

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
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文檔簡介
1、技巧03解答題解題方法和技巧釬名考1. (2020年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(新課標(biāo)II) ) aABC中,sinZ-sin- sin2asin厭in。.(1)求 / ;(2)若8C=3,求aASC周長的最大值.【答案】(1) y ;3 + 2【分析】【詳解】(1)由正弦定理可得:BC2-AC2-AB2 =AC AB., AC2 + AB2-BC2 cos A =2ACABAe(0,zr), /. A =.(2)由余弦定理得:BC2 = AC2 + AB2 - 2AC-AB cos A = AC2 + AB2 + AC - AB = 9.即(AC+AB- ACA8 = 9.(當(dāng)且僅當(dāng)AC=
2、A8時取等號),9 = (AC + ABy-AC AB(AC+-(,。;巧 =(AC+ AB?,解得:AC + AB /3 (當(dāng)且僅當(dāng)AC =A8時取等號),.,.ABC周長L = AC + A8 + 8C W 3 + 26,.ABC周長的最大值為3 + 2也.2 . (2019年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷(理科)(新課標(biāo)I) ) IBC的內(nèi)角4 B,。的對 邊分別為 a, b, c, i5(sin B-sinC)2 =sin2 /1-sinBsinC .(1)求力;(2)若 Oa + b = 2c,求 sinC.【答案】(1) A = - ; (2) sinC= + &.34【分析】【詳解】(si
3、nB-sinC) =sin2 fi-2sinBsinC + sin2 C = sin2 A-sinBsinC即:sin2 B+sin2 C-sin2 A = sinBsinC由正弦定理可得:b2 +c2 - a2 =bccos A =b2 +c2 - a22bc/2a + b 2c ,由正弦定理得:a/2 sin A + sin B = 2 sin Cjr又 sin 8 = sin (A+ C) = sin Acos C+cos Asin C, A =5/2 x1cos C h sin C = 2 sin C TOC o 1-5 h z 222= 30-sin? C)整理可得:3sinC-V6
4、 = VicosC ,.,sin2 C+cos2 C = 1 A13 sin C-解得:sinC =近史或“-近因為 sin 8 = 2sinC- V2sin A = 2sin C0所以sinC ,故sin C = + & 244(2)法二:.夜a + Z = 2c ,由正弦定理得:s2 sin A + sin B = 2sin C冗又 sin 8 = sin (A+ C) = sin Acos Ch-cos A sin C, A = yh hIx/2x +cosC+sinC = 2sinC整理可得:3sinC-/6 = -s/JcosC即3sinC-/cosC = 2百sinC-不卜而由-0
5、學(xué),c所以c . ,萬萬、V6+V2 sin C = sin(l)=4 643. (2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)(理)試題)如圖,四棱錐P-A8CD的底面是矩形,PD1.底面 ABC。,pd = DC = L M 為 的中點,且pA(1)求 BC ;(2)求二面角的正弦值.【答案】(1) V2 ; (2)叵14【分析】(1)平面ABC。,四邊形ABC。為矩形,不妨以點。為坐標(biāo)原點,D4、DC、。所在直線分別為X、y、Z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-肛Z,設(shè) BC = 2a,則 (0,0,0)、尸(0,0,1)、B(“,0)、”(a,1,0)、A(2,0,0),則麗=(2a,l,l), AM
6、 = (-a, 1,0),vPfilAM,則P44必=一2/+1 = 0,解得a =故BC = 2a = g ;(2)設(shè)平面PAM的法向量為m = (%1,如zj ,則 AM =近n-2,AP = (-V2,0,l).Om , AM =Xi + y. = 0r / /2,取可得加= (J2,2),tn - AP = V2Xj 4- Zj = 0設(shè)平面P8W的法向量為 =(*2,必,22),BM =Ji由,n - BM =x? =0,、2 ,,取=1,可得 = (0,U),n BP -V2x2 - y2+ z2 =0/77- ncos v,= |一| 加九所以,sin = /l-cos2 = 因
7、此,二面角A-PM-6的正弦值為我.144 . (2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)(理)試題)已知直三棱柱中,側(cè)面為正方形,AB=BC = 2, 尸分別為AC和CG的中點,。為棱Ag上的點.8/,4男(1)證明:BFLDE ;(2)當(dāng)與。為何值時,面與面。尸所成的二面角的正弦值最小?【答案】(1)見解析;(2)耳。=; 【分析】因為三棱柱ABC-A4G是直三棱柱,所以8g,底面ABC,所以因為4片AB, BF 所以防_LAB,又BB】cBF = B ,所以他_L平面BCG四所以8A,8C, 84兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點,分別以8ABe,8月所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖.X所以 5()
