第33講 立體幾何中的范圍與最值問(wèn)題（解析版）-2022年新高考數(shù)學(xué)二輪專題突破精練

1、第33講立體幾何中的范圍與最值問(wèn)題一、單選題（2021廣西南寧市東盟中學(xué)模擬預(yù)測(cè)（理）已知球。是正三棱錐A-8CO（底面是正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心）的外接球，8c=3,48=26，點(diǎn)E在線段8。上，HBD=3BE.過(guò)點(diǎn)E作球。的截面，則所得截面面積的最小值是（）A.2乃B.34C.4萬(wàn)D.5萬(wàn)【答案】A【分析】如圖，。是A在底面的射影，求出底面外接圓的半徑和幾何體外接球的半徑，利用余弦定理求出彷=1,當(dāng)截面垂直于。E時(shí)，截面面積最小，求出截面圓的半徑即得解.【詳解】解；如圖，。是4在底面的射影，由正弦定理得，BCD的外接同半及，j=一=sin602由勾股定理得棱錐的高AOi=J（2

2、ji）2=3；設(shè)球。的半徑為七則片=（3一Rp+62，解得R=2,所以。尸1；在80iE中，由余弦定理得qE2=l+3-2xlx/5x=l,2所以O(shè)E=1：所以在OEOi中，0E=收:當(dāng)截面垂直于時(shí)，截面面積最小，此時(shí)半彳仝為Jr，OE2=&截面面積為2乃.故選：A(2021河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三期中(理)棱長(zhǎng)為2的正方體48CD-ABCQ中，M是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)? TOC o 1-5 h z 在側(cè)面A84A內(nèi)，若。/垂直于CM,則aPBC的面積的最小值為()A.B.C.-D.1555【答案】A【分析】建、工空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，利用CM_LRP求得P點(diǎn)坐標(biāo)間的相互關(guān)系，寫出aPBC面枳的表

3、達(dá)式，利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸，求得面積的最小值.【詳解】以冰反，西分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，依題意有知(2,0,1),C(0,2,0),(0,0,2),尸(2,&3，UUUUUUMC=(-2,2,-l),P=(2,a,6-2),由于CMJ.RP，故(一2,2,1卜(2,a,b2)=4+2ab+2=0,解得力=2a2.根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，BCA.BP,故aP5c為直角一角形，而8(2,2,0),故|罔=|(0,2a,-6)|=2-af+h2,4PBe的面積為比|麗卜yl(2-a)2+b2=J5a2-12a+8,當(dāng)a=2=2時(shí),面積取得最小值為,5x但-12x9+8=2叵,105丫55

4、故選:A.（2021四川成都高三期中（文）已知正方體A88-A4GR的棱長(zhǎng)為1，尸是空間中任意一點(diǎn)，有下列結(jié)論：若尸為棱CC,中點(diǎn)，則異面直線AP與C。所成角的正切值為更；2若P在線段AB上運(yùn)動(dòng)，則”+PD,的最小值為木+啦；2若夕在以。為直徑的球面上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)三棱錐P-ABC體積最大時(shí)，三棱錐P-A8C外接球的表面積為2萬(wàn)；若過(guò)點(diǎn)P的平面。與正方體每條棱所成角相等，則a截此正方體所得截面面積的最大值為也.4其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A.4B.3C.2D.1【答案】B【分析】根據(jù)A8C,可得44P即為異面直線所成的角或所成角的補(bǔ)角，從而可求出：將和四邊形ABCR沿AB展開到同一個(gè)平面上，易知線段A

5、的長(zhǎng)度即為”+PA的最小值，利用余弦定理即可求出：根據(jù)題意判斷出，P為CO的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐尸-MC的體積最大，只需求此時(shí)外接球的表面積即可；瓦分別為相應(yīng)棱的中點(diǎn)時(shí)，平面a為平面FG”MN時(shí)，與正方體每條棱所成角相等，且截面的面積最大.【詳解】對(duì)于：因?yàn)锳BC,所以44P即為異面直線所成的角或所成角的補(bǔ)角，在RtdBP中，AB=,BP=,所以tanN84P=且，故正確；2AP2D,對(duì)于：將aAAB和四邊形48cA沿AB展開到同一個(gè)平面上，如圖所示,由圖可知，線段AR的長(zhǎng)度即為AP+PR的最小值,在aAAA中，利用余弦定理，得明=&+夜,故錯(cuò)誤：對(duì)于：如圖，當(dāng)尸為C。的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐P-A8C的體

6、積最大，此時(shí)，三棱錐P-ABC外接球的球心是AC的中點(diǎn)，半彳仝為它，其表面積為2萬(wàn)，故正確;對(duì)于：要使平面。與正方體每條棱所成角相等，只需與過(guò)同個(gè)頂點(diǎn)的三條樓所成的角相等即可,如圖，當(dāng)a/=AR=AQ時(shí)，平面PQR與正方體過(guò)點(diǎn)A的三條樓所成的角都相等，若瓦EG,H.M,N分別為相應(yīng)棱的中點(diǎn)時(shí)，平面EFGHMN/平面PQR,且此時(shí)六邊形EFGHMN為正六邊形，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，所以正六邊形EFGMWN的邊長(zhǎng)為變，2所以此正六邊形的面積為t8,為截面最大面積，故正確.4故選：B.（2021.河南.高三月考（理）如圖，等腰直角三角形/睡的斜邊A8為正四面體ABCD的側(cè)棱，AB=2,直角邊AE繞斜

7、邊AB旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，有下列說(shuō)法：三棱錐E-BCO體積的最大值為巫里，3三棱錐E-BC體積的最小值為且二13存在某個(gè)位置，使得如設(shè)二面角D-AB-E的平面角為6,且09T，則（9，所以存在夾角為g的情況，1222TT又因?yàn)榫€線角的取值范圍不包含鈍角，所以直線AE,與8。所成角的范圍為-即可得出4E_LB。,正確.如圖2,當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到當(dāng)時(shí)，二面角D-AB-E的平面角為/。自，在aDAEzraDOE?中,AD2=AO2+OD2,AE1=AO2+OEl，所以AOOD,AE2OE2,所以cosNOOE；cosNDAE：,所以/。馬NQAE?,B|J0Z.DAE-,錯(cuò)誤.故選：A.（2021云南

8、師大附中高三月考（理）已知底面邊長(zhǎng)為2的正四棱錐O-ABC。的側(cè)棱長(zhǎng)為指，E,尸分別為A8,8C的中點(diǎn)，點(diǎn)尸，0在底面A8C。內(nèi)，且。在線段。E上，過(guò)頂點(diǎn)。平行于底面A8C。的平面為a,F在平面a內(nèi)的射影為G,PG長(zhǎng)度為石，則PQ長(zhǎng)度的最小值是（）A.41B.V2-1C.邁D.偵-155【答案】D【分析】先求得尸點(diǎn)的軌跡，然后結(jié)合等面積法求得PQ長(zhǎng)度的最小值.【詳解】由題可得正四棱錐O-A3C”的高為2,故可將正四棱錐O-ABCD放置在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC。-AqGR中，如圖所示，易得線段8G的中點(diǎn)即為G點(diǎn)，連接GEPF,PG,則Gf_LP尸，進(jìn)而，PF=4PG2-FG2=75-4=1所以在

