高等數(shù)學(xué)A第6章多元函數(shù)微分學(xué)110(多元函數(shù)概念)講解課件

1、中南大學(xué)開放式精品示范課堂高等數(shù)學(xué)建設(shè)組高等數(shù)學(xué)A6.1.1 點(diǎn)集與多元函數(shù)的概念6.1.2 二元函數(shù)的極限及連續(xù)性 6.1 多元函數(shù)微分的基本概念 第6章 多元函數(shù)微分學(xué)6.1 多元函數(shù)微分的基本概念6.1.1 一般概念 預(yù)備知識 鄰域 區(qū)域 聚點(diǎn)n 維空間 多元函數(shù)概念引例二元函數(shù)的定義 習(xí)例1-4 二元函數(shù)的幾何意義 習(xí)例5-7 多元函數(shù)的定義 6.1.2 二元函數(shù)極限及連續(xù)性 多元函數(shù)極限二元函數(shù)的極限定義例8 二元函數(shù)極限的計(jì)算習(xí)例9-12 確定極限不存在的方法 例13-16累次極限例17-19 多元函數(shù)的極限 多元函數(shù)連續(xù)性連續(xù)性定義 閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)例20-25 小結(jié)多元函

2、數(shù)微分學(xué)的基本概念 我們把n元有序?qū)崝?shù)組(x1 x2 xn)的全體所構(gòu)成的集合記為Rn 即 Rn(x1 x2 xn)| xiR i1 2 n x(x1 x2 xn)稱為Rn中的一個(gè)點(diǎn)或一個(gè)n維向量 xi稱為點(diǎn)x的第i個(gè)坐標(biāo)或n維向量x的第i個(gè)分量 0(0 0 0)稱為Rn中的原點(diǎn)或n維零向量1. n 維空間一、預(yù)備知識定義 數(shù)量積/內(nèi)積 的距離記作中點(diǎn) a 的 鄰域?yàn)橐?guī)定為 與零元 O 的距離為2. 鄰域點(diǎn)集稱為點(diǎn) P0 的鄰域.例如,在平面上,(圓鄰域)在空間中,說明：若不需要強(qiáng)調(diào)鄰域半徑 ,也可寫成點(diǎn) P0 的去心鄰域記為(球鄰域)在討論實(shí)際問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域?yàn)椤Ｒ驗(yàn)榉洁?/p>

3、域與圓鄰域可以互相包含.(1) 內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)設(shè)有點(diǎn)集 E 及一點(diǎn) P : 若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E , 若存在點(diǎn) P 的某鄰域 U(P) E = , 若對點(diǎn) P 的任一鄰域 U(P) 既含 E中的內(nèi)點(diǎn)也含 E則稱 P 為 E 的內(nèi)點(diǎn)；則稱 P 為 E 的外點(diǎn) ;則稱 P 為 E 的邊界點(diǎn).的外點(diǎn) , E的邊界點(diǎn)的全體 稱為E的邊界 記作E 任意一點(diǎn)PR2與任意一個(gè)點(diǎn)集ER2之間必有以下三種關(guān)系中的一種 Rn中點(diǎn)的分類 （按位置) 顯然, E 的內(nèi)點(diǎn)必屬于 E , E 的外點(diǎn)必不屬于 E , E 的邊界點(diǎn)可能屬于 E, 也可能不屬于 E . 提問 E的內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)、邊界點(diǎn)是否都必

4、屬于E？(2) 聚點(diǎn)若對任意給定的 ,點(diǎn)P 的去心鄰域內(nèi)總有E 中的點(diǎn) , 則稱 P 是 E 的聚點(diǎn).聚點(diǎn)可以屬于 E , 也可以不屬于 E (因?yàn)榫埸c(diǎn)可以為 所有聚點(diǎn)所成的點(diǎn)集成為 E 的導(dǎo)集 .E 的邊界點(diǎn) )Rn中點(diǎn)的分類（按性質(zhì)) 孤立點(diǎn) (isolated point )(1) 內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；注意:(2) 邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；(0,0)既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn).(3) 點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于E(0,0) 是聚點(diǎn)但不屬于集合.邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合D(3) 開區(qū)域及閉區(qū)域 若點(diǎn)集 E 的點(diǎn)都是內(nèi)點(diǎn)，則稱 E 為開集； 若點(diǎn)集 E E , 則稱 E 為閉集； 若集 D 中

5、任意兩點(diǎn)都可用一完全屬于 D 的折線相連 , 開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱 D 是連通的 ; 連通的開集稱為開區(qū)域 ,簡稱區(qū)域 ;。 。 E 的邊界點(diǎn)的全體稱為 E 的邊界, 記作E ;Rn中點(diǎn)集的分類例如，在平面上開區(qū)域閉區(qū)域 整個(gè)平面 點(diǎn)集 是開集， 是最大的開域 , 也是最大的閉域；但非區(qū)域 .o 對區(qū)域 D , 若存在正數(shù) K , 使一切點(diǎn) PD 與某定點(diǎn) A 的距離 AP K ,則稱 D 為有界域 , 界域 .否則稱為無二. 多元函數(shù)的概念1.引例: 圓柱體的體積 定量理想氣體的壓強(qiáng) 三角形面積的海倫公式2. 二元函數(shù)的定義3. 二元函數(shù)的定義域(1) 使得算式有意義的x,

