熱點(diǎn)專(zhuān)題系列2　求解共點(diǎn)力平衡問(wèn)題的八種方法

1、熱點(diǎn)專(zhuān)題系列（二）求解共點(diǎn)力平衡問(wèn)題的八種方法熱點(diǎn)概述：共點(diǎn)力作用下的平衡條件是解決共點(diǎn)力平衡問(wèn)題的基本依據(jù)，廣 泛應(yīng)用于力、電、磁等各局部?jī)?nèi)容的題目中，求解共點(diǎn)力平衡問(wèn)題的八種常見(jiàn)方 法總結(jié)如下。熱點(diǎn)透析0力的合成、分解法三個(gè)力的平衡問(wèn)題，一般將任意兩個(gè)力合成，那么該合力與第三個(gè)力等大反向, 或?qū)⑵渲心硞€(gè)力沿另外兩個(gè)力的反方向分解，從而得到兩對(duì)平衡力。之例1 （2021 八省聯(lián)考湖南卷）如圖，一根質(zhì)量為根的勻質(zhì)繩子，兩端分別固 定在同一高度的兩個(gè)釘子上，中點(diǎn)懸掛一質(zhì)量為M的物體。系統(tǒng)平衡時(shí)，繩子中 點(diǎn)兩側(cè)的切線與豎直方向的夾角為釘子處繩子的切線方向與豎直方向的夾角 為小那么（）釘子釘子1ta

2、na m + M麗二 M cosa m答案B解析設(shè)繩子中點(diǎn)處的拉力大小為t,繩子兩端點(diǎn)處的拉力大小均為r , 對(duì)繩子中點(diǎn)受力分析，由平衡條件可知2Tcos = Mg,對(duì)繩子和物體整體受力分析, 由平衡條件可知2T cOs/3 = mg + Mg,用微元法，對(duì)繩子任意一端到中點(diǎn)間的每 一點(diǎn)受力分析，由平衡條件及牛頓第三定律可得，水平方向上有 sin=Tsin, tana + A/三式聯(lián)立解得麗= R一,故B正確。正交分解法C.產(chǎn)先減小后增大D.產(chǎn)先不變后增大B.尸一直減小A.廠一直增大答案D解析 設(shè)輕繩左右兩側(cè)間的夾角為2仇以滑輪為研究對(duì)象，分析受力情況如下圖，根據(jù)平衡條件有2Fcos = mg

3、,可解得輕繩的拉力尸輕繩的一 端在間移動(dòng)時(shí)/isind + /2sin。=/sin9 = d,其中/1、八為滑輪左、右兩側(cè)的繩長(zhǎng), /為繩總長(zhǎng)，d為兩墻壁間距，那么。不變；那么輕繩另一端從點(diǎn)沿墻壁緩慢移到。 點(diǎn)的過(guò)程中，由幾何知識(shí)可知，。先不變后增大，cos。先不變后減小，輕繩的拉 力產(chǎn)先不變后增大，D正確，A、B、C錯(cuò)誤。4.（2021 .遼寧省錦州市高三一模）如圖，天花板下細(xì)線。懸掛著一個(gè)光滑輕 質(zhì)定滑輪，小物塊A置于斜面上，通過(guò)細(xì)線跨過(guò)滑輪與沙漏B連接，滑輪右側(cè)細(xì) 線與斜面平行；開(kāi)始時(shí)A、B都處于靜止?fàn)顟B(tài)，。與豎直方向的夾角為仇在B 中的沙子緩慢流出的過(guò)程中（）A受到的摩擦力一定緩慢增大

