概率論與隨機(jī)過(guò)程2.2

1、2.2 型隨機(jī)變量及其分布律1通常分為兩類(lèi)： 如“取到次品的個(gè)數(shù)”， “收到的呼叫數(shù)”等.隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量所有取值可以逐個(gè)一一列舉如，“電視機(jī)的壽命”，實(shí)際中常遇到的“測(cè)量誤差”等.全部可能取值不僅無(wú)窮多，而且還不能一一列舉，而是充滿(mǎn)一個(gè)區(qū)間.2 這兩種類(lèi)型的隨機(jī)變量因?yàn)槎际请S機(jī)變量，自然有很多相同或相似之處；但因其取值方式不同，又有其各自的特點(diǎn).隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量31離散型隨機(jī)變量定義 設(shè)X為一隨機(jī)變量，如X的全部可能取到的值是有限個(gè)或可列無(wú)限多個(gè)，則稱(chēng)隨機(jī)變量X為離散型隨機(jī)變量。定義 設(shè)X為離散型隨機(jī)變量，X的所有可能取的值為 xk (k=1, 2)，

2、記 X 取 xk 的概率為 PX=xk=pk (k=1, 2, )，則稱(chēng)下面一組等式 PX=xk=pk (k=1，2，)為X的分布律,簡(jiǎn)寫(xiě)為d.l.。2.2.1 離散型隨機(jī)變量及其分布律2 離散型隨機(jī)變量的分布律4（1）分布律可以用表格的形式表示：xn一般從小到大排列。XPx1 x2 xn p1 p2 pn （2）分布律可以用圖形表示 分布律的表示方法：PXx1x2xn5例袋中5個(gè)球編號(hào)15，從中同時(shí)取出3個(gè)，以X表示取出球的最大編號(hào)，求X的分布律解： PX=3=1/C35=1/10, PX=4= C23 /C35=3/10, PX=5= C24 /C35=6/10X的分布律為X P3 4 5

3、1/103/106/106 由概率的性質(zhì)可知分布律具有下述性質(zhì) （1）非負(fù)性： pk0; k=1，2， （2）規(guī)范性： 證明:設(shè)離散型 r. v. X的取值為 x1, xn, 則事件組X=x1，X=xn，構(gòu)成了的一個(gè)劃分。分布律的性質(zhì)：7（1）已知隨機(jī)變量X的分布律，可求出X的分布函數(shù)： 設(shè)一離散型隨機(jī)變量X的分布律為 PX=xk=pk (k=1，2，) 由概率的可列可加性可得X的分布函數(shù)為 這里的和式是所有滿(mǎn)足xkx的k的求和。分布函數(shù)F(x)在x=xk(k=1,2,)處有跳躍，其躍跳值為pk=PX=xk。 分布律與分布函數(shù)的關(guān)系8 已知隨機(jī)變量X的分布律, 亦可求任意隨機(jī)事件的概率。 例如

4、，求事件XB（B為實(shí)軸上的一個(gè)區(qū)間）的概率P XB時(shí)，只需將屬于B的X的可能取值找出來(lái)，把X取這些值的概率相加，即可得概率P XB，即 因此，離散型隨機(jī)變量的分布律完整地描述它的概率分布情況。 9 設(shè)一離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為F(x)，并設(shè)F(x)的所有間斷為x1,x2,，那么，X的分布律為 例1: 設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為 XP -1 2 3 1/4 1/2 1/4 求X的分布函數(shù)，并求 解: 由概率的有限可加性，得所求分布函數(shù)為 （2）已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，可求出X的分布律：10 F（x）的圖形如下圖所示，它是一條階梯形的曲線(xiàn)，在x1，2，3處有跳躍點(diǎn)，跳躍值分別為1/4，1/2，1

5、/4。-1 0 1 2 3 xP111例3已知隨機(jī)變量X的分布律為 X 2 0 3 5 P 1/4 a 1/2 1/12 試求（1）待定系數(shù)a，（2）概率PX 1/2。 即可求得a=1/6。 解: （1）由分布律的性質(zhì)可知 (2) 12 伯努利 (Bernoulli) 概型 考慮一個(gè)簡(jiǎn)單的試驗(yàn)，它只出現(xiàn)（或只考慮）兩種結(jié)果，如某產(chǎn)品抽樣檢查得合格或不合格，射擊命中或不命中，試驗(yàn)成功或失敗，發(fā)報(bào)機(jī)發(fā)出信號(hào)0或1。擲一次骰子點(diǎn)數(shù)“6”是否出現(xiàn)。 一般地，試驗(yàn)E只有兩種結(jié)果A和A, 而P(A)=p（0p1）,則稱(chēng)E為伯努利試驗(yàn)或伯努利概型。13 設(shè)E為伯努利試驗(yàn)，將E獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行n次，（這里的“重