9、平面A8CO內(nèi)，點(diǎn)P的軌跡是以尸為圓心、以1為半徑的圓,1113作FQLDE,垂足為Q.S.def=2x2-xlx2-xlx2-x1x1=,DE=Jl2+22=石，所以尸Q=1,FQ=乎,所以PQ長(zhǎng)度的最小位為主-1.5故選：D.（2021云南師大附中高三月考（文）如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABC-4BiGOi中，若線段4。上存在一點(diǎn)E,使AE+8iE取得最小值，則此最小值是（）c. 2J2+QB. a/2+/6D. 8+4V2【答案】C【分析】將44。沿AQ所作門線翻折，使點(diǎn)AH點(diǎn)用在平面A4CD,且在直線AD的異側(cè)，再利用兩點(diǎn)間線段最短和余弦定理進(jìn)行求解.【詳解】如圖I,將原,沿A。所在直線

10、翻折，使Aw平面A4C。,且點(diǎn)A與點(diǎn)Bt在直線A。的異側(cè)，如圖2所小,因?yàn)镋是線段AD上任意一點(diǎn)“所以AE+B|EAB）,當(dāng)且僅當(dāng)A,E,三點(diǎn)共線時(shí)，ae+8,e取得最小值,在aAA用中，由余弦定理.，得:AB;=+AB；-2AA,Asicos（45。+90）=8+4近,所以做=6+4應(yīng)=2,2+亞故選:C.圖1（2021.甘肅嘉峪關(guān)市第一中學(xué)高三開學(xué)考試（理）已知三棱柱ABC-4與G的6個(gè)頂點(diǎn)全部在球。的表面上，AB=AC,NK4C=120。，三棱柱A8C-A4G的側(cè)面積為8+46，則球。表面積的最小值是（）A. 4萬(wàn)B. 167rC.167r【答案】B【分析】沒(méi)三棱柱ABC-ABC的高為/

11、z,AB=AC=a,根據(jù)題意得出歐=4,設(shè)aA8c的外接圓半徑為r、球。的半徑為R，根據(jù)勾股定理得出出的表達(dá)式，結(jié)合基本不等式即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè):.棱柱ABC-（與G的高為力,AB=AC=a.因?yàn)镹8AC=120。,所以8C=43a,則該三棱柱的側(cè)面積為（2+6卜”?=8+4萬(wàn),故”=4.設(shè)aA3C的外接圓半徑為BC2sinN8AC設(shè)球。的半徑為R，則正=/+仁=/+%4（當(dāng)且僅當(dāng)=2及時(shí)，等號(hào)成立）,故球0的表面枳為4乃片6jt-故選：B（2021江蘇海安高級(jí)中學(xué)高三期中）如圖所示，在直三棱柱48C-ABC中，44,=1,AB=BC=5cosZABC=1,2是48上的一動(dòng)點(diǎn)，則+PG的

12、最小值為（）A.石B.-JiC.1+/3D.3【答案】B【分析】連接8G,以AB所在直線為軸，將V4BG所在平面旋轉(zhuǎn)到平面4陰A,設(shè)點(diǎn)G的新位置為U,連接AC,判斷出當(dāng)4P、。三點(diǎn)共線時(shí)，則AC即為AP+PG的最小值.分別求出ZA4C=120,M=l，AC=2,利用余弦定理即可求解.【詳解】連接BG，得VA8,以A8所在直線為軸，將VABG所在平面旋轉(zhuǎn)到平面,設(shè)點(diǎn)G的新位置為U,連接AC,則有AP+PCtAC.當(dāng)A、P、C三點(diǎn)共線時(shí)，則AC即為AP+PG的最小值.在三角形A8C中，AB=BC=g,cosZABC=,由余弦定理得:4C=J4B2+8C、-2AB.BCcos8=j3+3-2x3x；

13、=2,所以AC=2,即A,C=2在三角形AAB中，AA=1,AB=B由勾股定理可得：A8=JW+A82=2,且卬B=60。.同理可求：C/=2因?yàn)锳B=BG=AC=2,所以VABG為等邊三角形，所以n%G=60,所以在三角形AAC中，ZA4,C=38+N8AC=120。,44,=1,AC=2,由余弦定理得：AC =V?.故選B.【點(diǎn)睛】（1）立體幾何中的翻折（展開）問(wèn)題截圖的關(guān)鍵是：翻折（展開）過(guò)程中的不變量；（2）立體幾何中距離的最值一般處理方式：幾何法：通過(guò)位置關(guān)系，找到取最值的位置（條件），直接求最值；代數(shù)法：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，利用代數(shù)法求最值.（2021海南三模）直四棱柱ABC。-AB

14、CA的所有棱長(zhǎng)均相等，/3=12伊，M是上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AM+MC取得最小值時(shí)，直線RM與BC所成角的余弦值為（）A.叵【答案】A【分析】由題意畫出圖形，可知當(dāng)AM+MC取得最小值時(shí)M為的中點(diǎn)，找出異面直線所成角，求解三角形得答案.【詳解】如圖，tiG設(shè)直四棱柱abcd-a4GA的極長(zhǎng)為2,當(dāng)A.M+MC取得最小值時(shí)，M為BB、的中點(diǎn)，連接A0,則AOBC，則NDAM為直線AM與BC所成免（或其補(bǔ)角），此時(shí)，A,D=2y/2.AM=6,.NADC=120。，為等邊三角形，得8。=2, TOC o 1-5 h z DM=/5）則AM。為等腰.二角形，uj得cosN）A=.故選：A.（2021全國(guó)高三

15、開學(xué)考試（文）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體A8CD-A8CQ中，點(diǎn)尸為線段AG上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法不正確的是（）A,D,A. BDLCPB.三棱錐C-8P）的體積為定值C.平面PAC_L平面BCGD.BP+DP的最小值為6【答案】D【分析】由題意易證8OJ.平面ACGA，由此進(jìn)而可判斷AC；由等積法可判斷B；等邊BAG與等邊OAG展開到一個(gè)平面上，由8,P,。三點(diǎn)共線時(shí)可判斷D【詳解】對(duì)于A：連接AC,在正方體中易知：BD1AC,BDlAAt,ACAA4,=A,所以BOJL平面ACGA,乂因?yàn)镃Pu平面ACC|A,所以8CCP.故A正確；對(duì)于B：由等體積得.8尸=匕-88=!-5/8-/里=；*3

