高中數(shù)學(xué)高考專題復(fù)習(xí)多參數(shù)問題的解法

1、多參數(shù)問題的解法常用方法有：一、分離變量法。若在等式或不等式中出現(xiàn)兩個變量，其中一個變量的范圍已知，另一 個變量的范圍為所求，且容易通過恒等變形將兩個變量分別置于等號或不等號的兩邊，則可將恒成立問題 轉(zhuǎn)化成函數(shù)的最值問題求解。例1.已知當(dāng)xwR時，不等式a+cos2x5 _4sinx+J5a-4恒成立，求實數(shù) a的取值范圍。分析：在不等式中含有兩個變量a及x,其中x的范圍已知(xWR),另一變量a的范圍即為所求，故可考慮將a及x分離。解：原不等式即：4sinx+cos2x3 即 J5a - 4 a+2 TOC o 1-5 h z a-2 00,a20.14上式等彳于5a4之0 或3,解得一 a

2、055a-4(a -2)2說明：注意到題目中出現(xiàn)了sinx及cos2x,而cos2x=1 -2sin2x,故若把sinx換元成t,則可把原不等式轉(zhuǎn)化成關(guān)于t的二次函數(shù)類型。另解(先確定主元)：a+cos2x5 -4sinx+ J5a -4即a+1 -2sin2x0,( t w -1,1)恒成立。設(shè)f(t)= 2t2 4t+4 -a+ J5a-4則二次函數(shù)的對稱軸為t=1,二f(x)在1, 1內(nèi)單調(diào)遞減。二 只需 f(1)0,即 x15a -4 a 2.(下同)例2 .已知函數(shù)f(x)在定義域(-1上是減函數(shù)，問是否存在實數(shù)k ,使不等式 f(k -sinx) f(k2 -sin2x)對一切實數(shù)

3、x恒成立？并說明理由。分析：由單調(diào)性與定義域，原不等式等價于k-sinxk2-sin2x 1對于任意xCR恒成立，這又等價于 TOC o 1-5 h z ,22k (sinx - 1 )2max= 9 ,424即 k2,(4)由(3)、(4)求交集，得k= -1,故存在k= -1適合題設(shè)條件。說明：抽象函數(shù)與不等式的綜合題常需要利用單調(diào)性脫掉函數(shù)記號。二、選擇恰當(dāng)?shù)膮?shù)作為主元(其余視為常量)例3、已知f(x)是定義在-1,1上的奇函數(shù)，且f(1)=1 ,若a,bC -1,1 ,a+bw0有f (a)+f (b)0.a b(1)判斷函數(shù)f(x)在-1,1上是增函數(shù)，還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論；

4、.一一11(2)解不等式f(x+-) 0,x1 -x2 0,X1( -x2)X1( -1x2 )所以f (x1)-f (X2 )V0,即f (X1)Vf (X 2).所以函數(shù)f(x)在-1,1上是增函數(shù).(2)因為函數(shù)f(x)在-1,1上是增函數(shù)，所以不等式11 一 一,f(x+ 1)f()等價于不等式組:2 x -11-1 , x 1,x -1-1X - x -12131 一 . 一 ,3 2;由得*V-1,或1*一.所以原不等式的解集為x|- 3 x -1.2(3)因為函數(shù)f(x)在-1,1上都是增函數(shù)，且 f(1) = 1，故對所有的xC -1,1,有f(x) 1 成立，即 m 2-2a

5、m0.記g(a)=-2am+m 2,對所有的a C -1,1, g(a) 0成立，只需g(a)在-1,1 上的最小值大于等于0.一 fg(1)之 0,- 一即解得：mW-2或m=0,或m2.kg(1) ,故m的取值范圍為 mW-2,或m=0 ,或m2.注：第(1)中的a,b可分別視為Xi,X2,第(3)涉及到3個變量x,m,a,對于右邊的兩個參數(shù)m,a要善1選擇恰當(dāng)?shù)膮?shù)作為主元，運用一次函數(shù)的單調(diào)性。 例4、 已知關(guān)于X勺方程x4+ax3+bx2+ax + 1 =0(a,b w R )有實數(shù)根，貝U a2+b2的最小值為分析:化為x3x ax2bx41= 0a,b為主兀，x視為常數(shù)，看作關(guān)于

6、a,b的直線方程b2x4 1x4 1X 2 X4 X X_Jx6 +3x4 +x2x2 +工 +3t2t 3、2111+3. 1tIt J4 t -2 -5t2法二：t 3t 3 -6 t 399=t 3-6 t 一2t2類題:1、方程x2+ax+b=0有不小于2的實根，則(a2+b2羽最小值是分析：(a2+b2)x= x47j4XX2 1222x2 1 -2 x2 1 1 16x2 12、1 a已知 f(x)=x +ax+ = + _+b,(x w RMx.0 右頭數(shù) a,b 使得 f (x)=0有頭根, x x則a2+b2的最小值為C 1, D 2分析：選擇1 .一 2 .一1a I x