6、y的變化范圍所確定的點(diǎn)集. (2) 使得實(shí)際問題有意義的x,y的變化范圍所確定的點(diǎn)集. (3) 二元函數(shù)的定義域一般來說是平面上的區(qū)域. (4) 二元函數(shù)的兩要素是定義域和對應(yīng)法則. 例1 例2例3例4解所求定義域?yàn)樽⒁? 平面區(qū)域通常用字母D表示.例1 解故所求定義域?yàn)?例2解例3解例44. 二元函數(shù)的幾何意義一般曲面如圖所示例 5 作二元函數(shù) 的圖形 例 6 作二元函數(shù) 的圖形 例 7 作二元函數(shù) 的圖形 解 二元函數(shù) 的圖形是空間一平面，其圖形如下圖所示例 5 作二元函數(shù) 的圖形 解 此函數(shù)的定義域?yàn)?面上任意點(diǎn)且 ，即曲面上的點(diǎn)都在面 上方其圖形為旋轉(zhuǎn)拋物面，如下圖所示例 6 作二元函

7、數(shù) 的圖形 例 7 作二元函數(shù) 的圖形 解 此二元函數(shù)的定義域?yàn)?，即 坐標(biāo)面 上的以 為圓心， 為半徑的圓，且 其圖形為上半圓周，如下圖所示 5. 多元函數(shù)的定義一個(gè)自變量. 兩個(gè)自變量. 三個(gè)自變量. n個(gè)自變量. n元函數(shù)在幾何上表示n+1維空間上的一般曲面. 注意. (1) 多元函數(shù)也有單值函數(shù)和多值函數(shù)，如在討論過程中通常將其拆成幾個(gè)單值函數(shù)后再分別加以討論.(2) 多元函數(shù)也有分段函數(shù)，如(3) 點(diǎn)函數(shù)u=f(P)能表示所有的函數(shù).6. 多元函數(shù)有加減乘除數(shù)乘及復(fù)合運(yùn)算(略)多元復(fù)合函數(shù)比一元復(fù)合函數(shù)復(fù)雜，需要認(rèn)清其復(fù)合關(guān)系-可借助鏈?zhǔn)綀D（分枝圖）. 曲面z=f(x, y)與平面z

8、=c的交線在xoy平面上的投影稱為二元函數(shù)zf(x, y)的等值線。二元函數(shù)的的等值線/等高線下圖回憶一元函數(shù)極限的概念現(xiàn)在進(jìn)行形式上的推廣三. 多元函數(shù)的極限1. 二元函數(shù)的極限定義描述性定義 精確定義利用點(diǎn)函數(shù)給出的定義說明：（1）定義中 的方式是任意的；（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（3）二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似OxyOxy 相同點(diǎn) 多元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限的一元函數(shù)在某點(diǎn)的極限存在的充要?定義相同.差異為必需是點(diǎn)P在定義域內(nèi)以任何方式和途徑趨而多元函數(shù)于P0時(shí),相同點(diǎn)和差異是什么條件是左右極限都存在且相等;都有極限,且相等.例8 依定義驗(yàn)證證 因?yàn)?不妨先限制在點(diǎn)(

9、2, 1)的方鄰域 內(nèi)來討論, 于是有當(dāng) 時(shí), 就有 所以這就證得 2. 二元函數(shù)極限的計(jì)算習(xí)例 計(jì)算二元函數(shù)的極限，應(yīng)用一元函數(shù)計(jì)算極限的一些法則與方法. 對于未定型，不再有LHospital法則，須化成確定型. 解 原結(jié)論成立解解 由夾逼準(zhǔn)則得，證(證法一) 可知 故注意 不要把上面的估計(jì)式錯(cuò)寫成：因?yàn)榈倪^程只要求 即 而并不要求 (證法二) 作極坐標(biāo)變換 這時(shí) 等價(jià)于( 對任何 ). 由于 因此，對任何 都有 下述定理及其推論相當(dāng)于一元函數(shù)極限的海涅歸結(jié)原則(而且證明方法也相類似). 定理1 的充要條件是：對于 D 的 任一子集 E,只要 仍是 E 的聚點(diǎn),就有3. 確定極限不存在的方法

