胡不歸及費(fèi)馬點(diǎn)問題

1、第1頁(共1頁)第1頁(共1頁)胡不歸及費(fèi)馬點(diǎn)問題.選擇題（共2小題）.如圖，P為正方形ABCD對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，若AB=2,則AP,BP+CP的最小值為（）A. （0, V2） B. （0,苧）C. （0,挈）A. Vs+Vs B. Vs+Ve c. 4 D. 32.如圖，ABC在直角坐標(biāo)系中，AB=AC, A （0, 2迎），C （1, 0）, D為射線 AO上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，運(yùn)動(dòng)路徑為A玲D玲C,點(diǎn)P在AD上的運(yùn)動(dòng)速度 是在CD上的3倍，要使整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少，則點(diǎn)D的坐標(biāo)應(yīng)為（）D. （0,亨）.填空題（共5小題）.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC上有一動(dòng)點(diǎn)P, BC=6, ZA

2、BC=150,則線段 AP+BP+PD的最小值為.如圖，一條筆直的公路I穿過草原，公路邊有一消防站A,距離公路5千米的地方有一居民點(diǎn)B, A、B的直線距離是13千米.一天，居民點(diǎn)B著火，消防員受命欲前往救火，若消防車在公路上的最快速度是80千米/小時(shí)，而在草地上的第1頁（共1頁）最快速度是40千米/小時(shí)，則消防車在出發(fā)后最快經(jīng)過 小時(shí)可到達(dá)居民點(diǎn)B.(友情提醒：消防車可從公路的任意位置進(jìn)入草地行駛.).等邊三角形ABC的邊長為6,將其放置在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，其中BC邊在x軸上，BC邊的高OA在Y軸上.一只電子蟲從A出發(fā)，先沿y軸到 達(dá)G點(diǎn)，再沿GC到達(dá)C點(diǎn)，已知電子蟲在丫軸上運(yùn)動(dòng)的速

3、度是在GC上運(yùn)動(dòng)速 度的2倍，若電子蟲走完全程的時(shí)間最短，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(0, 4), B(-l, 0),在y軸上有一動(dòng)點(diǎn)G,則BG+Lg的最小值為.3吁月.如圖所示，已知P是正方形ABCD外一點(diǎn)，且PA=3, PB=4,則PC的最大值第1頁（共1頁）第1頁（共1頁）三.解答題（共12題）8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A （-1, 0）,B （0, - V3）, C （2, 0）,其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；（2）若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD,則/PB+PD的最小值為；M （x, t）

4、為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)若平面內(nèi)存在點(diǎn)N,使得以A, B, M, N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則這樣的點(diǎn)N共有 個(gè)； 連接MA, MB,若NAMB不小于60。，求t的取值范圍.備用圖.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-逗2+bx+c與x軸交于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn) 3B在點(diǎn)C的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)A,拋物線的頂點(diǎn)為D, B （ - 3, 0）, A （0,?。?）求拋物線解析式及D點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如圖1, P為線段OB上（不與0、B重舍）一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行 線交線段AB于點(diǎn)M,交拋物線于點(diǎn)N,點(diǎn)N作NK_LBA交BA于點(diǎn)K,當(dāng)MNK 與MPB的面積相等時(shí)，在X軸上找一動(dòng)點(diǎn)Q,使得LcQ+QN最小

5、時(shí)，求點(diǎn)Q 2的坐標(biāo)及&Q+QN最小值；2（3）如圖2,在（2）的條件下，將aODN沿射線DN平移，平移后的對(duì)應(yīng)三角 形為0DN。將aAOC繞點(diǎn)0逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到AiOCi的位置，且點(diǎn)Ci恰好落在 AC上，AiDN是否能為等腰三角形，若能求出N，的坐標(biāo)，若不能，請說明理由.小穎在學(xué)習(xí)兩點(diǎn)之間線段最短查閱資料時(shí)發(fā)現(xiàn)：ABC內(nèi)總存在一點(diǎn)P與 三個(gè)頂點(diǎn)的連線的夾角相等，此時(shí)該點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.【特例】如圖1，點(diǎn)P為等邊4ABC的中心，將4ACP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得 到ADE,從而有 DE二PC,連接 PD 得至U PD=PA,同時(shí)NAPB+NAPD=12（T+6（r=180。， ZADP+

