泛函分析的應(yīng)用

1、現(xiàn)代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)學(xué)習(xí)報告泛函分析應(yīng)用院系：專業(yè)：導(dǎo)師：姓名：學(xué)號：摘要信號與系統(tǒng)的泛函分析是以泛函理論為工具描述和研究信號與系統(tǒng)特性的近代分析 方法。這種方法可使信號與系統(tǒng)的表示更加抽象與概括，并使連續(xù)與離散、時域與頻域、分 析與綜合達到統(tǒng)一,從而在信號與系統(tǒng)學(xué)科中得到了日益廣泛的應(yīng)用。本文僅就其基本理論 及其在電路設(shè)計中的應(yīng)用加以簡要的介紹。本文將利用泛函分析中的度量空間的理論研究 信號處理糾錯的問題，首先介紹度量空間相關(guān)理論，然后舉例分析其在信號糾錯處理中的 解決過程，通過應(yīng)用泛函知識，使糾錯過程變得更簡便和概括。然后簡單介紹泛函的理論 知識，使其應(yīng)用到求解最低功耗電源的設(shè)計中，結(jié)果表明應(yīng)用泛

2、函理論可以將求解過程變 得更加簡便和清晰。泛函分析介紹1.1泛函分特點和內(nèi)容1泛函分析是20世紀(jì)30年代形成的數(shù)學(xué)分科，是從變分問題，積分方程和理論物理的 研究中發(fā)展起來的。它綜合運用函數(shù)論，幾何學(xué)，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的觀點來研究無限維向量空間 上的泛函，算子和極限理論。它可以看作無限維向量空間的解析幾何及數(shù)學(xué)分析。泛函分 析在數(shù)學(xué)物理方程，概率論，計算數(shù)學(xué)等分科中都有應(yīng)用，也是研究具有無限個自由度的 物理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)工具。泛函分析的特點是它不但把古典分析的基本概念和方法一般化了，而且還把這些概念 和方法幾何化了。比如，不同類型的函數(shù)可以看作是“函數(shù)空間”的點或矢量，這樣最后 得到了 “抽象空間”這個一般

3、的概念。它既包含了以前討論過的幾何對象，也包括了不同 的函數(shù)空間。泛函分析對于研究現(xiàn)代物理學(xué)是一個有力的工具。n維空間可以用來描述具有n個自 由度的力學(xué)系統(tǒng)的運動，實際上需要有新的數(shù)學(xué)工具來描述具有無窮多自由度的力學(xué)系統(tǒng)。 比如梁的震動問題就是無窮多自由度力學(xué)系統(tǒng)的例子。一般來說，從質(zhì)點力學(xué)過渡到連續(xù) 介質(zhì)力學(xué)，就要由有窮自由度系統(tǒng)過渡到無窮自由度系統(tǒng)。現(xiàn)代物理學(xué)中的量子場理論就 屬于無窮自由度系統(tǒng)。正如研究有窮自由度系統(tǒng)要求n維空間的幾何學(xué)和微積分學(xué)作為工具一樣，研究無窮 自由度的系統(tǒng)需要無窮維空間的幾何學(xué)和分析學(xué)，這正是泛函分析的基本內(nèi)容。因此，泛 函分析也可以通俗的叫做無窮維空間的幾何學(xué)

4、和微積分學(xué)。古典分析中的基本方法，也就 是用線性的對象去逼近非線性的對象，完全可以運用到泛函分析這門學(xué)科中。泛函分析是分析數(shù)學(xué)中最“年輕”的分支，是古典分析觀點的推廣，綜合函數(shù)論、幾 何和代數(shù)的觀點研究無窮維向量空間上的函數(shù)、算子、和極限理論。他在二十世紀(jì)四十到 五十年代就已經(jīng)成為一門理論完備、內(nèi)容豐富的數(shù)學(xué)學(xué)科了。半個多世紀(jì)來，泛函分析一方面以其他眾多學(xué)科所提供的素材來提取自己研究的對象 和某些研究手段，并形成了自己的許多重要分支，例如算子譜理論、巴拿赫代數(shù)、拓撲線 性空間理論、廣義函數(shù)論等等；另一方面，它也強有力地推動著其他不少分析學(xué)科的發(fā)展。 它在微分方程、概率論、函數(shù)論、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、