10、 推論1 若, P0 是 E1 的聚點(diǎn), 使 不存在, 則 也不存在 推論2 若 是它們的聚點(diǎn)，使得都存在，但, 則不存在推論3 極限 存在的充要條件是：D 中任 一滿足條件 它所 對應(yīng)的函數(shù)列都收斂 在(0,0)處時(shí), 一般選擇下列極限方式：由上述結(jié)論可得確定極限不存在的方法如下：例15 解其值隨著k的不同而改變.故所求極限不存在. 解 如上圖所示, 當(dāng) (x, y) 沿任何直線趨于原點(diǎn)時(shí),相應(yīng)的 都趨于 0, 但這并不表明此函數(shù)在 時(shí)的極限為 0. 因?yàn)楫?dāng) (x, y) 沿拋物線 趨于點(diǎn) O 時(shí), 將趨于1. 所以極限 不存在. 解 利用定理1 的推論 2, 需要找出兩條路徑, 沿 著此二

11、路徑而使 時(shí), 得到兩個(gè)相異 的極限 例15 第一條路徑簡單地取 此時(shí)有 第二條路徑可考慮能使的分子與 分母化為同階的無窮小, 導(dǎo)致極限不為 0. 按此思路 的一種有效選擇, 是取 此時(shí)得到 這就達(dá)到了預(yù)期的目的 解: 因而此函數(shù)定義域不包括 x , y 軸則故4. 累次極限是以任何方式趨于 這種極限也稱為重 極限. 下面要考察 x 與 y 依一定的先后順序, 相繼趨 在上面討論的中, 自變量 于 與 時(shí) f 的極限, 這種極限稱為累次極限. 定義 它一般與 y 有關(guān), 記作 如果進(jìn)一步還存在極限 累次極限, 記作 則稱此 L 為 先對 后對的 類似地可以定義先對 y 后對 x 的累次極限:

12、注 累次極限與重極限是兩個(gè)不同的概念, 兩者之間沒有蘊(yùn)涵關(guān)系.下面三個(gè)例子將說明這一點(diǎn). 例17 設(shè) . 由例 12 知道 當(dāng)時(shí)的重極限不存在. 但當(dāng)時(shí), 有 從而又有 同理可得 這說明 f 的兩個(gè)累次極限都存在而且相等. 累次極限分別為 例18 設(shè) , 它關(guān)于原點(diǎn)的兩個(gè) 當(dāng)沿斜率不同的直線時(shí), 有 因此該函數(shù)的重極限不存在. 例19 設(shè), 它關(guān)于原點(diǎn)的兩 個(gè)累次極限都不存在. 這是因?yàn)閷θ魏?時(shí), f 的第二項(xiàng)不存在極限. 同理, f 的第一 項(xiàng)當(dāng) 時(shí)也不存在極限. 但是由于 故按例11知道 時(shí) f 的重極限存在, 且 下述定理告訴我們: 重極限與累次極限在一定條件 下也是有聯(lián)系的. 定理2

13、 若 f (x, y) 的重極限 與 累次極限 都存在, 則兩者必定相等. 證 設(shè) 則使得當(dāng)時(shí), 有的 x, 存在極限 另由存在累次極限之假設(shè), 對任一滿足不等式 回到不等式(1), 讓其中, 由 (3) 可得故由 (2), (4) 兩式, 證得, 即由這個(gè)定理立即導(dǎo)出如下兩個(gè)便于應(yīng)用的推論. , 推論1 若重極限 和累次極限 都存在, 則三者必定相等. 推論2 若累次極限都存在但不相等, 則重極限必定 不存在. 請注意: (i) 定理 6.1.2 保證了在重極限與一個(gè)累次 極限都存在時(shí), 它們必相等. 但對另一個(gè)累次極限的 存在性卻得不出什么結(jié)論. (ii) 推論 1 給出了累次極限次序可交

14、換的一個(gè)充分條件. (iii) 推論 2 可被用來否定重極限的存在性(如例17 ). 5. 多元函數(shù)的極限 利用點(diǎn)函數(shù)的形式有n元函數(shù)的極限1. 連續(xù)性定義四. 多元函數(shù)的連續(xù)性 尋找間斷點(diǎn)的方法函數(shù)無定義的點(diǎn);極限存在但不等于函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值的點(diǎn)等等.例如：極限不存在的點(diǎn);與一元函數(shù)的情況類似例20例21 例22 證明在全平面連續(xù).例23 討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性由分母不能為零,的一切點(diǎn)均為函數(shù)的間斷點(diǎn).Oxy解直線上說明：多元函數(shù)間斷點(diǎn)情形比較復(fù)雜,多元函數(shù)的間斷點(diǎn)可以構(gòu)成一些直線、曲線、曲面等,也可以是某些點(diǎn)的集合.例20由分母不能為零,解故點(diǎn)為函數(shù)的間斷點(diǎn).例21 例22 證明在

15、全平面連續(xù).證:為初等函數(shù) , 故連續(xù).又故函數(shù)在全平面連續(xù) .由夾逼準(zhǔn)則得例23 討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性解取其值隨k的不同而變化，極限不存在故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)2. 閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次 在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次(1) 最大值和最小值定理(2) 介值定理(3) 多元連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商、復(fù)合 函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù).(4) 多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù) 經(jīng)過有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù).(5) 一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)