4、A受到的細(xì)線拉力可能緩慢增加C.細(xì)線。與豎直方向的夾角為?？赡茉黾覦.細(xì)線OC的張力一定緩慢減小答案D解析 在B中的沙子緩慢流出的過(guò)程中，系統(tǒng)保持靜止，以B為研究對(duì)象, 細(xì)線拉力T與B的重力mBg大小相等，那么A受到的細(xì)線拉力緩慢減小，以A為 研究對(duì)象，假設(shè)最初B的重力大于A的重力沿斜面方向的分力，那么A受摩擦力方 向沿斜面向下，在B中的沙子緩慢流出的過(guò)程中，A受的摩擦力先減小后反向增 大，故A、B錯(cuò)誤；以滑輪為研究對(duì)象，因?yàn)镃4、為同一根細(xì)線，拉力大小 相等，由對(duì)稱(chēng)性和平衡條件可得，。一定沿N3CA的角平分線的方向，因?yàn)镃A. CB的方向不發(fā)生變化，所以細(xì)線OC的方向也不會(huì)發(fā)生變化，故C錯(cuò)誤

5、；在B 中的沙子緩慢流出的過(guò)程中，細(xì)線CB、CA中拉力T緩慢減小，而夾角。不變， 所以C4、C3兩細(xì)線拉力的合力緩慢減小，而細(xì)線OC的張力與細(xì)線CA、拉 力的合力等大反向，所以也緩慢減小，故D正確。5.（2021山東省青島市高三下二模）（多項(xiàng)選擇）水平傳感器可以測(cè)量器械擺放處所 在平面的傾角。該裝置可以簡(jiǎn)化為：內(nèi)壁光滑豎直放置的正三角形，內(nèi)部有一球 體，其半徑略小于三角形內(nèi)接圓半徑，三角形各邊都有壓力傳感器，分別測(cè)量小 球?qū)θ龡l邊壓力大小，根據(jù)壓力大小，信息處理單元將各邊與水平面間的夾角通 過(guò)顯示屏顯示出來(lái)，如下圖。圖中此時(shí)3。邊恰好處于水平狀態(tài)，將其以。為 軸在豎直面內(nèi)順時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)，直到A

6、C邊水平，在轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，以下說(shuō)法正確 的是（）球?qū)C邊壓力不可能大于球的重力 球?qū)C邊壓力一直增大C.球?qū)厜毫ο仍龃蠛鬁p小D.球?qū)?C邊壓力最大值為十G答案CD解析 對(duì)正三角形內(nèi)部的小球受力分析，如下圖，由幾何關(guān)系可知，隨著 角度。從0到120。增大過(guò)程中，角a與角。之和保持不變，且a + e=120。，所以 G Nac Nbc角夕也保持不變，夕二 60。，由平衡條件和正弦定理得麗二訴二代（120。-所 以球?qū)C邊的壓力Nac = Me = sin。=前=羋Gsin。，可知球?qū)C 邊的壓力可能大于球的重力，A錯(cuò)誤;球?qū)叺膲毫bc = c = sin（120 -。）二 焉浮吊（12

7、0-e）= 畢Gsin（ 120。-。），角度。從0。到120。增大過(guò)程中，sin。 和sin（120。-。）都是先增大后減小，所以球?qū)C邊的壓力和球?qū)?C邊的壓力都 是先增大后減小，B錯(cuò)誤，C正確；當(dāng)。= 30。時(shí)，球?qū)厜毫ψ畲?，且最?值為羋G, D正確。G將各力分解到X軸上和y軸上，在兩坐標(biāo)軸上運(yùn)用平衡條件氏=。、a =。進(jìn) 行分析，多用于三個(gè)以上共點(diǎn)力作用下的物體的平衡。值得注意的是，對(duì)九、y 方向選擇時(shí)，盡可能使較多的力落在X、y軸上，被分解的力盡可能是力，不 宜分解待求力。之例2某同學(xué)用拇指和食指掐住質(zhì)量為500 g的玻璃瓶上同高度的位置 處于靜止?fàn)顟B(tài)，且瓶相對(duì)于手指恰好不下滑