16、*以以1=:為定值，故B正確；對(duì)于C：由BOJ.平面ACGA，得由BO_L平面PAC,又因?yàn)镼u平面bog，所以平面PACJ_平面8G,故C正確；對(duì)于D：將等邊BAG與等邊OAC展開到一個(gè)平面上，可知”18,P.。三點(diǎn)共線時(shí)，BP+0P有最小值，最小值為2,可-用=2xg=,故口不正確.故選：D.（2021四川高三月考（理）如圖，點(diǎn)M是棱長(zhǎng)為2正方體ABCQ-A旦CQ中的側(cè)面AORA內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐8-CM。的體積的最大值是（）【答案】D【分析】當(dāng)M點(diǎn)與4點(diǎn)重合時(shí)，M點(diǎn)到平面的距離最大，此時(shí)三棱錐體積最大，利用割補(bǔ)法求體積即可.【詳解】-lM點(diǎn)與A點(diǎn)重合時(shí)，M點(diǎn)到平面的距離最

17、大，此時(shí)三棱錐B-CtMD體枳最大且三棱錐B-CtMD為邊長(zhǎng)為2忘的正四面體，其體積等于正方體的體積減去4個(gè)三棱錐的體積，所以-4x；x&2x2）x2=:故選：D（2021山西祁縣中學(xué)高三月考（文）己知三棱錐A-88的外接球?yàn)榍颉?，BCD是邊長(zhǎng)為班的正三角形，若三棱錐A-BCD體積的最大值為更理，則球。的體積為（）4A.冗B.冗C.10017rD.64%33【答案】A【分析】由正三棱錐與球性質(zhì)知，當(dāng)球心。在三棱錐A-3C。的高線上時(shí)，三棱錐A-8CO的體積最大，由此求得棱錐的高，再由勾股定理求得球半徑，從而得球體積.【詳解】設(shè)三棱錐A-BCD的高為，當(dāng)球心。在三棱錐4-BCQ的高線上時(shí)，三棱錐

18、A-BC的體積最大，此時(shí)-xlx3x3x/3x=,解得4=9.設(shè)球。的半徑為/?,3224如圖，是正三棱錐的高，BM=-xx3=3,OM=OA=R,32則(9-R)2+32=2,解得R=5,所以球。的體積為萬(wàn)/?=.故選：A.(2021浙江金華高三月考)已知四面體A-BCD,AB=丘,BC=BD=2,AB_L平面38,BELAC于E,8尸_LA。于F,則()AC可能與EF垂直，aB防的面積有最大值A(chǔ)C不可能與EF垂直，aBEF的面積有最大值A(chǔ)C可能與EF垂直，aBE廠的面積沒(méi)有最大值A(chǔ)C不可能與EF垂直，aBEF的面積沒(méi)有最大值【答案】D【分析】根據(jù)題意，分別求得AC=A,BE=BF,AE=A

19、F,并求得長(zhǎng)度.從而判斷“尸為等腰三角形，AE不可能與EF垂直.設(shè)CZ)=x,則EF=:x,x6(0,4),由余弦定理求得，cosNFBE”上幺一的取值32BFBE范圍，從而求得sinZFBE的范圍，代入面積公式，判斷是否存在最大值.【詳解】由A8J平面BCD知，ABJ.BC,ABA.BD則4c=4)=：22+(0)2=利用等面積法求得斜邊上的高BE = BF =242 _2y/3訪一亍從而有AE=AF=手彳=孚,則aAEF為等腰三角形，AE不可能與EF垂直,即AC不可能與E尸垂立.故AC錯(cuò)誤;-re(0,4), TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark17 o C

20、urrent Document EFAE11由上知，-=-,設(shè)C=x,則=44x2由余弦定理知，COSNFBE=BF-：BE-EF?=1Q9=1,2BFBE243貝l山xe(0,4)知，cosZFBE=l-x2e(1,l),故 NFBE 為銳角,且 sin ZFBE e (0,當(dāng)取得右側(cè)邊界點(diǎn)時(shí)，8,c,r三點(diǎn)共線，不.i2aBEF的面積S=BE-8FsinNFBE=-sinNFBEe(0,23能構(gòu)成三角形，故無(wú)最大值,故B錯(cuò)誤，D正確;故選：D（2021浙江高三月考）九章算術(shù)中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵”：底面為矩形，一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱之為“陽(yáng)馬”，四個(gè)面

21、均為直角三角形的四面體稱為“鱉腌”，如圖在塹堵A8C-A4G中，AC1BC,且AA=A8=2.下列說(shuō)法正確的是（）A.四棱錐C-A&8A為“陽(yáng)馬”B.四面體ACC4為“鱉席”c.四棱錐b-aacg體積的最大值為:D.過(guò)A點(diǎn)分別作于點(diǎn)E,AF_LAC于點(diǎn)/，則EF_LA,8【答案】D【分析】由新定義結(jié)合線面垂直的判定、性質(zhì)、體積公式逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為“塹堵所以在塹堵中，AC1BC,側(cè)棱AA，平面48c在選項(xiàng)A中，因?yàn)锳A，BC,AC1BC,顯然8c與48不垂直，且ABBA為矩形，所以四棱錐C-AB/4不為“陽(yáng)馬，二故A錯(cuò)誤；在選項(xiàng)B中，山AC*

22、L8C,AGGC且ccnsc=c,所以AG_L平面8BCC，所以AG_L8C，則aACG為直角：角形，A4G為直角三角形，山CC,1平面AC圈，得aCC.b為直角三角形，ABC不為直角三角形，所以ACG4不是“鱉嚅”,，故b錯(cuò)誤；在選項(xiàng)C中，在底面有4=AC2+BC222ACBC，即ACBC42,當(dāng)且僅當(dāng)AC=BC時(shí)取等號(hào)，1124則%.AACC,=Sa“cc,xBC=3AVACxBC=ACxBC汨，所以C錯(cuò)誤:在選項(xiàng)D中，由BC,平面A4GC,則8(7_14尸,4尸，4且4,，8CJ以，BCPD,同理可證PC-LA8,PB1AC,因?yàn)槁?把，則黑=黑，:NPDO=/PDA,故POD-APDA

23、,PBCOBCPDPO所以，ZAPD=NPOD=90.PALPD,因?yàn)镽4_L8C.5CnPO=。，.B4,平面PBC,:PB、PCu平面PBC,.帖_LPB,PA1.PC,又因?yàn)镻C_LAB,PAAB=A,故PC!平面R4B,.PBu平面E4B,則尸C_LP8,所以，PA、PB、PC兩兩垂直，將三棱錐P-ABC補(bǔ)成長(zhǎng)方體PADB-CEFG,則三棱錐P-A8c的外接球直徑等于方體PADB-CEFG的體對(duì)角線長(zhǎng)，H|1PA2+PB2+PC2=（26丫=12,所以，S,B+5.+Sg=g（PA-PB+PB.PC+PC.PA）PA2+PB2+PB-+PC2+PC2+PA2PA2+PB2+PC2,/O