7、b-2=t at b2,t = x x:-2(a2+b2 ”勺最小值=I3 |的最小值2Ju3)川=t2 +1W5士 )的最小值 u9.4=u+- -6的取小值=三、根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、值域特征或不等式的解集特征對多參數(shù)分步討論例5、已知函數(shù)f (x) = a1 ,一一(x A 0) , (1)右f (x) 2x在1 , +9 )上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍;(2)若函數(shù)y = f (x)在-1解答：(1)a - 2x在xxm, n上的值域是m,(1,十8)上恒成立，即n(m手n),求實數(shù)a的取值范圍。1 , ,1a2x十一恒成立，設(shè)h(x)=2x+-上恒成立 h(x) = 2 -二 h(x)在

8、1,+)上單調(diào)遞增二，a的取值范圍為(笛，3), (2)，m = f(m), n = f (n)，, f (x)2.即x -ax +1=0有兩個不相等的正根hmin(x) =h(1)故a h(1)即 a m 0時，由(1)知f (x)在(0, +8)上單調(diào)遞增 =x有兩個不相等的正根a 0m, n例6、已知不等式x2 -3x+t0的解集為x1xm, mW R 求t, m的值；(2)若f(x)= f+ax+ 4在(華,1)上遞增，求不等式 log a ( -mx2+3x+24) 1, a 2 log2a ( -mx2 +3x+2 力=log a( -2x2+3x)0=log a 1J 22x -

9、3x 0一 2. 一2x -3x 1 03 0 : x :2T 1 x 1或 x :2所以 0 x 或 1x2成立Sk 一 c技巧與方法：本題屬于探索性題型,的策略，并靈活運用分類討論的思想是高考試題的熱點題型在探討第2問的解法時，采取優(yōu)化結(jié)論 即對雙參數(shù)k,c輪流分類討論，從而獲得答案.1 、 ,口11 八*解(1)由 Sn=4(1)，得 Sn 書=4(1 _) = Sn +2, (n N )2n2n 2(2)要使SkC2,只要Sk - CC ( Sk -2)20, (kC N )故只要一Sk- 2cSk, (kC N )222一 ,33所以-Sk- 2 -Si - 2=122又Sk2 時，

10、因為S2 2 = c,由&+1(kC N )得22Sk - 2 V Sk+1 - 2故當(dāng)k2時，-Sk_ 2 c,從而不成立,222當(dāng) c=3 時，因為 S1=2, S2=3,所以當(dāng)k=1, k=2時，cv 4不成立，從而不成立一.3_1333因為一S3 2 c ,又一& 一 2V Sk+1 22422, 一 3所以當(dāng)k3時，-Sk - 2c,從而成立“2綜上所述，不存在自然數(shù)c, k,使Sk*c A 2成立Sk -c四、根據(jù)相關(guān)參數(shù)的聯(lián)系引入新參數(shù)以減少參數(shù)的個數(shù)例8.設(shè)直線l過點P (0, 3),和橢圓-+匕 =1順次交于a、B兩點，試求 生的取值范圍.94PB TOC o 1-5 h z

11、 APxA分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：;=-，但從此后卻一籌莫展，問題的根源在于對題目PBXb的整體把握不夠.事實上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個(或某幾個) 參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式(或方程)，這只需利用對應(yīng)的思想實施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個不等關(guān)系一， 、一 APXa思路1：從第一條想法入手， =-2已經(jīng)是一個關(guān)系式，但由于有兩個變量Xa,Xb,同時這兩個PBXb變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第3個變量一一直線 AB的斜率k.問題就轉(zhuǎn)化為如何將 xA,xB轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的表達式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去 y得出關(guān)于x的一元二次方程，其求根

12、 公式呼之欲出.AP1解1 :當(dāng)直線l垂直于x軸時，可求得 =;PB 5當(dāng)l與x軸不垂直時，設(shè)A(X, yi ) B(X2, y2),直線l的方程為：y = kx + 3 ,代入橢圓方程，消去y得(9k2 +4X2 +54kx+45 = 0,解之得x12-27k -6 9k2 -59k2 4因為橢圓關(guān)于y軸對稱，點P在y軸上，所以只需考慮 k 0的情形.當(dāng)k 0時,-27k 6 9k2-5xi =29k2 4，乂2-27k -6 9k2 -529k2 4所以APPBxx2-9k 2 ,9k2 -5 ,=19k 2.9k2 -518k9k 2 9k2 -5=1 -189 2 9- 5k2由 A

