《理論力學(xué)》課件

1、理論力學(xué)2015.9修改稿教材課本及講授內(nèi)容力學(xué)與理論力學(xué)（下冊(cè)）中國(guó)科學(xué)技術(shù)大學(xué)國(guó)家基礎(chǔ)科學(xué)人才培養(yǎng)基地物理學(xué)叢書作者：秦敢，向守平科學(xué)出版社，2008其中，上冊(cè)以力學(xué)為主，下冊(cè)以分析力學(xué)為主，將力學(xué)和理論力學(xué)的教學(xué)內(nèi)容統(tǒng)一合理地安排。為銜接課程內(nèi)容，首先回顧一下已學(xué)過(guò)的力學(xué)內(nèi)容。參考書金尚年等，理論力學(xué)，高等教育出版社周衍柏，理論力學(xué)教程，高等教育出版社陳世民，理論力學(xué)簡(jiǎn)明教程，高等教育出版社強(qiáng)元棨(q)，經(jīng)典力學(xué)(上下)，科學(xué)出版社沈惠川，經(jīng)典力學(xué)，科大出版社李書民，經(jīng)典力學(xué)概論，科大出版社力學(xué)中已學(xué)的內(nèi)容概要質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)（觀測(cè)并記錄質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)）質(zhì)點(diǎn)的位置、速度、加速度，軌跡質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)（找

2、出運(yùn)動(dòng)的規(guī)律和原因）質(zhì)點(diǎn)的受力，由初始位置和速度確定之后的運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)系力學(xué)（應(yīng)用于多個(gè)質(zhì)點(diǎn)的體系）質(zhì)點(diǎn)系，多個(gè)質(zhì)點(diǎn)體系的守恒量非慣性參考系，平動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)（牛頓力學(xué)不適用的參考系中的處理）剛體的平面運(yùn)動(dòng)（剛體是特殊的質(zhì)點(diǎn)組）角速度，角動(dòng)量，轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能一些應(yīng)用（有心力場(chǎng)，碰撞，振動(dòng)等）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)質(zhì)點(diǎn)的模型 質(zhì)點(diǎn)是具有一定質(zhì)量的但在空間上只是一個(gè)點(diǎn)的理想模型。運(yùn)用質(zhì)點(diǎn)模型來(lái)研究現(xiàn)實(shí)中的物體運(yùn)動(dòng)，在很多情況下是有效的，也是十分便利的。質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述：位移和路程：質(zhì)點(diǎn)的位移是質(zhì)點(diǎn)的起點(diǎn)連接到終點(diǎn)的矢量，而路程是質(zhì)點(diǎn)所經(jīng)歷的軌跡長(zhǎng)度。路程是曲線的總長(zhǎng)，位移的大小是直線距離，總是不大于路程的。參考系：質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，

3、與其他物體之間的相對(duì)位置關(guān)系會(huì)產(chǎn)生變化，建立參考系以更好描述質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。位置矢量：常用參考系原點(diǎn)到質(zhì)點(diǎn)位置的位移矢量來(lái)描述質(zhì)點(diǎn)的位置。力學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容（回顧）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述：位置矢量是時(shí)間的函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)可得速度、加速度隨時(shí)間的變化已知加速度通過(guò)積分速度，對(duì)速度積分求質(zhì)點(diǎn)位置運(yùn)動(dòng)軌跡（消去時(shí)間 t，得空間曲線） 若已知位置函數(shù)關(guān)系 r(t) ，可以通過(guò)消去時(shí)間 t 得到質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡曲線。力學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容（回顧）質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)坐標(biāo)系：用數(shù)學(xué)上的坐標(biāo)函數(shù)描述空間點(diǎn)的位置直角坐標(biāo)系（x,y,z）柱坐標(biāo)系 (r,j,z) （極坐標(biāo)系）(r,q)球坐標(biāo)系 (r, q, j)其他正交曲線坐標(biāo)系自然坐標(biāo)系力學(xué)

4、基礎(chǔ)內(nèi)容（回顧）rva質(zhì)點(diǎn)動(dòng)力學(xué)牛頓三定律從分析受力，來(lái)計(jì)算加速度、速度、位置隨時(shí)間的變化（已知初始位置，初始速度）牛頓三定律的深入探討，哪個(gè)更基本？慣性系。力的定義。慣性質(zhì)量與引力質(zhì)量。對(duì)于粒子與場(chǎng)的作用，作用力與反作用力的關(guān)系。相對(duì)論情況下，第二定律成立的形式。力學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容（重溫）質(zhì)點(diǎn)系力學(xué)內(nèi)力和外力動(dòng)量和角動(dòng)量動(dòng)能和勢(shì)能質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心，質(zhì)心系動(dòng)量守恒和角動(dòng)量守恒及其成立的條件機(jī)械能守恒及其成立的條件非慣性參考系，非慣性力平動(dòng)參考系轉(zhuǎn)動(dòng)參考系，科里奧利力，離心力力學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容（重溫）剛體力學(xué)剛體模型角速度和角加速度轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量和轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能力矩剛體的平面運(yùn)動(dòng)對(duì)稱軸剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容

5、（重溫）其他一些應(yīng)用課題有心力場(chǎng)（萬(wàn)有引力和行星運(yùn)動(dòng)，帶電粒子散射）碰撞（兩體碰撞，散射截面）振動(dòng)（阻尼振動(dòng)，受迫振動(dòng)，多維小振動(dòng)）帶電粒子的運(yùn)動(dòng)狹義相對(duì)論非線性力學(xué)流體力學(xué)連續(xù)介質(zhì)體系的力學(xué)分析力學(xué)主要內(nèi)容約束與虛功原理拉格朗日力學(xué)達(dá)朗貝爾原理，拉格朗日方程，泛函變分和哈密頓原理，運(yùn)動(dòng)積分、對(duì)稱性和守恒定律哈密頓力學(xué)正則方程，正則變換，泊松括號(hào)，哈密頓-雅克比方程剛體的運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)分析力學(xué)的基礎(chǔ)以牛頓三定律的經(jīng)典力學(xué)為理論基礎(chǔ)應(yīng)用數(shù)學(xué)方法建立完整的理論體系得到一些原理性的結(jié)果有些結(jié)果推廣到非經(jīng)典的領(lǐng)域（如相對(duì)論和量子力學(xué)）更加自然分析力學(xué)與牛頓力學(xué)特點(diǎn)比較分析力學(xué)牛頓力學(xué)利用標(biāo)量函數(shù)運(yùn)算利