24、N=r=6，所以O(shè)“二J。尸-HP2=J2-=,V42hn=Jon2-oh2=卜-；=誓.所以mn=VF5.因?yàn)辄c(diǎn)G是球。上的動(dòng)點(diǎn)，所以點(diǎn)G到MN的最大距離為4=。+=也+6,2故aGMN面積的最大值為;MN/=gx+叵!叵.故選：A（2021全國(guó)高三專題練習(xí)）如圖，已知平面。0=/,A、B是/上的兩個(gè)點(diǎn)，C、。在平面夕內(nèi)，且D4J_a,Cfia,AD=4,AB=6,BC=8,在平面a上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P,使得乙$D=ZBPC,則P-ABCD體積的最大值是（）A.24。B.16C.48D.144【答案】C【分析】由題設(shè)條件知兩個(gè)直角三角形皿與4依。是相似的直角三角形，可得出PB=2B4，PMLAB,

25、垂足為M.令A(yù)M=f,將四棱錐的體積用f表示出來(lái)，由二次函數(shù)求最值可得出正確選項(xiàng).【詳解】：ZMu面/，DAla,:.a】。.VDALa,CBka,，抬。和aPBC均為直角三角形.ZAPD=NBPC,二PADPBC.：AD=4,BC=8,APB=2PA.過(guò)P作尸垂足為M.則4.令A(yù)A/=r,（re/?）.則PA2-AM2=PB-BM2B|JPA2-/2=4E42-（6-/）2,r.PA2=12-4r,PM=42-t-f-底面四邊形ABCD為直角梯形面積為S=g（4+8）x6=36.VP_ABCD=1x36xyjl2-4t-t2=12-（；+2）2+16與平面OEFC互相垂直，P是AE上的一個(gè)動(dòng)

26、點(diǎn)，則（）AA. CP的最小值為C. PD+PF的最小值為也一人B.當(dāng)P在宜線AE上運(yùn)動(dòng)時(shí)，三棱錐。-8P廠的體積不變D.三棱錐A-OCE的外接球表面積為3萬(wàn)【答案】BD【分析】由題可知=,可判斷A：根據(jù)條件可知P8F的面積不變，到平面P8斤的距離也不變,可判斷B；將AOE翻折到與平面A8FE共面，即可判斷C；由正方體的性質(zhì)可判斷D.【詳解】對(duì)于A,連接DP,CP,易得CP=J丑尸+CZ)2=J果尸+12與1=乎,故A錯(cuò)誤：對(duì)于B,P在直線AE上運(yùn)動(dòng)時(shí),P8F的面積不變，。到平面尸8尸的距離也不變,故:.棱錐O-BPF的體積不變，故B正確：對(duì)于C,如圖，將/WE翻折到與平面A8FE共血，則當(dāng)久

27、P、下三點(diǎn)共線時(shí)，PD+P廠取得最小值+=42+,故C錯(cuò)誤：對(duì)于D,將該幾何體補(bǔ)成正方體，則外接球半徑為電，外接球表面積為3萬(wàn)，故D正確.2故選：BD.（2021廣東湛江高三月考）如圖，等腰直角三角形4近的斜邊A8為正四面體A-8CD的側(cè)棱，AB=2,直角邊AE繞斜邊A8旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，下列說(shuō)法正確的是（）A.三棱錐EBCD體積的最大值為叵3B.三棱錐E-BC。體積的最小值為立二13C.存在某個(gè)位置，使得AE_L3OD.設(shè)二面角D-4B-E的平面角為。，且0。/，則9N）AE【答案】AC【分析】。是4B的中點(diǎn)，點(diǎn)E在以。為網(wǎng)心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)（圓錐的底面圓），作出圖形，觀察E到平

28、面ABC距離的最大值和最小值,計(jì)駕體積判斷AB,把CACB,CD去掉，作出圖形，分析在與9所成角二面角O-AB-E的大小判斷CD.【詳解】在圖I中，F(xiàn)是C的中點(diǎn)，。是他的中點(diǎn)，點(diǎn)E在以。為圓心，1為半徑的圓上運(yùn)動(dòng),圖1易知當(dāng)F,O,E三點(diǎn)共線，旦。在E,尸之間時(shí)，三棱錐E-8C0的體積最大，當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到鳥的位置時(shí)，E-BCD的體積最小.在RTaBOF中，BO=T,BF=OF=應(yīng),sinN8F0=FE=忘+1,尸鳥=近-1.設(shè)E,g到平面BCD的距離分別為/i，也，則=立普也=立4電耽。=+,a/3a/3所以三棱錐E-8C。體積的最大值為1x4!二lx63 V3冬1,最小值為也二1, A正確，B錯(cuò)

29、誤.7T如圖2,因?yàn)橹本€BD與旋轉(zhuǎn)軸AB所成的角為y,IT母線峽與旋轉(zhuǎn)軸斤成的角為“D7TTT7T所以直線4七與8。所成角的范圍為y+因?yàn)轸斠鳎源嬖趭A角好的情況,ITTT又因?yàn)榫€線角的取值范圍不包含鈍角，所以直線A當(dāng)與8。所成角的范圍為-,y,即可得出aelbrc正確.如圖2,當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到當(dāng)時(shí)，二面角的平面角為DOE2,在aOAE?與aOOE2中，AD2=AO2+OD2,AE1=AO2+OEl，所以AOOD,AE2OE2,所以cosZ.DOE2ZDAE2,即0/DAE?,D錯(cuò)誤.故選：AC【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)二面角的定義，利用余弦函數(shù)的定義進(jìn)行判斷是解題的關(guān)鍵.（2021福建福州三中高三月

30、考）如圖，已知圓錐的軸截面以8為等腰直角三角形，底面圓。的直徑為2.C是圓O上異于A,8的一點(diǎn)，。為弦AC的中點(diǎn)，E為線段PB上異于尸，8的點(diǎn)，以下正確的結(jié)論有A.直線AC_L平面尸DOB.CE與PO一定為異面直線C.直線CE可能平行于平面PDOD.若8C=&，則CE+AE的最小值為6+1【答案】ABD【分析】利用線面垂直定理可判斷A,由異面直線判定可判斷B,利用反證法可判斷C,利用平面幾何知識(shí)可判斷D.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)：在AOC中，OA=OC.。為AC中點(diǎn)，所以AC_LO。，又PO垂直于圓O所在的平面，所以POJ.AC,因?yàn)镻OnOD=O,所以ACJ_平面&X）,故A正確.對(duì)于B項(xiàng)：由于P,

31、C,E共面，且。在平面PCE外，所以CE與PZ）異面，故B正確.對(duì)于C項(xiàng)：因?yàn)镃BO?？傻没蚱窖狿DO,若直線CE平面PDO,則有平面PBC平面PCO,這與兩平面有公共點(diǎn)P矛盾，故C錯(cuò).對(duì)于D項(xiàng)：在三.棱俳P-A8C中，將側(cè)面PBC繞尸8旋轉(zhuǎn)至平面P8C,使之與平面以8共面，如圖所示，則當(dāng)A,E,C共線時(shí)，CE+AE取得最小值,因?yàn)锳B=2，BC=y/2=PB=PC所以NA8C=105,由余弦定理可得AC=G+1，即ce+ae的最小值為百+1，故D對(duì).故選：ABD.（2021廣東高三月考）在直角三角形4BC中，ZABC=30,a,匕為空間中兩條互相垂直的直線，AC所在直線與a,6都垂直，斜邊A