6、ZADE=180,即 B、P、D、E 四點(diǎn)共線，故 PA+PB+PC=PD+PB+DE=BE.在 ABC中，另取一點(diǎn)，易知點(diǎn)，與三個(gè)頂點(diǎn)連線的夾角不相等，可證明B、P D E四點(diǎn)不共線，所以，A+P，B+PtPA+PB+PC,即點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)距離之和最 小.【探究】（1）如圖 2, P 為ABC 內(nèi)一點(diǎn),ZAPB=ZBPC=120,證明 PA+PB+PC 的值最?。弧就卣埂浚?）如圖 3, AABC 中，AC=6, BC=8, ZACB=30,且點(diǎn) P 為ABC 內(nèi) 一點(diǎn)，求點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和的最小值.如圖1,點(diǎn)O是邊長為1的等邊aABC內(nèi)的任一點(diǎn)，設(shè)NAOB=a。，NBOC邛。圖1圖3

7、（1）將aBOC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。得ADC,連結(jié)OD,如圖2所示.求 證：OD=OC.（2）在（1）的基礎(chǔ)上，將4ABC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。得EAC,連結(jié) DE,如圖3所示.求證：OA=DE（3）在（2）的基礎(chǔ)上，當(dāng)a、。滿足什么關(guān)系時(shí)，點(diǎn)B、0、D、E在同一直線 上.并直接寫出AO+BO+CO的最小值.閱讀下列材料:小華遇到這樣一個(gè)問題，如圖1, ZXABC中，ZACB=30, BC=6, AC=5,在aABC 內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC,求PA+PB+PC的最小值.小華是這樣思考的：要解決這個(gè)問題，首先應(yīng)想辦法將這三條端點(diǎn)重合于一點(diǎn)的 線段分離，然后再將它們連接成

8、一條折線，并讓折線的兩個(gè)端點(diǎn)為定點(diǎn)，這樣依 據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短，就可以求出這三條線段和的最小值了 .他先后嘗試了 翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，發(fā)現(xiàn)通過旋轉(zhuǎn)可以解決這個(gè)問題.他的做法是，如圖 2,將4APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到口（：,連接PD、BE,則BE的長即為 所求.（1）請你寫出圖2中，PA+PB+PC的最小值為;（2）參考小華的思考問題的方法，解決下列問題：如圖3,菱形ABCD中，ZABC=60,在菱形ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)P,請?jiān)趫D3中 畫出并指明長度等于PA+PB+PC最小值的線段（保留畫圖痕跡，畫出一條即可）; 若中菱形ABCD的邊長為4,請直接寫出當(dāng)PA+PB+PC值最小時(shí)P

9、B的長.閱讀下面材料:小偉遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在AABC （其中NBAC是一個(gè)可以變化的角） 中，AB=2, AC=4,以BC為邊在BC的下方作等邊PBC,求AP的最大值.小偉是這樣思考的：利用變換和等邊三角形將邊的位置重新組合.他的方法是以 點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心將4ABP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到A，BC,連接/VA,當(dāng)點(diǎn)A落在ZVC 上時(shí)，此題可解（如圖2）.請你回答：AP的最大值是.參考小偉同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：如圖3,等腰RtZkABC.邊AB=4, P為aABC內(nèi)部一點(diǎn)，則AP+BP+CP的最小值 是.（結(jié)果可以不化簡）圖1圖2圖3.如圖，四邊形ABCD是正方形，4ABE是等邊

10、三角形，M為對(duì)角線BD （不 含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到BN,連接EN、AM、CM.（1）求證：AMBENB：（2）當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+CM的值最?。划?dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，并說明理由；（3）當(dāng)AM+BM+CM的最小值為J5 + 1時(shí)，求正方形的邊長.（1）閱讀理解：如圖（A）,在已知aABC所在平面上存在一點(diǎn)P,使它到三角形頂點(diǎn)的距離之 和最小，則稱點(diǎn)P為ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)PA+PB+PC的值為aABC的費(fèi)馬距離; 如圖（B）,若四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)在同一圓上，則有 ABCD+BCDA=ACBD.此為托勒密定理；A（圖B）（2）知識(shí)遷移：請

11、你利用托勒密定理，解決如下問題：如圖（C）,已知點(diǎn)P為等邊aABC外接圓的版上任意一點(diǎn).求證：PB+PC=PA；根據(jù)（2）的結(jié)論，我們有如下探尋ABC （其中/A、NB、NC均小于120。） 的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：第一步：如圖（D）,在ABC的外部以BC為邊長作等邊4BCD及其外接圓； 第二步:在麗上任取一點(diǎn)PS連接PA、PB、Pt、PD.易知P/A+P/B+P,C=P/A+（P，B+PZC） =PZA+；第三步：請你根據(jù)（1）中定義，在圖（D）中找出aABC的費(fèi)馬點(diǎn)P,并請指出線段 的長度即為4ABC的費(fèi)馬距離.（3）知識(shí)應(yīng)用：2010年4月，我國西南地區(qū)出現(xiàn)了罕見的持續(xù)干旱現(xiàn)象，許多村

