高等數(shù)學(xué)(經(jīng)管類)第6章常微分方程課件

1、第六章 常微分方程6.1 常微分方程的基本概念與分離變量法6.2 一階線性微分方程6.3 二階常系數(shù)線性微分方程 6.4 應(yīng)用與實(shí)踐6.5 拓展與提高第1頁，共47頁。一 知識(shí)結(jié)構(gòu)第六章 常微分方程第2頁，共47頁。二 教學(xué)基本要求與重點(diǎn)、難點(diǎn)第六章 常微分方程 （1）常微分方程的基本概念，解、通解、特解、初始條件的概念。 （2）一階微分方程中可分離變量方程、齊次方程、一階線性方程的解法。 （3）二階微分方程中可直接積分類型、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法，求解簡單的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程。 1教學(xué)基本要求第3頁，共47頁。第六章 常微分方程2教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) （1）重點(diǎn) 一階微分方程的

2、類型和解法。典型二階微分方程的類型和解法。 （2）難點(diǎn) 齊次方程、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的求解法。第4頁，共47頁。6.1 常微分方程的基本概念與分離變量法 第六章 常微分方程6.1.1 微分方程的基本概念 引例 已知曲線上任意一點(diǎn)切線的斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的二倍，且曲線過點(diǎn)(2,4)，求該曲線的方程。 第5頁，共47頁。6.1 常微分方程的基本概念與分離變量法 解：設(shè)所求曲線的方程為y=y(x)，根據(jù)已知條件知 兩邊積分 再將曲線過點(diǎn)(2,4)的條件代入得：C=0 第6頁，共47頁。6.1 常微分方程的基本概念與分離變量法 定義6.1 含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程。凡未知函數(shù)

3、為一元函數(shù)的微分方程叫常微分方程，多元未知函數(shù)的微分方程叫偏微分方程。 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫微分方程的階。第7頁，共47頁。6.1 常微分方程的基本概念與分離變量法 定義6.2 代入微分方程中，使其成為恒等式的函數(shù)叫微分方程的解。解有兩種形式，含任意常數(shù)的個(gè)數(shù)等于微分方程的階數(shù)的解叫微分方程的通解，給通解中任意常數(shù)以確定值得出的解叫微分方程的特解。 第8頁，共47頁。6.1 常微分方程的基本概念與分離變量法 例1 驗(yàn)證函數(shù) 是一階微分方程 的特解。解：因?yàn)?，把y及 代入微分方程，得 所以函數(shù) 是微分方程 的特解。第9頁，共47頁。6.1 常微分方程的基本概念與分離變量法

4、6.1.2 可分離變量的微分方程定義 8.6 形如的微分方程，稱為可分離變量的微分方程。求解可分離變量的微分方程的方法為：(1)將方程分離變量得 (2)等式兩端求積分，得通解 第10頁，共47頁。6.1 常微分方程的基本概念與分離變量法 例2 求微分方程 的通解。 解: 此方程是可分離變量的，分離變量后得 兩端積分 得 從而 方程的通解為 第11頁，共47頁。6.2 一階線性微分方程第六章 常微分方程6.2.1 一階線性微分方程稱為一階線性齊次微分方程。 定義6.4 形如 的方程，稱為一階線性微分方程，Q(x)稱為自由項(xiàng)。 如果 則稱為一階線性非齊次微分方程；如果Q(x)=0 ，即 第12頁，

5、共47頁。6.2 一階線性微分方程一階線性微分方程的求解方法是常數(shù)變易法。常數(shù)變易法分兩步求解：(1)求一階齊次線性方程的通解因方程 是可分離變量的微分方程，分離變量得 兩端積分得 所以 為一階齊次線性方程的通解。 第13頁，共47頁。6.2 一階線性微分方程(2)求一階非齊次線性方程的通解 假定 是非齊次方程的通解，C(x)是待定函數(shù)。把假定解代入方程得第14頁，共47頁。6.2 一階線性微分方程例3 求微分方程 滿足條件 的特解。 解：將原方程變形為利用公式 故方程的特解為 第15頁，共47頁。6.2 一階線性微分方程例4 求微分方程 的通解。解：令 代入方程得 用公式法得 第16頁，共4

