靜電場(chǎng)與導(dǎo)體

1、第二章靜電場(chǎng)與導(dǎo)體教學(xué)目的要求：1、深入理解并掌握導(dǎo)體的靜電平衡條件及靜電平衡時(shí)導(dǎo)體的基本性質(zhì)，加深對(duì)高斯定理和環(huán)路定理的理解，結(jié)合應(yīng)用電場(chǎng)線這一工具，會(huì)討論靜電平衡的若干現(xiàn)象，會(huì)結(jié)合靜電平衡條件去理解靜電感應(yīng)、 靜電屏蔽等現(xiàn)象，并會(huì)利用前章的知識(shí)求解電場(chǎng)中有導(dǎo)體存在時(shí)的場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)分布。2、確理解電容的概念，并能計(jì)算幾種特殊形式的電容器的電容值。3、進(jìn)一步領(lǐng)會(huì)靜電能的概念、會(huì)計(jì)算一些特殊帶電導(dǎo)體的靜電能。4、深刻理解電場(chǎng)能量的概念，會(huì)計(jì)算電場(chǎng)能。教學(xué)重點(diǎn)：1、靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體2、電容和電容器教學(xué)難點(diǎn)：1、靜電場(chǎng)的唯一定理電場(chǎng)中的導(dǎo)體容和電容器電場(chǎng)的能量電場(chǎng)中的導(dǎo)體1、導(dǎo)體的特征功函數(shù)(1)金屬導(dǎo)

2、體的特征金屬可以看作固定在晶格點(diǎn)陣上的正離子(實(shí)際上在作微小振動(dòng))和不規(guī)則運(yùn)動(dòng)的自由電子的集合。 大量自由電子的運(yùn)動(dòng)與理想氣體中分子的運(yùn)動(dòng)相同，服從經(jīng)典的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。 自由電子在電場(chǎng)作用下將作定向運(yùn)動(dòng)，從而形成金屬中的電流。 自由電子的平均速率遠(yuǎn)大與定向運(yùn)動(dòng)速率。(2)功函數(shù)金屬表面存在一種阻止自由電子從金屬逸出的作用，電子欲從金屬內(nèi)部逸出到外部，就要克服阻力作一個(gè)電子從金屬內(nèi)部跑到金屬外部必須作的最小功稱為逸出功，亦稱功函數(shù)。2、導(dǎo)體的靜電平衡條件(1)什么是靜電感應(yīng)？當(dāng)某種原因(帶電或置于電場(chǎng)中) 使導(dǎo)體內(nèi)部存在電場(chǎng)時(shí)， 自由電子受到電場(chǎng)力的作用而作定向運(yùn)動(dòng), 使導(dǎo)體一側(cè)因電子的聚集而出現(xiàn)負(fù)

3、電荷布另一側(cè)因缺少電子而有正電荷分布，這就是靜電感應(yīng)，分布在導(dǎo) 體上的電荷便是感應(yīng)電荷。(2)靜電平衡狀態(tài)當(dāng)感應(yīng)電荷在導(dǎo)體內(nèi)產(chǎn)生的場(chǎng)與外場(chǎng)完全抵消時(shí)，電子的定向運(yùn)動(dòng)終止，導(dǎo)體處于靜電平衡狀態(tài)。(3)靜電平衡條件所有場(chǎng)源包括導(dǎo)體上的電荷共同產(chǎn)生的電場(chǎng)的合場(chǎng)強(qiáng)在導(dǎo)體內(nèi)部處處為零。靜電平衡時(shí)：導(dǎo)體是等勢(shì)體。導(dǎo)體外表面附近的電場(chǎng)強(qiáng)度與導(dǎo)體表面垂直。 導(dǎo)體表面是一個(gè)等勢(shì)面，且與導(dǎo)體內(nèi)部的電勢(shì)相等。3、導(dǎo)體上的電荷分布(1)導(dǎo)體內(nèi)部電荷密度處處為零，電荷只能分布在導(dǎo)體表面上。(2)空腔導(dǎo)體(內(nèi)無電荷)內(nèi)表面上無電荷分布。電荷只能分布在外表面，且導(dǎo)體空腔內(nèi)部的場(chǎng)強(qiáng)也 為零。(3)孤立帶電導(dǎo)體表面電荷面密度