8、。該位置側(cè)壁與豎直方向夾角為30。, 其截面如下圖。假設(shè)玻璃瓶與手指之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 = 0.2,手指可視為形狀 不變的圓柱體，重力加速度g=10 m/s2,設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。那么拇 指與玻璃瓶之間的摩擦力為（）A. 1.25 N25-5小C.-N+ 2Asin = mg,又f=pN,聯(lián)立并代入數(shù)據(jù)得六25-57322N,故C正確，A、B、2.5 N25 - 15 6D. -N答案C解析對(duì)玻璃瓶受力分析，并正交分解，如下圖，根據(jù)平衡條件有2允。s。D錯(cuò)誤。圖解法在共點(diǎn)力的平衡中，有些題目中常有“緩慢”一詞，那么物體處于動(dòng)態(tài)平衡狀 態(tài)。解決動(dòng)態(tài)平衡類(lèi)問(wèn)題常用圖解法，圖解法就是在對(duì)物

9、體進(jìn)行受力分析（一般受三個(gè)力）的基礎(chǔ)上，假設(shè)滿足有一個(gè)力大小、方向均不變，另有一個(gè)力方向不變，可 畫(huà)出這三個(gè)力的封閉矢量三角形來(lái)分析力的變化情況的方法，圖解法也常用于求 極值問(wèn)題。之例3如下圖，用豎直木板擋住放在光滑斜面上的小球A, A受到的重力 為Go整個(gè)裝置靜止在水平面上。設(shè)斜面和木板對(duì)小球A的彈力大小分別為Fi 和b2。保持木板豎直，在斜面的傾角。緩慢減小的過(guò)程中，A受力的變化情況是 （）A.A.G不變，B減小B.為減小，G不變，B增大C.為減小，G不變，F(xiàn)2減小D.乃不變，G增大，b2增大答案C解析小球A受到重力、斜面對(duì)小球A的彈力Fi和木板對(duì)小球的彈力F2, 在斜面的傾角。緩慢減小的

10、過(guò)程中，A的重力G不變，色方向不變，由圖解法知, Fix尸2均減小，故C正確，A、B、D錯(cuò)誤。三力匯交原理物體受三個(gè)共面非平行外力作用而平衡時(shí)，這三個(gè)力的作用線（或反向延長(zhǎng)線） 必交于一點(diǎn)。助例4 根長(zhǎng)2 m、重為G的不均勻直棒A3,用兩根細(xì)繩水平懸掛在天花板上，當(dāng)棒水平平衡時(shí)細(xì)繩與水平面的夾角如下圖，那么關(guān)于直棒重心C的位置, 以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是（）3060 y o2ABA.距離8端0.5 m處B.距離B端0.75 m處C.距離5端坐m處D.距離8端乎m處答案A解析當(dāng)一個(gè)物體受三個(gè)力作用而處于平衡狀態(tài)時(shí)，如果其中兩個(gè)力的作 用線相交于一點(diǎn)，那么第三個(gè)力的作用線必通過(guò)前兩個(gè)力作用線的相交點(diǎn)。

11、把。兇 和023延長(zhǎng)相交于。點(diǎn)，那么重心C一定在過(guò)。點(diǎn)的豎直線上，如下圖。由幾何知識(shí)可知：BO = AB何知識(shí)可知：BO = AB=1 m, BC = BO = 0.5 m,故重心應(yīng)在距B端0.5 m處。A正確。整體法和隔離法當(dāng)分析相互作用的兩個(gè)或兩個(gè)以上物體整體的受力情況及分析外力對(duì)系統(tǒng)的 作用時(shí)，宜用整體法；而在分析系統(tǒng)內(nèi)各物體（或一個(gè)物體各局部司的相互作用 時(shí)常用隔離法。整體法和隔離法不是獨(dú)立的，對(duì)一些較復(fù)雜問(wèn)題，通常需要屢次 選取研究對(duì)象，交替使用整體法和隔離法。之例5如圖，水平桌面上有三個(gè)相同的物體a、b、c疊放在一起，a的左端 通過(guò)一根輕繩與質(zhì)量為2 = 3審kg的小球相連，繩與水

