高中數(shù)學組合計數(shù)問題教學設計

1、學習必備歡迎下載簡單的組合計數(shù)問題浙江省鎮(zhèn)海中學沈虎躍【教學目標】【知識與技能】1、靈活應用分類相加原理與分步相乘原理進行計數(shù).2、掌握基本的組合數(shù)恒等變形 .【過程與方法】通過解決幾個簡單的組合計數(shù)問題的學習，使學生進一步熟練掌握解決簡單的組合計數(shù)問題的常用思考方法.【情感、態(tài)度價值觀】1、滲透解決問題從自然的想法出發(fā)，從簡單問題入手的基本原則.2、使學生表達清晰、思考有條理.3、通過引導學生主動參與分析解決問題，培養(yǎng)學生的探索精神，及鍥而不舍的精 神.【重點難點】重點：靈活應用分類相加原理與分步相乘原理進行計數(shù).難點：如何將問題進行適當?shù)姆诸惢蚍植?【突破方式】通過典型例題的師生互動分析、

2、共同解決，加深學生對兩個基本計數(shù)原理的理解； 通過引申變式訓練，進一步深化其應用.【教學策略】【教學順序】課題引入，方法展示，互動探究，方法構(gòu)建，練習鞏固，歸納小結(jié).【教學方法與手段】.采用師生互動的方式，在教師的引導下，學生通過思考、交流、討論、辨析，加深 學生對兩個基本計數(shù)原理的理解，體驗自主探索、合作交流的學習方式， 充分發(fā)揮學生的積極性與主動性.利用計算機輔助教學.【教學過程】一、課題引入本課我們主要通過共同解決幾個簡單的組合計數(shù)問題來進一步理解基本計數(shù)原理、掌握組合計數(shù)中一些常用方法與技巧。同學們最喜歡聽技巧，最好來“四兩撥千斤”，要知道如果用杠桿原理來做的話，你的運動位移是抬起高度

3、的2500倍，你以更長的位移換取更小學習必備歡迎下載的力。數(shù)學上大概也如此，想到用更簡潔的方法與技巧， 大概要付出更長的思考時間， 當然 數(shù)學上更長的思考時間可以在平時進行， 還是那句老話，“一份辛苦，一份收獲”。對于組合 數(shù)學我很欣賞 。不妨從一個簡單的例子來展示一下。學習必備歡迎下載二、方法展示【弓I例】n元集S=1,2,3，,n的子集個數(shù)為 。方法1:按照子集中含有元素的個數(shù)分類計數(shù)：n含有k個元素的子集有Ck （k=0,1,2,3,n）個，則共有子集Z C； = 2n。k 0其中揭示了組合計數(shù)中一個基本原理：分類相加原理，即完成一件事情可分成n類，n第i類有Mi種方式，則完成這一件事情

4、共有N =Z Mi種方式。i 1方法2:按照每一個元素的歸屬分步計數(shù)：設ACS,我們考慮，1三A或1乏A有2種方式，2WA或2正A有2種方式，一般地，k三A 或kA有2種方式，當1, 2, 3,，n這n個元素的歸屬確定，則子集 A中的元素也就確 定下來了，這樣共有 2m2m.m 2 = 2個不同的子集。其中揭示了組合計數(shù)中一個基本原理：分步相乘原理，即完成一件事情可分成n步，n第i步有M i種方式，則完成這一件事情共有N 二口 M i種方式。i 1以上兩種方式及其揭示的原理是組合計數(shù)中的兩個基本原理，在今后的計數(shù)中經(jīng)常用 到。當然對于一個關于 n的問題我們也可以從簡單做起、從小做起的角度考慮當

5、n=1時，子集個數(shù)為2個即0, 1當n=2時，子集個數(shù)為 4個即0, 1 , 2 , 1,2當 n=3 時,子集個數(shù)為 8個即 0, 1 , 2 , 1,2 , 3 , 1,3 , 2,3 , 1,2,3也就是說，我們只需將前一種方式排出，則下一種即可作出。方法3:遞推法計數(shù)：設n元集S=1,2,3,n的子集個數(shù)為an ,則a1 = 2 ,則n+1元集1,2,3,n+1的 子集個數(shù)為an書，同時這些子集可以分成兩類：第一類，不含n+1,有an個；第二類，含n+1,只需在每不含n+1的子集中添加n+1即可，這樣也有有an個。故an書=2an a1 = 2即 an = 2n n N三、互動探究【例