8、,(),0),A(2,0,(),C(0,2,0),4(0,0,2),A(2,0,2)C(0,2,2), E(l,l,0),F(0,2,l).由題設(shè)。5,0,2)(0a2).(1)因為旃=(0,2,1),詼=(1一見1,一2),所以麗.瓦= 0 x(1 a) + 2xl + lx(2) = 0,所以. 設(shè)平面DFE的法向量為蔡= (x,y,z),因為喬= (1,1,1),讀= (1 a/,一2),f m - EF = 0(_x+y+z = 0所以.,即 ) n -m - DE = 0y_2z = 0令 z = 2a,則加=(3,l + a,2-a)因為平面BCCyB的法向量為BA =(2,0,0
9、),設(shè)平面BCC.B,與平面DEF的二面角的平面角為夕Im -BA163貝u |cos q = 11=,=,.2xj2/2a + l4 V2a27當(dāng)=時1 2q + 4取最小值為二 , 2-2a + 14(2021年全國高考乙卷數(shù)學(xué)(理)試題)設(shè)函數(shù)x) = ln(a-x),已知x = 0是函數(shù) y = 4(x)的極值點.(1)求a; TOC o 1-5 h z X 4- f(x)z 設(shè)函數(shù)g*)=:、.證明:g(x) y= ln(a-x)+x-ax-ci又x = 0是函數(shù)的極值點,所以y(0) = lna = 0,解得” =1 ; 由 得=g(x) =x+ /(x) _ x+ln(l-x)當(dāng)
10、 xw(0,l)時,要證g(x) =0,ln(l-x)xln(l-x),化簡得工 + (1 -x)ln(l-x)0 ;同理,當(dāng)XG(-QO,0)時,要證g(X)=x + ln(l -%)xln(l-x) 1, ,.x0 ,.,.xln(l-x)xln(l-x),化簡得x + (l-x)ln(l-x)0 ;令/i(x) = x + (l-x)ln(l-x),再令r = l-x,貝卜(0,l)U(l,+o), x = l-r,令 g(/) = lT + /lnr, g(r) = -l + lnr + l = lnz t當(dāng)re(0,l)時,g(x)g=0 ;當(dāng)tL+oo)時,g(x)0, g(x)單
11、增,假設(shè)g能取到,則g=0,故g(r)g=。;綜上所述,x+ln(l-x) g“)二扁端0)的焦點為產(chǎn), 且尸與圓例:/+(y +4)2 = 1上點的距離的最小值為4 .(1)求 P ;(2)若點尸在“上,PA,P8是C的兩條切線,A8是切點,求PAB面積的最大值 【答案】 P = 2 ; (2) 20布.【分析】(1)拋物線C的焦點為|FM| = K + 4,所以,尸與圓M:V +(y + 4)2 = l上點的距離的最小值為+ 4-1 = 4,解得,=2 ;(2)拋物線。的方程為V =4y,即y = ,對該函數(shù)求導(dǎo)得yg,設(shè)點A6,y)、 直線R4的方程為y_y =5(_工1),即曠=當(dāng)_弘
12、,即入/_2,-2y = 0,同理可知,直線P8的方程為%一2%-2y = 0,由于點尸為這兩條直線的公共點,貝叫中0_2弘_2%=0 x2x()-2y2-2y0 =0所以,點A、3的坐標(biāo)滿足方程七工一2,- 2yo =0 ,所以,直線A8的方程為x()x-2y-2yo =0 ,xox-2y-2yQ =0聯(lián)立 x2,可得/ -2*0工+ 4% =0 ,由韋達定理可得X +毛=2x(),為占=4% ,所以, 所以,Swab = ;|a如d = L + 4)(x; -4%) . ; 2 L ;(片 一4%尸,AB =J4片一 16% = #;+4)(片一4%)點P到直線的距離為=+ 422Vxo
13、+42,4% =l-(No+4)2 -4%=一%-12%-15 = -( + 6)“ + 21,由已知可得一54% W-3,所以,當(dāng)為 =-5時,PA6的面積取最大值,X202 =20石. 27 . (2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)(理)試題)拋物線C的頂點為坐標(biāo)原點。.焦點在x軸上,直線/:x = l交C于R Q兩點,且。P,OQ .已知點M(2,O),且0M與/相切.(1)求C, 0M的方程;設(shè)A,4,4是C上的三個點,直線44, 44均與OM相切.判斷直線A人與0M 的位置關(guān)系,并說明理由.【答案】 拋物線C:y2=x, 0M方程為(x 2 + y2=i ; (2)相切,理由見解析【分析】(
14、1)依題意設(shè)拋物線C:y2=2px(pO),P(l,yo),Q(l,-%),.OPOQ,:.OPOQ = l-y = l-2pO,:.2p = l,所以拋物線。的方程為y2=x,M(0,2),G)M與尤=1相切,所以半徑為1,所以0M的方程為(龍一2日+y2 = 1 ;(2)設(shè) A(Xy), 4(犬2, %),4(*3, %)若A4斜率不存在,則A4方程為X=1或x = 3, 若A4方程為X=1,根據(jù)對稱性不妨設(shè)4(1,1),則過A與圓m相切的另一條直線方程為y = 1, 此時該直線與拋物線只有一個交點,即不存在&,不合題意; 若44方程為x = 3,根據(jù)對稱性不妨設(shè)a(3,百),A(3,-G
15、), 則過A與圓M相切的直線4人3為y G = Y3(x-3),“, y, -y,115/3 八又以人= -7 = F= k % = ,%-w 乂+/ J3 + %3尤3 =。, A(o,。),此時直線AA,&關(guān)于x軸對稱,所以直線44與圓m相切;若直線44, AA3,4A,斜率均存在,1川+%所以直線方程為y-y = -(%-西), ) 十 %整理得刀一(凹+ %)丁 + %=0,同理直線4 A3的方程為X - (% + %) +=。.直線44的方程為了-( + 3) +為3 =。,.|2 + ,必1 _1;A &與圓M相切,. +(.;. y 整理得(y; -1)2 + 2% + 3- y