32、3以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，下列結(jié)論正確的有（）A.當(dāng)直線AB與a成30角時(shí)，AB與方成90。角；B.當(dāng)直線AB與。成45。角時(shí)，AB與6成60。角：C.當(dāng)直線AB與a成60。角時(shí)，AB與匕成45。角；D.直線48與人所成角的最小值為期；【答案】ABCD【分析】因?yàn)椤埃綖榭臻g中兩條互相垂直的直線，所以，通過(guò)平移后，總可以將兩條直線移到同一個(gè)平面內(nèi)，且互相垂直，如圖所示圓錐中，利用線面角、線線角的關(guān)系，即可得到答案；【詳解】因?yàn)椤埃?，為空間中兩條互相垂宜的直線，所以，通過(guò)平移后，總可以將兩條宜線移到同一個(gè)平面內(nèi)，且互相垂直，如圖所示圓錐中，對(duì)A,令C為直線b,BC為直線。，8,8C,CJ.AC

33、,ACcBC=C,COJ平面ABC,CDJLA8,即AB與6成90。角,故A正確;A對(duì)B,當(dāng)直線A894成45。角時(shí)，令8E直線，E尸直線6,作8尸E尸，則cosNABE=cosNFBcosZABf,即cos45=cosZ.FBE-cos30,即cosNFBE=#,假設(shè)成603jr角，則cosZ.ABP=cosNPBFcosZ.ABFcos60=cos(-Z.FBE)-cosNABF,即cos60=sinN月?cos30，cosNFBE=Y顯然成立，故B正確；3對(duì)C,令席在線b,E/直線”，與B選項(xiàng)同理可證，故C正確；對(duì)D,當(dāng)直線時(shí)，直線AB與人所成角取到最小值為30,故D正確:故選：ABCD

34、（2021重慶西南大學(xué)附中高三月考）已知點(diǎn)A為圓臺(tái)下底面圓。2上的一點(diǎn)，S為上底面圓Q上點(diǎn)，且S=l,002=6。/=2,則下列說(shuō)法正確的有（）A.直線SA與直線002所成角最小值為1O7TB.直線SA與直線RO?所成角最大值為。C.圓臺(tái)存在內(nèi)切球，且半徑為32D.宜線4。與平面5QQ所成角正切值的最大值為電2【答案】AB【分析】過(guò)點(diǎn)S作的平行線，從而找到直線SA與直線。02所成的角，進(jìn)而求出角的范圍，即可判斷A.B；對(duì)C,作出軸截面的內(nèi)切圓，進(jìn)而通過(guò)內(nèi)切圓的性質(zhì)檢驗(yàn)數(shù)據(jù)（線段長(zhǎng)度）是否矛盾，進(jìn)而得到答案；對(duì)D,先作出線面角，進(jìn)而求出線面角正切值的最大值，最后得到答案.【詳解】由題意，設(shè)上下底

35、面半徑分別為凡，&,其中N=1,g=2,圖1如圖I，過(guò)S作S。垂直于下底而于。，則所以直線SA與直線所成角即為直線SA與直線SD所成角,AnAn即NA叩為所求，而3乙45。=防=耳，由圓的性質(zhì)，l=4-qQVADVQD+&=3,所以c AD AD # 后、 tan ZASD = -=-e”3SD 63所以ZASDHj,則A, B選項(xiàng)正確. 6 3對(duì)于C選項(xiàng)，若圓臺(tái)存在內(nèi)切球，則必有軸截面的等腰梯形存在內(nèi)切圓，如圖2,梯形的上底和下底分別為2,4,高為百，易得等腰梯形的腰為JF+（石=2,假設(shè)等腰梯形有內(nèi)切網(wǎng)，由內(nèi)切圓的性質(zhì)可得腰長(zhǎng)為K+g=3w2,所以圓臺(tái)不存在內(nèi)切球；對(duì)于D選項(xiàng)，如圖3,圖3

36、其中 AH = xe0,2,當(dāng) xw(0,2時(shí),當(dāng)x=0時(shí),tan A。 =0,tan AOH在（0,2上單調(diào)遞平面SBC即平面SO。，過(guò)點(diǎn)4做AHLBC交BC丁點(diǎn)H,因?yàn)镾O垂直丁下底血，而AH包含丁嚇底面,所以SO_LA”,又S）n5C=O,所以AHJ_平面S8C,所以直線4。與平面SO、。2c所成角即為4。用，tanNAO,H=,5tl設(shè)AW=x,則Q”=J&-A/2,所以。=(OQ；+O=V3+4-X2=J7-V,Ax所以tanAa“二kK=口，un增，所以當(dāng)x=2時(shí),tanA0H=的最大值為snAQH=卜斗,所以d選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB.【點(diǎn)睛】本題設(shè)問(wèn)較多，問(wèn)題比較復(fù)雜，對(duì)選項(xiàng)D這樣

37、的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題求最值，如果不能從圖形中找到最值對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的位置，那么可以通過(guò)求函數(shù)最值的方法解得答案.（2021.湖北黃石.高三開學(xué)考試）如圖，正方體A8CO-A4G。的棱長(zhǎng)為1,E,尸分別是棱4ACG的中點(diǎn)，過(guò)直線所的平面分別與棱8片,。交于M,N兩點(diǎn)，設(shè)8M=x,xw0,l,以下說(shuō)法中正確的是（）B.四邊形MEN尸的面積最小值為1C.四邊形MEN尸周長(zhǎng)的取值范圍是4,40D.四棱錐C-MENF的體積為定值【答案】ABD【分析】由線面垂直的判定定理證明4CL面BOO4，再由EF/AC可得EF上面BDD冏,再由面面垂直的判定定理即可判斷A；證明F，MN.求出MN的最小值，計(jì)算即可判斷B；先證明四邊形

38、MENF為菱形，可得周長(zhǎng)工=4目0.計(jì)算出EN的最值可判斷選項(xiàng)C：由等體積計(jì)算Vq-MENF=Cj-EFAf十%-EFN=2Vq-EbM=2匕/,可判斷D,進(jìn)而可得正確選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A：連接AC,BD,EF,因?yàn)樗倪呅蜛8C是正方形，所以ACJ.50,因?yàn)槊鍭BC。，ACu面ABCD,所以Bqj.AC,因?yàn)锽Oc8用=8,所以AC_L面8。線，因?yàn)?尸分別是棱AA，C的中點(diǎn)，所以砂AC,所以所_1_面8。圈，因?yàn)樗?面MENP,所以平面MNFJ_平面BDD石，故選項(xiàng)A正確：對(duì)于B：因?yàn)開1_面8。內(nèi)，MNu而BDDB所以EFJ_MN,四邊形MEN/的面枳為S=；EFMN,因?yàn)镋F=0為定值

