高等數學及其應用電子教案第二版數學系ch23課件

1、本節(jié)要點一、反函數的求導法則二、復合函數的求導法則 牛牛文庫文檔分享第1頁，共19頁。一、反函數的導數 設函數 在區(qū)間 內單調、連續(xù), 則其反函內單調, 連續(xù): 若設 在區(qū)間 內可導, 且 今來討論 的可導性. 給 以增量 由 的數 在對應的區(qū)間單調性, 知 牛牛文庫文檔分享第2頁，共19頁。變形得到又由函數的連續(xù)性, 當 時必有 從而有 牛牛文庫文檔分享第3頁，共19頁。由此說明了函數 在 處可導, 且有簡單地說, 反函數的導數等于直接函數的導數的倒數. 牛牛文庫文檔分享第4頁，共19頁。例2.15 求反正弦函數解 是 的反函數.注意到在區(qū)間 內， 從而有所以. 在區(qū)間 內點點可導, 且有而

2、 在區(qū)間 內單調、可導, 并且 的導數. 牛牛文庫文檔分享第5頁，共19頁。 牛牛文庫文檔分享第6頁，共19頁。例2.16 求反正切函數解 函數 是 在 區(qū)間內的反函數，在區(qū)間內單調、可導, 且所以 在 內每一點可導, 且有:有的導數. 牛牛文庫文檔分享第7頁，共19頁。注意到： 從而有同理可得其它幾個反三角函數的導數公式: 牛牛文庫文檔分享第8頁，共19頁。例2.17 求對數函數解 是 的反注意到, 特別地, 當 時, 有函數, 且直接函數在定義域內單調、可導, 且的導數.從而有 牛牛文庫文檔分享第9頁，共19頁。三、復合函數的導數 在眾多的函數中, 我們遇見的更多的是復合函數. 例如函數

3、, 這是一個極為簡單的函數, 但我們要求它的導數就沒那么簡單. 事實上, 由導數的乘積公式, 得 牛牛文庫文檔分享第10頁，共19頁。 對一個如此簡單的函數, 求其導數都那么困難, 這就提示我們有必要討論復合函數的求導法則. 利用相應的法則來簡化某些復雜函數的導數計算. 牛牛文庫文檔分享第11頁，共19頁。復合函數求導法則 如果函數 在點 可導,證 設自變量 在 處有增量 , 則函數而函數 在 處可導, 則復合函數 在 處可導, 并且有關系有增量 相應地, 函數有增量 （2.4） 牛牛文庫文檔分享第12頁，共19頁。當 時, 有由函數 的可導性, 得函數在 是連續(xù)的, 因又此當 時, 有 由此得（2.5） 牛牛文庫文檔分享第13頁，共19頁。由此得到:復合函數的求導公式常常表示為（2.6）公式（2.6）稱為復合函數的求導法則 牛牛文庫文檔分享第14頁，共19頁。此公式可以作進一步的推廣: 若均為可導函數, 則相應的復合函數的導數為 牛牛文庫文檔分享第15頁，共19頁。例2.18 求函數解而成, 故此由復合函數的求導公式, 得的導數.可以看成由復合 牛牛文庫文檔分享第16頁，共19頁。例2.19 求函數解 因的導數.可視為 復合而成, 由復合函數求導公式（2.6）得: 牛牛文庫文檔分享第17