16、; = 0 .AA3 與圓 Af 相切,同理(犬1) 乂+ 2y% + 3-y:=。 所以當(dāng),%為方程(7 -1)/+ 2yly + 3 - y; = 0的兩根,2M 3一寸A/到直線A2A3的距離為:2+啟力 IJ1 +(2 + MT|2+4lM T1 + (-互)K-1.舊+11 .K+1,1 J(y;T). + 4y: y: + 所以直線&A與圓M相切;綜上若直線與圓M相切,則直線44與圓M相切.神考向解答題模板:、三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)問題.解題路線圖不同角化同角降幕擴角化f (x)=Asin(3x+巾)+h結(jié)合性質(zhì)求解。.構(gòu)建答題模板化簡:三角函數(shù)式的化簡,一般化成丫=八55(3乂
17、+?。?11的形式,即化為“一角、一次、一函數(shù)”的形式。整體代換:將3x+4看作一個整體,利用y = sin x, y = cos x的 性質(zhì)確定條件。求解:利用3x+ 6的范圍求條件解得函數(shù)y=Asin(3x + 6) +h的性質(zhì), 寫出結(jié)果。反思:反思回顧,查看關(guān)鍵點,易錯點,對結(jié)果進行估算,檢查規(guī)范性。 二、解三角形問題.解題路線圖(1)化簡變形;用余弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系;變形證明。(2)用余弦定理表示角; 用基本不等式求范圍:確定角的取值范圍。.構(gòu)建答題模板定條件:即確定三角形中的已知和所求,在圖形中標(biāo)注出來,然后確定轉(zhuǎn)化的方向。定 工具:即根據(jù)條件和所求,合理選擇轉(zhuǎn)化的工具,實施邊角
18、之間的互化。求結(jié)果。再反 思:在實施邊角互化的時候應(yīng)注意轉(zhuǎn)化的方向,一般有兩種思路:一是全部轉(zhuǎn)化為邊之間的 關(guān)系:二是全部轉(zhuǎn)化為角之間的關(guān)系,然后進行恒等變形。三、數(shù)列的通項、求和問題.解題路線圖先求某一項,或者找到數(shù)列的關(guān)系式。求通項公式。求數(shù)列和通式。.構(gòu)建答題模板找遞推:根據(jù)已知條件確定數(shù)列相鄰兩項之間的關(guān)系,即找數(shù)列的遞推公式。求通項: 根據(jù)數(shù)列遞推公式轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列求通項公式,或利用累加法或累乘法求通項公式。 定方法:根據(jù)數(shù)列表達式的結(jié)構(gòu)特征確定求和方法(如公式法、裂項相消法、錯位相減法、 分組法等)。寫步驟:規(guī)范寫出求和步驟。再反思:反思回顧,查看關(guān)鍵點、易錯點及 解題規(guī)范。
19、四、利用空間向量求角問題.解題路線圖建立坐標(biāo)系,并用坐標(biāo)來表示向量??臻g向量的坐標(biāo)運算。用向量工具求空間的角和 距離。.構(gòu)建答題模板找垂直:找出(或作出)具有公共交點的三條兩兩垂直的直線。寫坐標(biāo):建立空間直角坐 標(biāo)系,寫出特征點坐標(biāo)。求向量:求直線的方向向量或平面的法向量。求夾角:計算向 量的夾角。得結(jié)論:得到所求兩個平面所成的角或直線和平面所成的角。五、圓錐曲線中的范圍問題.解題路線圖設(shè)方程。解系數(shù)。得結(jié)論。.構(gòu)建答題模板提關(guān)系:從題設(shè)條件中提取不等關(guān)系式。找函數(shù):用一個變量表示目標(biāo)變量,代入不等 關(guān)系式。得范圍:通過求解含目標(biāo)變量的不等式,得所求參數(shù)的范圍。再回顧:注意目標(biāo)變量的范圍所受題
20、中其他因素的制約。六、解析幾何中的探索性問題1.解題路線圖一般先假設(shè)這種情況成立(點存在、直線存在、位置關(guān)系存在等)將上面的假設(shè)代入己 知條件求解。得出結(jié)論。2.構(gòu)建答題模板先假定:假設(shè)結(jié)論成立。再推理:以假設(shè)結(jié)論成立為條件,進行推理求解。下結(jié)論:若推出合理結(jié)果,經(jīng)驗證成立則肯。定假設(shè);若推出矛盾則否定假設(shè)。再回顧:查看 關(guān)鍵點,易錯點(特殊情況、隱含條件等),審視解題規(guī)范性。熱點追蹤一、解三角形大題考向探究考向一三角形基本量計算【例1】(2021沈陽市質(zhì)量監(jiān)測)已知在銳角三角形A8C中,角A, B, C的對邊分別 為 a, b, c, ABC 的面積為 S,若 4s=+/4, b=求A;(2
21、)若,求AABC的面積S的大小。(在2cos2B+cos 2B=0, bcos A+acos 8=巾+1,這兩個條件中任選一個,補充在橫線上)解(1)因為45=從+/02,所以 4Xbcsin A=b2+(ra2, TOC o 1-5 h z 4XTocsin A .21?2“1b+cra所以 VT =72bc2bc于是 sinA=cosA,古攵 tanA=l,TTTT因為04,所以A=1。(2)選,因為 2cos2 B+cos 23=0,所以 cos2B=,所以 cos71IT因為0Bvg,所以B=1q根據(jù)正弦定理sin A sin B得丁當(dāng)sin si”所以a=2 0所以 S=5加in C
22、=X2X-/6Xsin7r選,由 /?cos A+acos B=yf3+1,,廿/a2+c2b2 rr傳 b2bca2ac-=小 + L 整理傳 c=S +1,所以 S=csin A=;X#X(小 + 1)Xsing=3小。求解三角形中的邊和角等基本量時,需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化邊和 角之間的關(guān)系,從而達到解決問題的目的。其一般步驟是:第一步:定條件,即確定三角形中的已知和所求,然后確定轉(zhuǎn)化的方向;第二步:定工具,即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具,實施邊角之間的互化;第三步:求結(jié)果。【變式訓(xùn)練1】 A48C的內(nèi)角4, B, C的對邊分別為a, b, c。已知8= 150。(1