6、用矢量方法計(jì)算處理方法流程規(guī)范，對(duì)于簡(jiǎn)單問(wèn)題的處理顯得麻煩直觀，易于理解解算簡(jiǎn)單問(wèn)題比較方便善于復(fù)雜的體系處理約束越多方程數(shù)越少常常需要具體靈活的分析約束越多方程數(shù)越多越繁瑣基本原理可擴(kuò)展推廣到相對(duì)論和量子力學(xué)等非經(jīng)典領(lǐng)域只適用于宏觀低速情況第1次課習(xí)題 11.1 考慮初始時(shí)以20m/s速度并與水平面成30拋出的物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程。分別用牛頓力學(xué)方法、機(jī)械能守恒方法計(jì)算物體在最高點(diǎn)時(shí)的速度。取重力加速度為10m/s2。1.2 質(zhì)量m的圓弧面形的滑塊靜止于光滑水平面上，一個(gè)質(zhì)量為m/3的小球以v0速度沖上滑塊然后又滑下，求兩者的末速度。思考若用矢量力學(xué)求解為何困難?；瑝K的高和長(zhǎng)均為 v02/g 。v

7、0m直角坐標(biāo)系坐標(biāo)：(x,y,z)基矢量 e ：用于表示矢量的方向，其大小為1，即單位長(zhǎng)度。直角坐標(biāo)系的基矢量是恒定的。yxzo柱坐標(biāo)系坐標(biāo)：xyzoRp柱坐標(biāo)系各項(xiàng)加速度在不同情況下顯現(xiàn)除了z向加速度 ，徑向加速度 j 保持不變，沿R方向加速向心加速度R， 保持不變，切向速度的方向改變角加速度z，R保持不變，角速度變化，同時(shí)切向速率變化科里奧利加速度 保持不變。當(dāng) 不變，R變化使得切向速度改變；當(dāng) 不變，j 變化使得徑向速度改變。Rxyjv球坐標(biāo)系坐標(biāo)zpxyor球坐標(biāo)系加速度的表達(dá)式復(fù)雜，以至于實(shí)用性差。在地球上，er 是上方，eq 是南方，ej 是東方。一般的正交曲線坐標(biāo)系坐標(biāo)：稱為拉梅

8、系數(shù)。曲線長(zhǎng)度滿足xyzop一般的正交曲線坐標(biāo)系的面元、體元拉梅系數(shù)面元系數(shù)體元系數(shù)直角坐標(biāo)1，1，1dy dzdz dxdx dydx dy dz柱坐標(biāo)1，R，1R dj dzdz dRR dR dj R dR dj dz球坐標(biāo)1，r，r sin q r2sinq dq djr sinq dr djr dr dqr2sinq drdqdj一般坐標(biāo)H1，H2，H3H2H3dq2dq3H3H1dq3dq1H1H2dq1dq2H1H2H3dq1dq2dq3自然坐標(biāo)系自然坐標(biāo)系不是數(shù)學(xué)上嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖鴺?biāo)系，但符合人們的自身體驗(yàn)，因而應(yīng)用于日常生活中十分容易理解。將運(yùn)動(dòng)軌跡理解為質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌道，用軌道上的路

9、程確定位置。力(矢量)分為是改變速率的部分(沿速度方向)和改變方向的部分(垂直于速度方向)。曲率半徑 r 的倒數(shù)稱為曲率。xyzop第2次課2.1 推導(dǎo)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在球坐標(biāo)系中的加速度表達(dá)式。2.2 求習(xí)題1.1中的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)軌跡（拋物線）在射出點(diǎn)和最高點(diǎn)處的曲率半徑。如果單單從拋物線的形狀是可以求出這兩點(diǎn)的曲率半徑的，但利用自然坐標(biāo)系中的動(dòng)力學(xué)公式，計(jì)算似乎更簡(jiǎn)單些。習(xí)題 2約束與自由度一般情況下，n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)，有k個(gè)約束：在3維空間，坐標(biāo)3n個(gè)，有k個(gè)約束，則自由度為 s=3n-k，從而原則上可以只用s個(gè)獨(dú)立變量來(lái)描述系統(tǒng)（其余坐標(biāo)可由約束方程限定）。這些獨(dú)立變量描述系統(tǒng)，在分析力學(xué)中對(duì)應(yīng)于由

10、這些自變量組成一個(gè)函數(shù)（系統(tǒng)函數(shù)）。約束的類型約束方程分類：依照含不含速度，分為：完整約束或幾何約束，非完整約束、運(yùn)動(dòng)約束或微分約束，如果可以積分，可將微分約束轉(zhuǎn)化為幾何約束；依照是否顯含時(shí)間，分為：穩(wěn)定約束，非穩(wěn)定約束；依照是否為等號(hào)，分為：不等號(hào)時(shí)是可解約束，等號(hào)是不可解約束。約束的類型完整約束（幾何約束）穩(wěn)定的幾何約束不穩(wěn)定的幾何約束不完整約束 且不可積分成完整約束，也稱為微分約束?？山饧s束： 或 或雙面可解不可解和可解約束x2+y2=l2x2+y2 l2OO(x,y)(x,y)每個(gè)不可解約束，會(huì)使系統(tǒng)降低一個(gè)自由度。約束的一些示例 活塞和轉(zhuǎn)輪連桿系統(tǒng)組合擺Fq1q2l1l2Rq純滾動(dòng)的

11、約束系統(tǒng)完整約束使得自由度減少，一般的完整約束可寫為方程變分和微分有很多共同之處，但變分可以是瞬時(shí)完成的，即 dt = 0，上式變分之后，可成為廣義坐標(biāo)q的變分 dq 的線性方程，形如 其中， ，這種形式是分析力學(xué)中處理約束所需要的。約束變分的線性方程完整約束使得自由度減少，非完整約束中，一般不可積分，因此不影響?yīng)毩⒆兞康膫€(gè)數(shù)，但如果是線性約束，能影響廣義坐標(biāo)變分的獨(dú)立性。線性非完整約束形如 可得到與幾何約束所導(dǎo)出的變分線性方程的類似結(jié)果（注意到dt=0） 因而起到與幾何約束類相的效果?？苫癁榫€性變分的非完整約束廣義坐標(biāo)坐標(biāo)的個(gè)數(shù)比系統(tǒng)的自由度s多的時(shí)候，存在約束。約束的個(gè)數(shù)k正好等于坐標(biāo)的個(gè)

12、數(shù)減去系統(tǒng)自由度。用s個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)來(lái)描述系統(tǒng)，這些獨(dú)立變量稱為廣義坐標(biāo)，而這些坐標(biāo)的數(shù)目即為系統(tǒng)的自由度。對(duì)應(yīng)滿足約束條件的質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)位置，有對(duì)于可解約束，是將其視為不可解約束來(lái)處理，如果發(fā)生離開約束的情況，就放棄約束，增加一個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)，重新處理。廣義坐標(biāo)的選用各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的真實(shí)坐標(biāo)可以入選系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的系統(tǒng)，真實(shí)坐標(biāo)有3n個(gè)，但廣義坐標(biāo)只有s=3n-k個(gè)。由于存在k個(gè)約束，廣義坐標(biāo)的個(gè)數(shù)較少，需要選擇使用。廣義坐標(biāo)也可以選用其他參數(shù)。選取的原則是：能夠方便地表示系統(tǒng)每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的幾何位置。即表達(dá)式 越簡(jiǎn)潔越好。第3次課作業(yè)：1.1，1.2，1.3虛位移 假想系統(tǒng)的各質(zhì)點(diǎn)瞬時(shí)發(fā)生了微小的符合約