4、(T與表面曲率有關(guān)。一般來說，曲率大的地方電荷面密度較大，曲 率小的地方電荷面密度較小。4、導(dǎo)體表面的場(chǎng)強(qiáng)當(dāng)導(dǎo)體處于靜電平衡時(shí)，導(dǎo)體表面場(chǎng)強(qiáng)大小與導(dǎo)體表面處的面電荷密度成正比，方向與導(dǎo)體表面垂直，即1E =一二&當(dāng)為表面外法線隼位矢。nE是由所有場(chǎng)源共同產(chǎn)生。匚1E = 曲的關(guān)系形式不受場(chǎng)源改變的影響。當(dāng)場(chǎng)源改變時(shí)，電場(chǎng)分布必要改變，導(dǎo)體表面上的面電荷分布將自E = 行調(diào)整，直至達(dá)到新的靜電平衡，使% 成立。5、靜電屏蔽空腔導(dǎo)體(不論接地與否)內(nèi)部電場(chǎng)不受外部電荷影響；接地空腔導(dǎo)體外部電場(chǎng)不受腔內(nèi)電荷影響， 這種現(xiàn)象叫做靜電屏蔽。當(dāng)導(dǎo)體殼接地時(shí)，接地線的存在，只提供與地交換電荷的可能性，并不保

5、證殼外壁的電荷密度在 任何情況下都為零。 導(dǎo)體的靜電屏蔽作用是自然界存在兩類電荷與導(dǎo)體中存在大量自由電子的結(jié)果。靜電屏蔽時(shí)，電場(chǎng)線不能穿透金屬導(dǎo)體。這里的電場(chǎng)線代表的是所有電荷共同產(chǎn)生的電場(chǎng)。6、導(dǎo)體上的電荷分布計(jì)算方法(1)根據(jù)題設(shè)條件分析判斷經(jīng)靜電感應(yīng)達(dá)到靜電平衡后導(dǎo)體上所帶電荷的性質(zhì)及其分布情況，設(shè)出各 待求電量Q或電荷密度 仃。(2)根據(jù)導(dǎo)體的靜電平衡條件、高斯定理、環(huán)路定理和疊加原理，分別列出其場(chǎng)強(qiáng)及電勢(shì)的表達(dá)式。(3)由已知條件從方程組中解出各待求量。7、導(dǎo)體附近的場(chǎng)強(qiáng)和電勢(shì)計(jì)算方法(1)確定導(dǎo)體達(dá)到靜電平衡時(shí)所帶的電量及電荷分布情況。(2)根據(jù)導(dǎo)體靜電平衡條件及導(dǎo)體上電荷穩(wěn)定分布

6、情況，分析判斷其電場(chǎng)分布情況，用高斯定理(或 場(chǎng)強(qiáng)疊加原理)再求出場(chǎng)強(qiáng)分布。(3)用電勢(shì)定義式(或電勢(shì)疊加原理)求出電勢(shì)分布。8、例題例2.1-1 面積為S的很大金屬平板 A,帶有正電荷，電量為 Q,人1和人2是金屬板的兩個(gè)平面，計(jì)算兩 表面上的電荷單獨(dú)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)和它們的合場(chǎng)強(qiáng)。解：因?qū)w板的面積很大，厚度很小，可以認(rèn)為電荷 Q均勻分布在ADA2兩個(gè)表面上，電荷面密度為QF和F分別代表A 1和A2表面上的電荷單獨(dú)廣生的電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)，表12每個(gè)面可看作無限大的黑電平面，設(shè) 示垂直金屬板向右的略S矢量，則f 1 E?- 仃卜(A1右側(cè))E =，2%E11,一215?(A1 左側(cè))a ?（A1右側(cè)）0