23、)若 a=45c, b=25 求ABC 的面積;_ 、歷(2)若 sin 4+小sin C= 2 1求 C。解(1)由題設(shè)及余弦定理得28=3c2+c-2-2xV3c2Xcos 150,解得。=一2(舍去)或c=2,從而。=25。ABC 的面積為X2小X2Xsin 150=小。(2)在A8C 中,A=180-B-C=30-C,所以 sin A+y3sin C=sin(30 C)+小sin C=sin(30 + C)o故 sin(30+C)=乎。而 0C8=5,求sinNDAC的值。 解(1)在ABC 中,因為 b=鄧,c=a/2, 8=45。,所以由余弦定理h2=a2+c12accos B,得
24、 5=+22XaXmX孚,化簡得 a2-2a-3=0, 解得a=3或。=一1(舍),即BC的長是3。(2)解法一:在ABC中,由正弦定理扁=前已,得竟尹=黑,所以sinC=94在AOC中,因為cos NAOC=一予所以NAOC為鈍角,又 ZADC+ C+ N 040= 180, 所以C為銳角。 2、后故 cos C=71 - sin2c43因為 cosZADC=_T,所以 sinZADC=To從而 sinZD/4C=sin(ZADC+C)=o4 解法二:因為cosZADB=t, TOC o 1-5 h z “3所以 sinNAQ3=,啦X應(yīng)在ABZ)中,由正弦定理得AD=./=na=a =5。
25、sinZADn 33543在ADC 中,cos ZADC=-, sinZADC=To255由余弦定理 AC2=a2+oc2-2AD OCcosNAOC,得 5=g+DC2-2XXDCX2in解得 DC=j,或 C=一7(舍)。再由正弦定理得sinZDAC=DC sinZADC 3X5 25以平面幾何為載體的問題,主要注意以下幾方面:一是充分用好平面幾何圖形的性質(zhì); 二是出現(xiàn)多個三角形時從條件較多的三角形突破求解;三是四邊形問題要轉(zhuǎn)化為三角形問題 去求解;四是善于用好三角形中的不等關(guān)系(如大邊對大角,最大角定大于等于習(xí),從而 可以確定角或邊的范圍。【變式訓(xùn)練2】(1)如圖,在A8C中,AC=*,
26、。為48邊上一點,CO=AO=2,且 cos/BCO=求sin B;求ABC的面積。解在AOC中,由余弦定理得cos NAQC=心+。一 4c2 22+22( 12ADCD2X2X24所以 sin ZADC=yj 1 -cos2ZA)C=因為 cosNBCD=NBCD 是8CC 的內(nèi)角,所以 sinZBCD=J 1 - cos2ZfiCD=V154CDsin N BDCBC=-:CDsn Z. ADCsinB所以 sin B = sin( Z ADC- Z BCD) = sin Z ADCcos Z BCD-cos ZADCsin Z BCD =在88中,由正弦定理得瞽而=編=缶?所以皿=%浮
27、=2X手 宙=48所以 SAA8C=AB BCsin 8=、X6X2#XJ=。 ZZv o Z(2)在平面四邊形 ABC 中,ABYBC, ZA=60, AB=3, AD=2.求 sinZABD;若cosZBDC=1,求BCD的面積。解 在ABO 中,NA=60。,AB=3, AD=2,由余弦定理,得 B/pMA3+ACP-ZAaAO-cosAng+d-Gu7,所以 80=巾,由正弦定理,得黑=而治,2義亞L LAOsinA 2 小回 所以 sinNABZ)= bd =巾=7 因為 A8_LBC,所以 NA8C=90,所以 cos N DBC=sin N ABD=*,2 所以sin NDBC=
28、布。4s因為 cos ZBDC=,所以 sinNB)C=所以 sin C=sin(7t NBDC NDBC)= sin(ZBDC+ZDBC)=sin N BDCcos N DBC+cos Z BDCsin N DBC逑西1 j_2-7義巾+7義市一巾。所以 sinNO8C=sin C,所以 NO8C=NC,所以 DC=BD=yJl,所以SABCD=WDCBDQnNBDC=;義巾義正義=2小??枷蛉切沃械淖钪蹬c范圍問題【例 3】 在:a=,csin A-acos C,(為一b)sin A+(2ba)sin 8=2csin C這兩個 條件中任選一個,補充在下列問題中,并解答。已知ABC的內(nèi)角A
29、, B, C的對邊分別為a, b, c, c=yi,而且。求角C;(2)求ABC周長的最大值。解 (1)選:因為 a=,csin 4acos C,所以 sin A=/sin Csin Asin Acos C,因為 sin A WO,所以小sin Ccos C=l,即 sin(c-g=:,因為0。兀,所以3Co o o,71 7t _ 7C所以。一不=不 即c=。選:因為(2-b)sin A + (2-o)sin B=2csin C,所以(2aZ?)+(2b)=2己所以cos C=標(biāo)+店一 c?lab即 a2+b2 c2=abf因為0gt,所以。=?(2)由(1)可知,。=全,在ABC中,由余弦
30、定理得a2+b22abcos C=3,即 a2+b2ab=3t所以(a+/?)2-3=3abW4,所以+b2小,當(dāng)且僅當(dāng)=力時等號成立,所以。+8+c=1,求ABC的面積的最小值。解 (1)解法一:由=28及正弦定理知sinA=2sinB,則 sin4=2sin(60A),即 sin A=/cos4 sin4,得 tanA=牛。解法二:因為 /=層+_2abeosC=4b2+/-2X26X6X()=7層,所以 c=-lb,則 cos A =匕:!+0,所以BD=b0(2)如圖所示,過點。作:8c交A8于E,因為 AZ)=2OC, 所以=7=2,., c 2所以 BE=q, DE=ao桂 ABD
