電路分析基礎(chǔ)：第10章 含有耦合電感的電路

1、第10章 含有耦合電感的電路10.1互感10.3耦合電感的功率含有耦合電感電路的計(jì)算10.210.4變壓器原理理想變壓器10.5目錄耦合電感工程應(yīng)用實(shí)例概念功率問題分析計(jì)算方法10.1互感1. 互感載流線圈之間通過彼此磁場互相聯(lián)系稱磁耦合線圈1中通入電流i1,在線圈1中產(chǎn)生磁通11與自身線圈交鏈產(chǎn)生磁通鏈 11 (N111),稱為自感磁通鏈;同時有部分磁通穿過臨近線圈2與其交鏈產(chǎn)生的磁通鏈 21 21 11N1N2i1L1L2同理，若在線圈2中通電 流i2 時，不僅在線圈2中產(chǎn)生磁通鏈 22，同時有部分磁通穿過線圈1產(chǎn)生磁通鏈 12 ， 21和 12稱為互感磁通鏈 12 22N1N2i2當(dāng)周圍

2、空間是各向同性的線性磁介質(zhì)時，每一種磁通鏈與產(chǎn)生它的施感電流成正比即有自感磁通鏈: 互感磁通鏈: L1 、L2為自感系數(shù)，單位：亨(H)M12、 M21為互感系數(shù)，單位：亨(H)當(dāng)兩個線圈同時有施感電流時，每一線圈的磁鏈為自磁鏈與互磁鏈的代數(shù)和： 注:磁通鏈雙下標(biāo)：第一個下標(biāo)表示的是磁通鏈所在線圈的編號，第二個下標(biāo)表示產(chǎn)生該磁通鏈的施感電流所在線圈的下標(biāo) M值與線圈的形狀、幾何位置、空間媒質(zhì)有關(guān)，與線圈中的電流無關(guān)，滿足M12=M21=M若線圈u、i參考方向關(guān)聯(lián)，自感系數(shù) L前系數(shù) 總為正值，互感系數(shù) M 前系數(shù)有正有負(fù)說明正值表示互感磁鏈與自感磁鏈方向一致，互感起增助作用(同向耦合)負(fù)值表示

3、互感磁鏈與自感磁鏈方向相反，互感起削弱作用(反向耦合) 2.互感線圈的同名端通過兩個線圈的繞向、位置和施感電流的參考方向，用右手螺旋法則，就可以判定互感是“增助”還是“削弱” 分析電路不便(實(shí)際有些互感線圈是封閉的,看不出繞向)；在電路圖中也無法反映繞向。為解決這個問題引入同名端概念N1N2i1L1L2i2 1 1 2 2同名端的定義當(dāng)一對施感電流(i1, i2)分別通入互感線圈，使之產(chǎn)生的磁通相互加強(qiáng)時(同向耦合)，則這對電流的2個流入端(或流出端) 稱為兩互感線圈的同名端。反之，使之產(chǎn)生的磁通相互削弱時(反向耦合)，則稱為異名端。N1N2i1L1L2i2 1 1 2 2同名端一般用 “”

4、或 “*”或“”等標(biāo)記。無標(biāo)記的另一對端點(diǎn)也是同名端。L1L2+-+-u1u2i1i21122M可用帶有互感M和同名端標(biāo)記的電感元件(L1 、L2)表示耦合電感元件(四端子二端口元件)N1N2i1L1L2i2 1 1 2 2有了同名端以及u,i參向,就可知兩個互感線圈,電流參向從哪一對端子流入,可同向耦合(互相增助磁場)。*112211N1N233N3i1當(dāng)有兩個以上的電感彼此之間存在耦合時，同名端應(yīng)兩兩確定加以標(biāo)記。i2i3每一對采用不同的符號若每一電感都有電流時，則每一電感中的磁通鏈將等于自感磁通鏈與所有互感磁通鏈的代數(shù)和L1L2L3MM*M例10-1 :圖示電路，i1=1A(直流)，i2