6、復(fù)”是指試驗(yàn)E在相同條件下進(jìn)行）而且每次試驗(yàn)中結(jié)果A出現(xiàn)的概率保持不變。我們把這n次獨(dú)立重復(fù)貝努利試驗(yàn)總起來(lái)看成一個(gè)試驗(yàn)，稱(chēng)這種試驗(yàn)叫n重伯努利試驗(yàn)?？傊?，n重伯努利試驗(yàn)有下面四個(gè)約定： （1）每次試驗(yàn)的結(jié)果只能是兩個(gè)可能的結(jié)果A和A之一, （2）A在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率p保持不變,（3）各次試驗(yàn)相互獨(dú)立,（4）共進(jìn)行了n次.14定理1.4.3 對(duì)于n重伯努利試驗(yàn)，事件A在n次試驗(yàn)中出現(xiàn)k次的概率為 證明：由n重伯努利試驗(yàn)，事件A在某指定的k次試 驗(yàn)中出現(xiàn)，而在其余n-k次試中不出現(xiàn)的概率為 pk(1-p)n-k = pkqn-k 而在n次試驗(yàn)中事件A發(fā)生k次共有Cnk種不同情況，對(duì)應(yīng)的事件為

7、互不相容的，由概率的可加性注:由于 恰好是展開(kāi)式(p+q)n中的第k項(xiàng)，所以常稱(chēng) 為二項(xiàng)概率公式。 15例1: 對(duì)某種藥物的療效進(jìn)行研究，假定這藥對(duì)某種疾病的治愈率0.8，現(xiàn)有10個(gè)人患此病的病人同時(shí)服用此藥，求其中至少有6個(gè)病人治愈的概率。解: 假定“病人服用此藥后治愈”為事件A，按題意 P(A)=0.8， 10人同時(shí)服用此藥可視為10重伯努利試驗(yàn)，因而由公式所求的概率為 16例2: 某廠生產(chǎn)的過(guò)程中出現(xiàn)次品的概率為0.002，求在該廠生產(chǎn)的1000件產(chǎn)品中恰好有10件次品的概率。 解: 設(shè)A表示事件“該廠生產(chǎn)的一件產(chǎn)品為次品”，則 P（A）=0.002，依題意所求的概率為17例2 重復(fù)獨(dú)立

8、地進(jìn)行伯努力試驗(yàn)，直到事件A出現(xiàn) r (r1)次為止，求試驗(yàn)次數(shù) X 的分布律.k= r, r+1,稱(chēng) X 服從Pascal分布。當(dāng)r=1時(shí)，稱(chēng)X服從幾何分布。解：設(shè)每次試驗(yàn)事件 A 出現(xiàn)的概率為 p,若當(dāng)?shù)?k 次試驗(yàn)時(shí)，事件A出現(xiàn)r次，則前k -1次試驗(yàn)事件A恰出現(xiàn)r -1次，于是181.（01）分布： 設(shè)隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個(gè)值，它的分布律為 PX=k=pk(1-p)1-k , k=0，1. (0p1)則稱(chēng)X服從（01）分布,記為X（01）分布。 （01）分布的分布律用表格表示為：X 0 1P 1-p p易求得其分布函數(shù)為： 2.2.2 幾種常用的離散型隨機(jī)變量的分布19 2.二項(xiàng)

9、分布：定義：若離散型隨機(jī)變量X的分布律為其中0p0是一常數(shù)，n是任意正整數(shù)，設(shè)npn=，則對(duì)于任一固定的非負(fù)整數(shù)k，有證明：由pn=/n有 對(duì)于任意固定的k，當(dāng)n時(shí) 23 意義：定理的條件npn=（常數(shù)）意味著當(dāng)n很大時(shí)，pn必定很小。因此，上述定理表明當(dāng)n很大、p很小時(shí)有以下近似式 其中=npn24 從下面的表格可以直觀地看出上式的近似程度,k按二項(xiàng)分布公式直接分別計(jì)算按泊松近似公式計(jì)=np=1： n=10 n=20 n=40 n=100 =np=1p=0.1 p=0.05 p=0.25 p=0.010 0.349 0.358 0.369 0.366 0.3681 0.385 0.377 0

10、.372 0.370 0.3682 0.194 0.189 0.186 0.185 0.1843 0.057 0.060 0.060 0.061 0.0614 0.011 0.013 0.014 0.015 0.0154 0.004 0.003 0.005 0.003 0.004 25由泊松近似公式計(jì)算上題： 分析結(jié)果：不能忽視小概率事件，遲早會(huì)發(fā)生。 3.泊松分布：(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布律為 其中0是常數(shù)。則稱(chēng)X服從參數(shù)為的泊松分布，記為X()。 顯然26 歷史上，泊松分布是作為二項(xiàng)分布的近似，于1837年由法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松引入的 . 近數(shù)十年來(lái)，泊松分布日益顯示其重要性,成為概率論中

