押題14圓錐曲線的綜合—運(yùn)算過關(guān)擁抱你（解析版）

1、押題14圓錐曲線的綜合運(yùn)算過關(guān)擁抱你密押點(diǎn)睛【多項(xiàng)選擇】（2022太原第五中學(xué)高三模擬）拋物線E：y2=2px（p。）的焦點(diǎn)為八 過點(diǎn)廠7T且傾斜角為7的直線交拋物線于M、N兩點(diǎn)，MN =8.4（1）求拋物線E的方程；在拋物線E上任取與原點(diǎn)不重合的點(diǎn)4過A作拋物線的切線交X軸于點(diǎn)不點(diǎn)4在 直線l = -1上的射影為點(diǎn)C,試判斷四邊形AC3F的形狀，并說明理由.【解析】（1）設(shè)過點(diǎn)尸且傾斜角為g的直線方程為代入y2=2px（p0）乙2得3px + g = 0,假設(shè) M（不必）”（X2，%），貝1不+=3所以|四|=上|+%+ = 4 = 8,那么p = 2即拋物線的方程為V=4x（2）設(shè)那么在A

2、作拋物線E的切線為）-%=%（九一/），即x =匕盧+% k代入V=4x,整理得24y + 4% 以2=。2因?yàn)榇酥本€與拋物線相切，所以A = 4（4-4飯+r%）=0,即的（2）2 =0次= 0/ x所以過A的切線為%令k0 得 x = r。，即 3（一七,0）,所以 |BF|=|AF|=|AC|又ACIIBF ,所以四邊形ACB廠有一組對邊平行且相等，且鄰邊也相等所以四邊形ACBb為菱形.【押題理由】L圓錐曲線的綜合問題是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，常見的熱點(diǎn)題型有：范圍、 最值問題，定點(diǎn)、定值問題，探索型問題等.2.以解答題的壓軸題形式出現(xiàn)，難度較大，重 在提升邏輯推理、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心

3、素養(yǎng),考查數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算的 核心素養(yǎng).【考前秘笈】1.求解圓錐曲線中最值、范圍問題的主要方法（1）幾何法:假設(shè)題目中的條件和結(jié)論能明顯表達(dá)幾何特征和意義,那么考慮利用圖形性質(zhì)數(shù)形結(jié) 合求解.代數(shù)法:假設(shè)題目中的條件和結(jié)論能表達(dá)一種明確的函數(shù)關(guān)系，或者不等關(guān)系，或者參圖1圖2己知這些折痕所圍成的圖形是一個(gè)橢圓.假設(shè)取半徑為26的圓形紙片，設(shè)定點(diǎn)F到圓心E 的距離為2,按上述方法折紙.以點(diǎn)后所在的直線為x軸，線段所的中垂線為），軸，建立 坐標(biāo)系，求折痕所圍成的橢圓。（即圖1中“點(diǎn)的軌跡）的標(biāo)準(zhǔn)方程.經(jīng)過橢圓。的左焦點(diǎn)乙作直線/,且直線/交橢圓。于RQ兩點(diǎn)，問x軸上是否存在一點(diǎn) M,使

4、得福詼為常數(shù)，假設(shè)存在，求出坐標(biāo)及該常數(shù)，假設(shè)不存在，說明理由.【解析】（1）如圖，以此所在的直線為不軸，F(xiàn)E的中點(diǎn)。為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，由題意可知+|ME|=|崗=24 |跖| = 2,所以加點(diǎn)軌跡是以RE為左右焦點(diǎn)，長軸長2a = 26的橢圓，因?yàn)?c = 2, 2 = 26,所以c = l, 4 = 那么/=2 ,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為二+反=1; 32由題知，6（T,。），假設(shè)存在點(diǎn)“億0）,使得橋瓶為常數(shù)，當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為y = A（x+l）,。（冷*）,。（%，%），y = k（x + l）那么聯(lián)立方程I/2得（2 + 3攵2 口2 + 6

5、攵2% + 3攵2 6 = 0 ,+ = 1 32由“6k23%26所以一布因?yàn)椤?（不 一，,yMQ = （x2-t,y2） 所以 MP 詼=（% ，）（%2，）+必為=（% 一，）。2一，）+ 女2（%1 +1）（% +1）=（入D儀+小% +%） + /+/ =（匕置：一一十小/d i 7 2 g(2/)(2 + 3攵2) (4fH) 4,H(6，-1)左-623322 cl 3 f 廣=f t =廣 + 2,r2 + 3攵22 +3k23 2 + 3攵 2 TOC o 1-5 h z _ _16因?yàn)榧友獮槌?shù)，故/上必1 4 +飛與k無關(guān), i 十-3 2 + 3產(chǎn)164 11所以 4