5、=5cos(10t)A，L1=2H，L2=3H，M=1H，求耦合電感的磁通鏈。i1*L1L2+_u1+_u2i2M11 = L1i1 =2Wb 22 = L2i2 =15cos(10t) Wb21 = Mi1 =1Wb12 = Mi2 = 5cos(10t) Wb1 = L1i1+ Mi2 =2+ 5cos(10t) Wb2 = Mi1+ L2i2 =1+ 15cos(10t) Wb各磁通鏈為:施感電流都從標(biāo)記同名端流進(jìn)線圈,是同向耦合,各線圈的總磁通鏈:耦合電感實(shí)際處于反向耦合,會出現(xiàn)1 11 3. 耦合電感上的電壓、電流關(guān)系自感電壓互感電壓當(dāng)i1為時變電流時,磁通也將隨時間變化，從而在線圈

6、兩端產(chǎn)生感應(yīng)電壓。當(dāng)i1、u11、u21方向與 符合右手螺旋時，根據(jù)電磁感應(yīng)定律和楞次定律： 21+u11+u21i111N1N2當(dāng)兩個線圈同時通以電流時，每個線圈兩端的電壓均包含自感電壓和互感電壓i1*L1L2+_u1+_u2i2M同名端與互感電壓的參考極性若i1從L1的同名端流入，則i1在L2中引起的互感電壓參考 “+”極在L2的同名端。同樣，若i2從L2的同名端流入，則i2在L1中引起的互感電壓參考 “+”極在L1的同名端。約定互感電壓”+”設(shè)定規(guī)則:施感電流入端與其在另一線圈產(chǎn)生的互感電壓”+”極性端為一對同名端耦合電感同向耦合(施感電流都從同名端流進(jìn)線圈)，互感電壓與自感電壓同號，反

7、向耦合時與自感電壓異號由同名端及u、i參考方向確定互感線圈的VCR方程i1*L1L2+_u1+_u2i2Mi1*L1L2+_u1+_u2i2Mi1*L1L2+_u1+_u2i2Mi1*L1L2+_u1+_u2i2M同向耦合反向耦合同向耦合同向耦合例10-2:i1=1A(直流)，i2=5cos(10t)，L1=2H，L2=3H，M=1H，求兩耦合線圈的端電壓u1 和u2 。i1*L1L2+_u1+_u2i2M同向耦合同名端判別方法若能看出繞向，則根據(jù)線圈電流和磁通方向判定:兩個線圈分別施加電流i1、i2，若產(chǎn)生的磁通方向 相同(磁場相互增助),則i1、i2的流入端為同名端*112233*1122

8、ii+V1122*當(dāng)閉合開關(guān)S時，i 增加*RS+-i實(shí)驗(yàn)測定法：當(dāng)隨時間增大的時變電流從一線圈的一端流入時，將會引起另一線圈相應(yīng)同名端的電位升高。設(shè)1、 2是同名端S閉合瞬間，若電壓表正偏，則假設(shè)正確否則說明1、 2是同名端結(jié)論耦合線圈的同名端只與兩線圈的繞向及兩線圈的相互位置有關(guān)，與線圈中的電流參考方向如何假設(shè)無關(guān)當(dāng)兩施感電流均從同名端流入(或流出)，兩線圈中磁通互相增助，兩線圈上自感電壓和互感電壓方向一致4. 耦合系數(shù)耦合電感的磁通鏈不僅與施感電流相關(guān)，還與線圈耦合的緊疏程度相關(guān)，通過耦合電感的互感磁通鏈與自感磁通鏈的比值來衡量工程上取上述兩比值的幾何平均值，定義為耦合因數(shù)k，表示兩個線

9、圈磁耦合的緊疏程度。耦合系數(shù)k與線圈的結(jié)構(gòu)、相互幾何位置、空間磁介質(zhì)有關(guān)11221122緊耦合（k1） (k=1全耦合)疏耦合（ k0 ） (k=0無耦合)軸線重合軸線垂直 一般情況下，一個線圈中的電流所產(chǎn)生的磁通只有一部分與鄰近線圈交鏈，另一部分稱為漏磁通。 漏磁通越少，互感線圈之間的耦合程度越緊密,耦合系數(shù)k越大，漏磁通為0，全耦合,此時k=11122L1L2i1F21漏磁通F1sF11 =F21+F1s證明:全耦合: F11= F21，F(xiàn)22 =F1210.2含有耦合電感電路的計(jì)算含有耦合電感（簡稱互感）電路的計(jì)算：在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，有互感電路的計(jì)算仍可用相量分析法注意列KVL方程時，互