12、莊出現(xiàn)了人、 畜飲水困難，為解決老白姓的飲水問題，解放軍某部來到云南某地打井取水.已知三村莊A、B、C構(gòu)成了如圖（E）所示的4ABC （其中NA、NB、NC均小 于120。），現(xiàn)選取一點(diǎn)P打水井，使從水井P到三村莊A、B、C所鋪設(shè)的輸水管 總長度最小，求輸水管總長度的最小值.第1頁(共1頁)第1頁(共1頁)第1貞（共1頁）16.二次函數(shù)丫=2乂2-2乂+（:的圖象與x軸交于A、C兩點(diǎn)，點(diǎn)C（3, 0）,與y軸 交于點(diǎn)B （0, -3）.（1） a=, c=；（2）如圖1, P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D （0, 1）在y軸上，連接PD,求於PD+PC的最小值；（3）如圖2,點(diǎn)M在拋物線上，若%mbc=

13、3,求點(diǎn)M的坐標(biāo).如圖，在4ACE中，CA=CE, ZCAE=30,。0經(jīng)過點(diǎn)C,且圓的直徑AB在 線段AE上.（1）試說明CE是。的切線；（2）若4ACE中AE邊上的高為h,試用含h的代數(shù)式表示。的直徑AB：（3）設(shè)點(diǎn)D是線段AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接OD,當(dāng)A-CD+OD的最小 2值為6時(shí)，求00的直徑AB的長.如圖，拋物線ygx2+mx+n與直線y=L+3交于A, B兩點(diǎn)，交x軸于D,2C 兩點(diǎn)，連接 AC, BC,已知 A (0, 3), C (3, 0).(I)求拋物線的解析式和tanZBAC的值；(H)在(I )條件下：(1)P為y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA,過點(diǎn)P作PQ

14、_LPA交y軸于點(diǎn)Q, 問：是否存在點(diǎn)P使得以A, P, Q為頂點(diǎn)的三角形與4ACB相似？若存在，請 求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.(2)設(shè)E為線段AC上一點(diǎn)(不含端點(diǎn))，連接DE, 一動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)D出發(fā)，沿 線段DE以每秒一個(gè)單位速度運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)，再沿線段EA以每秒6個(gè)單位的速度 運(yùn)動(dòng)到A后停止，當(dāng)點(diǎn)E的坐標(biāo)是多少時(shí)，點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中用時(shí)最少？19.如圖(1), P為ABC所在平面上一點(diǎn)，且NAPB=NBPC=NCPA=120。，則點(diǎn)P叫做 ABC的費(fèi)馬點(diǎn).(1)如點(diǎn)P為銳角ABC的費(fèi)馬點(diǎn).且NABC=60。，PA=3, PC=4,求PB的長.(2)如圖(2),在銳角4AB

15、C外側(cè)作等邊ACB，連結(jié)BB求證：BBZ過4ABC 的費(fèi)馬點(diǎn)P,且BB=PA+PB+PC.(3)已知銳角ABC, ZACB=60,分別以三邊為邊向形外作等邊三角形ABD, BCE, ACF,請找出ABC的費(fèi)馬點(diǎn),并探究Smbc與Saabd的和,Sce與Smcf的 和是否相等.第1頁（共1頁）第1頁（共1頁）胡不歸及費(fèi)馬點(diǎn)問題參考答案與試題解析一.選擇題（共2小題）.如圖，P為正方形ABCD對(duì)角線BD上一動(dòng)點(diǎn)，若AB=2,則AP+BP+CP的最小A. V2+V5 B. V2+V6 C. 4 D. 32【解答】解：如圖將ABP繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到AEF,當(dāng)E、F、P、C共 線時(shí),PA+PB+

16、PC最小.理由：AP=AF, ZPAF=60.paf是等邊三角形，PA=PF=AF, ef=pb,PA+PB+PC=EF+PF+PC,；,當(dāng) E、F、P、C 共線時(shí)，PA+PB+PC 最小，作EMJ_DA交DA的延長線于M, ME的延長線交CB的延長線于N,則四邊形ABNM是矩形，在 RTaAME 中，VZM=90 ZMAE=30 AE=2,/ME=1, AM=BN=V3，MN=AB=2, EN=1,EC= VeN2+NC2 = a/12+（V3+2）2 = VWl = V（V6）2+2-V6-V2+（V2）2 =八菽寧正+加,PA+PB+PC的最小值為我+6.故選：B.2.如圖，ABC在直角