13、束條件的位移，稱為虛位移。位移發(fā)生在與約束面相切的方向，而約束力是發(fā)生在與約束面垂直的方向。用廣義坐標(biāo)表示了各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置之后，虛位移可以看作當(dāng)廣義坐標(biāo)任意變化之后，各個(gè)質(zhì)點(diǎn)位置隨之變動(dòng)而產(chǎn)生的位移。廣義坐標(biāo)的變化可以任意選取，但真實(shí)坐標(biāo)的變化因?yàn)橛屑s束存在而不能任意選取。虛位移和真實(shí)的微小位移的差別 1.虛位移是瞬時(shí)完成的（dt=0），而實(shí)位移需要一小段時(shí)間（dt0）。2.虛位移在滿足約束的條件下可以任意選取，并未真是發(fā)生，而實(shí)位移一般與質(zhì)點(diǎn)的真實(shí)運(yùn)動(dòng)相關(guān)。3. 虛位移的方向無(wú)論是穩(wěn)定約束還是非穩(wěn)定約束，都是沿著約束的切線方向，而實(shí)位移在非穩(wěn)定約束時(shí)，不一定沿著約束的切線方向。（例如，在膨脹

14、著的氣球上爬行的小蟲） 理想約束 約束力常常與約束面的方向相垂直，或在系統(tǒng)中作為內(nèi)力雙雙出現(xiàn)，有其中 是虛位移習(xí)慣上，將虛位移視為變分，實(shí)位移視為微分。分析力學(xué)中處理的約束情況絕大多數(shù)（或者說(shuō)默認(rèn)為）是理想約束。非理想約束的情況下，分析力學(xué)常用的方法是不成立的，通?？梢詫⒛承┮鹛撐灰谱龉Φ募s束力視為主動(dòng)力，化為理想約束處理。理想約束兩質(zhì)點(diǎn)A和B安置在剛性輕桿兩端，桿可繞中央的O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)。在質(zhì)點(diǎn)A上施加一個(gè)力F，考慮兩質(zhì)點(diǎn)所受到的約束力，是否一定與虛位移方向垂直？是否為理想約束？這個(gè)例子，雖然每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的約束力并不與虛位移垂直，可驗(yàn)證其仍是理想約束。AOBF理想約束 理想約束的常見的三種情況舉例：

15、約束力與虛位移垂直。例如限制在曲面上運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)所受到的約束力。約束力與虛位移點(diǎn)乘為0。約束力中，作用力和反作用力成對(duì)出現(xiàn)。如氣缸的鉸鏈處虛位移與約束力不垂直，但成對(duì)的作用力和反作用力的虛位移相同，因此做功求和為0。其他體系如杠桿兩端的約束力不同，位移也不同，但若將一些約束器械也納入系統(tǒng)考慮，則因作用力和反作用力成對(duì)出現(xiàn)，從而保證了約束力做功求和為0?？傊?，機(jī)械系統(tǒng)不能憑空產(chǎn)生能量（否則就可制作永動(dòng)機(jī)），若不因?yàn)槟Σ恋葥p耗能量，則其虛位移過(guò)程中所做功為0?？紤]空間曲面的約束，取3維空間直角坐標(biāo)為廣義坐標(biāo)，曲面的幾何約束為對(duì)于曲面上相鄰的任意點(diǎn)，相距d r，有即 與曲面的切面垂直。同時(shí)，約束力也與

16、曲面的切面垂直，因而兩者平行，滿足關(guān)系其中c是系數(shù)，R是約束力。理想約束 非理想約束的情況 非理想約束時(shí)，理想約束條件不成立。常見的情況有：有摩擦等損耗能量情況，如機(jī)械裝置中潤(rùn)滑不好。約束體的質(zhì)量不可忽略，其運(yùn)動(dòng)所具有的動(dòng)能不可忽略，如活塞裝置中的連桿質(zhì)量較大，這時(shí)就不能將連桿視為約束體了，必須將其納入系統(tǒng)，系統(tǒng)才能是理想約束。約束體產(chǎn)生形變，使部分能量轉(zhuǎn)為彈性勢(shì)能被約束體存儲(chǔ)?？傊?，約束體不能對(duì)系統(tǒng)能量產(chǎn)生影響，否則，約束力做功之和不為0。虛功原理系統(tǒng)處于平衡時(shí)，每個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受合力為0考慮虛位移所做的功，有對(duì)于理想約束，約束力所作虛功為0。從而在虛位移下主動(dòng)力做的功總和也為0，即虛功原理虛功原

17、理可處理系統(tǒng)的平衡問(wèn)題。此時(shí)，我們只要關(guān)注系統(tǒng)的主動(dòng)力的總虛功為0的事實(shí)。而約束力在方程中消失，我們不必去解算。顯然，這是系統(tǒng)處于平衡的必要條件。對(duì)于不可解的(穩(wěn)定)約束，這個(gè)條件可以證明也是充分條件（約束如果不是穩(wěn)定的，就不會(huì)有靜力平衡的情況出現(xiàn)）。虛功原理使用廣義坐標(biāo)，方程可以化為：由于廣義坐標(biāo)是獨(dú)立變量，因此有必要定義廣義力方程化為由于廣義坐標(biāo)的獨(dú)立性，系統(tǒng)平衡時(shí)有一般對(duì)于保守力體系，機(jī)械能守恒，保守力做功則系統(tǒng)勢(shì)能減小，有則系統(tǒng)平衡時(shí) ，說(shuō)明系統(tǒng)勢(shì)能V達(dá)到極值。若是極小值，則系統(tǒng)是穩(wěn)定平衡。虛功原理對(duì)于保守力體系，虛功原理可化為則系統(tǒng)的勢(shì)能達(dá)到極值，極小值時(shí)平衡是穩(wěn)定的，極大值時(shí)平衡是

18、不穩(wěn)定的虛功原理雙連桿的平衡問(wèn)題勻質(zhì)的雙連桿一端固定在頂部，另一端受到水平方向恒定的力，求平衡時(shí)兩桿的角度。求約束力時(shí)，可將約束力看成主動(dòng)力，同時(shí)解約束，增加自由度，然后求解。（本書29頁(yè)。秦家樺，285頁(yè)。陳世民，170頁(yè)。金尚年，46頁(yè)。）虛功原理舉例Fq1q2l1l2求解解：第4次課作業(yè)：1.9，1.10，1.11圓弧中兩球的平衡問(wèn)題半徑為R的固定圓弧上，有兩個(gè)同樣大小但質(zhì)量不同的勻質(zhì)小球，其半徑為R/3，求平衡時(shí)兩球的位置。這個(gè)問(wèn)題用虛功原理或勢(shì)能最小原理。虛功原理舉例Rq1q2求解解：這里三個(gè)球心正好構(gòu)成正三角形。平衡時(shí)，小球組的質(zhì)心正好在鉛垂線上，是最低的。求約束面的形狀一個(gè)均質(zhì)桿

