2022屆安徽省池州市青陽一中高考數(shù)學(xué)倒計(jì)時模擬卷(含解析)

1、2022學(xué)年高考數(shù)學(xué)模擬測試卷考生須知：1全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1（ ）ABCD2已知，若方程有唯一解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )ABCD3已知平面向量，滿足：，則的最小值為( )A5B6C7D84已知函數(shù)有兩個不同的極值點(diǎn)，若不等式有解，則的

2、取值范圍是（ ）ABCD5已知雙曲線x2a2-y2b2=1(a0,b0)，其右焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(c,0)，點(diǎn)A是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線上的一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，滿足|OA|=c2a，線段AF交雙曲線于點(diǎn)M.若M為AF的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（ ）A2B2C233D436已知函數(shù)的圖像上有且僅有四個不同的關(guān)于直線對稱的點(diǎn)在的圖像上，則的取值范圍是( )ABCD7將函數(shù)的圖像向左平移個單位得到函數(shù)的圖像，則的最小值為（ ）ABCD8已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，則（ ）A4B3C2D19設(shè)，其中a，b是實(shí)數(shù)，則（ ）A1B2CD10設(shè)是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則（ ）ABCD11復(fù)數(shù)滿足，則（

3、 ）ABCD12下圖為一個正四面體的側(cè)面展開圖，為的中點(diǎn)，則在原正四面體中，直線與直線所成角的余弦值為（ ）ABCD二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知a，b均為正數(shù)，且，的最小值為_.14設(shè)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則_15已知函數(shù)的圖象在處的切線斜率為，則_16如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)、分別是棱，的中點(diǎn)，是側(cè)面正方形內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），若平面，則線段長度的取值范圍是_.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知數(shù)列滿足.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，證明：.18（12分）已知a,bR，設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax-

4、bx2+1(I)若b=0，求f(x)的單調(diào)區(qū)間：(II)當(dāng)x0,+)時，f(x)的最小值為0，求a+5b的最大值.注：e=2.71828為自然對數(shù)的底數(shù).19（12分）已知橢圓：的兩個焦點(diǎn)是，在橢圓上，且，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線與直線平行，且與橢圓交于，兩點(diǎn).連接、與軸交于點(diǎn)，.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求證：為定值.20（12分）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是，直線和直線的極坐標(biāo)方程分別是（）和（），其中（）.（1）寫出曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線和直線分別與曲線交于除極點(diǎn)的另外點(diǎn)，求的面積最小值.21（12分）已知函數(shù)，若的解集為（1）求的值；（2）若正

5、實(shí)數(shù)，滿足，求證：22（10分）已知橢圓：的離心率為，直線：與以原點(diǎn)為圓心，以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.為左頂點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，直線，分別交直線于，兩點(diǎn).（1）求橢圓的方程；（2）以線段為直徑的圓是否過定點(diǎn)？若是，寫出所有定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.2022學(xué)年模擬測試卷參考答案（含詳細(xì)解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【答案解析】利用，根據(jù)誘導(dǎo)公式進(jìn)行化簡，可得，然后利用兩角差的正弦定理，可得結(jié)果.【題目詳解】由所以，所以原式所以原式故故選：D【答案點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式以及兩角差的正弦公式，

6、關(guān)鍵在于掌握公式，屬基礎(chǔ)題.2、B【答案解析】求出的表達(dá)式，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象以及二次方程實(shí)根的分布，求出的范圍即可【題目詳解】解：令，則，則，故，如圖示：由，得，函數(shù)恒過，由，可得，若方程有唯一解，則或，即或；當(dāng)即圖象相切時，根據(jù)，解得舍去），則的范圍是，故選：【答案點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的零點(diǎn)問題，考查函數(shù)方程的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題3、B【答案解析】建立平面直角坐標(biāo)系，將已知條件轉(zhuǎn)化為所設(shè)未知量的關(guān)系式，再將的最小值轉(zhuǎn)化為用該關(guān)系式表達(dá)的算式，利用基本不等式求得最小值.【題目詳解】建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，設(shè)，且，由于，所以.所以，即.當(dāng)且僅當(dāng)時取得最小值，此時由得，當(dāng)時

7、，有最小值為，即，解得.所以當(dāng)且僅當(dāng)時有最小值為.故選：B【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查向量的位置關(guān)系、向量的模，考查基本不等式的運(yùn)用，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，屬于難題.4、C【答案解析】先求導(dǎo)得（），由于函數(shù)有兩個不同的極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為方程有兩個不相等的正實(shí)數(shù)根，根據(jù)，求出的取值范圍，而有解，通過分裂參數(shù)法和構(gòu)造新函數(shù)，通過利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性、最值，即可得出的取值范圍.【題目詳解】由題可得：（），因?yàn)楹瘮?shù)有兩個不同的極值點(diǎn)，所以方程有兩個不相等的正實(shí)數(shù)根，于是有解得.若不等式有解，所以因?yàn)?設(shè)，故在上單調(diào)遞增，故，所以，所以的取值范圍是.故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、最