39、，所以只需MN最小即可得面枳最小位，因?yàn)锽M=x,xwO,l,所以MN=1-2x)2+(0)2=,4x2_4x+3，所以當(dāng)x=g時(shí)，MNmin=4x-4xg+3=&，所以Smin=gx&X0=l，故選項(xiàng)B正確；對(duì)于C：因?yàn)槊鍭。AA面8CG4，平面MENFc面BCC4=MF,平面MENFc面ADRA=NE,所以MFUNE,同理可證MNF,所以四邊形MENF是平行四邊形，又因?yàn)樗运倪呅蜯EN尸是菱形，所以四邊形MEN/7周長(zhǎng)L=4EM,當(dāng)x=0時(shí)，M最大為,2+(；=乎，當(dāng)x=g時(shí)，最小為1,所以L=4EMe4,26,故選項(xiàng)C不正確：對(duì)于D：連接CE,C、M*QN,則%-MENFCiEFM+V

40、q-EFN=2%-EFM=2乂，.5門.48=2*1乂尸乂80*48=2*1乂，*，、以1=1為常數(shù)，故選項(xiàng)D正確；3,323226故選：ABD.24.(2021江蘇海安高級(jí)中學(xué)高三期中)在棱長(zhǎng)為1的正方體A8CQ-A4CQ中，點(diǎn)尸滿足DP=ADDi+iDA,/leO,l,z/eO,l,則以下說(shuō)法正確的是（當(dāng)2=時(shí)，BP平面CBRJT當(dāng)=5時(shí)，存在唯一點(diǎn)p使得op與直線cq的夾角為當(dāng);1+=1時(shí)，CP長(zhǎng)度的最小值為必2rrD.當(dāng)義+=1時(shí)，CP與平面BCCM所成的角不可能為。【答案】ACD【分析】對(duì)于A,可知點(diǎn)尸在線段0A1易證平面ABC/平面CBQ,利用線面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論；對(duì)于B,可證

41、得點(diǎn)P為A。中點(diǎn)，此時(shí)。PC耳可判斷：對(duì)于C,可知尸,。,4三點(diǎn)共線，線段CP在AC4中，利可求得距離最小值；對(duì)FD,設(shè)點(diǎn)尸在平面BCC向內(nèi)的射影為。在線段8G上，則NPCQ為所求角，求sinNPCQe*，W.可判斷結(jié)果.【詳解】uuurum對(duì)于A,當(dāng)4=時(shí)，DP=ADDt+DAj=ADA,即點(diǎn)P在線段。A上，利用正方體的性質(zhì)，易證平面平面CBQ,BPu平面A8。，.BP平面CBQ1,故A正確；uuuuuur1umuiruuuuuuruuuuuui時(shí)于B,當(dāng)=e時(shí)，DP=ADDt+-DA=PA+PD=2/10,0,設(shè)4）的中點(diǎn)為，則即PHHD.D,即點(diǎn)尸為A。中點(diǎn)，此時(shí)。PC4,故B錯(cuò)誤;時(shí)C

42、P_LA，CP=JCA2-AP2=J(&)2-(2_C力4B1對(duì)于D,當(dāng)/i+=l時(shí)，可知p,A，A三點(diǎn)共線,知堂故CP長(zhǎng)度的最小值為多故c正琬點(diǎn)?在平面BCC,B,內(nèi)的射影為Q在線段BG上，則NPCQ為對(duì)于C,當(dāng)/1+=1時(shí)，可知p,。,A三點(diǎn)共線，線段CP在ACR中，當(dāng)點(diǎn)P為4。中點(diǎn)時(shí),CP最小，此CP與平面BCCM所成的角，sinNPCQ=W，乂尸Ce1sin工=立在，所以CP與平面BCCg所成的角不可能為g,3233Dc修4B,故選：ACD【點(diǎn)睛】亨,0.所以sinNPCQe*,4，而故D正確：方法點(diǎn)睛：求直線與平面所成角的方法：（1）定義法，作，在直線上選取恰當(dāng)?shù)狞c(diǎn)向平面引垂線，確定

43、垂足的位置是關(guān)鍵：證，證明所作的角為直線與平面所成的角，證明的主要依據(jù)是直線與平面所成角的概念；求，利用解三角形的知識(shí)求知：-I府T（2）向量法，sin6=kos=（其中AB為平面a的斜線，G為平面a的法向量，。為斜線AB網(wǎng)響與平面a所成的角）.（2021廣東高三開學(xué)考試）在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCO-A8G。中，已知E為線段8。的中點(diǎn)，點(diǎn)F和點(diǎn)P分別滿足印=九南，*用，其中則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)2=時(shí)，三棱錐P-E尸。的體積為定值B.當(dāng)=；時(shí)，四棱錐P-A8C。的外接球的表面積是:上4C.PE+PF的最小值為辿6D.存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)（ZM，使得EPL平面PCF【答案】ACD【分析】對(duì)于A

44、選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，E/B2，只需要注明點(diǎn)P到平面EFD的距離恒定，就能說(shuō)明：棱錐尸-FD的體積為定值：對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)=g時(shí)，點(diǎn)尸為正方體的中心，只需求出四棱錐P-ABCD的外接球的半徑即可算出表面積：對(duì)于C選項(xiàng)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在平面ABGR內(nèi)求點(diǎn)P使得PE+PF最小即可求解：對(duì)于D選項(xiàng)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量方法來(lái)證明即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，業(yè)=；時(shí)，點(diǎn)產(chǎn)為線段AC的中點(diǎn)，乂E為線段8G的中點(diǎn)，故EF為三角形GRB的中位線，E/B。，點(diǎn)P在線段8。運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)2到平面EFD的距離恒定，故三棱錐P7力的體積為定值；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)=；時(shí)，點(diǎn)戶為正方體的中心，設(shè)四棱錐P-ABC。的外接球的半徑為R,由

45、曰=片,解得R=（,故四棱錐P-ABCD的外接球的表面積為4乃/=4得=?.對(duì)于C選項(xiàng)，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在平面ABG。內(nèi)求點(diǎn)/使得小+尸產(chǎn)最小，如圖，作點(diǎn)E關(guān)于線段。出的對(duì)稱點(diǎn)片，過(guò)點(diǎn)百作D,AB的垂線，垂足分別為尸和”,則尸+尸尸.與尸，設(shè)NE|8A=。，則sin（9=sin（/ABA/=也.故36“=&一1逑.166對(duì)于D選項(xiàng)，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4所在的直線為x軸，0c所在的直線為y軸，所在的直線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系，易求得（0,0，1），唱,1,；）,*0,2,1）,P（,/-）,故若EPL平面PDF,喬=（-g,T,g，加=而=（0,41）,解得=（舍）或，2 =故存在唯一的實(shí)數(shù)對(duì)（