5、量子物理、計算數(shù)學(xué)、控制論、最優(yōu)化 理論等學(xué)科中都有重要的應(yīng)用，還是建立群上調(diào)和分析理論的基本工具，也是研究無限個 自由度物理系統(tǒng)的重要而自然的工具之一。今天，它的觀點和方法已經(jīng)滲入到不少工程技 術(shù)性的學(xué)科之中，已成為近代分析的基礎(chǔ)之一。泛函分析在數(shù)學(xué)物理方程、概率論、計算數(shù)學(xué)、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)、量子物理學(xué)等學(xué)科有 著廣泛的應(yīng)用。近十幾年來，泛函分析在工程技術(shù)方面有獲得更為有效的應(yīng)用。它還滲透 到數(shù)學(xué)內(nèi)部的各個分支中去，起著重要的作用。1.2泛函的理論2集合集合是泛函理論的基礎(chǔ)，所以首先介紹集合。集合：具有共同特征的元素匯到一起構(gòu)成了集合。那么任意一類信號就可形成信號集。 例如周期余弦表示成的周期

6、余弦信號集為：連續(xù)時間信號可構(gòu)成連續(xù)時間空間，記作CT空間，能量有限信號則可形成可積空間， 記作L2T 等等。度量空間設(shè)乂是非空集合p:X*XT& =0,8)是二元函數(shù)，如果滿足p(x,y) 2 0,p(x,y) = 0ox = y;p(x,y) = p(y,x),?x,y;?x,y,z 6 X,p(x,y) p(x,y) p(y,z)則稱是X上的一個度量，稱(X，p)為一個度量空間。例如在R孔空間可定義如下度量：?3 = 峪-Wi=11p2(x,y) = ( 尾一 y2)i=1p8 (x,y) = max |x. - y.|, i = 1,2,?, n81in 11線性空間對加減運算封閉的空

7、間是線性空間。線性空間的維數(shù)如果X空間中有n個向量無關(guān)且任何n+1個向量都相關(guān)，那么我們稱X是n維的。賦范線性空間假設(shè)X是線性空間，設(shè)|?|： XT 0,8)是一個映射，若滿足：? x 6 X, |x| 2 0, |x| = 0。X = 0;?x 6 X,?a 6 F, |ax| = |a|x|;？x,y6X, |x y| |x|y|則稱|? |為X上的一個范數(shù)，稱(X,|?|)為賦范線性空間。并稱p(x,y) = |x-y|,?x,y 6 X為由范數(shù)|? |導(dǎo)出的度量。線性算子設(shè)X、Y是線性空間，T： XtY是映射，若？x,y6X,?a6F，都有T(x+y)=Tx+Ty ；T(ax)=aTx

8、則稱T為從X到Y(jié)的一個線性算子。若Y=R或C，則稱T是線性泛函。那么在信號處理中我們可以將線性系統(tǒng)可看作線性算子，沖激信號的取樣特性可看作 在L2T 空間中的線性泛函。不動點設(shè)X是度量空間，T： XtX是映射，x06X，如果、=%，則稱x0為一個不動點。那么 我們求得某個泛函導(dǎo)數(shù)的不動點也就求出了輸出信號的極值。課題介紹2.1微型撲翼飛行器的相關(guān)概念目前的飛行器根據(jù)翼型運動方式的不同可以分為三類，分別為固定翼，旋翼和撲翼。 其中固定翼和旋翼是兩種常規(guī)飛行普遍采用的方式，兩者都是通過機翼產(chǎn)生升力，目前大 多數(shù)的飛行器均采用以上兩種方式，撲翼飛行器目前并不常見，但這種飛行方式被自然界 中的鳥類和昆

9、蟲廣泛所采用，被認為是生物進化的最優(yōu)飛行方式，從仿生學(xué)角度講，自然 界進化淘汰后的結(jié)構(gòu)才是最優(yōu)選。它的升力產(chǎn)生機理與固定翼和旋翼有很大的不同。撲翼 式飛行器的優(yōu)勢在于3-6：（1）撲翼同時產(chǎn)生升力與推力，舉升，懸停和推進功能集成于一個撲翼系統(tǒng)，具有 較強的機動性和靈活性。（2）通過調(diào)整撲翼系統(tǒng)的撲動參數(shù)就可以靈活的改變飛行狀態(tài)，從而可以省略部分 控制面，大大簡化結(jié)構(gòu)，減輕機身重量。（3）微撲翼飛行器的撲翼可以在水平位置鎖定，在高空進行翱翔以利用勢能，故比起 直升機的螺旋槳必須不停旋轉(zhuǎn)來說可以節(jié)省能量。（4）撲翼產(chǎn)生推力的效率高。理論研究表明，撲翼推進效率比常規(guī)推進系統(tǒng)的推進 效率要高，最高可達