11、最重要的幾個(gè)分布之一.在實(shí)際中，許多隨機(jī)現(xiàn)象服從或近似服從泊松分布. 由泊松定理，n重貝努里試驗(yàn)中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布. 我們把在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)概率很小的事件稱(chēng)作稀有事件.如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、意外事故等等27(2) 泊松分布背景：例如，在一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)某電話(huà)交換臺(tái)收到的電話(huà)的呼喚次數(shù)、一本書(shū)一頁(yè)中的印刷錯(cuò)誤數(shù)、某地區(qū)在一天內(nèi)郵遞遺失的信件數(shù)、某一醫(yī)院在一天內(nèi)的急診病人數(shù)、某一地區(qū)一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)生交通事故的次數(shù)、在一個(gè)時(shí)間間隔內(nèi)某種放射性物質(zhì)發(fā)出的、經(jīng)過(guò)計(jì)數(shù)器的粒子數(shù)等都服從泊松分布，泊松分布也是概率論中的一種重要分布。 28 在自然界和人們的現(xiàn)實(shí)生活中,經(jīng)常要遇到在隨

12、機(jī)時(shí)刻出現(xiàn)的某種事件.我們把在隨機(jī)時(shí)刻相繼出現(xiàn)的事件所形成的序列,叫做隨機(jī)事件流. 若事件流具有平穩(wěn)性、無(wú)后效性、普通性，則稱(chēng)該事件流為泊松事件流（泊松流）.(3) 泊松分布產(chǎn)生的一般條件下面簡(jiǎn)要解釋平穩(wěn)性、無(wú)后效性、普通性.平穩(wěn)性: 在任意時(shí)間區(qū)間內(nèi)，事件發(fā)生k次(k0)的概率只依賴(lài)于區(qū)間長(zhǎng)度而與區(qū)間端點(diǎn)位置無(wú)關(guān).無(wú)后效性: 在不相重疊的時(shí)間段內(nèi)，事件的發(fā)生是相互獨(dú)立的.29普通性: 如果時(shí)間區(qū)間充分小，事件出現(xiàn)兩次或兩次以上的概率可忽略不計(jì). 因此：泊松分布在管理科學(xué)、運(yùn)籌學(xué)以及自然科學(xué)的某些問(wèn)題中都占有重要的地位 .30例1 有300臺(tái)機(jī)器，工作相互獨(dú)立。發(fā)生故障概率為0.01，通常，一

13、臺(tái)機(jī)器的故障可由一人來(lái)修理（一人修一臺(tái)），問(wèn)至少需要多少工人，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)修理的概率小于0.01。解：設(shè)需要配備修理工人數(shù)為N個(gè)，設(shè)備同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)為X臺(tái)，由題知求最小的N為多少，即使 PXN=0.99) 因?yàn)閄b(300 , 0.01)，由于n很大，p很小,故用泊松分布近似查表可得: (0.9962 p. 383)N=8（最小的）。31例2 在上例中，由一個(gè)人負(fù)責(zé)維修20臺(tái)設(shè)備。 （1）求設(shè)備發(fā)生故障，而不能及時(shí)修理的概率； （2）又若由三個(gè)人共同負(fù)責(zé)維修80臺(tái)，求設(shè)備及時(shí)修理的概率。解：（1）設(shè)X為發(fā)生故障的機(jī)器數(shù),Xb(20，0.01) X取值為0,1,2,20.

14、 因?yàn)橐蝗酥荒苄抟慌_(tái)機(jī)器，故所求概率為：32（2）設(shè)X為發(fā)生故障的機(jī)器數(shù)，Xb(80，0.01) X取值：0，1，2，80。結(jié)論：（1）（2），說(shuō)明盡管情況2任務(wù)重了（一個(gè)人修27臺(tái)），但工作質(zhì)量提高了，也說(shuō)明，概率方法可用來(lái)討論國(guó)民經(jīng)濟(jì)中某些問(wèn)題，以使達(dá)到更有效地使用人力、物力、資源的目的，這是運(yùn)籌學(xué)的任務(wù)，概率論是解決運(yùn)籌學(xué)問(wèn)題的有力工具。33例5 在保險(xiǎn)公司里有2500輛車(chē)參加搶盜保險(xiǎn)，設(shè)在一年里一輛車(chē)被搶盜的概率為0.002，每輛參加保險(xiǎn)的車(chē)在一月一日付12元保險(xiǎn)費(fèi)，而被搶盜時(shí)車(chē)主可由保險(xiǎn)公司領(lǐng)2000元。（1）求公司虧本的概率（2）求獲利不小于10000元的概率。解；（1）公司一年總收入2500*12=30000， X：一年中被搶盜的車(chē)數(shù)。 Xb(2500 , 0.002),要2000X3000034(2)35（）超幾何分布 設(shè)一堆同類(lèi)產(chǎn)品共N件，其中有M個(gè)次品，現(xiàn)從中任取n個(gè)(為方便計(jì)算。假定nN-M)，則這n個(gè)中所含的次品數(shù)X是個(gè)離散型隨機(jī)變量，X的分布律為 其中l(wèi)=min(