19、一端靠在光滑的墻壁，另一端所在的約束面是什么形狀才能使桿在任何位置都能平衡？（本書第10頁(yè)）用勢(shì)能最小原理，當(dāng)虛位移發(fā)生時(shí)，桿的重心高度應(yīng)該不變。虛功原理舉例yqxO達(dá)朗貝爾原理考慮動(dòng)態(tài)情況，這時(shí)可以將系統(tǒng)中的每個(gè)質(zhì)點(diǎn)的加速運(yùn)動(dòng)看成在局部的非慣性參考系下的靜力平衡問(wèn)題，需要加上慣性力，因此達(dá)朗貝爾原理進(jìn)一步深化由于廣義坐標(biāo)的獨(dú)立性，從達(dá)朗貝爾原理可進(jìn)一步推出拉格朗日方程的由來(lái)注意到由 同時(shí)將廣義速度與廣義坐標(biāo)視為不同的變量，可推得拉格朗日方程因此，得到拉格朗日方程其中T是系統(tǒng)質(zhì)點(diǎn)的總動(dòng)能保守力體系的拉格朗日方程對(duì)于保守力，由于拉格朗日方程成為其中L=T-V是系統(tǒng)的拉格朗日量。拉格朗日方程方法的

20、長(zhǎng)處拉格朗日方程依然是從牛頓力學(xué)導(dǎo)出的，其方程與牛頓力學(xué)給出的結(jié)果必然相同。拉格朗日方程方法適合處理具有復(fù)雜約束的系統(tǒng)。廣義坐標(biāo)的優(yōu)選可使得約束的表達(dá)式更加簡(jiǎn)單。約束使自由度減少，從而使方程數(shù)減少，未知量減少，自然消去了很多不需要知道的約束力未知數(shù)。拉格朗日方法是使用能量作為分析對(duì)象的，而能量是標(biāo)量，處理方便；另外，能量在各種物理過(guò)程中普遍存在并相互轉(zhuǎn)化，可方便地推廣應(yīng)用到其他物理領(lǐng)域。而牛頓力學(xué)是使用矢量分析，受坐標(biāo)變換影響大，且矢量有較多的分量，處理較繁瑣。拉格朗日方程解法步驟確定系統(tǒng)自由度選擇廣義坐標(biāo)將各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位置矢量用廣義坐標(biāo)表達(dá)計(jì)算各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的速度給出系統(tǒng)的總動(dòng)能如果是保守系，給出勢(shì)

21、能，如果不是保守系，給出廣義力相應(yīng)得到拉格朗日方程組結(jié)合初始條件求解實(shí)例rm1m2qOxz連線穿孔兩小球的運(yùn)動(dòng)自由度為2廣義坐標(biāo)r，q。r1= r er，r2= (r-L) ez實(shí)例切向方程(q)即表示角動(dòng)量守恒。應(yīng)用于徑向方程(r)中，可積分化為類似質(zhì)點(diǎn)在勢(shì)阱中所作的自由度為1的運(yùn)動(dòng)，能量由勢(shì)能和動(dòng)能之間相互轉(zhuǎn)換。第4次課作業(yè)：1.6，1.8，1.13，1.14EorEVeff哈密頓原理作用量的定義體系從時(shí)刻t1到時(shí)刻t2的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，定義其作用量為哈密頓原理告訴我們，系統(tǒng)從t1演化到t2的所有可能路徑中，系統(tǒng)將沿著使作用量取極值的那條路徑移動(dòng)?！翱赡苈窂健笆侵笍V義坐標(biāo)qi關(guān)于時(shí)間t的所有連

22、續(xù)可微的函數(shù)關(guān)系qi(t)，且在初始時(shí)刻t1和終了時(shí)刻t2的位置是已知的確定值。變分法求極值哈密頓原理告訴我們，求解真實(shí)運(yùn)動(dòng)過(guò)程（得到坐標(biāo)與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系）就是尋求作用量函數(shù)達(dá)到極值的問(wèn)題。對(duì)于自變量為“函數(shù)”的函數(shù)極值問(wèn)題，可以使用變分法。為了求S的極值，使函數(shù)q(t)稍作改變，改變量為l*dq(t)，其中dq(t)在兩端為0且連續(xù)可導(dǎo)，l為系數(shù)參量。變分法求極值函數(shù)q(t)變成q(t)+l*d(t)，這時(shí)積分值S也可以看成是參數(shù)l的函數(shù)。如果函數(shù)q(t)可以使S取到極值，同樣必須在l=0時(shí)，S(l)取極值。即變分法求極值積分得（注意到ddq=ddq）由于dq(t)在兩端為0且其他點(diǎn)的任意性

23、，從而必須有變分法求極值S取極值時(shí)，所需滿足的條件正是拉格朗日方程。反之，真實(shí)的過(guò)程滿足拉格朗日方程，能使作用量函數(shù)S取到極值。以上過(guò)程也能直接用變分法進(jìn)行：變分法求極值的其他例子最速下降線問(wèn)題。上下兩端點(diǎn)固定，求哪種曲線的軌道能使質(zhì)點(diǎn)從上端點(diǎn)由靜止在最短時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)到下端點(diǎn)？AByxx1x2變分法求極值的其他例子最速下降線問(wèn)題，解為擺線。令q為曲線上的切線與x軸的夾角，則Xyq變分法求極值的其他例子懸鏈線問(wèn)題，解為雙曲余弦線。Xy光線行進(jìn)時(shí)間為極值（通常是極小值）的路徑。變分法求極值的其他例子Xy單位球面上短程線問(wèn)題。 a代表切線et與經(jīng)線eq夾角。由于z軸選取的任意性，我們可取p1在北極點(diǎn)，

24、則c1=0。et與經(jīng)線eq夾角a始終為0，即沿經(jīng)線走到p2點(diǎn)。變分法求極值的其他例子zp1xyorp2事實(shí)上，可積分求解球面上短程線問(wèn)題：是過(guò)零點(diǎn)的平面方程，應(yīng)該是同時(shí)過(guò)始末兩點(diǎn)，且與球面相交所得的圓。變分法求極值的其他例子第5次課作業(yè)：1.16，1.18，1.20，1.21條件變分問(wèn)題積分約束條件下的變分問(wèn)題舉例：由一條長(zhǎng)度為L(zhǎng)且始末兩點(diǎn)是x軸上固定點(diǎn)的曲線與x軸圍成最大面積。通用的處理方法：將約束條件乘以參數(shù)l，加到被積函數(shù)之中，使之取極值。S若取到極值，必須 即滿足約束條件。Xy條件變分問(wèn)題令q為曲線切線與x軸的夾角，則Xy與哈密頓原理類似的其他原理莫培督原理。應(yīng)用于保守力體系。等能而不