17、坐標(biāo)系中，AB=AC, A （0, 26），C （1, 0）, D為射線 AO上一點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，運(yùn)動(dòng)路徑為A玲D玲C,點(diǎn)P在AD上的運(yùn)動(dòng)速度 是在CD上的3倍，要使整個(gè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間最少，則點(diǎn)D的坐標(biāo)應(yīng)為（）D. （0,爭【解答】解：假設(shè)P在AD的速度為3,在CD的速度為1, 設(shè) D 坐標(biāo)為（0, y）,則 AD=2，5-y, CD=7y2 + l 2=Vy2+r設(shè)t卓+K TOC o 1-5 h z 等式變形為：t+% 平口屏彳，則t的最小值時(shí)考慮y的取值即可, 33At2+t+ （1-y -2 2+1,3333.烏 2+（4V2.2t） y . t2+iV21+1=0,9933=2 _

18、4X 8_（ _ t2+i：/2_t+1）no,9393At的最小值為必，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0, 11）, 4故選D.解法二：假設(shè)P在AD的速度為3V,在CD的速度為IV, TOC o 1-5 h z 總時(shí)間t也+匝工（包收D）,要使t最小，就要坦+CD最小， 3V V V 33因?yàn)锳B=AC=3,過點(diǎn)B作BH1AC交AC于點(diǎn)H,交0A于D,易證ADHs/aCO,所以.蝮=延3,所以地=DH,因?yàn)?ABC是等腰三角形，所以BD=CD,所以要OC DH3地+CD最小，就是要DH+BD最小，就要B、D、H三點(diǎn)共線就行了.因?yàn)锳OC 3-ABOD,所以皿匹，即2里所以O(shè)D=返， OB 0D 1 0D4所

19、以點(diǎn)D的坐標(biāo)應(yīng)為（0,迎）.二.填空題（共5小題）3.如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC上有一動(dòng)點(diǎn)P, BC=6, ZABC=150,則線段AP+BP+PD的最小值為鼠|.【解答】解：將aADC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到ADC,連接BD咬AC于P,交AU 于E,連接PD,/ Z BAD=30, Z DADJ60。，/ Z BAD=90,又 AB=AD=ADZ,*, bdFabZ+at 2=6日ZABP=45, 乂NBAP=15,AZAPE=ZPAE=60,EAP為等邊三角形，APA=PE,乂 VAAPDAAEDSAPD=ED,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，AAP+BP+PD lWdI=PB+PE+EDz=6V

20、2，第i頁(共i頁)第1頁（共1頁）第1負(fù)(共1頁)故答案為：62.如圖，一條筆直的公路I穿過草原，公路邊有一消防站A,距離公路5千米的 地方有一居民點(diǎn)B, A、B的直線距離是13千米.一天，居民點(diǎn)B著火，消防員 受命欲前往救火，若消防車在公路上的最快速度是80千米/小時(shí)，而在草地上的 最快速度是40千米/小時(shí)，則消防車在出發(fā)后最快經(jīng)過 且些 小時(shí)可到達(dá) 80 居民點(diǎn)B.(友情提醒：消防車可從公路的任意位置進(jìn)入草地行駛.)B產(chǎn)/I11【解答】解：如圖所示，公路上行駛的路線是AD,草地上行駛的路線是DB,設(shè) AD的路程為x千米，由已知條件AB=13千米，BC=5千米，BCAC,知AC=JFm=1

21、2 千米.則 CD=AC - AD= (12 - x)千米，BD=7cD2+BC7(127+Fkm，設(shè)走的行駛時(shí)間為y,則y=k W(12r)2+25 8040整理為關(guān)于x的一元二次方程得3x2+ (160y - 96) x - 6400y2676=0.因?yàn)閤必定存在，所以NO.即(160y - 96) 2 - 4X3X (676 - 6400y2)N0.化簡得 3400y2 - 6400y+2320.解得田浦+12.80故答案為：54尹片.so.等邊三角形ABC的邊長為6,將其放置在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，其 中BC邊在x軸上，BC邊的高OA在Y軸上.一只電子蟲從A出發(fā)，先沿y軸到 達(dá)G