31、E 中,cosNBZ)=be2+de2-bd22BEDE2XX 竽d+44一9后2+44 9ac4ac4ac在ABC中,_ A82 + BC2AC? /+標(biāo)-b2 _/+/ac2ABBC lac lac因為 NBED=it NA8C,所以 cosZ BED= -cosZAC,“ c2+4cr-9ac (r+cr-ac所 以z= z,4acZac化簡得3/+6/-11砒=0,方程兩邊同時除以。2,得3(知一1閱+6=0,c 2. c解得一=5或-=3。a 3 a TOC o 1-5 h z 42/+。2農(nóng) /+/7cos -ABC-一 -tz;2ac4 712Ta,c -,/+2c 92+h2-
32、32 7 人當(dāng)=3,即 c=3a 時,cosZABC=歸-=51(舍)。7綜上,cosZAC=J2(2021 北京高考)已知在4BC 中,c=2hcos B, C=y(1)求8的大小;(2)在三個條件中選擇一個作為已知,使4BC存在且唯一確定,并求出BC邊上的中 線的長度。c=g;周長為4+2??;面積為限入比=乎。b c解 由正弦定理二不=d7,及c=2bcosB,得到sinC=2sinBcos8=sin2B,故C O 11 1O 111TT=2B(此時 B+C=ti 舍去)或 C+2B=n,故 8=A=4。由(1)知,8=卷代入c=2次;os 8中得。=小6,與c=p?矛盾,故不能選。梧+必
33、一41 + 12-A吏,解得AD=6選,設(shè) BC=AC=2x,則 4B=2,Ir,故周長為(4+2,)x=4+2小,解得 x=l, 從而8C=AC=2, AB=2 設(shè)BC中點為。,則在AB。中,由余弦定理cos B=2ABBD選,設(shè)8c=AC=2x,則AB=2小x,故3 QSAABc=y2j;-2x-sin 20=yj3x2=:9解得冗=竽,即BC=AC=小,AB=3o設(shè)8C中點為。,則在ABO中,由余弦定理府+8。2rA 9+(坐) - Ascos B2 AB BD_3小_ 2,y2A解得40=號。(2020,全國 II 卷)AABC 中,sin2Asin2Bsin2C=sin Bsin C
34、求A;(2)若BC=3,求ABC周長的最大值。解由正弦定理和已知條件得BO?-AC2-AB2=Aa48。由余弦定理得 BC2=AC2+AB22AC ABcos A ,由得cos A= g。2 ji因為0Avjt,所以A=-y0A R RC(2)由正弦定理及(1)得:)=小=要7=23, v 7 sm d sin C sin A 丫 從而 AC=25sin B, AB=25sin(?r-A B)=3cos 8一小sin B。故 8C+4C+A8=3+小sin B+3cos 8=3+2巾sin(8+。又00恒成立,所以)min=& = l, S“無最大值。選:(1)設(shè)等差數(shù)列斯的公差為d,由題設(shè)知
35、d=a“一a”-i = -3(22),因為aj=at +2X(-3)=7,所以 m = 13,所以為=13-3(-1)=16-3。由知斯=16-3”,令%0,得后5,又?jǐn)?shù)列斯是遞減數(shù)列,所以(S)m,x = S5 = 經(jīng)*=35, S,無最小值。3=7,選:(1)設(shè)等差數(shù)列。的公差為d,由題設(shè)知解得05=5,所以d55 = 5。3 =。3。5,as=5 y-= - 1, 所以 =43+(-3)X(1)= 10-Ho(2)由(1)知4 = 10 /7,令。 =0,得=10,又?jǐn)?shù)列”是遞減數(shù)列,所以(S“)max = S9 =10X(9+0)5io=45 無最小值。考向二數(shù)列的證明問題【例2】已知
36、數(shù)列,的前項和為S”,4=1, a0, S7,=(K+l-XSn+i,其中7為常數(shù)。(1)證明:S+i=2S+A(2)是否存在實數(shù)2,使得數(shù)列小為等比數(shù)列?若存在,求出入若不存在,請說明理 由。解(1)證明:因為斯+|=$“+|一5,Sn 屆+1 4$+|,所以能= (S“+lS“)2-4S“+|,則 Sn+i(S,+i2S”x)=0o因為?!?,知 Si+i0,所以 Sn+i 2S”-A=0,故 S+i=2S+i。(2)由知,S+1=2S+2,當(dāng)”2 時,S=2S-i+/l,兩式相減,斯+1 = 2。(22, GN),所以數(shù)列為從第二項起成等比數(shù)列,且公比q=2。又 S2=2Si+2,即。2
37、+0=20+2,所以42 =。1+/=1+尢0,得尢一1。因此Qn=1, =1, a+i2-2,心2。若數(shù)列?!笆堑缺葦?shù)列,則42=1+7 = 241=2。所以7=1,經(jīng)臉證得=1時,數(shù)列%是等比數(shù)列。(1)判定等差(比)數(shù)列的主要方法:定義法:對于任意21, nGN,.驗證斯包一 或叫為與正整數(shù)無關(guān)的一常數(shù);中項公式法。(2)斯+i=a“q和屈=小-閨“+1(2)都是數(shù)列%)為等比數(shù)列的必要不充分條件,判定時 還??锤黜検欠駷榱?。【變式訓(xùn)練2】 已知數(shù)列斯?jié)M足420 = 1,其前項和為S”當(dāng)22時,Sn-i-l, Sn, S“+i成等差數(shù)列。(1)求證:m為等差數(shù)列;(2)若 S.=0, S
38、“+i=4,求的值。解(1)證明:當(dāng)22時,由S“,S,+i成等差數(shù)列,得2S,=S“t-1+S+i, 即 S一Sn-1 = 1 + Sn+1 Sn,即- 1+(22),則知+1 斯=1 (22),又2 0 = 1,所以m是公差為1的等差數(shù)列。(2)由(I)知數(shù)列為的公差為1,由 S=0, S+i=4 得 a+i=4,即 s+=4 ,n(n-1)n-1由-=0得。1+2 ,=,即.1=0 ,聯(lián)立,解得=7??枷蛉龜?shù)列求和【例3】(1)已知數(shù)列m的前項和為S”且S“=52+%。求斯的通項公式;n=2k1, kN*,設(shè)兒=r求數(shù)列兒的前2項和2a,n n=2kf kGN ,解因為所以當(dāng)/7=1時,
