3.4向量組的極大線性無關(guān)

1、3.4 向量組的極大線性無關(guān)組二、向量組的秩一、極大線性無關(guān)組的概念三、如何求向量組的極大無關(guān)組及線性組合關(guān)系(內(nèi)容的先后順序作了較大調(diào)整) 一、極大線性無關(guān)組的概念上一節(jié)討論了向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念，其中線性無關(guān)也稱為線性獨(dú)立。系數(shù)及右端項(xiàng)構(gòu)成行向量，則線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念實(shí)反映了線性方程組中各個方程是否關(guān)聯(lián)或是否獨(dú)立。本節(jié)將討論如果一個給定的向量組線性相關(guān)，那么，(1) 該向量組中到底有多少個向量是獨(dú)立的？(2) 具體哪些向量是獨(dú)立的？(3) 其余的向量是如何由這些獨(dú)立向量組合出來的？如果以線性方程組中各方程的一、極大線性無關(guān)組的概念定義如果向量組 中的一個部分組滿足:(1)

2、 線性無關(guān)；(2) 向量組 中的每一個向量都可由線性表示，(即在 中再加一個向量就相關(guān).)則稱 為 的(一個)極大線性無關(guān)組。 P84 定義 3.6 則 是一個極大線性無關(guān)組；等都是極大線性無關(guān)組。由此可見，一個向量組的極大線性無關(guān)組不是惟一的。 需要討論的問題(1) 一個向量組中各極大線性無關(guān)組的向量個數(shù)是否惟一？(2) 如何求出向量組的一個極大線性無關(guān)組？如何將其余的向量表示為極大線性無關(guān)組的線性組合？設(shè)有兩個向量組1. 向量組之間的線性表示定義若向量組()中的每個向量都能由向量組(I)線性表示，則稱向量組()能由向量組(I)線性表示。此時，對每個向量使得存在數(shù)二、向量組的秩 P81 定義

3、 3.5 部分 若記即有其中 n 為向量的維數(shù)。則所謂的向量組()能由向量組(I)線性表示意味著使得存在矩陣1. 向量組之間的線性表示二、向量組的秩1. 向量組之間的線性表示二、向量組的秩例如設(shè)向量組 能由 線性表示：則有1. 向量組之間的線性表示定理設(shè)向量組 可由 線性表示，二、向量組的秩則向量組 線性相關(guān)。若換句話說，若 線性無關(guān)，則證明(略)*推論n + 1 個 n 維向量一定線性相關(guān)。基本向量 線性表示因?yàn)槿魏?n 維向量都可由 n 維 P82 定理 3.3 (定理3.3的直觀解釋) P84 推論1 P86 1. 向量組之間的線性表示2. 向量組之間的等價定義若向量組 與向量組 能夠相

4、互線性表示 ，此時, 若記其中 n 為向量的維數(shù)。則存在矩陣 和 使得二、向量組的秩任何一個向量組與它的極大線性無關(guān)組是等價的。例如則稱這兩個向量組等價。 P81 定義 3.5 部分 1. 向量組之間的線性表示二、向量組的秩性質(zhì)(1) 反身性，(2) 對稱性，(3) 傳遞性，即向量組自己與自己等價；若 與 等價，(I)()則 與 等價；(I)()若 與 等價，且 與 等價，()(I)()()則 與 等價。(I)()2. 向量組之間的等價 P82 1. 向量組之間的線性表示二、向量組的秩定理兩個等價的向量組中各自的極大線性無關(guān)組所含的向量2. 向量組之間的等價個數(shù)相等。證明等價等價等價等價向量組

5、極大線性無關(guān)組向量組極大線性無關(guān)組 補(bǔ) 預(yù)備 定理 1. 向量組之間的線性表示二、向量組的秩定理兩個等價的向量組中各自的極大線性無關(guān)組所含的向量2. 向量組之間的等價個數(shù)相等。證明即 可由 線性表示，因此同理即得且 線性無關(guān)，1. 向量組之間的線性表示二、向量組的秩推論(1) 若兩個線性無關(guān)的向量組等價，則它們所含的向量2. 向量組之間的等價個數(shù)相等。(2) 在一個給定的向量組中，各個極大線性無關(guān)組所含的向量個數(shù)相等。組的向量個數(shù)是惟一的。即一個向量組中各極大線性無關(guān) P84 推論2 P85 定理 3.41. 向量組之間的線性表示2. 向量組之間的等價二、向量組的秩定義一個向量組中的極大線性無