6、7頁。6.2 一階線性微分方程6.2.2一階線性微分方程應(yīng)用舉例應(yīng)用微分方程解決具體問題的步驟是：(1)分析問題，建立微分方程，確定初始條件；(2)求出該微分方程的通解；(3)根據(jù)初始條件確定所求的特解。第17頁，共47頁。6.2 一階線性微分方程 例5 已知需求量Q對(duì)價(jià)格p的彈性為 ，且當(dāng)Q=0時(shí)，p=100。試將價(jià)格表示為需求量的函數(shù)。解：因?yàn)樾枨罅縌對(duì)價(jià)格p的彈性等于 故 分離變量得 代入初始條件得：C=100第18頁，共47頁。6.2 一階線性微分方程 例6 物體冷卻速度與該物體和周圍介質(zhì)的溫度差成正比，具有溫度為T0的物體放在保持常溫為 的室內(nèi)，求溫度T與時(shí)間t的關(guān)系。 解：根據(jù)牛頓

7、冷卻定律: 冷卻速度與物體和空氣的溫差成正比，所以由分離變量法解得 由t=0時(shí)，T=T0 ，得第19頁，共47頁。6.3 二階常系數(shù)線性微分方程第六章 常微分方程6.3.1 二階常系數(shù)線性微分方程解的性質(zhì)定義6.5 形如其中p，q是實(shí)常數(shù)。稱為二階常系數(shù)線性微分方程，與其對(duì)應(yīng)的二階常系數(shù)齊次線性微分方程為第20頁，共47頁。6.3 二階常系數(shù)線性微分方程 若函數(shù)y1和y2之比為常數(shù)時(shí)，稱y1和y2是線性相關(guān)的；若函數(shù)y1和y2之比不為常數(shù)時(shí)，稱y1和y2是線性無關(guān)的。 定理6.1 若函數(shù)y1和y2是方程 的兩個(gè)線性無關(guān)的解，則 是該方程的通解，其中C1，C2是任意常數(shù)。 第21頁，共47頁。6

8、.3 二階常系數(shù)線性微分方程定理6.2 若 是方程 的一個(gè)特解， 是方程 的通解，則是方程 的通解。 第22頁，共47頁。6.3 二階常系數(shù)線性微分方程形如的方程，其中p,q是實(shí)常數(shù)。6.3.2 二階常系數(shù)齊次線性微分方程的求解方法設(shè) 是方程的解(r為待定常數(shù))代入方程得稱其為原方程的特征方程，其根稱為特征根。 第23頁，共47頁。6.3 二階常系數(shù)線性微分方程 特征方程的兩個(gè)根有三種不同情況；相應(yīng)地，微分方程的通解也有三種不同的情形：1特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根： 2特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根： 3特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根： 第24頁，共47頁。6.3 二階常系數(shù)線性微分方程求二階常系數(shù)齊次線性

9、微分方程的通解的步驟： (1)寫出微分方程的特征方程；(2)求出特征根；(3)根據(jù)特征根，寫出所給微分方程的通解。第25頁，共47頁。6.3 二階常系數(shù)線性微分方程例7 求微分方程 的通解。 解：特征方程為 ，它有兩個(gè)不相等的實(shí)根：r1= -1, r2=3故微分方程的通解為第26頁，共47頁。6.3 二階常系數(shù)線性微分方程6.3.3 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的求解方法 求二階非齊次線性微分方程的通解可按如下步驟進(jìn)行： (1)求出對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解 ； (2)求出非齊次方程的一個(gè)特解 ； (3)所求方程的通解為 。 第27頁，共47頁。6.3 二階常系數(shù)線性微分方程待定系數(shù)法求微分方程特解