7、E = Ei + E?0（Ai、A2之間）I 21 ,? 一仃（a2左側(cè)）例2.1-2 在例1中，若把另染面積亦為 S的不帶電的金屬平板 B平行放在A板附近，求此時(shí) A、B板每 個(gè)表面上的面密度和空間各點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)。解：當(dāng)B板放在A板附近時(shí)，由于靜電感應(yīng)，電荷將重新分布，最后達(dá)到靜電平衡。 用育1、仃2、仃3、仃4 分別表示A和B兩板每個(gè)面上的電荷面密度，如圖所示。根據(jù)電荷守恒定律，不管板上的電荷怎樣重新分布，每一金屬板的總量保持不變，即_ Q-1 .2 -S二 3 .二4二04444根據(jù)靜電平衡條件，每一金屬板內(nèi)的場(chǎng)強(qiáng)為零，若 E1、E2、E3和E4分別是每一面上的電荷單獨(dú)產(chǎn)生的 場(chǎng)強(qiáng)，則在金屬

8、板內(nèi)任一處E1 E2 E3 E4 = 0取向右的方向?yàn)檎?，把每一個(gè)帶電面看作無限大帶電平面，在金屬板A內(nèi)，有二 1 一0 2 一二 3 0 4 二 0在金屬板B內(nèi)，有二 1 二 2 二3 -二4 二 0解以上四個(gè)方程式，可得2S- Q八一亍 3,二二;一 三個(gè)區(qū)域中的場(chǎng)強(qiáng)龍SEi 二Eii 二Em_XQ2 0 S方向如圖所示。由此可見，B板的引入并不改變 A板上電荷的分布，除 B板內(nèi)各處的場(chǎng)強(qiáng)為零外，空間其 它地方的場(chǎng)強(qiáng)亦未變化。例2.1-3 在上題中，若將金屬板 B接地，求A、B兩板表面上的電荷密度。 解：B板接地后，B板和大地變成同一導(dǎo)體，B板外側(cè)表面不帶電，即二4 二0根據(jù)電荷守恒定律根

9、據(jù)靜電平衡條件,A、二2 一QB兩板內(nèi)S電場(chǎng)強(qiáng)度為零，故有3=03=0解以上方程得Q-2=S一二 3即當(dāng)B板接地后，原來分布在 A板兩個(gè)表面上的電荷全部集中到B板的一個(gè)表面上，而在 B板的靠近A板的那個(gè)表面上出現(xiàn)與 A板等量異號(hào)的感應(yīng)電荷，電場(chǎng)只分布在區(qū)域II內(nèi)。例2.1-4 在x0的半個(gè)空間內(nèi)，充滿金屬，在x=a處有一電量為q的正點(diǎn)電荷，如圖（a）所示，試計(jì)算導(dǎo)體表 面的場(chǎng)強(qiáng)和導(dǎo)體表面上的感應(yīng)電荷面密度。解：根據(jù)場(chǎng)強(qiáng)疊加原理， 空間任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)由點(diǎn)電荷 +q單獨(dú)產(chǎn)生的電場(chǎng)和金屬表面感應(yīng)電荷單獨(dú)產(chǎn)生的電 場(chǎng)疊加而成，如圖（2）。-8, y）, 8 0 ,點(diǎn)電荷q在Pi點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為1）若Pi是x0

10、空間內(nèi)的一點(diǎn)，其坐標(biāo)為（Pi(-iy)Ei8 ,b）藥P1和P2無限接近，在這兩點(diǎn)，點(diǎn)電荷 qa a x 4,的電場(chǎng)強(qiáng)度是相等的，但感應(yīng)電荷在Pi處的場(chǎng)強(qiáng)Ei和P2處的場(chǎng)強(qiáng)E是不同的，語(yǔ)據(jù)導(dǎo)體表面附近一點(diǎn)的E 一場(chǎng)強(qiáng)垂直于導(dǎo)體表面知，Eq和E大小相等，萬(wàn)向不同，如圖（c)。q-ai- -yj-i 4冗瓦(a2+y2)3,2E = EqEi =2ai例 2.1-5勢(shì)24 ；0 (a aq22 3 22二；0(ay )小毒為q的aq荷絕緣地放在導(dǎo)體球殼的中心,球殼的內(nèi)半徑為 22X3 22二（a y ）Ri,外半徑為R2,求球殼的電解：點(diǎn)電荷位于球殼的中心，球殼內(nèi)表面將均勻帶有總電量 布具有球?qū)ΨQ

