高中數(shù)學(xué)數(shù)列知識點(diǎn)整理

1、數(shù)列1、數(shù)列中an與Sn之間的關(guān)系：Si , (n 1)an注意通項(xiàng)能否合并Sn Sn 1,( n 2).即 an an2、等差數(shù)列：定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù),* TOC o 1-5 h z .L，.Q=d , ( n 2, n N ),那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列。? ；I等差中項(xiàng)：若三數(shù)a、A、b成等差數(shù)列a* 飛通項(xiàng)公式：an ai ( n 1)d am (n m)d或-an pn q ( p、q 是常數(shù)).前n項(xiàng)和公考： ,J -(*)= T =n n 1 n a anSn na1d常用性質(zhì)：+ 0才Jn 為遞減數(shù)列；iii) dan為常數(shù)列;數(shù)

2、列 an 為等差數(shù)列aan pn q ( p,q是常數(shù))之若等差數(shù)列an飛前n項(xiàng)和Sn ,則Sk、S2 k Sk、S3k S2k?是等差數(shù)列。3、等比數(shù)列定義：如果一數(shù)，從第做等比數(shù)列。t J2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù),那么這個(gè)數(shù)列就叫等比中壩：帶三數(shù)a、G、b成等比數(shù)列 G2 ab, ( ab同號)。反之不一定成立。通項(xiàng)公式：a n a1qnn mamq前n項(xiàng)和公式：Snai常用性質(zhì)m, n, p, q N ,則 am anap aq ；ak , ak m , ak 2m ,為等比數(shù)列，公比為 q k (下標(biāo)成等差數(shù)列，則對應(yīng)的項(xiàng)成等比數(shù)列D數(shù)列.an(為不等于零的常數(shù))仍

3、是公比為q的等比數(shù)列；正項(xiàng)等比數(shù)列anIg an曷公差為1g q的等號數(shù)卻“ _f I 51 1右an是等比數(shù)列，貝Ucan , an 2 , “1 ,anran(r Z )是等比數(shù)列，公比依次是q 單調(diào)性:a1 0, q 1 或 aK0,0 q 0,0 1=5an為遞減數(shù)列；為常數(shù)列;0 an為擺動(dòng)數(shù)列;既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的數(shù)列是常數(shù)列。若等比數(shù)列 an的前n項(xiàng)和Sn ,則Sk、S2 k Sk、S3k S2k ? 是等比數(shù)列.4、非等差、等比率列膽項(xiàng)公式的求法_類型I 觀察法：已知數(shù)列前若干項(xiàng)，求該數(shù)列的通項(xiàng)時(shí)， 一般對所給的項(xiàng)觀察芬橋，尋找規(guī) 律，從而根據(jù)規(guī)律寫出此數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)。公

4、式類型n公式法：若已知數(shù)列的前S1ann項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系，求數(shù)列 an的通項(xiàng)an可用Sn Sn 1 ,(n1)構(gòu)造兩式作差求解。2)用此公式時(shí)要注意結(jié)比有兩種可能,一種是“一分為二”(要先分n*1 和 n2兩種情況分別進(jìn)行運(yùn)算，然后驗(yàn)證能否統(tǒng)一9 0類型田累加法:形如an 1anf (n)型的遞推數(shù)列(其中f (n)是關(guān)于n的函數(shù))可 構(gòu)造:an a1 f (n 1) TOC o 1-5 h z n1 n 2 f ( n 2) q4* +*+.4a2 aif (1)將上述n 1個(gè)式子兩邊分別相加，可得：an f (n 1) f (n 2)f (2) f (1) a 1 ,( n 2)若f

5、(n)是關(guān)于n的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和 若f (n)是關(guān)于n的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和若f (n)是關(guān)于n的二次函數(shù)，累加后可分組求和若 f (n)他關(guān)于n的分式函數(shù)，累加后可裂項(xiàng)求和類型IV累乘法:/、1I(其中f (n)是關(guān)于n的函數(shù))可構(gòu)造:物制an t=an f(n)1所=f (n)型的心推數(shù)列Il *tj3nann 5f (nan 1f (n 2)an 1an 2 a2f (1) a1將上述n 1個(gè)式子兩邊分別相乘,可得:an f (n 1) f (n 2)f (2) f (1)a 1 ,( n 2)套時(shí)若不熊直接用，回變源成.這種形式，然后用整種方法求解。

6、類型v構(gòu)造數(shù)列法：形如 an 1 pan q (其中p,q均為常數(shù)且p 0)型的遞推式:(1)若p 1時(shí)，數(shù)列 an 為等差數(shù)列；， + = + (2)若q 0時(shí)，數(shù)列 an 為等比數(shù)歹U ;(3)若p 1且q 時(shí)，數(shù)列 an 為線性遞推數(shù)列，其通項(xiàng)可通過待定系數(shù)法構(gòu)造等比 數(shù)列來求.方法有如下兩種：pan ( p 1),與題設(shè)設(shè)法一：gn 14 p(an),展開移項(xiàng)整理得 an 1T/afc.panq比較系數(shù)(待定系數(shù)法),(P0)anp(an 11p 1-q構(gòu)成以Jp 1ai比數(shù)列.再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出為首項(xiàng),1+-4* I 法二：.3 一由 an 1 pan q 得 an pan