22、點(diǎn)，再沿GC到達(dá)C點(diǎn)，已知電子蟲在Y軸上運(yùn)動(dòng)的速度是在GC上運(yùn)動(dòng)速 度的2倍，若電子蟲走完全程的時(shí)間最短，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為 （0,飛耳）.【解答】解：如圖作GM_1AB于M,設(shè)電子蟲在CG上的速度為V,電子蟲走完全全程的時(shí)間1血理（幽+CG）, 2v v v 2在 RtZAMG 中，GM=AtG,2電子蟲走完全全程的時(shí)間t.（GM+CG）, V當(dāng)C、G、M共線時(shí)，且CM_LAB時(shí)，GM+CG最短，此時(shí)CG=AG=2OG,易知 OG=i2 X6=63 2所以點(diǎn)G的坐標(biāo)為（0, - V3）.故答案為：（0, - V3）.6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A (0, 4), B ( -1, 0),在y

23、軸上有一動(dòng)【解答】解：在x軸上取一點(diǎn)E （正，0）,則八歷.作 GFJAE 于 F, GHJ_AE 于 H,交 OA 于 GVZGAF=ZOAE, ZAFG=ZAOE,/afgAaob,.GF_AGOE AE，二 GF _ AG ,*V2 3V2，gf=Aag,3/. BG+4g=BG+FG,3根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)G與G重合時(shí)，BG+LAG的值最小，最小值為BH, 3VZBEH=ZAEO, ZBHE=ZAOE,/bheAaoe,.BH_BEAE，.BHJ+服4 372 ru-4+2V2 Dn-93abg+Iag的最小值為空返.33故答案為受經(jīng)2.3吁d .G：F7.如圖所示，已知P是正方形A

24、BCD外一點(diǎn)，且PA=3, PB=4,則PC的最大值是3+4版.【解答】解：如圖，過點(diǎn)B作BE_LBP,且BE=PB,連接AE、PE、PC, 則 PE=6pB=4,VZABE=ZABP90, ZCBP=ZABP+90,，nabe=ncbp,在Aabe和acbp中，AB 二 BC, ZE=ZCBP, BE=PB/.ABEACBP (SAS), /AE=PC, 第1頁（共1頁）第1頁（共1頁）第1頁(共1頁)由兩點(diǎn)之間線段最短可知，點(diǎn)A、P、E三點(diǎn)共線時(shí)AE最大, 此時(shí)AE二AP+PE=3+小歷，所以，PC的最大值是3+4料.故答案為：3+4狙.三.解答題(共12題)8.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，

25、二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(diǎn)A ( - 1, 0),B (0, - V3), C (2, 0),其對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)D(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；(2)若P為y軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接PD,則LPB+PD的最小值為 也 ： 2- 4 M (x, t)為拋物線對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)若平面內(nèi)存在點(diǎn)N,使得以A, B, M, N為頂點(diǎn)的四邊形為菱形，則這樣的點(diǎn) N共有5個(gè);a-b+c=O【解答】解：（1）由題意, c二4a+2b+c=0拋物線解析式為y巫2薄遮， 22X-73=2/1 （x-i） 2.211, 228頂點(diǎn)坐標(biāo)（上，組3）.（2）如圖1中，連接AB,作DHJ_AB于H,交0B

26、于P,此時(shí)1PB+PD最小.2理由:VOA=1, 0B=V3,tanNABO=02=遍,OB 3AZABO=30,APH=ipB,2A_LpB+PD=PH+PD=DH,2此時(shí)LPB+PD最短（垂線段最短）.2在 RtZXADH 中，NAHD=90, AD且，ZHAD=60,2Asin60=M,ADdh=4!，4Ub+PD的最小值為心度.24故答案為芻過.4（3）以A為圓心AB為半徑畫弧與對(duì)稱軸有兩個(gè)交點(diǎn),以B為圓心AB為半徑畫弧與對(duì)稱軸也有兩個(gè)交點(diǎn), 線段AB的垂直平分線與對(duì)稱軸有一個(gè)交點(diǎn)，所以滿足條件的點(diǎn)M有5個(gè)，即滿足條件的點(diǎn)N也有5個(gè), 故答案為5.如圖，RtaAOB 中，VtanZAB

27、0=M=2/lT一0B 3/ZABO=30,作AB的中垂線與y軸交于點(diǎn)E,連接EA,則/AEB=12O。， 以E為圓心，EB為半徑作圓，與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)F、G.則NAFB=NAGB=60,從而線段FG上的點(diǎn)滿足題意，ABVEB= _2 0 -哂, cos30 3AOE=OB - EB=,3VF （L t）, EF2=EB2,2 （JL） 2+ （t+丑）2= （2V3_） 2, TOC o 1-5 h z 233解得迤或男幻畫， 66故F工 迄），G （三一以心國）,2626At的取值范圍匚工匣匚叵運(yùn)669.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-Y3x2+bx+c與x軸交于B、C兩點(diǎn)（點(diǎn)