11、性，此時(shí)可用兩種方法求球殼的電勢(shì)。D積分法-q,球殼外表面均勻帶有總電量q,電場(chǎng)的分 二 q=E dr =2dr6 4二；0r22)疊加法4二；0 R2=q -qR2R設(shè)金屬表面的感應(yīng)電荷在該點(diǎn)產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為4二；0R 4二 pRi 4二 0R2 4二；0R空例2.1-6 兩導(dǎo)體球，半徑分別為 R和r,相施甚遠(yuǎn)，分別帶有電量Q和q,今用一細(xì)導(dǎo)線連接兩球，求達(dá)到靜電平衡時(shí)，兩導(dǎo)體球上的電荷面密度之比值。解：當(dāng)導(dǎo)體球相距甚遠(yuǎn)時(shí)，每一導(dǎo)體球都可以看作為孤立導(dǎo)體處理。導(dǎo)體球的電勢(shì)分別為4 二；0 r 略不計(jì)。這是兩導(dǎo)體球的電勢(shì)相等，即當(dāng)用導(dǎo)線連結(jié)時(shí)，兩導(dǎo)體球上的電荷重新分布，電量變?yōu)镼和q但導(dǎo)線很細(xì)，分

12、布在導(dǎo)線上的電荷忽Q _ q而 R rQ q = Q q由此可求得RQ=,(Q q) R r, r面電荷密度q =7(Q q)_ Q _ q Q 1一 R 一 4二R2 一 4二(R r)R所以q q Q 14 r 4 (R r) r二 r _ r二r 一 R例2.1-7 導(dǎo)體球通過與一帶電金屬板反復(fù)接觸而獲得電荷，每當(dāng)導(dǎo)體球與金屬板接觸并分后，又重新使金屬板帶有電量 Q,若qi是導(dǎo)體球與金屬板第一次接觸后所帶的電量，求導(dǎo)體球可獲得的最大電量。解：導(dǎo)體球與金屬板接觸時(shí)，兩者達(dá)到電勢(shì)相等。設(shè)經(jīng)過第一次接觸，導(dǎo)體球的電量為qi金屬板的電量為Qi,它們的比值為Qi導(dǎo)體球和金屬板接觸達(dá)到靜電平衡時(shí)電勢(shì)

13、相等，K值不變。根據(jù)電荷守恒定律qi Qi=Q ,故有q _k 曳二上金屬板第二次Q充僦到 Q后再?？菩貓?bào)觸，設(shè)導(dǎo)體球和金屬板的電量分別為q2和Q2,則q2.二kQ2根據(jù)電荷守恒定祚, 上上 ，故有q2Q2 = qi Qq二 kQ qi - q2q2 =同理，經(jīng)過第n(Q qi) =qi(i 曳) 板接i虬導(dǎo)體球的電量為Qqn = qi(i2Q2n-iQnqmax = qi一QQqiQ - qi 2.2電容和電容器1、孤立導(dǎo)體的電容孤立導(dǎo)體是指該導(dǎo)體的附近沒有其它導(dǎo)體和帶電體。對(duì)于孤立導(dǎo)體，電荷在導(dǎo)體表面的相對(duì)分布情況 由導(dǎo)體的幾何形狀唯一確定，因而帶一定電量的導(dǎo)體外部空間的電場(chǎng)分布以及導(dǎo)體的

