對問題進行探索而提高數(shù)學能力十分重要.數(shù)學歸納法：是證明與正整數(shù) n有關的命題的一種方法.它的奇妙之處在于能夠歸納 出無窮多個特殊情況，從而得出一般結論.數(shù)學歸納法證明的步驟如下：證明當n取第一個n0時結論正確；(歸納基礎)假設當n = k ( k w n + k之n0)時，結論正確，證明當 n = k + 1時，結論成立.(遞 推依據(jù))根據(jù)、可知對于任意n w N +n之n0命題正確.(下結論)例如，我們用數(shù)學歸納法證明：如果數(shù)列an是一個等差數(shù)列，那么 an= a1+ (n1)d對一切n = N都成立.證明：(1)當n= 1時，左邊=a1,右邊=a1 + 0 ,

4、 d = a1,等式成立. (2)假設n = k時等式成立，即 圍=a 1 + (k1) d那么 a k+1=ak+d= a 1+ (k 1) d+ d = a 1+ (k+1) 1d .這就是說，當n=k+1時，等式也成立.由(1)和(2)可知，等式對一切 n w N都成立.說明：數(shù)學歸納法是專門證明與自然數(shù)集有關命題的一種方法，它是一種完全歸納法， 是對不完全歸納法的完善.證明分兩步，其中第一步是命題成立的基礎，稱為“歸納基礎”；第二步解決的是延續(xù)性問題(又稱傳遞性).運用數(shù)學歸納法證明有關命題需注意以下幾點：(1)兩個步驟缺一不可：例如，若對等差數(shù)列a n的通項錯誤地歸納為 an= (n

5、 1) d,則第二步的證明如下：假設n=k時等式成立，即ak= k k 1) d,那么 a k+1 = ak +d= k k 1) d + d= (k+ 1) 1d .這就是說，當n=k+1時，等式也成立.但當n=1時，a1 = 0,顯然，并非所有等差數(shù)列an的首項都為0,推理就失去了基礎, 不能證明結論的正確性.(2)在第一步中，n的初始值不一定從 1取起，也不一定只取一個數(shù)，證明應視具體 情況而定；(3)第二步證明n=k+1時，必須使用歸納假設，否則就會打破數(shù)學歸納法步驟間的 嚴密邏輯關系，造成推理無效；(4)證明n = k +1成立時，要明確求證的目標形式，一般要湊出歸納假設里給出的形式

6、，以便使用歸納假設，然后再去湊出當n=k+1時的結論，這樣就能有效減少論證的盲目性.我們可用數(shù)學歸納法來證明與正整數(shù)有關的等式及不等式問題，尤其是用其他方法難以下手時才用數(shù)學歸納法往往有效.【解題方法指導】例1.用數(shù)學歸納法證明：1+3+5+(2n1) = n2分析1 + 3+5+ (2n1) =n2是由無數(shù)命題組成:1號命題：1 = 122號命題：1+3= 2 2-，一、2k號命題:1+3+5+ + ( 2k1) = k2k+1 號命題：1 + 3+5+ (2k1) + (2k+1) = (k+1)怎樣驗算n=1時，等式成立？如何實現(xiàn)n=k到n=k+ 1的過渡？得到什么式子才能稱 n=k+1

7、時等式成立？書寫要體現(xiàn)“兩個步驟，一個結論”的模式.證明：(1)當n= 1時，左邊=1,右邊=1,等式成立.(2)假設n = k時等式成立，即1+3+5+(2k 1) = k 2那么 1 +3+5+-( 2k1) + 2 (k+1) - 1 = k2+ 2 ( k+ 1) - 1 = k 2+2k+12=(k+1)這就是說，當n=k+1時，等式也成立.由(1)和(2)可知，等式對任何 n w N都成立.例2.用數(shù)學歸納法證明：34n七+52n+能被14整除.分析34n電+ 52n + = 92n書+ 52n由，而9+5=14 ,將其一般化，即：x2n由十y2n書能 被x+ y整除.下面我們先證

8、x2n4t +y2n +能被x+y整除.證明：(1)當 n = 1 時，x3 + y3 =(x +y)(x2 -xy +y2) , x3 +y3 能被 x + y 整除；(2)設 n=k (k 21, Y N*)時，x2n+ +y能被 x + y 整除.那么當n=k+1時2(k 1) 12( k 1) 1 2k 3 2k 3x +y = x + y2k 3 2k 1 2 2k 1 2 2k 3=x -x y +x y +y(想一想，為什么這樣變形？)2k 1222 2k 1 2k 12k 12 2k 1 2k 1、=x (x y)+y(x +y ) = x (x+ y)(x y) + y (x

9、 + y ) x2k*(x +y)(x -y)與 y2(x2k+ +y2k*)都能被 x + y 整除. x2(D+y2(k卻用能被x+y整除，即n=k+1時，命題成立.根據(jù)(1), (2)可知，x2n*+y2n*能被x + y整除.當取x=9, y = 5時，有92n4+ 52n中能被9+5整除，即34n也+52-能被14整除.評述：此例的證法體現(xiàn)了從一般到特殊的數(shù)學方法，避免了較大數(shù)的運算.【考點突破】【考點指要】數(shù)學歸納法是證明關于自然數(shù)n的命題的一種方法，在高等數(shù)學中有重要的用途，因而成為高考的熱點之一.歷年高考中所占的分值為510分，多以解答題的形式出現(xiàn)，有時也會以選擇題、填空題形式