6、關(guān)組所含的向量個數(shù)稱為3. 向量組的秩向量組的秩。定理 等價的向量組秩相等。 P85 定義 3.7 P88 定3.5 (重述前面的預(yù)備定理) 注意 (1) 對于向量組：等價 秩相等。 (2) 對于同型矩陣：等價 秩相等。 設(shè)定理4. 向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系二、向量組的秩的秩則的秩。通常說，矩陣的秩等于行秩等于列秩(行秩)(列秩) 此定理給出了一種求向量組的秩的方法。 P88 定理 3.7 證明(1) 首先證明一個引理：化為標(biāo)準(zhǔn)形000其中000可逆矩陣 P 和 使得事實(shí)上，對于矩陣下面利用反證法證明可逆矩陣 P 和 使得若列向量 線性無關(guān)，則存在0000000即一定存在假設(shè) 則有0由 Q 可

7、逆，有 不全為零，這與 線性無關(guān)矛盾，因此引理成立。證明(1) 首先證明一個引理：可逆矩陣 P 和 使得若列向量 線性無關(guān)，則存在00證明它的一個極大線性無關(guān)組為則存在可逆0記為000(2) 設(shè)由矩陣 A 的列構(gòu)成的向量組 的秩為 s，對矩陣 根據(jù)引理一定存在可逆陣 和 使得矩陣 R，使得000即得的秩 .進(jìn)一步有的秩 .4. 向量組的秩與矩陣秩的關(guān)系二、向量組的秩推論設(shè) A 為 mn 階矩陣，且 則有(1) 當(dāng) r = m 時，A 的行向量線性無關(guān)，當(dāng) r m 時，A 的行向量線性相關(guān)；(2) 當(dāng) r = n 時，A 的列向量線性無關(guān)，當(dāng) r n 時，A 的列向量線性相關(guān)；特別地，方陣 A

8、的行(列)向量線性無關(guān)的充要條件是 P88 推論 三、如何求向量組的極大無關(guān)組及線性組合關(guān)系 首先介紹幾個引例，用來掌握在什么情況下，可以非常容易地知道一個列向量組的秩、極大線性無關(guān)組以及它們之間的線性組合關(guān)系。引例1(1) 向量組的秩為 2;(2) 極大線性無關(guān)組為(3) 組合關(guān)系引例2(1) 向量組的秩為 2;(2) 極大線性無關(guān)組為(3) 組合關(guān)系(1) 向量組的秩為 3;(2) 極大線性無關(guān)組為引例3(3) 組合關(guān)系三、如何求向量組的極大無關(guān)組及線性組合關(guān)系1. 原理定理設(shè)矩陣 A 經(jīng)過行變換得到矩陣 B，矩陣 B 的列向量有相同的線性組合關(guān)系。證明設(shè)則存在可逆矩陣 P，使得若有若有即

9、方程 與 同解，故 與 有相同的線性組合關(guān)系。則矩陣 A 的列向量與 P86 定理 3.6 三、如何求向量組的極大無關(guān)組及線性組合關(guān)系1. 原理2. 方法(1) 無論所給的向量組是行向量還是列向量，都按照列向量排列，并構(gòu)成矩陣 A ；(2) 對矩陣 A 進(jìn)行初等行變換得到行標(biāo)準(zhǔn)形矩陣 B ；(3) 根據(jù)矩陣 B 的秩及其列向量的線性組合關(guān)系，直接得出原向量組的秩、極大線性無關(guān)組以及線性組合關(guān)系。例設(shè) 求(1) 向量組的秩;(2) 向量組的極大線性無關(guān)組；(3) 將其余向量表示為極大線性無關(guān)組的線性組合。解行變換(1) 向量組的秩為 2;(2) 極大線性無關(guān)組為(3) 線性組合關(guān)系為行變換解行變換例設(shè)(1) 向量組的秩;(2) 向量組的極大線性無關(guān)組；(3) 將其余向量表示為極大線性無關(guān)組的線性組合。求 由于極大線性無關(guān)組是不惟一的，因此可以根據(jù)要求選擇不同的極大線性無關(guān)組，(1) 向量組的秩為 2;(2) 極大線性無關(guān)組為(3) 線性組合關(guān)系為行變換行變換，此時只需按要求對矩陣?yán)^續(xù)進(jìn)行比如：極大線性無關(guān)組為線性組合關(guān)系為第一種選擇行變換行變換第二種選擇極大線性無關(guān)組為線性組合關(guān)系為 事實(shí)上，不妨假設(shè) “代表” 的是兩個線性方程， (僅以 為例) 附 P82 定理