10、 其中P(x)是多項(xiàng)式， 是常數(shù)，則方程具有形如(1)若 與兩個(gè)特征根都不等，取k=0；(2)若 與一個(gè)特征根相等，取k=1；(3)若 與兩個(gè)特征根都相等，取k=2。 第28頁，共47頁。6.3 二階常系數(shù)線性微分方程例8 求微分方程 的通解。 解 ：(1)其對(duì)應(yīng)的齊次方程的特征方程為：所以齊次方程的通解為(2) 設(shè)特解為 代入原方程得 (3)所求方程的通解為第29頁，共47頁。6.4 應(yīng)用與實(shí)踐第六章 常微分方程6.4.1 應(yīng)用1Volterra模型大魚吃小魚，生態(tài)平衡問題 設(shè)x(t)表示t時(shí)刻小魚的數(shù)量，于是在由時(shí)刻t到時(shí)刻t+t中它的變化由以下關(guān)系決定 大魚的數(shù)量用y(t)表示。 第30

11、頁，共47頁。6.4 應(yīng)用與實(shí)踐同理可得大魚數(shù)量變化情況第31頁，共47頁。6.4 應(yīng)用與實(shí)踐分離變量積分后得通解 由初始條件 可得到特解。第32頁，共47頁。6.4 應(yīng)用與實(shí)踐2馬爾薩斯人口方程 英國人口學(xué)家馬爾薩斯提出了人口指數(shù)增長模型。他的基本假設(shè)是：單位時(shí)間內(nèi)人口的增長量與當(dāng)時(shí)的人口總數(shù)成正比。根據(jù)馬爾薩斯的假設(shè)，時(shí)間與人口總數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系為：由分離變量法解得 由初始條件可得第33頁，共47頁。6.4 應(yīng)用與實(shí)踐6.4.2 用Mathematica解常微分方程在Mathematica中求解微分方程的格式為： Dsloveeqn,yx,x求解yx的微分方程eqn，x為變量；Dsolve

12、eqn1,eqn2,y1,y2,., x 求解微分方程組eqn1，eqn2，x為變量； Dsolveeqn1,y0=x0,yx,x 求解微分方程eqn滿足初始條件y0=x0的解。 第34頁，共47頁。6.4 應(yīng)用與實(shí)踐解： 例9 用Mathematica系統(tǒng)求解下列微分方程：(2)求方程 的通解。(1)求方程 滿足初始條件y(0)=1的特解。第35頁，共47頁。6.5 拓展與提高第六章 常微分方程1齊次方程 定義6.6 形如 的一階微分方程，稱為齊次微分方程。 此類題的求解方法為：用變量替換y=ux把原方程化為關(guān)于x和u的可分離變量的微分方程，具體如下：第36頁，共47頁。6.5 拓展與提高兩

13、端求導(dǎo)得 所以原方程變?yōu)?分離變量得 兩端積分后，再把u換為 就可得到原方程的通解。 第37頁，共47頁。6.5 拓展與提高例10 求微分方程 的通解。解：把方程變?yōu)?分離變量為 等式兩端積分得 通解為 第38頁，共47頁。6.5 拓展與提高 求解某些微分方程的時(shí)候，有時(shí)用“湊導(dǎo)數(shù)”的方法求解更為快捷，當(dāng)然，“湊”的前提是必須熟悉各種導(dǎo)數(shù)組合式。2湊導(dǎo)數(shù)兩種最常用的導(dǎo)數(shù)組合式：第39頁，共47頁。6.5 拓展與提高例11 微分 方程的通解。解：方程左邊恰好等于 第40頁，共47頁。6.5 拓展與提高例12 求微分方程 的通解。解：方程兩邊同除 得 第41頁，共47頁。6.5 拓展與提高3. 其他類型微分方程的解法 若遇到不屬于基本類型微分方程時(shí)，應(yīng)按以下兩種思考方法重新判別： (1)把x當(dāng)作未知函數(shù)，把y當(dāng)作自變量，再判別。(2)用適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q把方程化為可解方程。第42頁，共47頁。6.5 拓展與提高例13 求微