10、85%。具有以上優(yōu)點的撲翼飛行器非常適合微型飛行器。而且隨著科技發(fā)展，原來困擾撲翼 飛行器發(fā)展的強度，動力等問題已經(jīng)可以得到較好的解決。微型撲翼飛行器開始成為研究 熱點之一。微型撲翼飛行器目前存在著一些缺點。（1）理論不夠完整。按照傳統(tǒng)的空氣動力學(xué)理論,微型撲翼飛行器無法有效地利用空 氣的升力和阻力，因而就很難起飛。仿生撲翼動力學(xué)理論需要進一步研究。（2）機構(gòu)設(shè)計復(fù)雜。鳥類和昆蟲在飛行過程中翅膀并不是單純的上下?lián)鋭?，而是具?復(fù)雜的運動規(guī)律。真正實現(xiàn)鳥類或昆蟲那樣復(fù)雜的撲動方式，給機構(gòu)設(shè)計帶來一定的難度。（3）動力、能耗要求比較高。微型撲翼飛行器要求外形較小、質(zhì)量輕、驅(qū)動元件效 率高、能耗少，

11、因此對動力、能耗提出了相當(dāng)高的要求。（4）飛行性能需進一步改善。目前微型撲翼飛行器還不能像昆蟲或鳥類一樣利用大 氣中的上升氣流翱翔，實現(xiàn)自主飛行。所以，對于撲翼式飛行器的研究，存在著很多巨大的挑戰(zhàn)。但是，通過學(xué)習(xí)泛函，用 泛函的思想去考慮問題，定會客服一切理論和技術(shù)難題，使研究過程越來越清晰，最終設(shè) 計符合社會發(fā)展和科技要求的撲翼式機器人。2.2課題簡單介紹介電彈性體驅(qū)動器作為一種人工肌肉驅(qū)動器，具有能量密度大、變形量大和效率高等 優(yōu)點，在航空、機器人和醫(yī)療等領(lǐng)域有廣闊的應(yīng)用前景。介電彈性體薄膜通電時，在平面 和厚度方向都有變形，利用不同方向的變形，可以制作不同類型的驅(qū)動器。應(yīng)用于撲翼式 機器

12、人的介電彈性體驅(qū)動器至今在國內(nèi)外還屬于空白，并且介電彈性體變形需要幾千伏的 高壓，而現(xiàn)有的高壓控制電路多為面向高壓送電計，不適合撲翼機器人采用。所設(shè)計的電路示意圖如圖1所示7，該電路主要由輸入電路、變壓器功率轉(zhuǎn)換電路、 控制電路、反饋比較電路、負載電路六個主要電路組成。能夠?qū)⒅绷麟姵?V電壓，升壓 至2.5KV，帶有負載電壓監(jiān)測功能，并且能實現(xiàn)輸出和輸入之間的隔離，有效的保護低壓 電路。圖1輸出2.5KV的高低壓轉(zhuǎn)換電路但是圖1所實際的電路，最高只能達到4KV的輸出，無法滿足介電彈性體材料的變形 所需施加的電壓，故通過分析討論，得出一下的一款方案。該高壓電源共由電源、電壓逆 變電路、PWM控制

13、電路、變壓器電路、倍壓整流電路、EMI濾波電路、保護電路電路、 采樣反饋電路和高壓頻率控制電路9部分組成，電路轉(zhuǎn)換流程如圖2所示。該高壓電源的 工作原理如下：由24V直流電壓輸入，經(jīng)過H橋芯片MAX13256逆變?yōu)榉禐?2V頻率 為50KHz的高頻交流電，H橋內(nèi)部集成了 MOSFET開關(guān)管，其控制通過PWM芯片TL494 產(chǎn)生固定的PWM波形來進行驅(qū)動，為了防止低頻信號的干擾，在變壓器變壓過程中造成 諧波影響和電磁損耗，經(jīng)過高通濾波器之后，將低頻的電流過濾掉之后，交流電通過高頻 變壓器進行升壓，該變壓器的匝數(shù)比為1:150，升壓過后變?yōu)?800V的高頻的高壓電。由 于負載需要的是直流電，此時