39、m=S = l,當(dāng)心2 時,a=S一St=%+%一仕(-l)2+;(- 1)=, 又=1時符合上式,所以。=。 =22一1, ZN”,n=2k, AN*,_ %,因為乩=.2。,所以對任意的kN*,b2Hl 岳1i=(22+1)(2k 1)=2,則岳&-1)是以1為首項,2為公差的等差數(shù)列:b2k+2 2找*2胃=/1=4,則。26是以4為首項,4為公比的等比數(shù)列。 02k 乙 TOC o 1-5 h z 所以 72 = (/?l+/?3 + feH+ + +b2”)=(1+3 + -+2/i-1)+(22+24+26+- + 22/,)(1+2-1) 4(1一4)+ 1-44+i A,I T
40、*+=療十一一一Q。(2)(2021鄭州市質(zhì)量預(yù)測)已知數(shù)列小滿足切=1, S“=”曬(S為數(shù)列為的前n項 和)。求數(shù)列斯的通項公式:若仇=(- 1)+自2數(shù)列為的前項和為7,求202”4M+1解由已知S,產(chǎn)如普,得 5-1nan-12522),兩式相減得,產(chǎn)空曬一號(22),化簡得(一1)斯=加g ta,t an-a t d、,所以-=-=.=! 所以 an=n n1依(7產(chǎn)瑞=(一,所以 T2 021=(1+2)-(2 + 3)+G+4)(2 O20+2 02l)+Q 021 十2 022)= 1+2 022_2 023=2 022數(shù)列求和主要有公式法、錯位相減法、裂項相消法、分組求和法與
41、并項求和法等,每一 種方法都有它的特點與解法,學(xué)習(xí)過程中應(yīng)該認(rèn)真領(lǐng)會與掌握?!咀兪接?xùn)練3】(2021石家莊市質(zhì)量檢測)已知公差不為0的等差數(shù)列為滿足ai = l, 且0,汲,的成等比數(shù)列。(1)求數(shù)列小的通項公式;(2)若b=2n-l,求數(shù)列斯力“)的前n項和Tn.解(1)設(shè)數(shù)列斯的公差為d(dW0),由41, 42,。5成等比數(shù)列可得屈即(l+rf)2=ix(l+4(/),解得 d=2 或 d=0(舍),所以。=2 一 1 o(2)由得也=(2-l)X2r,所以 7;=lX2+3X2,+5X22+-+(2n-l)X2n_|,27;=lX21+3X22+-+(2n-3)X2n-|+(2n-l)
42、X2n,兩式相減得一 7; = 1 X20 + 2X21 + 2X22 HF 2X2 - (2n - 1)X2 = 1 +2X(l-2n-1)2Xi-(2/j-l)X2n=l-4+2X2M-(2n-l)X2n=-3+(3-2n)X2n,所以 G=3+(2-3)X2??枷蛩臄?shù)列的綜合問題【例4】 設(shè)八二%+級,/(x)是y=/(x)的導(dǎo)函數(shù),若數(shù)列”滿足%+i=/(%),且首 項 0 = 1。(1)求數(shù)列%的通項公式;(2)數(shù)列m的前項和為S”,等比數(shù)列兒中,bi=ai,b2=a2,數(shù)列的“的前”項和為 T,請寫出適合條件T,WS“的所有的值。解(1)由犬x)=#+2x,得/(x)=x+2。因為
43、?!?1=/(。),且 41=1。所以如+1=?!?2,則 a+i a=2,因此數(shù)列伍是公差為2,首項為1的等差數(shù)列。所以 an= 1 +2(n 1 )=2/2 10以工 三, n(l +2n 1)0(2)數(shù)列的前n項和Sn=42=療,等比數(shù)列與中,設(shè)公比為孫 因為=。=1,岳=s=3,所以4=3。所以兒=3-113” 31所以數(shù)列d的前項和7,=-py=-y-oTWS可化為一5一.又GN*,所以 =1,或=2。故適合條件7;WS”的所有的值為1和2。(1)求解數(shù)列與函數(shù)交匯問題要注意兩點:數(shù)列是一類特殊的函數(shù),其定義域是正整數(shù)集(或它的有限子集),在求數(shù)列最值或不 等關(guān)系時要特別注意;解題時
44、準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)性質(zhì)時注意限制條件。(2)數(shù)列為背景的不等式恒成立、不等式證明,多與數(shù)列的求和相聯(lián)系,最后利用數(shù)列 或數(shù)列對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性處理?!咀兪接?xùn)練4 (2021長春市質(zhì)量監(jiān)測)已知等比數(shù)列斯?jié)M足:0+“2=20,公+ =80o(1)求m的通項公式;(2)令兒=log2斯,數(shù)列仇)的前項和為S”,若丁生恒成立,求2的最小值。Jn t 1 i(0+同=20, 解(1)設(shè)斯的公比為小由題意得,、“陽+。1牙=80,可得4=4, 7|=4,所以的通項公式為斯=4。(2)瓦=log20:=log24=2,所以屹是以2為首項,2為公差的等差數(shù)列,所以S”=21 )X2=7?+,bn2Sn+1
45、1 zz2+/7+11+卜1“GN*,利用基本不等式以及對勾函數(shù)的性質(zhì)可得+?,岑,所以雇*4&,則2的最小值為與練真題明確考向回味高考21. (2021全國乙卷)記S為數(shù)列斯的前項和,。為數(shù)列S的前項積,已知三+7 =2。(1)證明:數(shù)列小是等差數(shù)列;(2)求“的通項公式。解析(1)證明:因為兒是數(shù)列S.的前項積,所以 “22 時,Sn=,bn-代入卷+十=2可得,+=2,整理可得2d-|+1=2兒,即 =/心2)。3-2尸加 以 所2,=3而1 -人+2-S3故兒是以楙為首項,與為公差的等差數(shù)列。. y ,“ + 2(2)由(1)可知,兒=亍,3-2 以 產(chǎn) 所 S , = -2內(nèi) 2 .