12、平方向的夾角為60。，小 球靜止在光滑的半圓形器皿中。水平向右的力b=20N作用在b上，三個(gè)物體保 持靜止?fàn)顟B(tài)。g取10m/s2。以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是（）A.物體a對(duì)桌面的靜摩擦力大小為10N,方向水平向右B .物體b受到物體a給的一個(gè)大小為20 N的摩擦力，方向水平向左c.物體C受到向右的靜摩擦力，大小為20 ND.在剪斷輕繩的瞬間，三個(gè)物體一定會(huì)獲得向右的加速度答案B解析對(duì)小球受力分析，如下圖，由幾何關(guān)系可知，N=7,根據(jù)平衡條件，在豎直方向有2小皿60。二mg,那么繩子拉力為T(mén)=件，在豎直方向有2小皿60。二mg,那么繩子拉力為T(mén)=_ 373X102ir乎N = 30No對(duì)a、b、c整體

13、受力分析，水平方向7尸，根據(jù)平衡條件知桌面對(duì)a的靜摩擦力 方向水平向右，大小為/=7-/=30 N 20 N= 10 N,根據(jù)牛頓第三定律可知，a 對(duì)桌面的靜摩擦力大小為10N,方向水平向左，A錯(cuò)誤；對(duì)b、c整體受力分析, 水平方向根據(jù)平衡條件有尸=20N,可知物體b受到物體a給的一個(gè)大小為 20 N的摩擦力，方向水平向左，B正確；對(duì)c受力分析可知，物體c僅受重力和 支持力，不受摩擦力，C錯(cuò)誤；桌面對(duì)a、b、c整體的最大靜摩擦力大小未知， 那么在剪斷輕繩的瞬間，三個(gè)物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)未知，D錯(cuò)誤。假設(shè)法假設(shè)某條件存在或不存在，進(jìn)而判斷由此帶來(lái)的現(xiàn)象是否與題設(shè)條件相符, 或者假設(shè)處于題設(shè)中的臨界狀態(tài)

14、，以此為依據(jù)，尋找問(wèn)題的切入點(diǎn)，進(jìn)而解決該 問(wèn)題。助例6 （多項(xiàng)選擇）如下圖，豎直平面內(nèi)質(zhì)量為機(jī)的小球與三條相同的輕質(zhì)彈簧 相連接。靜止時(shí)相鄰兩彈簧間的夾角均為120。，彈簧a、b對(duì)小球的作用力均為凡 那么彈簧c對(duì)此小球的作用力的大小可能為（）A. FF- mgD. mg - F答案abcd解析假設(shè)三個(gè)彈簧中有a、b兩彈簧伸長(zhǎng)而c彈簧縮短，那么此時(shí)小球的受 力情況是：a和b兩彈簧的拉力R c彈簧的支持力艮、小球自身的重力mg,如 圖甲所示。由共點(diǎn)力的平衡條件可得：2Fcos60 + Fc - mg = 0,貝1_艮=相且-尸，故 D正確。因?yàn)轭}中并未給定機(jī)g與產(chǎn)的大小關(guān)系，故可能有mg = 2

15、R那么氏=%g -F=2F-F=F,故 A 正確。假設(shè)a、b、c三個(gè)彈簧均是壓縮的，此時(shí)小球的受力情況如圖乙所示。小球 的受力情況是：自身重力mg、a和b兩彈簧斜向下方的彈力F、c彈簧豎直向上 的彈力Fc,對(duì)小球由共點(diǎn)力的平衡條件可得：2Fcos60 + mg-Fc = 0,那么FC = F + mg,故B正確。假設(shè)a、b、c三個(gè)彈簧均是伸長(zhǎng)的，此時(shí)小球的受力情況如圖丙所示。小球 的受力情況是：自身的重力mg. a和b兩彈簧斜向上方的拉力F、c彈簧向下的 拉力Fc,對(duì)小球由共點(diǎn)力的平衡條件可得：2Fcos60 - mg-Fc = O,所以FC = F -mg,故C正確。相似三角形法在三力平衡問(wèn)