6、1】已知AU B=1,2,3, , n,則有序集合對（A, B）的個數(shù)為 方法1:（按A中的元素個數(shù)分類）：設|A|=k,則此時B的構(gòu)成如下： A中的每個元素可取也可不取，其余元素全取，故有序集合對（A, B）n的個數(shù)為 、Cnk 2k =（1 2）n = 3n k =0方法2:（分步而言）：（如圖）將 AUB分成AB、APB、B A互不相交的三個部分即分為三類，則 i可 以放在這三類中的任意一類（i=1,2,3,一, n）,故共有3n個有序集合對。對于元素i有iA,國A兩種選擇，又iWB, i更B兩種選擇，再除去i不在A,也不在B中的情形，即有（22 1）種方式（i= 1,2,3, , n）

7、,故共有（22 1）n = 3n 個有序集合對?！疽?】 已知 AU BU C=1,2,3, n,則三元有序集合組（A, B,C）的個數(shù)為。方法1:（按AUB中的元素個數(shù)分類）：設|AUB|=k,則C的選擇 方式有2k種，滿足|AUB|=k的集合對（A, B）有3k中，這樣故三元有序集學習必備歡迎下載n合組（A, B,C 的個數(shù)為 C Ck 3k 2k =（1+6）n =7n k 0方法2:（分步而言）：（如圖）恰好分成互不相交的7部分，故共有7n個有序集合對。 對于兀素i有iwA, iA兩種選擇，iwB, iWB兩種選擇，又iwC, iWC兩種選擇, 再除去i不在A,不在B中，也不在C中的

8、情形，即有（231）種方式（i = 1,2,3, ,n）,故 共有（23 -1）n =7n個有序集合對?！疽?2】已知 AU BU CU D=1,2,3, , n,則四元有序集合組（A, B,C,D）的個數(shù)為。n方法 1：（分類而言）：z Cnk -7k 2k =（1+14）n =15nk =0方法2:（分步而言）：（如圖）畫四個圓能行嗎？不行！（為什么肯定不行？）當然畫圖還可以，比如同【引申1】、【引申2】可知，故共有（24-1）n=15n個有序集合對?！疽?】已知A1UA2UU Ak=l,2,3, , n,則n元有序集合組（Ai, A2,，A.的個 數(shù)為。對于k較大時畫圖比較麻煩， 采

9、用方法2比較恰當，這樣可得共有（2k1）n個有序集合 對。數(shù)學歸納法四、方法構(gòu)建1、將問題恰當?shù)胤诸惢蚍植?、從簡單入手（包括簡單的想法、問題的特殊化等）五、練習鞏固【練習】用1, 2, 3, 4, 5, 6組成一個n位整數(shù)，其中數(shù)字 1出現(xiàn)偶數(shù)次有多少個?解:設1在n位整數(shù)中出現(xiàn)2i次（i =0,1,2,.n ）,2 nc2nn 5n.;I:s12 一(5 1)n (5-1)n6n 4n2 一 21出現(xiàn)偶數(shù)次附（遞推法）：設A=用1, 2, 3, 4, 5, 6組成一個n位整數(shù)，其中數(shù)字 的個數(shù)設 |A| = A，則 An =5An+（6n工AnQ,A1 =5,4 4311母力 221-32