46、 2 + 時 1 + = 2SHn 則 當(dāng),、,n+2 n+11當(dāng)2 時a=s-sn-,=Y-=-+yj3而0=不適合上式,1、n(n+ l)r%+1, 為奇數(shù),2.(皿新高考全國I卷)已知數(shù)列滿足I,研尸I,”為偶數(shù)。(1)記兒=。2,寫出仇,岳,并求數(shù)列仇的通項公式;(2)求6的前20項和。解(1)因為乩=。2,且0=1,。+1 =fln+1, 為奇數(shù),。+2, 為偶數(shù),所以 6 =6=41 + 1=2,歷=。4 =。3+ 1 =2 + 2+ 1 =5o因為 bn a2n,所以d+|=。2+2 =。2+1 + 1=。2+|+1=。2 + 2+1=。2 + 3,所以兒+|一。 =。2“ +
47、3 2 = 3,所以數(shù)列兒是以2為首項,3為公差的等差數(shù)列,瓦=2+3(- 1)=3-1, N*。(2)因為?!?1 =斯+1, 為奇數(shù),斯+2, 為偶數(shù),所以 時,。2& =志廣 1 + 1=。2卜1 + 1,即。2& =。2.1 + 1,42Ml =24 + 2,。24+2 =。2&+1 + 1=。2&+1+1 ,即。2什2 = 42Hl+l ,所以+得。21=。2&-1+3,即。2女十|一。2-1=3,所以數(shù)列的奇數(shù)項是以1為首項,3為公差的等差數(shù)列:+得。24+2 =。2A+ 3,即。2什2-424 = 3,又 2 = 2,所以數(shù)列詼的偶數(shù)項是以2為首項,3為公差的等差數(shù)列。所以數(shù)列斯
48、的前 20 項和 S20 = 3l+。3 + 5+。19)+ (。2 +。4 + 6+。20)= 10 +10X92X3+204-10X92X3 = 300o(2021浙江高考)已知數(shù)列斯的前項和為S”,0=一干且4sl+i=3S“一9(“CN*)。(1)求數(shù)列?!暗耐椆?;(2)設(shè)數(shù)列d滿足3兒+(-4)a“=0(eN*),記6的前n項和為To若7;功“對任 意“WN”恒成立,求實數(shù)2的取值范圍。解(1)因為 4S+i = 3S“一9,所以當(dāng)22時,4S=3S-|-9,兩式相減可得44+i=3a“,即:,I。時 =1 當(dāng)2 , a+9-427-4解得 02=所以絲=卡。ai 493所以數(shù)列
49、斯是首項為一會公比為j的等比數(shù)列,X9- 4+3;(2)因為 3b+(n-4)an=0,所以兒=(-4)X34、所以 7;,= -3X-2xf1j2-X O + 3 XJJ7XQ) +4)x(/,(_4)X(J)+i = _X(J)+i,且,=_ 3 X J _ 2 X_ 1 X+ 0 X 舟 + + ( - 5) X 伊 + ( - 4) X 0)+1所以 7;= 4xg+i。因為乙“對任意GN*恒成立,所以一4 X仔)+4) X仔)恒成立,即一 3,”-4)恒成立, TOC o 1-5 h z 一312,當(dāng)“4 時,-7=-3此時一4一4當(dāng)=4時,-124時,入一=一3一-此時423。,n
50、4n4(2020新高考全國I卷)已知公比大于1的等比數(shù)列?!皾M足。2+。4=20,6=8。(1)求斯的通項公式;(2)記歷為斯在區(qū)間(0, M(zCN*)中的項的個數(shù),求數(shù)列瓦,的前100項和Sioo。解(1)設(shè)斯的公比為q,且ql。由題設(shè)得aq+aig3 = 2O, ”q2 = 8。解得q=;(舍去),q=2。由題設(shè)得0=2。所以小的通項公式為an=2no(2)由題設(shè)及(1)知仇=0,且當(dāng)2根4 + 匕65_1F*ioo)=0+1 X2 + 2 X 22 + 3 X 23 + 4 X 24 + 5 X 25 + 6X(100 - 63)=480o三、大題專項立體幾何大題考向探究高考對立體幾何
51、在解答題中的考查比較穩(wěn)定,空間線面位置關(guān)系中的平行或垂直的證明, 空間角的計算是熱點,題型主要有:.空間位置關(guān)系的證明。.求空間角或其某一種三角函數(shù)值。精析精研重點攻關(guān)考向突破考向一平行與垂直問題【例1】 如圖,在直三棱柱ADE-BCF中,平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互 相垂直,點M為A8的中點,點。為。尸的中點。證明:EM B(1)OM平面 8CF;(2)平面 平面 EFCDo證明(1)由題意,得A8, AD, AE兩兩垂直,以點A為原點建立如圖所示的空間直角 坐標(biāo)系A(chǔ)xyzo設(shè)正方形邊長為 1,則 A(0,0,0),1,0,0), C( 1,1,0), 0(0,1,0), F(
52、1,0,1), “Q,。,。),噂,y 2)0*OM=(0,-1), 8A=(-1,0,0),所以O(shè)M8A=0,所以。M_LBA。 因為棱柱ADE-BCF是直三棱柱, 所以48 J平面BCF,所以BA是平面BCF的一個法向量,且平面BCF,所以0M平面BCFo(2)在(1)的空間直南坐標(biāo)系中,設(shè)平面與平面EFCD的法向量分別為m=(xi,巾, Z|), 2 = (X2, y2, Z2)。-A-A-A-A因為。尸=(1, -1,1), 0M=6, -1, 0), DC=( 1,0,0), CF=(0, -1,1),X|-yi+zi=o,那 i-yi=0,nDF=0, 由J得M=0,令 xi =