8、值來求參數(shù)取值范圍，以及運(yùn)用分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù)法，還考查分析和計(jì)算能力，有一定的難度.5、C【答案解析】計(jì)算得到Ac,bca，Mc,bc2a，代入雙曲線化簡得到答案.【題目詳解】雙曲線的一條漸近線方程為y=bax，A是第一象限內(nèi)雙曲線漸近線上的一點(diǎn)，|OA|=c2a，故Ac,bca，F(xiàn)c,0，故Mc,bc2a，代入雙曲線化簡得到：3c24a2=1，故e=233.故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線離心率，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.6、D【答案解析】根據(jù)對稱關(guān)系可將問題轉(zhuǎn)化為與有且僅有四個不同的交點(diǎn)；利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性從而得到的圖象；由直線恒過定點(diǎn)，通過數(shù)形結(jié)合的方式可確定；利

9、用過某一點(diǎn)曲線切線斜率的求解方法可求得和，進(jìn)而得到結(jié)果.【題目詳解】關(guān)于直線對稱的直線方程為：原題等價于與有且僅有四個不同的交點(diǎn)由可知，直線恒過點(diǎn)當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增由此可得圖象如下圖所示：其中、為過點(diǎn)的曲線的兩條切線，切點(diǎn)分別為由圖象可知，當(dāng)時，與有且僅有四個不同的交點(diǎn)設(shè)，則，解得：設(shè)，則，解得：，則本題正確選項(xiàng)：【答案點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)直線與曲線交點(diǎn)個數(shù)確定參數(shù)范圍的問題；涉及到過某一點(diǎn)的曲線切線斜率的求解問題；解題關(guān)鍵是能夠通過對稱性將問題轉(zhuǎn)化為直線與曲線交點(diǎn)個數(shù)的問題，通過確定直線恒過的定點(diǎn)，采用數(shù)形結(jié)合的方式來進(jìn)行求解.7、B【答案解析】根據(jù)三角函數(shù)的平移求出函數(shù)的解析式

10、，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可【題目詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位，得到，此時與函數(shù)的圖象重合，則，即，當(dāng)時，取得最小值為，故選：【答案點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)的平移關(guān)系求出解析式是解決本題的關(guān)鍵8、A【答案解析】根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列公式直接計(jì)算得到答案.【題目詳解】由成等比數(shù)列得，即，已知，解得.故選：.【答案點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列，等比數(shù)列的基本量的計(jì)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.9、D【答案解析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等，可得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算，可得結(jié)果.【題目詳解】由題可知：，即，所以則故選：D【答案點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，考驗(yàn)計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.10、A【答

11、案解析】結(jié)合復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和模長公式求解即可【題目詳解】復(fù)數(shù)，則，故選：A.【答案點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法、模長、平方運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題11、C【答案解析】利用復(fù)數(shù)模與除法運(yùn)算即可得到結(jié)果.【題目詳解】解: ，故選：C【答案點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)除法運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的模，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.12、C【答案解析】將正四面體的展開圖還原為空間幾何體，三點(diǎn)重合，記作，取中點(diǎn)，連接，即為與直線所成的角，表示出三角形的三條邊長，用余弦定理即可求得.【題目詳解】將展開的正四面體折疊，可得原正四面體如下圖所示，其中三點(diǎn)重合，記作：則為中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，設(shè)正四面體的棱長均為，由中位線定理可得且，所以即為與直線

12、所成的角， ，由余弦定理可得，所以直線與直線所成角的余弦值為，故選：C.【答案點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體中異面直線的夾角，將展開圖折疊成空間幾何體，余弦定理解三角形的應(yīng)用，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【答案解析】本題首先可以根據(jù)將化簡為，然后根據(jù)基本不等式即可求出最小值.【題目詳解】因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，即、時取等號，故答案為：.【答案點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)基本不等式求最值，基本不等式公式為，在使用基本不等式的時候要注意“”成立的情況，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.14、【答案解析】由題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)已知條件，列出方程組，求得的值，利用求和公式，