10、1A =(4n 6n) nN.2學習必備歡迎下載【引申1】用1, 2, 3, 4, 5, 少個？6組成一個n位整數(shù)，其中數(shù)字 1, 2均出現(xiàn)偶數(shù)次有多解：設1,2在n位整數(shù)中共出現(xiàn)2均出現(xiàn)偶數(shù)次有2I次(I =12Jn )淇中1出現(xiàn)2j次(j =1,2,I),則1,I 4 r.21一=42n:4n -2 二-C：1C” : 4n .: 4n 二(：1 221 j 大 i2j 222(4 2)n (4 -2)n-4n附(遞推法)：設an：表示在n位整數(shù)中1出現(xiàn)偶數(shù)次，2出現(xiàn)偶數(shù)次的個數(shù)；bn：表示在n位整數(shù)中1出現(xiàn)奇數(shù)次，2出現(xiàn)偶數(shù)次的個數(shù)；G：表示在n位整數(shù)中1出現(xiàn)偶數(shù)次，2出現(xiàn)奇數(shù)次的個數(shù)；

11、&：表示在n位整數(shù)中1出現(xiàn)奇數(shù)次，2出現(xiàn)奇數(shù)次的個數(shù)； TOC o 1-5 h z 則an =bn,+Cn+4an,bn =5 Jan J4。g =dn+an-+4G-dn =bn+G+4dn-由-得an -dn =4(an 1 一dn。=4 (a1 d1 ) =4 (4 0) = 4由-得bn -Cn =4(bn a - Cn _l) =4n (bl -C1) =4n1(1 -1) = 0又令A =an +dn即1,2均出現(xiàn)次數(shù)同奇偶的個數(shù)Bn =bn +G即1,2均出現(xiàn)次數(shù)異奇偶的個數(shù)；所以A =2Bn工+4A /可由+得)Bn =2A+4Bn /可由+得)由+得A - Bn =6n由-得

12、 A B =A 工Bn=A B =42=26n 2n所以，A =2n n TOC o 1-5 h z 62 n19 46n 2 4n2n*所以，an J(an dn) (an -dn)= n N224【引申2】用1, 2, 3, 4, 5, 6組成一個n位整數(shù)，其中數(shù)字 1, 2至少一個出現(xiàn)偶數(shù) 次有多少個？解:設A=n位整數(shù)中1出現(xiàn)偶數(shù)次的個數(shù); B=n位整數(shù)中2出現(xiàn)偶數(shù)次的個數(shù)則Aq=n位整數(shù)中1, 2均出現(xiàn)偶數(shù)次的個數(shù),由上面的討論可知，|A|=L(4n 6n) n N*, Bn =L(4n 6n)n N* , | A B|=-224nn nnn n故 |aUb|=|A| |B|-1 A

13、lB尸 4n 6n： =：4_n N44學習必備歡迎下載【例3】設自然數(shù)k滿足1 k k,使am至少小于a1, a2/H ,ak中k 一1個數(shù)，已知滿足am =1的數(shù)列的個數(shù)為1吧.4求k。解答：將a1,a2,|ak重新排列成b Mb?bk ,由m的最小性，設b2=t,則am t, a At(i =k+1, k+2, |m1) 當 t 固定時.由b t,故有C1021種取法，而將k 2b1,b2, bk排列有k!種，于是確定a1,a24M,ak有(t-2)，丁仙!種，而前面分析ai At (i =k+1,k +2|,m1),而在大于t的100t個數(shù)中除去dhJILbk還有 100-t-( k-

14、2) V02 -t- k個數(shù)。故有A1m出種取法，而am =1是固定的淇余數(shù) an 4111a100排列有(100 -m)!種。102 次綜上滿足am =1的排列個數(shù)T = x (t-2)C1o021102上= (t -2)t =3102上(100-t)!(k -2)!(102 -k -t)!103 _tt &103 _tk! vmk -1103 .tk! ”Am言一(100-m)!m* 1(102 -k -t)! , (100 - m)!(103-t-m)!二工(t -2)k(k -1)(100-t)! 、t 3102上m =ki(103-t -m)!(t -3)!103 _t=、(t -2)!k(k -1)(100-t)! 、, C10t0；t =3102 km i!r1八(t -2)!k(k-1)(100t =3102 ”(100 -k)!= k(k -1)(100-t)!t3(102 -k -t)!102 _k= k(k-1)(100-k)! 、t =3102 k= k!(100 -k)!、 濡上二 k!(100 k)!C =k!(100-k)! t 3-k