16、題中，如果有一個(gè)力是恒力，另外兩個(gè)力方向都變化，且題目 給出了空間幾何關(guān)系，多數(shù)情況下力的矢量三角形與空間幾何三角形相似，可利 用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例進(jìn)行計(jì)算。注意：構(gòu)建三角形時(shí)可能需要畫(huà)輔助線。之例7 （多項(xiàng)選擇）如下圖是一個(gè)簡(jiǎn)易起吊設(shè)施的示意圖，AC是質(zhì)量不計(jì)的撐 桿，A端與豎直墻用較鏈連接，一滑輪固定在A點(diǎn)正上方，。端吊一重物P, BC 繩連接在滑輪與C端之間?，F(xiàn)施加一拉力廠緩慢將重物P向上拉，在AC桿到達(dá) 豎直前（ ）BBFBC繩中的拉力Fr越來(lái)越大BC繩中的拉力Fr越來(lái)越小AC桿中的支撐力K越來(lái)越大AC桿中的支撐力尸n大小不變答案BD解析作出。點(diǎn)的受力示意圖，如下圖，由圖可知力的矢

17、量三角形與幾 何三角形ABC相似。根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得京=是二磊，解得繩中的拉 力為 =AC桿中的支撐力為入=噬。由于重物P向上運(yùn)動(dòng)時(shí)，AB.AC不變，8C變小，故Fr減小，F(xiàn)n大小不變。故B、D正確，A、C錯(cuò)誤。圖正弦定理法如下圖，物體受三個(gè)共點(diǎn)力作用而處于平衡狀態(tài)，那么三個(gè)力中任何一個(gè)力 的大小分別與另外兩個(gè)力的夾角的正弦成正比，即白=品=點(diǎn);。AJL11CX JLlljL/ l）Jill V另一端分別系于固定圓5例8 （多項(xiàng)選擇）如下圖，兩根輕繩一端系于結(jié)點(diǎn)0, 環(huán)上的A、3兩點(diǎn)，。為圓心。點(diǎn)下面懸掛一物體M,繩0A水平，拉力大小 為Fi,繩。3與繩04的夾角120。,拉力大小為62。

18、將兩繩同時(shí)緩慢順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)75。，并保持兩繩之間的夾角a始終不變，物體始終保持靜止?fàn)顟B(tài)。那么在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是（）BA. R逐漸增大C. B逐漸減小B.尸1先增大后減小D. B先減小后增大答案BC解析如下圖，以結(jié)點(diǎn)0為研究對(duì)象進(jìn)行受力分析。由正弦定理得白二 oilFi Fi=其中。二120。不變，那么比值不變， 由鈍角變?yōu)殇J角，sin先變大后變小，那么尸1先增大后減小,由90。變?yōu)殁g角,那么si磔變小,尸2逐漸減小,故B、C正確，A、D錯(cuò)誤。熱點(diǎn)集訓(xùn).（2021 河北省滄州市高三三模）如下圖，三角形斜面體置于粗糙的水平地 面上，在斜面底端固定一輕質(zhì)擋板，輕質(zhì)彈簧連接一質(zhì)量為根的小球，另一端固 定在擋板上，彈簧的勁度系數(shù)為晨現(xiàn)給斜面體施加一水平向左的推力作用，斜 面體和小球均處于靜止?fàn)顟B(tài)，斜面光滑，斜面體質(zhì)量為斜面體與粗糙的 地面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為小 取重力加速度大小為g,那么以下說(shuō)法正確的選項(xiàng)是（）斜面體對(duì)小球的支持力為益 彈簧的壓縮量為國(guó)普C.地面對(duì)斜面體的摩擦力大小一定為（