10、感線圈上的電壓除自感電壓外，還應(yīng)包含互感電壓。由于耦合電感支路電壓不僅與本支路電流有關(guān)，還與其他某些支路電流有關(guān)，若列結(jié)點(diǎn)電壓方程需另行處理。1. 耦合電感的串聯(lián)同向串聯(lián)iM*u2+R1R2L1L2u1+u+iRLu+耦合電感的串聯(lián)電路，互感起“增助”作用 (同向耦合)稱為同向串聯(lián) 無互感(去耦)等效電路L1+M+-ui+-u2L2+MR1u1+-R2反向串聯(lián)iM*u2+R1R2L1L2u1+u+iRLu+互感起“削弱”作用 (反向耦合)注意互感不大于兩個自感的算術(shù)平均值，整個電路仍呈感性L1-M+-ui+-u2L2-MR1u1+-R2根據(jù)上述討論可得出測量互感系數(shù)的方法：把兩線圈順接一次，反

11、接一次，就可以測出互感互感的測量方法在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，可用相量形式表示：同向串聯(lián)去耦等效電路反向串聯(lián)去耦等效電路jwL1+-+-jwMR1R2+- .I .U .U1 .U2jwL2jw(L1+M)+-+-R1R2+- .U .U1 .U2 .Ijw(L2+M)jwL1+-+-jwMR1R2+- .I .U .U1 .U2jwL2jw(L1-M)+-+-R1R2+- .U .U1 .U2 .Ijw(L2-M)i*u2+MR1R2L1L2u1+u+耦合因數(shù)k為：例10-3:正弦電壓的U=50V，R1=3，L1=7.5, R2=5，L2=12.5，M=8。求該耦合電感的耦合因數(shù)和該電路各支路吸收的

12、復(fù)功率。由于反向串聯(lián)，各支路阻抗分別為：輸入阻抗：i*u2+MR1R2L1L2u1+u+例10-3:正弦電壓的U=50V，R1=3 ，L1=7.5 , R2=5 ，L2=12.5 , M=8 。求該耦合電感的耦合因數(shù)和該電路各支路吸收的復(fù)功率。各支路吸收的復(fù)功率:電源發(fā)出復(fù)功率:同側(cè)并聯(lián)2. 耦合電感的并聯(lián)耦合電感的同名端連接在同一個結(jié)點(diǎn)上，稱為同側(cè)并聯(lián) *+R1R2jL1jL2jM*+R1R2jL1jL2jM+R1R2j(L1-M) j(L2-M)jLMLM = ML1L1 ML2L2 M去耦等效電路 異側(cè)并聯(lián)耦合電感的異名端連接在同一個結(jié)點(diǎn)上，故稱為異側(cè)并聯(lián) *+R1R2jL1jL2jML

13、M = ML1L1 ML2L2 M*+R1R2jL1jL2jM去耦等效電路+R1R2j(L1+M) j(L2+M)jLM*+R1R2jL1jL2jM例10-4:正弦電壓的U=50V，R1=3，L1=7.5, R2=5，L2=12.5, M=8。求電路的輸入阻抗及支路1、2的電流。同側(cè)并聯(lián)：+R1R2j(L1 -M) jLMj(L2 -M) 輸入阻抗：+R1R2j(L1 -M) jLMj(L2 -M) 3.耦合電感的T型連接若耦合電感的2條支路各有一端與第三條支路形成一個僅含三條支路的共同結(jié)點(diǎn),稱為耦合電感的T型聯(lián)接 同名端為共端的T型去耦等效*jL1123jL2jM12j(L1-M)j(L2-

14、M)jM3異名端為共端的T型去耦等效*jL1123jL2jM12j(L1+M)j(L2+M)-jM3含有互感電路的去耦等效電路：并聯(lián)(包括T型聯(lián)接 )：如果耦合電感的2條支路各有一端與第3支路形成一個僅含3條支路的共同結(jié)點(diǎn)，則可以用3條無耦合的電感支路等效替代，3條支路的等效電感分別為：小結(jié)串聯(lián)： 同向串聯(lián)各耦合電感等效為:L1 + M， L2 + M反向串聯(lián)各耦合電感等效為: L1 M ， L2 - ML = L1 + L2 2M同側(cè)并聯(lián) 異側(cè)并聯(lián)LM= M LM = ML1 L1 M L1 L1M L2 L2M L2 L2M同側(cè)取”+”異側(cè)取”-”M前符號與LM相反Lab=6HM=4H6H