25、等時(shí)的變分為0。由哈密頓原理：為了強(qiáng)調(diào)是等能變分而不是等時(shí)的，變分符號(hào)用 D 代替 d ：莫培督原理進(jìn)一步，若動(dòng)能T可改寫為：則式中dt已被消去。這即是莫培督原理的變分形式，可用等能變分求運(yùn)動(dòng)軌跡。莫培督原理舉例求拋體運(yùn)動(dòng)yxa莫培督原理解平方反比力求平方反比力有心力場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)yxq與哈密頓原理類似的其他原理費(fèi)馬原理應(yīng)用于幾何光學(xué)。光線沿用時(shí)最短的路徑前進(jìn)平衡體系能量最?。ㄖ亓?shì)能，靜電能，磁場(chǎng)能量），如果沒(méi)達(dá)到最小，可經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的調(diào)整，耗散能量，最后達(dá)到最小。而哈密頓原理和費(fèi)馬原理的最小值取得是瞬時(shí)的。從哈密頓原理看拉格朗日函數(shù)的相加性兩個(gè)相互獨(dú)立體系組成統(tǒng)一體系：LA=TA-VA，LB=

26、TB-VB，則L=LA+LB由于兩系統(tǒng)相互獨(dú)立，必須兩項(xiàng)都為0。因而可通過(guò)L的簡(jiǎn)單相加合并兩個(gè)相互獨(dú)立體系，反之也可把L中的獨(dú)立體系分離出來(lái)。拉格朗日函數(shù)可以加上任一個(gè)函數(shù)f(q,t)的時(shí)間全微商，不影響結(jié)果。因?yàn)槿⒎值姆e分是定值，對(duì)作用量的變分沒(méi)有貢獻(xiàn)。由于始末端固定，f的變分為0也可以直接驗(yàn)證 滿足拉格朗日方程。從哈密頓原理看拉格朗日函數(shù)的非唯一性直接驗(yàn)證：為了簡(jiǎn)便，拉格朗日函數(shù)中的時(shí)間全微分項(xiàng)可以適當(dāng)去除。從哈密頓原理看拉格朗日函數(shù)的非唯一性解題實(shí)例螺旋線上的珠子軌道方程為已知陳世民，P25例1.5解題實(shí)例在豎直平面內(nèi)的彈簧擺q解題實(shí)例在豎直平面內(nèi)的兩個(gè)繩連重物第6次課作業(yè)：1.24，

27、1.25，1.26，1.28MMm拉格朗日函數(shù)與運(yùn)動(dòng)積分一般情況下，拉格朗日方程為s個(gè)二階微分方程（s為自由度），求解之后，有2s個(gè)積分常數(shù)。這些積分常數(shù)需要初始條件（t=0時(shí)的廣義坐標(biāo)和廣義速度）確定，得到有時(shí)，某個(gè)Ci可以表示為廣義坐標(biāo)和廣義速度的組合，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中保持守恒，成為運(yùn)動(dòng)積分：拉格朗日函數(shù)與運(yùn)動(dòng)積分廣義動(dòng)量的定義：拉格朗日方程成為類似牛頓定律的方程循環(huán)坐標(biāo)：如果拉格朗日函數(shù)中不顯含有某個(gè)廣義坐標(biāo) qi ，則此坐標(biāo)成為循環(huán)坐標(biāo)。循環(huán)坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的廣義動(dòng)量 pi 守恒，是運(yùn)動(dòng)積分。拉格朗日函數(shù)與廣義能量當(dāng)拉格朗日函數(shù)不顯含時(shí)間 t 時(shí)，能夠得到的運(yùn)動(dòng)積分是廣義能量 H。拉格朗日函數(shù)與廣

28、義能量對(duì)于幾何約束，可以求速度表達(dá)式為：動(dòng)能表達(dá)式中所含的廣義速度的拉格朗日函數(shù)與廣義能量此時(shí)，L不顯含時(shí)間 t 時(shí)，有守恒量對(duì)于穩(wěn)定的幾何約束，T=T2，H=T+V是機(jī)械能。這里著重指出的是，如果約束是不穩(wěn)定的，系統(tǒng)的機(jī)械能并不守恒，守恒的是廣義能量H。廣義能量舉例求解一個(gè)彈簧振子在一個(gè)以w角速度繞z軸旋轉(zhuǎn)的、在xy平面內(nèi)的光滑管中的運(yùn)動(dòng)。與機(jī)械能守恒不同可看作是離心力產(chǎn)生的勢(shì)能。不穩(wěn)定約束產(chǎn)生了T0項(xiàng)qzxy相對(duì)論中的光速不變性，要求光在運(yùn)動(dòng)時(shí)的空間和時(shí)間的參量變化保持下式不變（都為0）：推而廣之，我們要求在相對(duì)論中，質(zhì)點(diǎn)移動(dòng)產(chǎn)生的ds在不同參考系中也保持不變。同時(shí)我們知道在普通三維空間中

29、，兩點(diǎn)之間的間距|dr|在不同參考系中都保持不變，因此，只要將時(shí)間變成第4維，運(yùn)動(dòng)位移成為4維向量 而ds正比于它在4維空間中的間距|dr(4)|，也能保持不變。相對(duì)論時(shí)的拉格朗日函數(shù)如何描述一個(gè)自由質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，是最基本最簡(jiǎn)單的問(wèn)題。對(duì)此，我們希望給出相對(duì)論時(shí)空中的自由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的作用量函數(shù)。因?yàn)樽饔昧亢瘮?shù)是標(biāo)量，標(biāo)量不會(huì)因選取不同的坐標(biāo)系而變化，而對(duì)于自由運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)，我們能構(gòu)造出的具有這種不變性的量?jī)H僅是它運(yùn)動(dòng)時(shí)的4維間距，是僅知的標(biāo)量。因此，取為了能在低速情況下回到經(jīng)典的拉格朗日函數(shù)，必須取恰當(dāng)?shù)南禂?shù)相對(duì)論時(shí)的拉格朗日函數(shù)這樣，我們得到了相對(duì)論時(shí)的拉格朗日函數(shù)，并能驗(yàn)證它在低速情況下能回到經(jīng)

30、典力學(xué)的拉格朗日函數(shù)（僅相差一個(gè)常數(shù)）：從而，質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量為與經(jīng)典情況相比，產(chǎn)生了質(zhì)量增加的效果。相對(duì)論時(shí)的拉格朗日函數(shù)保守場(chǎng)中，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：這即是質(zhì)點(diǎn)的受力方程動(dòng)能相對(duì)論時(shí)的拉格朗日函數(shù)質(zhì)能公式：這里b是歸一化速度，g是相對(duì)論因子。拉格朗日函數(shù)這時(shí)并不是 T-V（動(dòng)能減勢(shì)能）。有了拉格朗日函數(shù)，相對(duì)論的運(yùn)動(dòng)過(guò)程都已經(jīng)得到解決。具體運(yùn)用到各個(gè)方面，可以與各個(gè)經(jīng)典物理的結(jié)果作比較分析。相對(duì)論時(shí)的拉格朗日函數(shù)4維時(shí)空的“位移”：4維位移的絕對(duì)值是4維空間的標(biāo)量，不隨選取不同的坐標(biāo)系而變化。對(duì)于另外一個(gè)以勻速v0運(yùn)動(dòng)的慣性系，經(jīng)典力學(xué)給出伽利略變換：我們需要尋找4維時(shí)空的變換，使得在低速時(shí)是伽利