10、出現(xiàn).高考試題，不但要求用數(shù)學歸納法去證明現(xiàn)成的結論，而且加強了對于不完全歸納法應用的考查，既要求善于歸納發(fā)現(xiàn)結論，又要求能證明結論的正確性，因此，初步形成“觀察 -歸納-猜想-證明”的思維模式，就顯得特別重要.【典型例題分析】例1. (2006重慶卷理22題) TOC o 1-5 h z 1 .數(shù)列an滿足 a1 =1 且an由=(1 +)an + (n 1).n2 n 2n(I)用數(shù)學歸納法證明：an 2(n 2)； HYPERLINK l bookmark22 o Current Document (n)已知不等式 ln(1+x) 0成立，證明：an 1),其中無理數(shù)e =2.71828

11、 .(I)證明：(1)當n=2時，a2 =2至2,不等式成立.(2)假設當n =k(k22)時不等式成立，即ak 2(k2), HYPERLINK l bookmark26 o Current Document 一.11那么ak書=(1+1一)ak+l至2.這就是說，當n = k+1時不等式成立.k 1 k(k 1)，k 2k根據(jù)(1)、(2)可知：an主2對所有n之2成立.(n)證略例2.( 2005江西卷理21題)已知數(shù)列an的各項都是正數(shù)，且滿足1a0 =1,an4b=an(4 -an),n t N。 2(1)證明 an an由 2, n w N ;(2)求數(shù)列an的通項公式an.解：(

12、1)方法一 用數(shù)學歸納法證明：13一 一一,1 當 n= 1 時，a0 =1,a1 =-a0(4-a0) =- ,a0 a1 2 ,命題正確.2 假設 n= k 時有 aki ak 2.則n = k , 1時，1、 1、ak -ak 1 =32式4 -ak。-2ak(4-aJ1 ,/二 2(akJ. - ak) - 2 (a k J - ak )(ak A ak )1 , 一、二 2(ak- ak)(4 -ak J - ak )-而 a -ak 0,，ak -a 0.12 一一又 ak 1 = ；ak(4 - ak ) -I4 - (ak - 2) ： 2. TOC o 1-5 h z 2n

13、=k +1時命題正確.由1和2知，對一切ne N時有an an書2.方法二：用數(shù)學歸納法證明：1、3當 n= 1 時，a0 =1,a1 = a0(4 a0),0a0 a1 2；2假設n= k時有akak 2成立，-1令 f(x) =-x(4 -x) , f (x)在0 , 2上單倜遞增,2所以由假設有 f(ak):二f(ak) ；f(2),ur 111 _ _ TOC o 1-5 h z 即一ak(4-ak)：_ a k (4 - a k) - - 2 (4-2), 222也即當n=k+1時 ak ak+父2成立，所以對一切 nwN,有an0.不考慮其它因素，設在第n年內(nèi)魚群的繁殖量及捕撈量都

14、與Xn成正比，死亡量與 xn2成正比，這些比例系數(shù)依次為正常數(shù)a, b, c.（I ）求Xn+1與Xn的關系式；（n）猜測：當且僅當 X1, a, b, c滿足什么條件時，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明）（出）設a=2, b=1,為保證對任意 xi （0, 2）,都有xn0, nCN*,則捕撈強度 b 的最大允許值是多少？證明你的結論.f (n) + nn= 5 時,5 ann(n 1)提示：a2R 1 6. 2k 12=a112 =1 2,a. =a0 3=12 332猜想an2k 2綜合測試答案、選擇題：D 提示：an =1+3+5+(2n1) =n2C 提示：凸n+1邊形的對角

15、線的條數(shù)等于凸n邊形的對角線的條數(shù)，加上多的那個點向其它點引得對角線的條數(shù)(n-2)條，再加上原來有一邊成為對角線，共有 -1條對角線.CC 提示：依題意當n=4時該命題成立，則當 n=5時，該命題成立.而當 該命題不成立卻無法判斷 n=6時該命題成立不成立二、填空題：三、解答題.證明：(1)當n = 1時，左邊=右邊，等式成立(2)假設n = k時等式成立，即1-1 +22k -1+k 1 k 22k則當n=k+ 1時,左邊=1 1211+4 2k -1二(12k12k 1112k 2二(k 1 k 211! 士i+k 2 2k11+ + +-2k 1 2k 22k 1k 1 2k 211,

16、十=右邊2k 2k 1 2k 2由(1)和(2)可知，等式對任何 n w N都成立.證明：(1)當n=1時原式=133能被133整除k 1 2k 1(2)假設當n=k時命題成立即11+12能被133整除，則n=k+1時，有11k 2 122(k 1)11 11k 1 122 122k=11 (11k 1122k) (144-11)122k由歸納假設，11k +122k能被133整除，而(144 11)122k =133父122也能被133整除，所以11ke+12卻能被由(1) (2)得命題成立.9.解(I)從第n年初到第n+1133整除.即命題n=k+1時命題成立.因此x即x-n 1 -Xn =aXn -bXn年初，魚群的繁殖量為axn,被捕撈量為bxn,死亡量為cx2 , -cxn, n 亡 N * .(*)=xn (a - b 1 -cxn), n N * .(*)(II )若每年年初魚群總量保持