14、電勢(shì)亦完全確定。根 據(jù)疊加原理，當(dāng)孤立導(dǎo)體的電量增加若干倍時(shí)，導(dǎo)體的電勢(shì)也將增加若干倍，即孤立導(dǎo)體的電勢(shì)與其電量成正比:q = C比例系數(shù)c稱為孤立導(dǎo)體的電容。電容只取決于孤立導(dǎo)體的幾何形狀，而與導(dǎo)體所帶電量及導(dǎo)體的電勢(shì)無關(guān)。孤立導(dǎo)體電容的大小反映了該導(dǎo)體在給定電勢(shì)的條件下儲(chǔ)存電量能力的大小。單位：法拉（F） , 1微法（F） =10-6法（F）, 1皮法（PF） =10-12法（F）2、電容器及其電容（1）當(dāng)帶電導(dǎo)體周圍存在其它導(dǎo)體或其它帶電體時(shí)，該帶電導(dǎo)體的電勢(shì)不僅與自己所帶的電荷有關(guān)， 且與周圍的導(dǎo)體以及帶電體都有關(guān)。因此，在一般情況下，非孤立導(dǎo)體的電荷與其電勢(shì)不成正比。（2）兩個(gè)導(dǎo)體組

15、成的導(dǎo)體組，當(dāng)周圍不存在其他導(dǎo)體或帶電體，且兩導(dǎo)體帶等量異號(hào)電荷時(shí)，導(dǎo)體所帶電量與導(dǎo)體間的電勢(shì)差的比值是一恒量。通常把這比值稱為這兩個(gè)導(dǎo)體構(gòu)成的導(dǎo)體組的電容。（3）由兩導(dǎo)體組成的封閉（屏蔽）系統(tǒng)稱為電容器，兩導(dǎo)體稱為電容器的兩個(gè)極板。封閉系統(tǒng)是指電 場(chǎng)線從一導(dǎo)體出發(fā)，完全終止于另一導(dǎo)體。（4）若電容器的任一極板上的電量的絕對(duì)值為q,則q與兩極板間的電勢(shì)差慟1值嗨為電容器的電容C=q（p _ （p 電容器的電容生全R電容器的幾何結(jié)構(gòu)決定，與其帶電狀態(tài)無關(guān)，與周圍的帶電體無關(guān)。 電容器電容的大小反映了極板間存在一定電勢(shì)差時(shí)，極板上貯存電量的多少。任意兩導(dǎo)體之間都有電容（部分電容），但不能稱這兩個(gè)導(dǎo)

16、體為電容器。3、幾種形狀的電容器的電容1）平行板電容器0sC =d2）球形電容器c 4二；0RbC 二Ra-Rb3）圓柱形電容器22二 0LCrtln 一Ra電容器的串聯(lián)與并聯(lián)（1）并聯(lián)若干電容器并聯(lián)后，電容器組的等值電容等于各電容器的電容之和。n串聯(lián)c = G串聯(lián)電容器組的等值電容的倒數(shù)等于各電容器的電容的倒數(shù)之和。n a工二C y Ci5、電容的計(jì)算方法（1）容的定義求電容假定電容器兩極板分別帶等量異號(hào)的電荷士Q。計(jì)算電容器兩極板間的電場(chǎng)分布，從而算出兩極板間的電勢(shì)差。由電容的定義求出電容。2）容的并、串聯(lián)關(guān)系求電容 據(jù)電容器組中各電容器的本身性質(zhì)寫出各電容器電容的表達(dá)式。 據(jù)電容器組中各