28、3B在點(diǎn)C的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)A,拋物線的頂點(diǎn)為D, B （ - 3, 0）, A （0,6）（1）求拋物線解析式及D點(diǎn)坐標(biāo)；（2）如圖1, P為線段OB上（不與0、B重舍）一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作y軸的平行 線交線段AB于點(diǎn)M,交拋物線于點(diǎn)N,點(diǎn)N作NK_LBA交BA于點(diǎn)K,當(dāng)MNK 與MPB的面積相等時(shí)，在X軸上找一動(dòng)點(diǎn)Q,使得L：Q+QN最小時(shí)，求點(diǎn)Q2的坐標(biāo)及&Q+QN最小值；2（3）如圖2,在（2）的條件下，將ODN沿射線DN平移，平移后的對(duì)應(yīng)三角形為ODN：將AOC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到AiOCi的位置，且點(diǎn)Ci恰好落在AC, AiDN是否能為等腰三角形，若能求出N，的坐標(biāo)，若不能，請說明理

29、由.【解答】解：（1）把B （ - 3, 0）, A （0, a/3）的坐標(biāo)代入y=-區(qū)x2+bx+c,得 3解得 二次函數(shù)的解析式為y=-迢2 -即NDBC，BE=BC/.ABEADBC (SAS),ACD=AE ZBAE=ZBDC,XVZAOP=ZBOD,/ZAPO=ZOBD=60,在DO上截取DQ=AP,連接BQ,在Aabp和dbq中，AB 二 DB；ZBAP=ZBDQ，,AP二DQ/.ABPADBQ (SAS),，BP=BQ, NPBA=NQBD,XVZQBD+ZQBA=60NPBA+NQBA=60,即NPBQ=60,PBQ為等邊三角形，PB=PQ,則 PA+PB+PC=DQ+PQ+P

30、C=CD=AE,在 ACE 中，VAC=6 CE=8,AAE=CD=10,故點(diǎn)P到三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和的最小值為10.方法二：如圖3, AB由(2)知，當(dāng)NAPB=NAPC=NBPC=120時(shí)，AP+BP+PC 的值最小, 把4CPB繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得CP,B,由(2)知 A、P、V、B，共線,且 AP+BP+PC=AB, ZPCB=ZP/CB,/ N PCB+ N PCA= Z PZCB+ Z PCA=30,NACB。，AB/=a/ac2+b c2=ac2+bc2=1O11 .如圖1,點(diǎn)。是邊長為1的等邊aABC內(nèi)的任一點(diǎn)，設(shè)NAOB=a。，NBOC邛。（1）將BOC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針方向旋

31、轉(zhuǎn)60。得ADC,連結(jié)OD,如圖2所示.求 證：OD=OC.（2）在（1）的基礎(chǔ)上，將4ABC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。得aEAC,連結(jié) DE,如圖3所示.求證：OA二DE（3）在（2）的基礎(chǔ)上，當(dāng)a、0滿足什么關(guān)系時(shí)，點(diǎn)B、0、D、E在同一直線 上.并直接寫出AO+BO+CO的最小值.【解答】解：（1） BOC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。得ADC,ACO=CD, ZDOC=60,COD是等邊三角形,，D0=CO；（2）:BOC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。得口（：, ZABC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針方 向旋轉(zhuǎn)60。得EAC, /adcAboc, AeacAabc, /AD=BO, ZDAC=ZOBC,

32、 EA=AB, ZEAC=ZABC, A ZEAC - ZDAC=ZABC - ZOBC, B|JZDAE=ZOBA, 在EAD和aABO中，M 二 BO /DAE二NOBA，AE=BA/.eadAabo,r.OA=DE；（3） V AABC繞點(diǎn)C沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60。得EAC, /.AB=BC=CE=AE,四邊形ABCE是菱形.B. 0、D、E在同一直線上，B、0、D、E是菱形ABCE的對(duì)角線上的點(diǎn)，/ZABO=30.vAadcAboc, AeacAabc, AZADC=ZBOC=p, NADE=NAOB=a, /ZCDE=360 - a - p.COD是正三角形， /ZCOD=ZCDO=6

33、0.點(diǎn)B、0、D、E在同一直線上， AZBOC=ZCDE=120,AZADC=120,AZADE=120o, Aa=p=120. /ZBAO=30.AZBAO=ZABO,AAO=BO,同理可得：AO=CO./AO=BO=CO.作 OF_LAB 于 F,設(shè) BF=a,則 B0=2a,AZBFO=90, BFAB工 22在RtZXBOF中，由勾股定理，得a=V26，/. B0=, 3.ao+bo+co=V3即AO+BO+CO的最小值為g.12.閱讀下列材料:小華遇到這樣一個(gè)問題，如圖1, 4ABC中，ZACB=30, BC=6, AC=5,在aABC 內(nèi)部有一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC,求PA+P