46、九），使得EPJ平面PDF.故選：ACD（2021.山東濰坊.高三期中）已知正方體A8CO-ABCR的棱長(zhǎng)為1,下列結(jié)論正確的有（A.異面直線CA與42所成角的大小為2B.若E是直線AC上的動(dòng)點(diǎn)，則RE平面A.BGC.與此正方體的每個(gè)面都有公共點(diǎn)的截面的面積最小值是正2D.若此正方體的每條棱所在直線與平面a所成的角都相等，則a截正方體所得截面面積的最大值是G【答案】BC【分析】A.易證平面AACC判斷；B.易證平面A.8G/平面A8G；C.易知平面為一個(gè)與正方體的每個(gè)面都有公共點(diǎn)判斷；D.點(diǎn)E,F,G,H,M,N分別為相應(yīng)棱的中點(diǎn)，可得平面EFGHMN”平面PQR求解判斷.【詳解】A.如圖所小

47、:所以所以異面直線CA,與8a所成角的大小為T，故錯(cuò)誤;,BR工AC，與馬，avagc4人=a,則B。1平面aACG,以A。平面,同理CD/平面AG,因?yàn)锳RcCR=R,所以平面A/G平面ABG,因?yàn)锳Eu平面ARBG，所以AE平面AfG,故正確;C.如圖所示:AH平面為個(gè)與正方體的每個(gè)面都有公共點(diǎn)，且截面面積5D.如圖所示:CA H B最小的面，其面積為：S=-x&x0 xsin6O=上，故正確;,若此正方體的每條棱所在直線與平面。所成的角都相等，只需平面a與過(guò)同頂點(diǎn)的三條棱所成的角相等，設(shè)AP=A。=4R,則平面PQR與正方體過(guò)頂點(diǎn)A的三條棱所成角相等，若點(diǎn)E,F,G,H,M,N分別為相應(yīng)

48、棱的中點(diǎn)，可得平面EFGHMN/平面?。凡且六邊形？FGMWN為正六邊形，正方體的棱長(zhǎng)為1，則正六邊形的邊長(zhǎng)為立，此時(shí)正六邊形的面積為地，為截面的最大面積，故鋁i兀24故選：BC（2021山東,安丘市普通教育教學(xué)研究室高三月考）如圖，AC為圓錐的底面直徑，點(diǎn)B是圓。上異于A,C的動(dòng)點(diǎn)，SO=OC=2,則下列結(jié)論正確的是（）A.圓錐的側(cè)面積為4上兀QB.三棱錐S-A8C體積的最大值為三3C.的取值范圍是D.若AB=BC,E為線段A8上的動(dòng)點(diǎn)，則SE+CE的最小值為26+1【答案】ABC【分析】先求出圓錐的母線長(zhǎng)，利用圓錐的側(cè)面積公式判斷選項(xiàng)A；當(dāng)OB_LAC時(shí)，aABC的面積最大，此時(shí)體積也最大

49、，利用圓錐體積公式求解即可判斷選項(xiàng)B；先用取極限的思想求出NASB的范圍,再利用2NSAB+NAS8=;r,求范圍即可判斷選項(xiàng)C：將ASAB以AB為軸旋轉(zhuǎn)到與aA8C共面，得到BA8,則（SE+CE）.=SC，利用已知條件求解即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】在RtASOC中，SC=yjscf+OC1=25/2-則圓錐的母線長(zhǎng)/=20，半徑r=OC=2,對(duì)于選項(xiàng)A：圓錐S。的側(cè)面積為：Ttrl-Ayfljr故選項(xiàng)A正確：對(duì)于選項(xiàng)B：當(dāng)08_LAC時(shí)，aABC的面積最大，此時(shí)S.abc=；x4x2=4,11Q則三棱錐S-ABC體積的最大值為：-xScxSO=-x4x2=,故選項(xiàng)B正確；jr利丁選項(xiàng)C：當(dāng)點(diǎn)

50、B以點(diǎn)A用介時(shí),ZASB=0為被小角，.當(dāng)照B1J點(diǎn)CR介時(shí),ZASB=,達(dá)到最大值,又因?yàn)锽與AC不重合，則N4SBe（0,）,X1Z.SAB+ZASB=re,可得NSABe（了另），故選項(xiàng)C正確：對(duì)于選項(xiàng)D：山AB=BC,NA8C=90。,AC=4,flAB=BC=2/2又SA=SB=2&則ASAB為等邊三角形，則NSBA=60,將ASAB以AB為軸旋轉(zhuǎn)到與共面，得到同A8,則向A8為等邊三角形，NS由A=60,如圖：則（SE+CELSC，因?yàn)?=8C=2五,NS18C=ZS,BA+ZABC=150,SQ=B?+BC?-2x51BxBCxcos150。=8+8+86=（26+2/則（SE+

51、-C=2（G+1）,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤:故選：ABC28.（2021廣東廣州高三月考）如圖，矩形中，AB=2AD=2,E為邊AB的中點(diǎn)，將“沿力后翻折成AQE,若M為線段的中點(diǎn)，則在翻折過(guò)程中，下列結(jié)論中正確的是（）A.翻折到某個(gè)位置，使得。AJLECB.翻折到某個(gè)位置，使得AC,平面4QEC.四棱錐A-OC8E體積的最大值為也4D.點(diǎn)M在某個(gè)球面上運(yùn)動(dòng)【答案】ACD【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，=百時(shí)，即AOJLAC時(shí)滿足條件；對(duì)于B選項(xiàng)，由ACLOE不成、工，進(jìn)而可判斷；對(duì)于C選項(xiàng)，平面平而48第時(shí)一，四棱錐A-OC8E體枳的最大，再求解即可；對(duì)于D選項(xiàng)，取0c中點(diǎn)0,連接QM,即可得M在以點(diǎn)。為球心的球

52、面上.【詳解】解;對(duì)于A選項(xiàng)，山題知A。，若存在某個(gè)位置使得“，EC,由于AEflEC=E，故A。，平面EC,即A。，AC,由于/W=2AD=2,故AC=G，由丁在折疊過(guò)程中，ACe（l,V5）,所以存在某個(gè)位置，使得AC=g,故存在某個(gè)位置，使得oa_lec,故A選項(xiàng)正確：對(duì)于B選項(xiàng)，若存在某個(gè)位置，使得則行ACLDE,另一方面，在矩形ABCO中，TTTTZAD=t,ZCAE-,故AC_L0E不成立，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤；44對(duì)于C選項(xiàng)，四棱錐A-OC8E體積的最大時(shí)，平面AOE，平面ABC。，由于4。后是等腰有角三角形，所以此時(shí)點(diǎn)A到平面。CBE的距離為Y2,所以四棱錐A.-DCBE體積的最大值