13、=(54k)2 180(9k2 +4 泛 0,解得 k2 ,9181所以 _ 1 W1 ,= 5,92324 k, 361 八 36從而有 4 M； M ,所以4九+ + 2M ,45k2 20551M九M5 .結(jié)合0 M九41得一M八M1 .5綜上,.AP , 1一1 一 PB 5例9、(2005年湖南高考題)已知函數(shù) f(X)=lnX, g(X)aX2+ bX, aw0.2(I)若b=2,且h(X)=f(X)g(X)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；(n)設(shè)函數(shù)f(X)的圖象C1與函數(shù)g(X)圖象C2交于點P、Q,過線段PQ的中點作X軸的垂線分別交 C1, C2于點M、N,證明C1在點M處

14、的切線與C2在點N處的切線不平行.121aX2 2x -1.斛：(I) b =2時，h(X) = In x aX 2x,則 h (x) = 一aX 2 = -2xx因為函數(shù)h(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以 h(x)0時，則ax2+2x 10有x0的解.當(dāng)a0時，y=ax2+2x 1為開口向上的拋物線，ax2+2x- 10總有x0的解；當(dāng)a0總有x0的解;則 =4+4 a0,且方程ax2+2x1=0至少有一正根.此時，1a0.綜上所述，a的取值范圍為(1, 0) U (0, +8).(II)設(shè)點 P、Q 的坐標(biāo)分別是(X1, y1)，, y2), 0X11.x11 xix11 tx1令 r(t)

15、= In t-t1 t11.則。)=- t42(t 1)2(t-1)22t(t 1)2因為t 1時，r(t) 0,所以r(t)在1,收)上單調(diào)遞增.故r(t) r=0.則ln t a 2(t -1).這與矛盾，假設(shè)不成立.1 t故C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行.注：本題中根據(jù)0K 0 , t 1,故當(dāng)sin x =t時，f (x)達到其最小值g(t),即一 3 一 一g(t) =4t3 -3t +3.(II)我們有 gt)=12t2 -3 = 3(2t+1)(2t-1),-1 t1.列表如下：t1 -1,-12J12(-器J12八) l-,112 )g(t)+00+g(t)E1極

16、大值g L 1(北2JE極小值g 1 - Ifgi2j由此可見，一 、f 11，i一 、r 1 1 vg(t)在區(qū)間I-1,-1小口1,1單調(diào)增加，在區(qū)間I-1,1單調(diào)減小，極小值為12； 12 J2 2 2)g丘極大值為g 1 - 1 = 4 .,23、1設(shè)函數(shù)f (x尸ax+bx +cx(a b c ),其圖象在點A(1,f (1), B(m, f(m)波t的切線的 3斜率分別為0, -a. (1)求證：0M衛(wèi)1, (2)若函數(shù)的遞增區(qū)間為Is,t】， a求s -t的取值范圍，(3)若當(dāng)x之k時(k是與a,b,c無關(guān)的常數(shù))，恒有f/(x)+a0,試求k的最小值。分析：1 f / x)=

17、ax2 2bx c, f/21 = a 2b c = 0, ： c - -a -2b, f m = am 2bm c - -a222bbam +2bm+c+a=0= A = 4b 4a(a+c)=4b +8ab 之 0n 之 0,或一 M2 a a,1a b c=一3設(shè)兩根為x1,x2,b 一 b 1.0 0,. f (x 州區(qū)間s,t=反2出s-t = x1-x=2 2b ：= 2,4a2b2bb 2 c一 0 2x-2 x 0 aa TOC o 1-5 h z /22 2b3 f x +a=ax 2bx a c ： 0,= x 一 x - a構(gòu)造新函數(shù)gib =(2x-2+x2是關(guān)于b的一

18、次或常數(shù)函數(shù)，對于0 Mb 1包成立。 aaaag 1 -0 口口 x2 2x-2 _0一即，.xM-J3-1 或 x 之避-1 = kmin=V3-1g 00 x2 04、設(shè)函數(shù)f (x) =mx-的圖象關(guān)于直線 y=x對稱.(1)求m的值； x -13、 若直線y=a(aCR)與f(x)的圖象無公共點，且 f (| t 2 |+ ) 2a + f (4a),求實數(shù)t的取值范圍.2解答：(1)由y =mx二2得x =)上2，f(x)=七2由已知得，x 1 y -mx -m一 一 1x 2f (x) = f (x): m =1 從而 f (x) =. (2)由(1)知，x -13f(x)=1+#1,即f (x)值域為(*,1) J (1,).由已知得：a=1 于x -1 TOC o 1-5 h z 33f(|t -2| ) 2a f(4a)= f(|t -2| ) 2 f (4) =4.22 3卜2|3 2713524即 |t 2| 十一 -a t -|t-2|3 -1222225、(2004 年高考遼寧卷(22)已知函數(shù) f (x) =ln(ex+a)(a A0