7、 1q的通項(xiàng)整理可得 an.p 1 anq(n 2)兩式相減弁整理得 nanan 1 an電成以a2 a1為11典，以p為公比的等比數(shù)列 .求出an 1類型田(累形如an 1panf (n) ( p1)型的遞推式：當(dāng)f (n)為一次函數(shù)類型(即等差數(shù)列)時(shí):法一：設(shè) a An B p a A(n 1)B ,通過待定系數(shù)法確定成以a1 A B為首項(xiàng)，以 p為公比的等比數(shù)列甲 Tan An式求出n 4 An + B)的通項(xiàng)整理可得 an.法二：當(dāng)f (n)的公差為d時(shí)，由遞推式得:anp(an1以p為公比的等J1anp,即an 1an的通項(xiàng)再轉(zhuǎn)化為、 的值，轉(zhuǎn)化A BB,再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公J二

8、 pan+ f(n), Tan = pan 計(jì) f (n1)兩式相減得：a a p(a a ) d，令n 1 nnn 14 一 = =b a a 得:n n 1 n1,第 , 一pb d轉(zhuǎn)化為類型n 1 .v 求出bn ,再用 類型田(累加法)便可求出an .當(dāng)f (n)為指數(shù)函數(shù)類型(即等比數(shù)列)時(shí):f (n) p an 1 f (n 1)=,通過待定系數(shù)法確定的值，轉(zhuǎn)化成以aif (1)為首所,以 p學(xué);公上的等藥數(shù)列an f (n),再利用等比非列的通項(xiàng)公式求出()a#f n的通項(xiàng)整理可得 an .法二:an pan1當(dāng) f (n)f (n的公比為q時(shí)，由遞推式得:an 1 pan f

9、(n),減得an 1anq1),兩邊同時(shí)乘以q得an qpqan 1 qf (n 1)，由兩式相an 1 qanp(an qan 1)，即 an qan 1p ,在轉(zhuǎn)化為類型v便可求出an .器一q,法三：遞推公式為an 1 pan qn （其中p，q均為常數(shù)）pannrq（其中p,r均為常數(shù)）時(shí)，要先在原遞推公式兩邊同時(shí)除以得：an 1an輔勘皴列bn （其中bnan ),得.bn1bn再應(yīng)用q n 1類型v的方法解決。當(dāng)f （n）為任意數(shù)列時(shí)，可用 通法：在an 1 panf （n）兩邊同時(shí)除以 pn可得到an 1 an n 1nf (n)，令annbn ，則bn 1bn,在轉(zhuǎn)化為類型田（

10、累加法）p求出bn之后得an類型VI對數(shù)變換法:ampa q ( p0-an0y 型的遞推式:在原遞推式an 1pa q兩邊取對數(shù)得lg aq lg an lg p，令qb lg p ,化歸為 a一 nn 1panq型，求出b之后得bnbnlg an得:（注意：底數(shù)不一定an = 10 .要取10,可根據(jù)題意選擇）類型口倒數(shù)變換法:形如an 1anpan 1anCp為常數(shù)且0 ）的遞推式： 兩邊同除于an 1an ,轉(zhuǎn)化為形式，花歸為 an 1 pan q型京油1 日勺表達(dá)式,再求an a n 1還有形如an=o-十a(chǎn)n 1man的遞推式，+而可采點(diǎn)取倒數(shù)方法轉(zhuǎn)化成an 1panpan q 1

11、q型求出的表達(dá)式，再求anXq anm形式，化歸為+類型皿+形如an -2- pan 1 qan用待定系數(shù)法，化為特殊數(shù)列 anan 2kan 1型的遞推式:an 1 的形式求解。方法為：設(shè)h（an 1 + kan ）水上作交系數(shù)得 h k p, hk q ,可解得h、k ,于是 an 1 kan 是公比為h的等比數(shù)列，這樣就化歸為 an 1 pan q型。對不能轉(zhuǎn)化為以上方法般地，當(dāng)數(shù)列的通項(xiàng) an(a,b i,b2, c為常數(shù))時(shí)，往往可將總之，求數(shù)列通項(xiàng)公式可根據(jù)數(shù)列特點(diǎn)采用以上不同方法求解,5非等.、等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的求法錯(cuò)位相減法若數(shù)列-an為等差數(shù)列， 數(shù)列 bn為等比數(shù)列，

12、則數(shù)列 an bn的求和就要采用此法將數(shù)列an bn的每一項(xiàng)分別乘以bn的公比，然后在錯(cuò)位相減，進(jìn)而可得到數(shù)列an bn的前n項(xiàng)和.此法是在推導(dǎo)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法裂項(xiàng)相消法設(shè)anan b 1 an Cnm 1 Cnm1 Cnm；(anbi)( an b 2 )變成兩項(xiàng)用二差，采用裂項(xiàng)相消法求和.可用待定系數(shù)苣進(jìn)行裂項(xiàng)十,通分整理后與原式相比較，根據(jù)對應(yīng)項(xiàng)系數(shù)相等得 b2c ,從而可得 TOC o 1-5 h z b2bic c 1- 144=(兒 I(an b i)(an b 2 ) (b2 bi ) an b 1 an b 2常見的拆項(xiàng)公式有:111;n(n 1) n n 1=1 ；2)11 ( 11 );(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 11-(a b);a b1)! n!. 二分組法求和有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開,可