53、為2v=-SBCDE-=-x-x（2+xlx-=,故C選項(xiàng)正確；對(duì)于D選項(xiàng)，取0C中點(diǎn)。，連接。河，由TM為線段的中點(diǎn)，所以O(shè)M/AD,OM=；AO=g，所以M在以點(diǎn)0為球心的球面上，故D選項(xiàng)正確.故選：ACD29.（2021山東師范大學(xué)附中高三開學(xué)考試）如圖，在正方體ABC。-A4GR中，點(diǎn)2在線段8c上運(yùn)動(dòng),則下列結(jié)論正確的是（A.宜線平面ACQB.三棱錐AGP的體積為定值C.異面直線a與所成角的取值范圍是30。,90。D.直線GP與平面AG。所成角的正弦值的最大值為直3【答案】ABD【分析】對(duì)于A,利用線面垂直的判定定理及線面垂直的性質(zhì)定理，即可進(jìn)行判斷：對(duì)于B,利用線面平行的判定定理，

54、得出與c平面AG。，再根據(jù)三棱錐的體積的計(jì)算方法，即可進(jìn)行判斷：對(duì)于c,利用異面直線所成角的計(jì)算方法，即可進(jìn)行判斷；對(duì)于D,通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求出直線與平面所成角的正弦值，然后借助二次函數(shù)，即可進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于A,連接BD，;ACAG-LBB,BRcBB,=Bt,AC_L平面88,4，AGLB。，同理，DCBD,AGcOC1=G，.,.直線平面AG。，故A正確；對(duì)于b,V/B,C,AOu平面AG。，8ctz平面AG。，B|C平面4G。，.點(diǎn)P在線段BC上運(yùn)動(dòng)，.點(diǎn)尸到平面AC。的距離為定值，乂aAC。的面積為定值，利用等體積法知三棱銖。-AG尸的體積為定值，故b正確；對(duì)于

55、C,AOBC，異而直線AP與所成的角即為心與BC所成的角，當(dāng)點(diǎn)戶位于C點(diǎn)時(shí)，AP1J8。所成的角為60。.當(dāng)點(diǎn)P位于8。的中點(diǎn)時(shí)，AB_L平面BCC-BP1BC，.4P_LBQ此時(shí)，AP與BQ所成的角為90。，.異面立線AP與所成角的取值范圍是60。,90。,故C錯(cuò)誤；對(duì)于D,以O(shè)為原點(diǎn)，D4為x軸，OC為）軸，。為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體A8C-A8Ca的棱長(zhǎng)為1，P（a,a）,則。（0,0,0）,4（】，0，1），C,（0,1,1）,函=（1,0,1）,西=（0,1,1）,印=（a,0,a-l）,rz、fn-DA=0y=0設(shè)平面AG。的法WJ量=（x,y,z）,則_晨,即八，Is

56、.fir-fiIt-11令X=1,得無(wú)所以，宜線GP與平面AG。所成角的正弦值為:|甲T11巾|同行/，I1一顯當(dāng)。=:時(shí)，直線GP7面AG。所成角的正弦值取得最大伯.，最大值為丁，故D正確.2G正故選：ABD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查線面垂直的判定定理、線面垂直的性質(zhì)定理、線面平行的判定定理、三棱錐的體積的“算方法、異面直線所成角的計(jì)算方法、利用向量法求解直線與平面所成角的正弦值，考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握能力，屬于中檔題.三、填空題（2021河南高三月考（理）已知正三棱柱A8C-A8C內(nèi)有4個(gè)半徑為1的半球，若這4個(gè)半球的球面兩兩相切，且其中3個(gè)半球的球心在該棱柱底面ABC上.則正三棱柱A

57、BC-ABiG側(cè)面積的最小值為【答案】46+120【分析】根據(jù)正三棱柱的性質(zhì)，結(jié)合正三棱錐的性質(zhì)、球的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】4個(gè)半球的球面兩兩相切，當(dāng)正三棱柱4BC-A4G側(cè)而枳最小時(shí)，:而11個(gè)半球，球心記作Q，F(xiàn)面有3個(gè)半球，球心分別記作。2，。3，Q，點(diǎn)。3，都在底面ABC上，半徑為1的圓。2，4，。4分別與ABC的兩條邊相切.可得A3=1+1+2BE=2+2x=2+2,tan30設(shè)aABC的中心為。，三棱錐g-&q4是棱長(zhǎng)為2的正四面體，。是。3。4的中點(diǎn)，O2D=yl22-l2=V3.a*。吐手,*=廣步普,當(dāng)正三棱柱ABC-A4G側(cè)面積最小時(shí)，其高為。，所以正三棱柱A8C-A8

58、Q側(cè)面積的最小值為3A8xOQ=4#+1272.故答案為：476+1272【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：運(yùn)用正三棱柱、正:棱錐、球的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.（2021廣東龍崗高三期中）已知正方體ABCD-A耳GQ的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)E為AA中點(diǎn)，點(diǎn)尸、”在四邊形ABC內(nèi)（包括邊界），點(diǎn)P到平面A網(wǎng)A的距離等于它到點(diǎn)。的距離，直線M8J/平面田。，則PM的最小值為.【答案】空10【分析】建立空間直角坐標(biāo)系得到在平面x0y中點(diǎn)尸、M的軌跡方程，然后利用導(dǎo)數(shù)知以進(jìn)行求解即可.【詳解】如圖所以0（0,0,0）,E（l,0,2）6（0,2,2）,a（2,2,2）,設(shè)P&,%,0）,M（卬y?，。）山點(diǎn)P到平面ABB,A的距離等

59、于它到點(diǎn)。的距離，即點(diǎn)P到AB的距離等于它到點(diǎn)D的距離在平面x?y中，直線AB方程為x=2所以|2-xJ=Jx：+y=4-4xj（0 x,1）.所以點(diǎn)P的軌跡方程為y=V4-4.r（0 xl）DE=（l,0,2）,Dq=（O,2,2）,Bf=（2-2,y2-2-2,）,設(shè)平面Eg。的一個(gè)法向量為A=（x,y,z）n-DE = 0 x + 2z = 0則 n-DC1 =0(2y + 2z = 0令z = l,所以x = -2,y = -l所以片=（一2,-1,1）,由直線MB、/平面ECD所以小月法=0=2x2+%-4=0所以點(diǎn)A/的軌跡為2x+y-4=0(lxn平面ABF=AB,8C_L平面A

60、BEF,又ABLBE.AB,BE,8C兩兩垂直.以B為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，LiiaimmimuAC 月= -x+z = 0,BF n = x+y = 0,則A(l,0,0),8(0,0,0),尸(1,1,0),C(0,0,1),.MC=(1,0,1),8尸=(1,1,0),AA=(-1,0,0),設(shè)異面直線AC、的公垂向量為=(x,y,z),則，令x=l,則y=-l,z=【，=ium|ABj=1=/3(即的最小值為3.|n|7333(2021浙江省杭州第二中學(xué)高三開學(xué)考試)已知三棱錐P-ABC的四個(gè)頂點(diǎn)都在球。的表面上，尸平面ABC,PA=6,AB=20,AC=2,8c=4,