14、高頻的電流不能直接接到負載之上，需要進行整流濾波才可 以接到負載上。因此在高頻變壓器之后要接倍壓整流電路，在此處放置一個10倍壓的整 圖2電路轉(zhuǎn)換流程圖流電路，經(jīng)過倍壓之后達到至少5000V的高壓輸出，通過選擇倍壓電路的輸出時串聯(lián)電容 的個數(shù)，可以分五檔輸入下一環(huán)節(jié)。將倍壓整流的高壓接上頻率控制電路，控制直流高壓 變?yōu)轭l率可調(diào)的矩形波，最后接負載。在輸出端接電阻進行分壓，采樣得到的電壓值通過 差分比較器，通過比較后反饋回PWM控制端，此時，一旦電壓發(fā)生了一定幅度的波動之 后，就會使得芯片關(guān)斷，對電路起到了過壓的保護作用，過電流和過熱的保護通過芯片內(nèi) 部的保護得到實現(xiàn)。該電路通過控制高壓工作組的

15、交替工作，來實現(xiàn)將輸入的低壓直流電 轉(zhuǎn)換到5KV以上的高壓電，且頻率1到50HZ可調(diào)的高壓交流電，電流小于2mA。以上電路方案是本人本科時期的畢業(yè)課題，而研究生的課題則圍繞適用于撲翼式飛行 器的高低壓電源轉(zhuǎn)換模塊。由于飛行器的局限性，將會給電源的設(shè)計提供很大的挑戰(zhàn)。同 時，通過對泛函的學(xué)習(xí)和查閱相關(guān)資料，發(fā)現(xiàn)泛函理論和知識，能夠很好的解決簡單數(shù)學(xué) 無法解決的問題，這將為撲翼飛行器攜帶電路的設(shè)計提供重要的設(shè)計思路。下面將從信號 處理和低功耗電源設(shè)計兩個方面淺談泛函在電路設(shè)計中的應(yīng)用。泛函分析在所做課題中應(yīng)用3.1度量空間在信號處理中的應(yīng)用8-10在進行撲飛行器信息采集和處理的過程中，難免會出現(xiàn)處

16、理錯誤，而泛函中的度量空 間的理論，可以很好的解決這個問題。由n個二進制碼元可組成2孔個碼組。碼組集合表示為A孔=w.; i = 1,2,?,2町，那么我 們可以將削看做度量空間。采用海明定義碼間度量為：1p(w.,wfc)=+ b.)mod2i=1式中，Wt = a1,a2,?,an，w& = 外,婦？M。這樣，我們?nèi)菀字老嗤a組的度量 為零，不同碼組的度量至少為1。在信息的傳輸過程中為了提高傳輸?shù)目煽啃?，可增加檢 驗碼，即加大碼間度量，形成校驗碼。我們?nèi)=3為例，那么碼組集合中有8個元素，它 的信息碼和校驗碼如表1。在表中令Q4 = (% + a2+ Q3)mod2，a5 = (% +

17、 a2 + a4)mod20 于是得到氣，a5兩 列。由圖易知，僅增加q4后，從咯到W6每個碼組都有兩個1和兩個0，且有p(Q +弓+ % + Q4)mod2 = 0。其中任意兩個正常碼組間的最小度量為2。如果，任意碼組中發(fā)生一位錯 誤碼，其與相鄰組的度量縮小為1，從而得到檢驗，故此得校驗碼。當(dāng)增加氣后，任意兩 個正常碼組見的最小度量為3,若有一組發(fā)生錯誤碼，則其與原正確碼間的度量為1，而 與相鄰碼組間的度量為2,這樣不僅得到了檢驗，而且便于糾正，故此為糾錯碼。表1信號碼表信息碼校驗碼aia2a3SQ5w000000w00111W20101001101100101010111000W71111