15、2H3H5HabM=1H4H3H2H1Hab3H例4. 受控源等效電路用CCVS表示互感電壓*Mi2i1L1L2u1+u2+jL1jL2+在正弦交流電路中，其相量形式的方程為列寫電路的回路電流方程。213MuS+CL1L2R1R2*+ki1i1例+L1+ ML2 + MR1R2+- M例10-5:正弦電壓的US=12V，L1= L2 = 10 , R1=R2=6 ，M=5 。求ZL最佳匹配時獲得功率PjwL2jwL1jwM+- .US .I1R2R1a11ZL .Ijw(L1-M)+- .US .I1R2R1a11jw(L2-M)jwMZL .I同名端為共端的T型連接(廣義同側(cè)并聯(lián)),去耦等效

16、電路為:III列網(wǎng)孔電流方程用一步法求解戴維南等效電路，在端口1-1用電流源 替代ZLjw(L1-M)+- .US .I1R2R1a11jw(L2-M)jwMZL .I解得：US=12V，L1= L2 = 10 , R1=R2=6 ，M=5 共軛匹配獲得Pmax求圖示電路的開路電壓。M12+_+_*M23M31L1L2L3R1例作出去耦等效電路，(一對一對消):M12*M23M31L1L2L3*M23M31L1M12L2M12L3+M12同名端共端T型連接M31L1M12 +M23L2M12 M23L3+M12 M23L1M12 +M23 M31 L2M12M23 +M13 L3+M12M23

17、 M31 *M23M31L1M12L2M12L3+M12同名端共端T型連接同名端共端T型連接L1M12 +M23 M31 L2M12M23 +M31L3+M12M23 M13 +_+_R1習(xí)題10-1、 10-2、 10-4、 10-5、 10-6、 10-7變壓器是電工、電子技術(shù)中常用的電氣設(shè)備。10.4變壓器原理由兩個具有互感的線圈構(gòu)成，一個線圈接向電源，另一線圈接向負(fù)載，變壓器是利用互感來實(shí)現(xiàn)從一個電路向另一個電路傳輸能量或信號的器件。變壓器線圈的芯子為非鐵磁材料時，稱空心變壓器變壓器線圈的芯子是鐵磁材料時，稱鐵芯變壓器調(diào)壓器整流器牽引電磁鐵電流互感器中周線圈(中頻變壓器)、振蕩線圈10

18、kVA300kVA的大功率單相、三相電源變壓器。焊接設(shè)備使用的主變壓器、控制變壓器。1.變壓器電路實(shí)際變壓器由繞在一個共同心子上的兩個(或更多的)耦合線圈組成。電路模型一個線圈作為輸入端口，接入電源形成一個回路,稱一次回路(或一次側(cè)、原邊回路、初級回路)另一線圈作為輸出端口，接入負(fù)載形成一個回路,稱二次回路(或二次側(cè)、副邊回路、次級回路)jwL2jwL1R1 .I1 .I2-+11 .U122R2ZL+- .U2jwM2. 分析方法方程法分析令Z11=R1+jL1:稱為一次回路阻抗正弦穩(wěn)態(tài)情況下，電路回路方程為：Z22=R2+jL2+Z:稱為二次回路阻抗ZM=jM:為互感抗jwL2jwL1R1

19、 .I1 .I2-+11 .U122R2ZL+- .U2jwM等效電路法分析根據(jù)上式得一次側(cè)等效電路：jwL2jwL1R1 .I1 .I2-+11 .U122R2ZL+- .U2jwMZ11 .I1-+11 .U1(wM)2Y22 一次側(cè)輸入阻抗(wM)2Y22。引入阻抗是二次回路阻抗和互感抗通過互感反映到一次側(cè)的等效阻抗,所以又稱反映阻抗Z11=R1+jL1Z22=R2+jL2+ZLZM=jM反映阻抗的性質(zhì)與Z22相反感性變?nèi)菪裕菪宰兏行砸腚娮?。恒為?表示二次側(cè)回路吸收的功率是靠一次側(cè)供給的。引入電抗。負(fù)號反映了引入電抗與二次側(cè)電抗的性質(zhì)相反。Z11 .I1-+11 .U1(wM)2Y