31、略變換，且保持4維矢量的模不變。相對(duì)論的時(shí)空變換兩個(gè)慣性系之間的4維時(shí)空的坐標(biāo)進(jìn)行變換時(shí)，由于起始時(shí)間和原點(diǎn)重合，因而時(shí)空坐標(biāo)原點(diǎn)也重合。4維時(shí)空點(diǎn)在兩個(gè)坐標(biāo)系中分別表示為而在低速時(shí)近似要有這里 b=v0/c，比較之后近似有歸一化后，可取與之正交的 ，從而相對(duì)論的時(shí)空變換因?yàn)閐t 是4維空間的標(biāo)量，是時(shí)空坐標(biāo)變換時(shí)的不變量，用它代替dt 求速度時(shí)，可得 4維空間的速度向量 u(4) =(dr, icdt)/dt = g(v, ic) 4維向量：動(dòng)量-能量 mu(4) = (p,iE/c)它們都遵從洛侖茲變換。如它們都有不變的模相對(duì)論的時(shí)空變換第7次課作業(yè)：1.30，1.33，1.36，1.37

32、拉格朗日函數(shù)的空間均勻性拉格朗日函數(shù)的空間均勻性指當(dāng)將系統(tǒng)進(jìn)行一個(gè)微小的平移之后，拉格朗日量不改變。由dr的任意性得到動(dòng)量守恒。拉格朗日函數(shù)的空間各向同性拉格朗日函數(shù)的空間各向同性指當(dāng)將系統(tǒng)進(jìn)行一個(gè)微小的轉(zhuǎn)動(dòng)之后，拉格朗日量不改變。由dj 的任意性得到角動(dòng)量守恒。空間均勻性可看作x,y,z是循環(huán)坐標(biāo)，各向同性可看作j是循環(huán)坐標(biāo)。帶電粒子在電磁場(chǎng)中的拉格朗日函數(shù)在相對(duì)論中，我們?nèi)?維時(shí)空的位移向量為空間的電磁場(chǎng)同樣是由4維的電磁場(chǎng)勢(shì)能向量描述，后面可以驗(yàn)證可寫為：描述帶電粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的作用量函數(shù)dS還需要有一個(gè)標(biāo)量部分，這個(gè)標(biāo)量要有描述粒子運(yùn)動(dòng)位移的成份，也要有描述電磁場(chǎng)的成份。此時(shí)，dr

33、(4)(A,ij/c)符合要求。兩個(gè)4維向量點(diǎn)乘，得到不隨坐標(biāo)變化的標(biāo)量。另外還要乘以粒子的電荷e。帶電粒子在電磁場(chǎng)中的拉格朗日函數(shù)在相對(duì)論中，可取作用量函數(shù)為而對(duì)于低速情況，可取普通的動(dòng)能代替拉格朗日函數(shù)的第一項(xiàng)。當(dāng)然也可以不替換。得到拉格朗日函數(shù)廣義動(dòng)量：拉格朗日方程：帶電粒子在電磁場(chǎng)中的拉格朗日方程x分量為拉格朗日方程：利用得到洛侖茲力方程粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)方程的4維形式用4維向量重新寫拉格朗日函數(shù)和方程：得到Fji是電磁場(chǎng)張量。方程在4維時(shí)空坐標(biāo)變換下形式不變。粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)方程的4維形式矩陣形式：矩陣Fji是反對(duì)稱的，求本征值方程|Fji-lI|=0時(shí)，是關(guān)于l2的一元二次方程。

34、由于本征值在坐標(biāo)變換時(shí)的不變性，因而方程系數(shù)也是不變的。粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)方程的4維形式其中， 是標(biāo)量，以后在電磁場(chǎng)的拉格朗日函數(shù)中需要用到。另一個(gè)系數(shù)EB也是不變的，但它是贗標(biāo)量（考慮時(shí)間反向的運(yùn)動(dòng)，從受力方程看，速度反向，電場(chǎng)不變而磁場(chǎng)反向，因而EB反號(hào)，而真標(biāo)量應(yīng)該不變。），但(EB)2是標(biāo)量。第8次課作業(yè)：1.29，1.34，1.38，1.39+BE兩體碰撞兩體問(wèn)題是質(zhì)點(diǎn)相互作用中最簡(jiǎn)單最基本的過(guò)程。大到太陽(yáng)和地球的相互作用，小到原子核之間的散射碰撞，都可以簡(jiǎn)化為兩體問(wèn)題。兩體問(wèn)題可以約化為單質(zhì)點(diǎn)的有心力問(wèn)題。用兩點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心位置rc和兩點(diǎn)間的位移r代替兩質(zhì)點(diǎn)的位置r1，r2。兩體

35、碰撞的拉格朗日函數(shù)定義 m=m1m2/(m1+m2) 是約化質(zhì)量，可解得從而拉格朗日函數(shù)可寫為rm2m1r1r2rc兩體碰撞是有心力作用下的平面運(yùn)動(dòng)利用拉格朗日函數(shù)的相加性，分解為一個(gè)質(zhì)量為（m1+m2）的自由質(zhì)點(diǎn)，與一個(gè)質(zhì)量為 m 的在勢(shì)能 V(r) 中運(yùn)動(dòng)的粒子。牛頓第三定律告訴我們，兩質(zhì)點(diǎn)的相互作用是沿著 r 方向的，因此勢(shì)能 V(r) 產(chǎn)生的作用力是有心力。有心力作用時(shí)，力矩為0，因而角動(dòng)量 J = r x mv守恒。以角動(dòng)量的方向?yàn)閦軸，因?yàn)閞垂直于J，質(zhì)點(diǎn)可限制在xy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。兩體碰撞的方程約化質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的拉格朗日函數(shù)：相應(yīng)的拉格朗日方程：角動(dòng)量守恒可寫為b是瞄準(zhǔn)距離，v0是初始速

36、度Jrzxy彈性碰撞與非彈性碰撞彈性碰撞時(shí)，相互作用力是保守力，機(jī)械能守恒。約化質(zhì)量的質(zhì)點(diǎn)的初速度與末速度相等。這意味著它的速率不變但運(yùn)動(dòng)方向可能改變。|v1-v2|=|v1-v2|非彈性碰撞時(shí)，有耗散作用力將一部分機(jī)械能轉(zhuǎn)變成熱能，因而其末速率比初速率小，兩者比例為參數(shù)e。e=1是彈性碰撞，而非彈性碰撞時(shí)em2和m1m2時(shí)m1最大偏轉(zhuǎn)角m1m2m1m2qq1L實(shí)驗(yàn)室參考系的微分散射截面只要求出實(shí)驗(yàn)室參考系與質(zhì)心系的立體角之比，就能利用質(zhì)心系的微分散射截面公式。完全彈性碰撞時(shí)，e=1：由得實(shí)驗(yàn)室參考系的微分散射截面考慮質(zhì)量比a=m1/m21，=1的兩種情況。a1a=1實(shí)驗(yàn)室參考系的微分散射截面