53、l,則=-2, 2)同理可得2 = (0,1,1)。因為r2=0,所以平面平面EFCDo方法悟通(1)利用向量法證明平行、垂直關(guān)系,關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系(盡可能利用垂直條件, 準(zhǔn)確寫出相關(guān)點的坐標(biāo),進而用向量表示涉及直線、平面的要素)。(2)向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量,但向量證明仍然離不開立體幾何 的定理。【變式訓(xùn)練1】 如圖,在四棱錐尸-A8CO中,出,底面A8CD, AD/BC, ADLCD, BC=2, AD=CD=, M 是 P8 的中點。P(1)求證:AM平面PCD;求證:平面ACMJ_平面附8。證明(1)如圖,以C為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系Cxyz, 則 A(1
54、,1,O),仇0,2,0), C(0, 0,0), D( 1,0,0), P(l,l, a)(a0),*,2, 2) CP=(1/,a),CD=( 1,0,0), AM=(T,I,9,(x()+yo+azo=0,設(shè)平面PCD的法向量為小=(xo, Jo, zo),則八 xo=O,令 yo=a,則i = (0, a, 1),*所以?=0,又4Ml平面PCD,所以AM平面PCD。由得,CA=(l,l,0), CM=(J, 2 2)設(shè)平面ACM的法向量為“2=(X1, yi, zi),xi+yi=0, TOC o 1-5 h z 則13 a/i+分|+?1=0,令 Xl = l,則2 = (1,1,
55、-AAP=(0,0, a), A8=(-l,l,0),設(shè)平面以8的法向量為“3 = (X2, J2, Z2),f-x2+y2=0,則 八g=0,令及=1,則 3 = (1,1,0),因為坂3= 1 1 =0,所以般2,3。所以平面平面PAB.考向二空間角問題【例2】(2021,新高考全國I卷)如圖,在三棱錐A-BCO中,平面平面8CD, AB=AD,。為BO的中點。(1)證明:OA_LC;(2)若OCO是邊長為1的等邊三角形,點E在棱4。上,DE=2EA,且二面角E-8C-O 的大小為45。,求三棱錐A-8CO的體積。解(1)證明:因為AB=4, O為BD的中點、,所以O(shè)A_L8O,又平面AB
56、OJL平面SCO,且平面ABOC平面BC0=BD, OAU平面A8O,所以。4_L 平面BCD,又CDU平面BCD,所以。4 _L CD。(2)解法一:因為OCD是邊長為1的正三角形,且。為8。的中點,所以O(shè)C=O8= OD=,所以BCO是直前三甬形,且NBCO=90。,BC=yj3,所以Sabcd=坐。如圖,過點E作EF/AO,交BD于F,過點F作FG工BC,垂足為G,連接EG。因為AO_L平面BCD,所以EFJ平面BCD,又BCU平面BCD,所以EFl. BC,又 FGLBC,且 EFCFG=F, EF, FGU平面 EFG,所以BC-L平面EFG,又EGU平面EFG,所以BC-LEG,
57、則NEGF為二面角E-BC-D的平面角,所以 N EGF=45,則 GF= EF2BF因為 OE=2E4,所以 EF=wOA, DF=2OF9 所以訴=2 jr U因為 FG_L3C, CDBC,所以 GFCO,Gf 22則而=1,所以GF=q。2所以 EF=GF=g,所以 OA=1,所以 Va-bcd=SbcdOA =-jX-x 1 =含。解法二:如圖所示,以O(shè)為坐標(biāo)原點,OB,。4所在直線分別為x, z軸,在平面8CQ 內(nèi),以過點。且與8。垂直的直線為y軸建立空間直角坐標(biāo)系。因為OCO是邊長為1的正三角形,且。為8。的中點, 所以 OC=OB=OD=,所以仇 1,0,0), 0(-1,0.
58、0),一;,坐,0)。設(shè) A(0,0, a), a0,因為 OE=2EA,所以一;,o,華)。由題意可知平面BCD的一個法向量為n=(0,0J)o設(shè)平面BCE的法向量為m = (x, y9 z), 因為BC=(一|,*,0), BE=(_/ 0,引。mBC=0f所以彳l/;rBE=0,令x=l,則y=小,z=,所以m=(l,#,q因為二面角E-BC-D的大,卜為45, 2所以 cos 45-|W,l- /所以 cos 4, |m|n|4 2,4+7得 a=l,即 OA = 1。因為 SCD=BD CDsin 60=1x2X 1 又當(dāng)=坐ii s所以 Va.8ca=SabsOA=QX與X 1 =
59、方法悟通(1)解題時要建立右手直角坐標(biāo)系。TT(2)注意求線面角的公式中sin 8=|cos (a, u) |,線面角的取值范圍是1o,工|。(3)利用空間向量求二面角要結(jié)合圖形判斷所求角是銳角還是鈍角?!咀兪接?xùn)練2】(2021 青島統(tǒng)一質(zhì)量檢測)在四棱錐P-4BCC中,/M_L平面ABCD, AD /BC, BCLCD, PA=AD=2, CO=1, 8c=3,點 M, N 在線段 8c 上,BM=2MN=1, ANCMD=E, Q為線段P8上的一點。(1)求證:平面RW:4(2)若平面MQ4與平面以N所成銳二面角的余弦值為弓,求直線M。與平面A8C。所成 角的正弦值。解 (1)證明:因為B
60、C=3, BM=l,所以CM=2,所以AO=CM,又AOCM,所以AO斜5 CM,所以四邊形AMCO為平行四邊形,又8c,。,所以四邊形AMCZ)為矩形。MN AM 1因為777=7百=7,所以4MNs/DAM,所以NM4N=NAQM,所以 NAE)= NMAN+ NAME= NAOM+ NAME=90,所以 MO J-AN。因為以1平面ABC, HOU平面ABC。,所以以_LMC,又AND必=A,所以MO_L平面PAN.(2)如圖,以A為坐標(biāo)原點,AM, AD, AP所在直線分別為x, y, z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則 A(0,0,0), M(l, 0,0), P(0,0,2), A(l,
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