34、B+PC的最小值.小華是這樣思考的：要解決這個(gè)問題，首先應(yīng)想辦法將這三條端點(diǎn)重合于一點(diǎn)的 線段分離，然后再將它們連接成一條折線，并讓折線的兩個(gè)端點(diǎn)為定點(diǎn)，這樣依 據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短，就可以求出這三條線段和的最小值了 .他先后嘗試了 翻折、旋轉(zhuǎn)、平移的方法，發(fā)現(xiàn)通過旋轉(zhuǎn)可以解決這個(gè)問題.他的做法是，如圖 2,將APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。,得到口（：,連接PD、BE,則BE的長即為 所求.（1）請你寫出圖2中，PA+PB+PC的最小值為豆_；（2）參考小華的思考問題的方法，解決下列問題：如圖3,菱形ABCD中，ZABC=60,在菱形ABCD內(nèi)部有一點(diǎn)P,請?jiān)趫D3中畫出并指明長度等于PA+PB

35、+PC最小值的線段（保留畫圖痕跡，畫出一條即可）;若中菱形ABCD的邊長為4,請直接寫出當(dāng)PA+PB+PC值最小時(shí)PB的長.【解答】解:（1）如圖2.:將APC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。,得到口（：,/.apcAedc,AZACP=ZECD, AC=EC=5, ZPCD=60/ ZACP+ZPCB=ZECD+ZPCB,/. ZECD+ZPCB=ZACB=30, /. Z BCE= Z ECD+ Z PCB+ Z PCD=3060=90. 在 RtZiBCE 中，VZBCE=90, BC=6, CE=5,* be=VbC2+CE2=V62+52=1 ,即PA+PB+PC的最小值為鬧；（2）將APC繞

36、點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。，得到口（：,連接PE、DE, 則線段BD等于PA+PB+PC最小值的線段；如圖，當(dāng)B、P、E、D四點(diǎn)共線時(shí)，PA+PB+PC值最小，最小值為BD. VAAPC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60,得到口（：,/.apcAdec,/CP=CE, NPCE=60,/.PCE是等邊三角形，APE=CE=CP, ZEPC=ZCEP=60.菱形 ABCD 中，ZABP=ZCBP=1ZABC=3O2/ZPCB=ZEPC - ZCBP=60 - Z30=30,AZPCB=ZCBP=30, /.BP=CP,同理，DE=CE,abp=pe=ed.連接AC,交BD于點(diǎn)O,則ACJ_BD.在 RtZkBOC

37、中，VZBOC=90, ZOBC=30, BC=4,/. BO=BC*cos ZOBC=4 X 22 返, 2BD=2BO=4J5,. BPBD=X33即當(dāng)PA+PB+PC值最小時(shí)PB的長為組3 3D故答案為：Zi.圖313 .閱讀下面材料：小偉遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，在aABC （其中NBAC是一個(gè)可以變化的角） 中，AB=2, AC=4,以BC為邊在BC的下方作等邊PBC,求AP的最大值.小偉是這樣思考的：利用變換和等邊三角形將邊的位置重新組合.他的方法是以 點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心將4ABP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到0（：，連接ZVA,當(dāng)點(diǎn)A落在ZVC 上時(shí)，此題可解（如圖2）.請你回答：AP的最大值

38、是6 .參考小偉同學(xué)思考問題的方法，解決下列問題：如圖3,等腰RtZiABC.邊AB=4, P為ABC內(nèi)部一點(diǎn)，則AP+BP+CP的最小值是_2折2泥（或不化簡為笛2+16.（結(jié)果可以不化簡）【解答】解：（1）如圖2, ABP逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到A，BC,AZA,BA=60 AzB=AB, AP=A;C二ABA是等邊三角形，AA,A=AB=BA/=2,在AAC 中，A/CAA,+AC,即 APV6,則當(dāng)點(diǎn)A，A、C三點(diǎn)共線時(shí),A/C=AA/+AC,即AP=6,即AP的最大值是：6：故答案是：6.（2）如圖3,.RtZABC是等腰三角形，.AB=BC.以B為中心,將zAPB逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到A