37、對(duì)于盧瑟福散射，考慮a=m1/m21，=1的兩種情況。a1a=1實(shí)驗(yàn)室參考系的動(dòng)能交換碰撞之后 m1的動(dòng)能平均值為利用剛性球模型當(dāng)a=m1/m2=e2時(shí)碰撞交換走的動(dòng)能最多，此時(shí)m1損失的動(dòng)能占原先的1/(e2+1)。相對(duì)論高能粒子的碰撞以 p1，E1，p1，E1和 p2，E2，p2，E2 分別代表 m1和 m2 質(zhì)點(diǎn)在碰撞前、后的動(dòng)量和能量，運(yùn)用動(dòng)量守恒和能量守恒，有由于碰撞是平面問(wèn)題，可以看作p1x，p1y，p2x，p2y，四個(gè)未知量，最后一個(gè)方程給出了能量E的表達(dá)，E視為已知。需求解的方程只有3個(gè)（動(dòng)量2個(gè)能量1個(gè)）還需要一個(gè)條件，如偏轉(zhuǎn)角，或其中一個(gè)粒子的末動(dòng)能等。相對(duì)論碰撞例題能量為

38、Ei 的光子被質(zhì)量為 me的靜止電子所散射。散射后光子能量為Ef 并偏轉(zhuǎn) q ，證明這幾個(gè)量有關(guān)系 1 - cosq = mec2(1/Ef - 1/Ei )證： 化簡(jiǎn)整理即得。相對(duì)論碰撞例題一個(gè)靜止的p+介子衰變成m+子和中微子。三者靜止質(zhì)量分別是mp0，mm0和0。求m子和中微子的動(dòng)能：開普勒定律開普勒在觀測(cè)行星運(yùn)動(dòng)的基礎(chǔ)上提出了三個(gè)定律：1. 行星軌道是橢圓，太陽(yáng)在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。2. 行星與太陽(yáng)連線在單位時(shí)間內(nèi)掃過(guò)相同的面積。3. 行星軌道周期的平方與其軌道半長(zhǎng)軸的立方成比例。開普勒第一定律給出了運(yùn)動(dòng)的軌道，不是圓上套圓的運(yùn)動(dòng)，而是簡(jiǎn)單的橢圓，是個(gè)不小的進(jìn)步。開普勒第二定律給出了行星

39、方位隨時(shí)間變化關(guān)系。開普勒第三定律給出了不同行星的軌道之間的共性。行星運(yùn)動(dòng)和受力開普勒三定律是運(yùn)動(dòng)學(xué)定律，從而我們可以從它對(duì)行星運(yùn)動(dòng)的描述求得行星的受力。牛頓發(fā)現(xiàn)萬(wàn)有引力定律，不是靠蘋果砸的，而是從開普勒定律推算得到。開普勒第一定律給出了運(yùn)動(dòng)的軌道是橢圓，因此這是平面運(yùn)動(dòng)，可用極坐標(biāo)處理：計(jì)算行星受力，為行星受力是有心力由開普勒第二定律，有可令 是常數(shù)，即是角動(dòng)量守恒，得到eq方向受力為0，行星受力為有心力。計(jì)算行星受力時(shí)，時(shí)間 t 也用此替換：萬(wàn)有引力定律這說(shuō)明行星受力是平方反比引力。但系數(shù) 對(duì)每個(gè)行星都一樣嗎？開普勒第三定律講的是行星之間的共性，即 是常數(shù)。以上用到了可取 ，故萬(wàn)有引力為萬(wàn)

40、有引力中的拉格朗日量和廣義能量萬(wàn)有引力是保守力，提供了保守場(chǎng)引力系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)為不顯含時(shí)間t，廣義能量（此處即機(jī)械能）守恒作業(yè)：2.4，2.5，2.6第10次課微振動(dòng)各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在平衡位置附近作微振動(dòng)，且平衡點(diǎn)的類型是穩(wěn)定平衡點(diǎn)，即偏離平衡時(shí)，系統(tǒng)的勢(shì)能增加。對(duì)于不穩(wěn)定平衡和隨遇平衡，系統(tǒng)無(wú)法產(chǎn)生往復(fù)振動(dòng)。 廣義坐標(biāo)一般為 qi=qi(0)+qi(1)，其中0階量是常量，是平衡時(shí)的位置，而1階量是振動(dòng)的變量。在解微振動(dòng)的問(wèn)題時(shí)，要重新取廣義坐標(biāo)使得qi(0)=0。以下的研究都是基于平衡點(diǎn)在廣義坐標(biāo)取0值進(jìn)行的。若不這樣取，某些結(jié)果不能套用。微振動(dòng)勢(shì)能對(duì)勢(shì)能 V(q) 在平衡位置附近進(jìn)行小量展開

41、取V(0)=0，平衡點(diǎn)上又有 V/qi=0，并記 因是微振動(dòng)，忽略2階以上的高階小量。寫為矩陣二次型形式：這里第一個(gè)下標(biāo)是行序數(shù)，第二個(gè)是列序數(shù)。微振動(dòng)的動(dòng)能因?yàn)橄到y(tǒng)有平衡位置存在，因此約束必是穩(wěn)定的，此時(shí)動(dòng)能是廣義速度的二階齊次項(xiàng)（T=T2），為這里矩陣 m 的各個(gè)分量一般也可以是位置q 的函數(shù)，但我們對(duì)動(dòng)能只能保留到2階小量，因而需在平衡點(diǎn)上計(jì)算 m，得到的 m 為常量。微振動(dòng)的拉格朗日函數(shù)動(dòng)能 T 總不能小于0（速度平方總不小于0），因此矩陣 m = ( Mij )sxs 是正定的。在穩(wěn)定的平衡點(diǎn)勢(shì)能V取極小值0，因此 V0，k=(kij ) sxs是正定的；同樣，T0， m =( mi

42、j )sxs也是正定的。拉格朗日函數(shù)可寫為拉格朗日方程為微振動(dòng)的拉格朗日方程由矩陣m、k的對(duì)稱性，得到拉格朗日方程這是一個(gè)線性常微分方程組，即如果 q(A)和 q(B) 都是方程的解，則 q(C) = aq(A) + bq(B) 也是方程的解。因此，q 的運(yùn)動(dòng)盡管可能出現(xiàn)多種頻率的振動(dòng)，我們可以把每一個(gè)頻率的振動(dòng)單獨(dú)分解出來(lái)研究。對(duì)于頻率為 w 的振動(dòng)，不妨設(shè)為 q = Reqw exp(iwt)，得到線性方程組：微振動(dòng)的久期方程q = 0顯然是方程的解。若要得到非 0 解，必須滿足久期方程：對(duì)于w2而言，這是一個(gè)一元s次方程，應(yīng)該有s個(gè)解，稱為s個(gè)本征（簡(jiǎn)正）頻率對(duì)于不滿足這個(gè)久期方程的頻率