13、即可求解【題目詳解】由題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，因?yàn)?，即，解得，所?【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，及前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，正確求解首項(xiàng)和公比是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題15、【答案解析】先對函數(shù)f（x）求導(dǎo)，再根據(jù)圖象在（0，f（0）處切線的斜率為4，得f（0）4，由此可求a的值.【題目詳解】由函數(shù)得，函數(shù)f（x）的圖象在（0，f（0）處切線的斜率為4，.故答案為4【答案點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)曲線上在某點(diǎn)切線方程的斜率求參數(shù)的問題，屬于基礎(chǔ)題16、【答案解析】取中點(diǎn)，連結(jié)，推導(dǎo)出平面平面，從而點(diǎn)在線段上運(yùn)動，作于，由，能

14、求出線段長度的取值范圍【題目詳解】取中點(diǎn)，連結(jié)，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)、分別是棱、的中點(diǎn)，平面平面，是側(cè)面正方形內(nèi)一點(diǎn)（含邊界），平面，點(diǎn)在線段上運(yùn)動，在等腰中，作于，由等面積法解得：，線段長度的取值范圍是，故答案為：，【答案點(diǎn)睛】本題考查線段長的取值范圍的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析.【答案解析】（1）令，利用可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，由此可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）求得，利用裂項(xiàng)相消法求得，進(jìn)而可得出結(jié)論.【題目詳解】（1）令，當(dāng)時，；當(dāng)時，則，故；（

15、2），.【答案點(diǎn)睛】本題考查利用求通項(xiàng)，同時也考查了裂項(xiàng)相消法求和，考查計(jì)算能力與推理能力，屬于基礎(chǔ)題.18、 (I)詳見解析；(II) 2e【答案解析】(I)求導(dǎo)得到f(x)=ex-a，討論a0和a0兩種情況，得到答案.(II) f12=e-12a-52b0，故a+5b2e，取a=3e4，b=5e4，求導(dǎo)得到單調(diào)性，得到fxmin=f12=0，得到答案.【題目詳解】(I) f(x)=ex-ax，f(x)=ex-a，當(dāng)a0時，f(x)=ex-a0恒成立，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)a0時，f(x)=ex-a=0，x=lna，當(dāng)x-,lna時，fx0函數(shù)單調(diào)遞增.綜上所述：a0時，fx在R上單調(diào)遞增；a0時

16、，fx在-,lna上單調(diào)遞減，在lna,+上單調(diào)遞增.(II) f(x)=ex-ax-bx2+10在x0,+上恒成立；f12=e-12a-52b0，故a+5b2e，現(xiàn)在證明存在a,b，a+5b=2e，使fx的最小值為0.取a=3e4，b=5e4，（此時可使f12=0），f(x)=ex-a-bxx2+1,f(x)=ex-bx2+1x2+1，b=5e41，故當(dāng)x0,+上時，x2+1x2+11,ex1，故f(x)0，fx在x0,+上單調(diào)遞增，f12=0，故fx在0,12上單調(diào)遞減，在12,+上單調(diào)遞增，故fxmin=f12=0.綜上所述：a+5b的最大值為2e.【答案點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性，函數(shù)

17、的最值問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.19、（1）（2）證明見解析【答案解析】（1）根據(jù)橢圓的定義可得，將代入橢圓方程，即可求得的值，求得橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程，代入橢圓方程，求得直線和的方程，求得和的橫坐標(biāo)，表示出，根據(jù)韋達(dá)定理即可求證為定值.【題目詳解】（1）因?yàn)椋蓹E圓的定義得，點(diǎn)在橢圓上，代入橢圓方程，解得，所以的方程為；（2）證明：設(shè)，直線的斜率為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，消去，整理得，所以，直線的直線方程為，令，則，同理，所以：，代入整理得，所以為定值.【答案點(diǎn)睛】本小題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查橢圓中的定值問題，屬于中檔題.2

18、0、（1）；（2）16.【答案解析】（1）將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程即可；（2）利用極徑的幾何意義，聯(lián)立曲線，直線，直線的極坐標(biāo)方程，得出，利用三角形面積公式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)，得出的面積最小值.【題目詳解】（1）曲線：，即化為直角坐標(biāo)方程為：；（2），即同理當(dāng)且僅當(dāng)，即（）時取等號即的面積最小值為16【答案點(diǎn)睛】本題主要考查了極坐標(biāo)方程化直角坐標(biāo)方程以及極坐標(biāo)的應(yīng)用，屬于中檔題.21、（1）；（2）證明見詳解.【答案解析】（1）將不等式的解集用表示出來，結(jié)合題中的解集，求出的值；（2）利用柯西不等式證明.【題目詳解】解：（1），因?yàn)榈慕饧癁?，所以，；?）由（1）由柯西不等式，當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立【答案點(diǎn)睛】本題考查了絕對值不等式的解法，利用柯西不等式證明不等式的問題，屬于中檔題.22、（1