17、電容器間的連接關(guān)系，正確地畫出等效電路圖。 電容的并、串聯(lián)公式求出等效電容。R2和R3的同6、例題例2.2-1 球形電容器內(nèi)外薄殼的半徑分別為Ri和R4,今在兩殼之間放一個(gè)內(nèi)外半徑分別為心導(dǎo)體殼，求半徑為 Ri和R4兩球面間的電容。解：因靜電感應(yīng)，各球面帶電情況如圖所示，導(dǎo)體內(nèi)部無電場(chǎng)。1 一4QRQ-QQE drRi 4 二；0 r2R4力 RR34 二；0 r2dr TOC o 1-5 h z 4核 0 IRR2R3R4Q _4二；0R1R2R3R4C 二二的電勢(shì)差?例2.2-21濟(jì)示的R搟%渴鳥3RF十RC需端1 RfR/00V試求各個(gè)電容器上解：此電容組合并非簡(jiǎn)單的電容串、并聯(lián)，對(duì)閉合

18、回路AC1C2B&A、名十AC 4c5B *A及AC 1C3c4A分別應(yīng)用環(huán)路定理 qE，dl = 0得U1 U2 f = 0U4 U5 f =010 3ds = 0U1 U3-U4 =0 把高斯定理應(yīng)用于圖中電容器 線)注意到各電容器原來未帶電， TOC o 1-5 h z .12ds- ；1ds；ES00Q1 =Q2 Q3U1C1 =U2c2 U3C3 同理Q5 ; Q3 Q4注意到Q =UC,聯(lián)立以上五式得U1 =240V U2 =360V U4 =360VU3 =120V U5 =240V 2.3靜電場(chǎng)的能量1、帶電導(dǎo)體的靜電能(1)帶電導(dǎo)體系的靜電能1Qi在點(diǎn)電荷系的相互彳用能（互能

19、）W=1丁叼 中，叫是除q以外的點(diǎn)電荷在 。處所能產(chǎn)生的電勢(shì)；在帶電導(dǎo)體系的靜電能21 1（自能+互能）W=） *Qi中，%是電量為Qi的那個(gè)導(dǎo)體的電勢(shì)，其中包括自分生的電勢(shì)9 （2）電容器的靜電能（儲(chǔ)能11八W 一QU =產(chǎn)靜電能2改變量當(dāng)電容器始終與電源聯(lián)接時(shí)，- 2W = CU 2計(jì)算較為方便；1 Q22C電容器上所加電壓不變，則用當(dāng)電容器充電后，不再與電源聯(lián)接時(shí)，電容器極板上所帶電量不變, 則用1 Q2計(jì)算較為方便。W 二2 CQU,而電場(chǎng)對(duì)電源作的功為電場(chǎng)對(duì)電源作的功當(dāng)保持電壓一定時(shí)，電源對(duì)電場(chǎng)作的功為A 二- QU其中 心 為兩極板距離從di拉開到d2時(shí)極板上電荷的增量。 外力對(duì)極

20、板作的功1d2A Fdx其中F為極板所受之力，其值可由虛功原理求得_ 21 CU 22 Cd 2 d功能關(guān)系根據(jù)能量守恒定律，上述三量之間有關(guān)系式A W A即外力對(duì)極板所作之功等于電場(chǎng)能量的增量和電場(chǎng)對(duì)電源所作的功。2、電場(chǎng)的能量電場(chǎng)能量密度即電場(chǎng)空間中單位體積內(nèi)的能量為12,E二在 電場(chǎng)總能量%WeEdV12vroE dV在靜電場(chǎng)范圍內(nèi)WE_2；0E dV W是等價(jià)的。在1We - v ；oE dV2 V中，V? dV 中,V是電荷分布的空間體積。1W -是電場(chǎng)分布的空間體積。在2電場(chǎng)總能量（靜電能）恒正。3、靜電場(chǎng)對(duì)導(dǎo)體的作用力1 二212cf 二二一斗 oE e導(dǎo)體表面脩耐所受的%在數(shù)值上與導(dǎo)體表面處電場(chǎng)的能量密度相等，力的方向與導(dǎo)體帶電的符號(hào) 無關(guān)，總是在外法線方向，是一種張力。4、靜電場(chǎng)對(duì)導(dǎo)體的作用力的計(jì)算方法 根據(jù)導(dǎo)體表面電荷的分布情況，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。在導(dǎo)體表面上，任取一面元 dS,計(jì)算電荷元dq