43、，線性方程組只有 0 解，意味著不存在該頻率的振動(dòng)。反之，能夠出現(xiàn)的振動(dòng)頻率必須滿足久期方程，且是s個(gè)本征頻率之一。當(dāng)w=wj時(shí)，方程組 線性相關(guān)，可解得一組非 0 振幅 qw =qwj，稱為本征（簡(jiǎn)正）向量。微振動(dòng)的拉格朗日方程方程組也可以變形為矩陣m可以求逆矩陣，是因?yàn)槿羲男辛惺綖?，則方程 一定有非0解，則對(duì)應(yīng)非0的廣義速度其動(dòng)能 ，這說(shuō)明m的行列式是不可能為0的。一維情況下方程 容易解出簡(jiǎn)諧振動(dòng)的解。對(duì)于多維情況，就要做廣義坐標(biāo)q的線性變換q=RQ，通過(guò)適當(dāng)?shù)淖儞Q矩陣R和新的廣義坐標(biāo)Q，可使矩陣m-1k對(duì)角化，對(duì)角元素是本征值wj2，久期方程顯然正是求m-1k本征值的方程。本征頻率重

44、根時(shí)的本征向量解出的本征向量顯然不具有唯一性，但同一個(gè)本征頻率對(duì)應(yīng)的不同本征向量之間一般只相差一個(gè)常數(shù)倍，意義相同。只對(duì)于久期方程的n重根頻率，才能對(duì)應(yīng)有線性無(wú)關(guān)的n個(gè)本征向量出現(xiàn)。對(duì)于有重根頻率的情況，s個(gè)本征向量能通過(guò)適當(dāng)選取使其是線性無(wú)關(guān)的。下面會(huì)證明w2是不小于0的實(shí)數(shù)，從而本征向量的各個(gè)分量也為實(shí)數(shù)。微振動(dòng)的本征振動(dòng)用 qwT 乘以線性方程，可知：由于 m和 k 都是正定的實(shí)對(duì)稱二次型矩陣，w2 也是非負(fù)的。因此，本征頻率都是實(shí)數(shù)。事實(shí)上，w2 也是矩陣 m-1k 的本征值，而 qw 正是對(duì)應(yīng)的本征向量，滿足：由于久期方程是關(guān)于w2 的一元 s 次方程，應(yīng)該有 s 個(gè)根，前面已經(jīng)說(shuō)了

45、這些根都是非負(fù)實(shí)數(shù)，因此對(duì)應(yīng) s 個(gè)本征頻率的振動(dòng)。微振動(dòng)的本征坐標(biāo)廣義坐標(biāo) q 隨時(shí)間的變化是由這 s 個(gè)本征頻率的振動(dòng)的線性組合構(gòu)成。即：其中，常數(shù) Aj 和 aj 依初始條件待定。事實(shí)上，上式可以改寫為：這里引入新的廣義坐標(biāo) Q，它也稱為本征坐標(biāo)，其每個(gè)分量對(duì)應(yīng)一個(gè)頻率的振動(dòng)，它與廣義坐標(biāo) q 之間的線性變換是矩陣 R，由本征向量排列而成。本征坐標(biāo) Q 可由 Q = R-1q 求得。微振動(dòng)的本征坐標(biāo)以 Q 為新的廣義坐標(biāo)則能得到單一頻率的振動(dòng)?？沈?yàn)證如下：注意到將j=1,2,s各個(gè)等式逐列排列起來(lái)，即令矩陣 w2 是以 s 個(gè) w2j 構(gòu)成的對(duì)角矩陣，則有：本征坐標(biāo) Q 的方程解得各個(gè)本

46、征頻率的振動(dòng)。 一些矩陣的具體表示微振動(dòng)的解法小結(jié)確定微振動(dòng)的平衡位置。調(diào)整廣義坐標(biāo)以便使平衡位置處于所有 qj=0 處。在平衡位置處將勢(shì)能函數(shù)展開并保留到二階小量。寫出系統(tǒng)的總動(dòng)能，展開并保留到二階小量。列出久期方程，解出s個(gè)本征頻率wj。對(duì)于每個(gè)本征頻率，解出相應(yīng)的本征向量 。給出廣義坐標(biāo)隨時(shí)間變化的通解：通過(guò)初始條件確定各本征振動(dòng)中的待定系數(shù)。 第11次課作業(yè)：2.7，2.8，2.9微振動(dòng)實(shí)例二維耦合擺問(wèn)題：q1q2三原子微振動(dòng)實(shí)例三原子問(wèn)題：mmM三原子微振動(dòng)實(shí)例w=0相當(dāng)于系統(tǒng)質(zhì)心不動(dòng)（或勻速運(yùn)動(dòng)）。對(duì)應(yīng)的解為微振動(dòng)實(shí)例雙單擺問(wèn)題：q1q2阻尼振動(dòng)物體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中經(jīng)常遇到阻尼。阻尼力

47、與物體運(yùn)動(dòng)速度有關(guān)。常見的有：摩擦阻尼（與速度無(wú)關(guān)）。粘滯阻尼（與速度 v 成正比）。尾流阻尼（與速度平方成正比）。波阻尼等與速度關(guān)系復(fù)雜的類型。這里處理與速度 v 成正比的粘滯阻尼。耗散函數(shù)粘滯阻尼力：阻尼的廣義力：這里耗散函數(shù)F定義為帶耗散的拉格朗日方程耗散函數(shù)是非負(fù)的。耗散現(xiàn)象使得系統(tǒng)的機(jī)械能喪失。有阻尼時(shí)的拉格朗日方程：化為矩陣形式：方程組求解使用試探解 elt 能方便的求出本征振動(dòng)頻率和阻尼率。其中，如果是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，l 就是純虛數(shù)。若要ql有非0解，方程的系數(shù)行列式必須為0。這樣就得到一個(gè)關(guān)于l的一元2s次方程。為了研究根l的性質(zhì)，用非0解qlT乘以原方程得由于三個(gè)系數(shù)都是非負(fù)的，可知：l的實(shí)部非正，與c成正比。l若是復(fù)數(shù)，則與其共軛l*一同出現(xiàn)。此一元二次方程的兩個(gè)解具有同一個(gè)本征向量。本征值和本征坐標(biāo)記每個(gè)本征值lj 對(duì)應(yīng)本征向量為 qlj，j=1,2,.,s。同時(shí)具有同樣這個(gè)本征向量還有另一個(gè)本征值lj+s 。則最后整體的解為對(duì)應(yīng)實(shí)根lj的系數(shù)Aj是實(shí)數(shù)，對(duì)應(yīng)復(fù)根lj的系數(shù)Aj是復(fù)數(shù)，但必須滿足 Aj = A*j+s ，lj = l*j+s（共軛關(guān)系），使兩者相加之后為實(shí)數(shù)。本征坐標(biāo)同樣可以通過(guò)線性變換得到第12次課作業(yè)：2.10，2.