20、22 實(shí)部虛部從一次側(cè)等效電路看出，變壓器輸入端口的工作狀態(tài)隱含了二次(輸出)端口的工作狀態(tài)。jwL2jwL1R1 .I1 .I2-+11 .U122R2ZL+- .U2jwMZ11 .I1-+11 .U1(wM)2Y22 也可以用二次等效電路研究一、二次側(cè)的關(guān)系jwL2jwL1R1 .I1 .I2-+11 .U122R2ZL+- .U2jwMZeq .I2-+22 . UOCZL -+ . U2分子:分母：等效電路的回路阻抗二次側(cè)開路時，一次側(cè)電流在二次側(cè)產(chǎn)生的互感電壓。一次回路反應(yīng)到二次回路的引入阻抗二次線圈阻抗戴維寧等效電路*Mi2i1L1L2u1+u2+(L1M)M(L2M)*Mi2i

21、1L1L2u1+u2+去耦等效分析法 對含互感的電路進(jìn)行去耦等效，再進(jìn)行分析。-+ .U1M+- .U2L1L2 .I1 .I2ZL例10-8: L1=5H，L2=3.2H，M=4H,u1=100cos(10t)V,負(fù)載阻抗ZL=10W，求耦合因數(shù)k和一、二次電流i1、i2耦合因數(shù)k為：全耦合Zeq .I2-+22jwMY11 . U1ZL -+ . U2二次戴維南等效電路i2= -8cos(10t)Ai1= 6.7cos(10t-17.35o)AR1=R2=0代入一次回路方程：解得：方法1:等效電路分析法例10-8: L1=5H，L2=3.2H，M=4H ,u1=100cos(10t)V,負(fù)

22、載阻抗ZL=10W求耦合因數(shù)k和一、二次電流i1、i2方程中：Z11=jwL1= j50WZ22=jwL2+ZL=10+j32W ZM=jwM = j40W 方法2:方程分析法-+ .U1M+- .U2L1L2 .I1 .I2ZL*問ZL為何值時其上獲得最大功率，求最大功率判定互感線圈的同名端例uS(t)ZL100 CL1L2M1122jL1 R + MZL*jL2 1/jC 作去耦等效電路+ ZLj100j20j20100j(L1-20)+ ZLj100100j(L1-20)jL1 R + MZL*jL2 1/jC 同名端為共端的T型連接uoc+ j100100j(L1-20)j100100

23、j(L-20)Zeq要使 i=0，問電源的角頻率為多少？ZRCL1L2MiuS+L1 L2C R + MZ*例同名端共端T型連接L1M L2MMC R + Z0*1.理想變壓器的三個理想化條件理想變壓器是實(shí)際變壓器的理想化模型，是對互感元件的理想科學(xué)抽象，是極限情況下的耦合電感。全耦合無損耗線圈導(dǎo)線無電阻，做芯子的鐵磁材料的磁導(dǎo)率無限大。參數(shù)無限大10.5理想變壓器以上三個條件在工程實(shí)際中不可能滿足,但在一些實(shí)際工程概算中,在誤差允許的范圍內(nèi),把實(shí)際變壓器當(dāng)理想變壓器對待,可使計(jì)算過程簡化。2.理想變壓器的主要性能變壓關(guān)系*+_u1+_u2i1L1L2i2M磁通鏈方程求導(dǎo)得電壓電流方程全耦合無漏磁通i1122N1N2理想變壓器模型*n:1+_u1+_u2i1i2理想變壓器變壓關(guān)系與兩線圈中電流參向假設(shè)無關(guān),但與電壓極性的設(shè)置有關(guān): u1、u2的“+”極性均設(shè)在標(biāo)記的同名端,若設(shè)在異名端 ,電壓比為-nu2 =0時，必有u1 =0 所以u1當(dāng)為獨(dú)立電壓源時，二次側(cè)不能短路說明電壓與匝數(shù)成正比變比變流關(guān)系考慮理想化條件：0電流與匝數(shù)成反比理想變壓器變流關(guān)系與兩線圈中電壓極性假設(shè)無關(guān),但與電流參向的設(shè)置有關(guān): i1、i2的均從同名端同時流入(或流出),若設(shè)在異名端 ,電流比為1/ni2 =0時，必有i1 =0 所以i1當(dāng)為獨(dú)立電流源時，二次側(cè)不