18、13.2泛函在電源設(shè)計中的應(yīng)用3.2.1 交叉理論任意信號可看作某個有限維空間內(nèi)的一個點，由有限個數(shù)值表示，以便于分析處理。如果信號X處于L2T空間中的某個n維子空間氣內(nèi)，且由已知的基集評生成，其中孔為 時間函數(shù)，則信號x可表示為：1aii(ty,xe An,teT1=1式中，系數(shù)a可以由內(nèi)積公式求得&E =、Ij瓦氣時)。若基集為某個完備的歸一化正交函數(shù)集，則有足夠大的n即可無限逼近信號。例如，若選取匝=杷；九=0,1,?, 8那么會得到X的Fourier級數(shù)展開式。信號的極值問題就是優(yōu)化某種信號波形，以使信號的某個泛函達到極值。而系統(tǒng)的極 值問題就是優(yōu)化系統(tǒng)算子，以使輸出信號的某個泛函達到

19、極值。3.2.2設(shè)計耗能最小的充電電源設(shè)電路如圖所示，其中電源電壓為v1(t)，電容電壓為v2(。不妨設(shè)，v2(0) = 0, v2(T) = 1，并將電源波形記做w(t)vi(t) = 1，其中zr1,0t tT由電路可知：1 r1v2(T)=eJ l(*)擊=eI, W = 10上式表明電路具有約束條件4 3) = 0,初=C。電源的耗能應(yīng)為電阻的耗能與電容儲能之和，將其作為泛函f(W，即口1_1f(x) = R I 12(。擊 + _W2(T) =&Wl,D+_l,初2J222，0因此，最佳電源波形設(shè)計成在f0(x) = C約束條件下尋求f(x) + AfQ(x )的不動點。由必 要條件

20、可得2w(河。+ Aw(t) = 0，可得(t) = -2,0t 丁代入約束條件，可做=一專 及i(t) = ，最后得耗能最小的電源電壓為： T1 CTRC tvjt) = &i(t)+J i(t)dt = + ;0 t T0結(jié)論信號與系統(tǒng)的一般分析方法建立在普通函數(shù)的基礎(chǔ)上,它以微分方程、積分變換和線性 代數(shù)為手段，描述與研究信號的特征及系統(tǒng)的響應(yīng)，數(shù)學(xué)邏輯嚴(yán)密,物理概念清晰，不失為較 好的分析方法。但是，一般分析方法仍具有局限性，這就是:概念較為狹窄;方法不夠概括;各種 變換不能統(tǒng)一;綜合問題比較困難等。泛函理論是本世紀(jì)發(fā)展起來的獨立數(shù)學(xué)分支。它以集合論為基礎(chǔ)，研究無窮維抽象空間 內(nèi)的函數(shù)

21、集合、函數(shù)代數(shù)以及集合算子特性，是定量分析具有無窮自由度的一切事物的有力 工具。信號與系統(tǒng)的廣泛性與泛函理論的抽象性相結(jié)合，形成了更加嚴(yán)密而概括的分析方法， 稱為信號空間理論,或稱信號與系統(tǒng)的泛函分析。這種方法將信號抽象為無窮維空間中的一 個點,而將系統(tǒng)抽象為算子，使信號與系統(tǒng)的表述更加概括與簡便，從而得到廣泛的應(yīng)用。對于研究生做課題來說，泛函分析在理論研究部分可以提供很好的支持，有利于對電 路進行有效設(shè)計開辟新思路，在其他領(lǐng)域也有很多地方等待探索和開發(fā)，將數(shù)學(xué)應(yīng)用于工 程實踐在未來也必將成為一種趨勢，通過計算機和經(jīng)驗分析無法解決的問題必將通過數(shù)學(xué) 來進行最基礎(chǔ)的理論研究，從而實現(xiàn)更高的精確度。認真學(xué)好應(yīng)用泛函分析這一重要的課程可以使我們更好的掌握搞好科研的重要工具， 從而以幫助自己更加順利、更加高質(zhì)量的完成研究生課題。雖然應(yīng)用泛函分析課程教學(xué)已 經(jīng)結(jié)束，但是泛函分析在工程應(yīng)用中的巨大潛力不覺明歷，所以在今后的研究過程中，我 將會不斷學(xué)習(xí)，努力讓自己揭開泛函所隱藏的巨大奧秘。在此，真心感謝秦老師的把我們領(lǐng)進泛函的世界。參考文獻1薛小平，孫立民，武立中。應(yīng)用泛函分析：電子工業(yè)出版社。劉嵐.微型撲翼飛行