6、/ + = 0,即，=,此時(shí) MPMQ =；339所以，當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線/的方程為x = -1,此時(shí)P -1，+-1,-當(dāng)/ = _&時(shí)，MP.M2 = (l + z)2- = -, 339綜上，在x軸上存在一點(diǎn)加(-1,0),使得京A血為常數(shù)，這個(gè)常數(shù)為39數(shù)與新參數(shù)之間的等量關(guān)系等,那么利用代數(shù)法求參數(shù)的范圍.求定值問題的思路方法思路:求解定值問題的基本思路是使用參數(shù)表示要解決的問題，然后證明與參數(shù)無關(guān)，這 類問題選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的.方法:從特殊入手，求出定值,再證明這個(gè)值與變量無關(guān);直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算推理的 過程中消去變量,從而得到定值.求定點(diǎn)問題的解題方法動(dòng)直

7、線1過定點(diǎn)問題:設(shè)動(dòng)直線方程（斜率存在）為y=kx+t,由題設(shè)條件將t用k表示為 t二mk,得y=k （x+m）,故動(dòng)直線過定點(diǎn)（-m, 0）.動(dòng)曲線C過定點(diǎn)問題：引入?yún)⒆兞拷⑶€C的方程，再根據(jù)其對參變量恒成立,令其系數(shù) 等于零，得出定點(diǎn).證明問題代數(shù)傳化法：圓維曲線中的證明問題多涉及幾何量的證明，比方涉及線段或角相等以及位置 關(guān)系等，證明時(shí)，常把幾可量用坐標(biāo)表示，建立個(gè)變量的函數(shù)，用代數(shù)方法證明.探究、存在性問題存在性問題的解法:先假?zèng)]存在，用待定系數(shù)法設(shè)出，列出關(guān)于待定系數(shù)的方程組，推證滿 足條件的結(jié)論，假設(shè)方程組有買數(shù)解。元營（點(diǎn)、直線、面線或參數(shù)）存在:否那么，元素（點(diǎn)、直 線、曲

8、線或參數(shù)）不存在。要注意的是：（1）當(dāng)條件和絕論個(gè)一時(shí)要分類河論：（2）當(dāng)給出結(jié)論 而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件；（3）當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法 解顧報(bào)難時(shí)，要開放思維，采取另外合適的方法.押題精選1.（押考向最值問題）（2022海南中學(xué)模擬預(yù)測）點(diǎn)T是圓A：（x-爐+ /8 = 0上的 動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)3（-1,0）,線段8T的垂直平分線交線段AT于點(diǎn)S,記點(diǎn)S的軌跡為曲線C.求曲線C的方程；過B（-1,0）作曲線。的兩條弦。石，MN,這兩條弦的中點(diǎn)分別為P, Q,假設(shè)詼.耐=0, 求VHP。面積的最大值.【解析】 圓A:（x-1y + V=8的圓心A。,。），半徑= 2&，

9、依題意，|S8|=|ST|,+ST-SA=AT= 2y/22=AB,即點(diǎn)S的軌跡是以& A為左右焦點(diǎn)，長軸長為20的橢圓， 短半軸長人= 1 ,所以曲線。的方程為E+y2=l.2由瓦加=0知I，DE工MN ,直線。E,A/N不垂直坐標(biāo)軸，否那么點(diǎn)P,。之一與點(diǎn)8重 合，不能構(gòu)成三角形，即直線的斜率存在且不為0,設(shè)直線QE方程為：丁 =攵。+1）,（v 攵（x + ）由2一12 1消去y并整理得：（2攵2+12+4入+ 2公_2 = 0,設(shè)。（不凹）回口內(nèi)），OE中 r+2y = 2點(diǎn) P（Xp, yp） 9因此,因此,那么有天+/=Y，XP=-, %=注71 -2 尸+102 公+ 12K+1

10、陽小梟+（云3直線MN的斜率為-；，同理可得|3Q|二K直線MN的斜率為-；，同理可得|3Q|二KklR+l公+ 2 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark8 o Current Document VBP0 面積 SaBPQ=BPBQ=.- =22 2女 +1 Z +24(|+)2 +2I k |Q1令，二|攵|+可22,當(dāng)且僅當(dāng)|%|=1時(shí)取那么Q 4 + 2 42 ,t(2函數(shù)y = 4% + 在2,+8)上單調(diào)遞增，即當(dāng)r=2時(shí)，4，+ =9,tI，/min所以當(dāng)U2,即人士1時(shí)，-.二，37所以VBR2面積的最大值是，222.（押考向最值問題）（2022襄

