高中數學例題：指數運算、化簡、求值

1、高中數學例題：指數運算、化簡、求值3 6 決。例1,用分數指數哥形式表示下列各式（式中 a0）:(1) a2 7a ; (2) a3 3fa2 ; (3)a0 ; (4)51135【答案】a2; aa4;【解析】先將根式寫成分數指數房的形式，再利用房的運算性質化簡即可。(1)a2a122a a22a3 a31 1(a a2)12 2a 23a 33(a1)J113aZ ；(4)2yx y y x2=y.x5=y411 2 xy2解法一：從里向外化為分數指數屬21Y(x2 y產yy62yxU3，3y x=匕(X 3 y3)22=JW邪x y x112解法二：從外向里化為分數指數募。6E3 x第1

2、頁共8頁5=y4m【總結升華】此類問題應熟練應用 a (a 0,m,n N*,且n 1) 當所求根式含有多重根號時，要搞清被開方數，由里向外或由外向里, 用分數指數哥寫出，然后再用性質進行化簡。舉一反三：【變式11把下列根式用指數形式表示出來，并化簡132%歷；(2)【變式2】把下列根式化成分數指數哥:(1)屐；Ja西(a0); (3) b3 Vb2 ; (4)一1VxVx2)273113【解析】(1)加五式2 2217 6212 ；22 TOC o 1-5 h z 1-33 13, a a - a a2a2(a2)2a4;_211b3 3.b2b3 b3bT;例3.計算：1(1) (0.00

3、81) 41 TOC o 1-5 h z 7 c 1CCU 3123 (1)081 0.25 (33) 3；88第2頁共8頁 73 3 33 2 4 63 1 4 33 3 3伸 4 ( 36)2 6 (46 3 (3)3 o【答案】3; 0; 21【解析】(1)原式= (0.3)1 1(1 2)2 10 1 3;3 3 33 3(2)原式二7北 6.祁 233 313 0 ;(3)原式=-5+6+4- -(3-)=2;【總結升華】(1)運算順序(能否應用公式)；(2)指數為負先化正；(3)根式化為分數指數募舉一反三:【變式11計算下列各式:1(8)17( -)0 802 (3 2.3)62a

4、341a3 8a3b223 ab 4b(1 2工)va.【答案】(1)112a【解析1(1)( 3)11(23)，2,1(23)61(3；)63 124 42233(2)原式112 ；1a3 (a 8b)1a3111(a3)2 2a3b31(2b3)211a3 2b3111a3 3 3 (a18b)(a3)3 (2b3)3例4.化簡下列各式.第3頁共8頁1m m 21-y ； m 2m2 TOC o 1-5 h z 215x 3y2 .-11，12536-x y2- x3y646120.5o 2737(0.027)32-.1259111【答案】24 y6 ； m 2 m2 ； 0.09【解析】

5、（1）即合并同類項的想法，常數與常數進行運算，同一字母的化為該字母的指數運算；（2）對字母運算的理解要求較高，即能夠認出分數指數的完全平方關系;（3）具體數字的運算，學會如何簡化運算.1-x425x 3y125 1 1-x3 y 665 ( 4)21111( 1) 3y2 2 ( 6)124x0y6124 y61m2m:122m 2m21m21m22(3) (0.027)3271250.5279舉一反三:二(30.027)212527=0.09夕=0.09 3【變式112化簡三x32y2y 32 x2x 3第4頁共8頁xy2【解析】應注意到x3與x 2之間的關系，對分子使用乘法公式進行 因式分

6、解， TOC o 1-5 h z 2222席請(xb3 (y3)3 (x3)3 (yb3工、2222x 3 y 3 x 3 y 322222222(x3)2 x3 y 3 (y3)2 (x. x3y- )22(xy) 32也.xy【總結升華】根式的化簡結果應寫為最簡根式.(1)被開方數的指 數與根指數互質；(2)被開方數分母為1,且不含非正整數指數哥； (3)被開方數的每個因數的指數小于根指數.【變式2】化簡下列式子： TOC o 1-5 h z 33(2) ,4 2 2 6(3)2,23x2 2x 1 3 x3 3x2 3x 1【答案】2夜 4府蚯；2x(x 1)2(x1)解析(1)原式牛耳

7、煙手邑回2 4 2.32 ( 3 1)23 ；32(3 3)2 12 6 ) 2.26(3 . 3)(3 . 3)6：(4 布 42)2 (418)2 2418 4 2 (4 2)218 24一18 22 3 2 24 622 4 2 26 0由平方根的定義得：y.Z 2 6 418 4 2第5頁共8頁： 3 x3 3x2 3x 1 3 (x 1)3 x 1x 2x 1 |x 1|x 1(x1)x 1(x1)xx 2x1 Vx33?3x12x(x1)2(x1) TOC o 1-5 h z 331122o例5 .已知x2x2 3 ,求A x 23的值22x x 23【解析】從已知條件中解出x的值

8、，然后代入求值，這種方法是 TOC o 1-5 h z 11不可取的，而應設法從整體尋求結果與條件 x2 x 3的聯系，進而 整體代入求值。11,，x2 x 23,x2 x 19 ,xx 1 7x2 2 x 249, x2x 2453311x2 x 2 3 (x2 x 2)(x 1 x 1) 3x2 x 2 247 2=3 (7 1) 3 15 14545 3【總結升華】對于“條件求值”問題一定要弄清已知與未知的聯系，然后采用“整體代換”或“化簡后代換”方法求值。本題的關鍵33是先求x2 x 2及x2 x2的值，然后整體代入。舉一反三：【變式11 (1)已知2x+2-x=a(a為常數)，求8x

9、+8-x的值.12(2)已知 x+y=12, xy=9 ,且 xy,求yy 的值.x2 y2第6頁共8頁a3 3a ；、.3解析(1)8 x+8-x=23x+2一3x=(2x)3+(2一x)3(2x(2x2 x)(2x)22x 2 x2 x)(2x 2 x)23(2 x)2 (2x 2 x)(2x)2 a(a2 3) a3 3a.2 2x 2 x(2 x)23 2x 2 x1(x y) 2(xy戶x y TOC o 1-5 h z 11111111x2y2x2y2x2y2(x2y2)211111111x2y2x2y2x2y2(x2)2(y2)2又. x+y=12, xy=9 ,(x-y) 2=(x+y) 2-4xy=122-4 x9=108.112 2 9萬631122又xy , /.x-y= 6奔代入(1)式得：4x2 y2【總結升華】(1)對哥值的計算，一般應盡可能把哥化為底數是質數的指數哥，再考慮同底哥的運算法則以及乘法公式.(2)一般不采用分別把x, y, 2、的值求出來代入求值的方法，應先將原式進行分母有理化，并用乘法公式變形，把2x+2-x, x+y及xy整體代入后再求值.21例6.已知102,1003,