11、陽市第五中學(xué)二模）橢圓C: = += l（b0）的左 a- b頂點(diǎn)是A,右焦點(diǎn)是尸（點(diǎn),0）,過點(diǎn)尸且斜率不為。的直線與。交于P,。兩點(diǎn)，B為線段AP的中點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線AP與60的斜率之積為乙（1）求橢圓。的方程； 設(shè)直線，為圓/ + 丁=1的切線，且,與。相交于S, 7兩點(diǎn)，求麗.歷的取值范圍.【解析】（1）設(shè)橢圓。的右頂點(diǎn)是4,連接RT,因?yàn)?, O分別是B4, A4的中點(diǎn)，所以H9PA,因?yàn)橹本€AP與8。的斜率之積為-；，所以原0女=J22設(shè)P（x,yO）,那么與+獸=1 er o因?yàn)?a。)，A3,0),所以b2a2b2b2x0 + a x0-aa2所以所以c = 42,解得a

12、2 =b2 +c222所以橢圓C的方程為工+匕=1.4222所以橢圓C的方程為工+匕=1.42（2）設(shè)S&j）, ?。?%）當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為丁 =辰+，,當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為丁 =辰+，,聯(lián)立y = kx-t,22土 + J42整理得（2左2 + i）x2 + 41ax + 2產(chǎn)一 4 = 0 ,整理得（2左2 + i）x2 + 41ax + 2產(chǎn)一 4 = 0 ,那么A = 8（4廿產(chǎn)+2）0,那么4尸+ 2,4kt% + M =121+2左22-4那么 y % =（2 +，）（依2 +/）= k2x1x2 + kt。1+ %） + j 7 2t2

13、4 4kt 2/一4公匕；+ kt- + 廣二一； 2k2 + 12嚴(yán) +1 2嚴(yán) +1又直線/為圓/ + 丁=1的切線,那么亦=1即2r 4 t2-4k2 3/4公42r 4 t2-4k2 3/4公4A2r+12/+12公+1F+i _ i 2FTT = ；2 -E又因?yàn)镺SOT =k2+12r+12 2（2左 2+1）10,且 +W = l + 4因?yàn)閨770|=|77V|,所以%,+%=(),即+ ” = ，所以(X +2)(%-1) + (9+2)(乂 T)= 0,即(玉 +2)(生 +加一 1) + (/ +2)(而+m-l) = 0 .ll t、i 4z 8 /r i.、 8Azz

14、z . z .、 八所以 2Ar+ (2k +m- 1)7 +4(m-l) = 0 ,1+4K1+4/整理得：（2k + 1）（加一2% 1） =。，所以2攵+ 1= 0或m-2左-1 = 0,當(dāng)加=24+ 1時(shí),直線/:y=以+2） + 1過點(diǎn)T（-2,1）,不合題意，故舍去.所以2Z + 1 = （）,即攵= -g,即直線/的斜率是定值.5.（押考向.證明問題）（2022吉林長春三模）橢圓。的離心率為正，長軸的兩個(gè)端2點(diǎn)分別為 A（2,0）, 5（2,0）.求橢圓C的方程；過點(diǎn)（1,。）的直線與橢圓。交于M、N （不與A、B重合）兩點(diǎn)，直線AM與直線x = 4交于 點(diǎn)。，求證：B、N、。三

15、點(diǎn)共線.【解析】（1）由長軸的兩個(gè)端點(diǎn)分別為4-2,0）, 8（2,0）,可得。=2,由離心率為可得 =立，c = VL2 a 2又=從+。2,解得8 = 1,2橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 + /=1；4由題可知假設(shè)/斜率存在，且斜率不為零，故設(shè)/的方程為1 =沖+ 1,設(shè)加但，X）,陽，%），x = my由 1)相交于4C、。兩點(diǎn)，求證:恒。=忸。V2【解析】設(shè)橢圓”的方程為彳田一（拄。），代入點(diǎn)3兩點(diǎn)，與橢圓a交于1),V2 v2得2=2,所以橢圓M的方程為匕+上=1.82聯(lián)立聯(lián)立y = mx+n金+3=1(，1)消去y可得(1 + 4根2)Y+8/板 + 42 4萬=0 ,Smn1 + 4m2那么無3 = 一4mn1 + 4m2（2）直線/不與1軸垂直，設(shè)Aj）, 5（%,%），線段AB的中點(diǎn)N（e，%），設(shè)。（乙,%），。（%5，%），線段 C。的中點(diǎn)。（天，”），y = iwc-n聯(lián)立蘭+ - 1， 14消去 y 可得(1 + 4/%2)x2+8加公 + 42 1 = 0 ,所以匕+毛=-Sm