39、PB.則AB=AB=BC=4, PA=PW,PB=PB,/ PA+PB+PC=PA+PB+PC.當(dāng)A、P P、C四點(diǎn)共線時(shí)，（PA+PB+PC）最短,即線段AC最短，A（=PA+PB+PC,AC長度即為所求.過A-作ADCB延長線于D.NABA=60 （由旋轉(zhuǎn)可知），/Zl=30.VA,B=4,/.A*D=2, BD=2,CD=4+2 心在 RtAAfDC 中 A*C=a/ D2+DC2=a/22+（4+2V3）32+1622+2；AP+BP+CP的最小值是：26+2通（或不化簡為的2+1 6仃）.故答案是：2任2班（或不化簡為42+16仃）.14.如圖，四邊形ABCD是正方形，4ABE是等邊

40、三角形，M為對(duì)角線BD （不 含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60。得到BN,連接EN、AM、CM.（1）求證：ZiAMBtAENB：（2）當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+CM的值最小；當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，并說明理由；（3）當(dāng)AM+BM+CM的最小值為J5 + 1時(shí)，求正方形的邊長.【解答】（1）證明：:ABE是等邊三角形,BA=BE, ZABE=60.VZMBN=60,AZMBN - ZABN=ZABE - ZABN.B|JZMBA=ZNBE.乂 ：MB=NB, /AMBAENB （SAS）.（2）解：當(dāng)M點(diǎn)落在BD的中點(diǎn)時(shí)，A、M、C三點(diǎn)共線，AM+CM的值最小.如圖

41、，連接CE,當(dāng)M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)， AM+BM+CM的值最小.理由如下:連接MN,由（1）知,AAMBAENB,AM=EN,VZMBN=60, MB=NB, aabmn是等邊三角形.ABM=MN.AM+BM+CM=EN+MN+CM.根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短可知，若E、N、M、C在同一條直線上時(shí), EN+MN+CM 取得最小值，最小值為EC.在ABM和CBM中， 注二CB, ZM=ZCB.bBM=BM/.abmAcbm,/ZBAM=ZBCM,/ZBCM=ZBEN,VEB=CB,，若連接 EC,則NBEC=NBCE,VZBCM=ZBCE, ZBEN=ZBEC,M、N可以同時(shí)在直線EC上.當(dāng)

42、M點(diǎn)位于BD與CE的交點(diǎn)處時(shí)，AM+BM+CM的值最小，即等于EC的長.（3）解：過E點(diǎn)作EFBC交CB的延長線于F,AZEBF=ZABF - ZABE=90 - 60=30.設(shè)正方形的邊長為x,則BF3x, EFi.22在 RtAEFC 中，vef2+fc2=ec2,（I）2+ 哈+x） 2=（a+1）2.解得xi=V2, X2=- V2 （舍去負(fù)值）.正方形的邊長為6.15.探究問題:（1）閱讀理解：如圖（A）,在已知aABC所在平面上存在一點(diǎn)P,使它到三角形頂點(diǎn)的距離之 和最小，則稱點(diǎn)P為ABC的費(fèi)馬點(diǎn)，此時(shí)PA+PB+PC的值為aABC的費(fèi)馬距離; 如圖（B）,若四邊形ABCD的四個(gè)頂

43、點(diǎn)在同一圓上，則有 ABCD+BCDA=ACBD.此為托勒密定理；（2）知識(shí)遷移：請你利用托勒密定理，解決如下問題：如圖（C）,已知點(diǎn)P為等邊ABC外接圓的標(biāo)上任意一點(diǎn).求證：PB+PC=PA；根據(jù)（2）的結(jié)論，我們有如下探尋ABC （其中NA、NB、NC均小于120。） 的費(fèi)馬點(diǎn)和費(fèi)馬距離的方法：第一步：如圖（D）,在ABC的外部以BC為邊長作等邊4BCD及其外接圓；第二步:在標(biāo)上任取一點(diǎn)P,連接PA、PE、Pt、PfD.易知PA+PB+PC=PA+TB+Pt） =PA+ PD ；第三步：請你根據(jù)（1）中定義，在圖（D）中找出AABC的費(fèi)馬點(diǎn)P,并請指 出線段AD的長度即為4ABC的費(fèi)馬距離

44、.（3）知識(shí)應(yīng)用：2010年4月，我國西南地區(qū)出現(xiàn)了罕見的持續(xù)干旱現(xiàn)象，許多村莊出現(xiàn)了人、 畜飲水困難，為解決老百姓的飲水問題，解放軍某部來到云南某地打井取水. 已知三村莊A、B、C構(gòu)成了如圖（E）所示的4ABC （其中/A、NB、NC均小 于120。），現(xiàn)選取一點(diǎn)P打水井，使從水井P到三村莊A、B、C所鋪設(shè)的輸水管 總長度最小，求輸水管總長度的最小值.【解答】（2）證明：由托勒密定理可知PBAC+PCAB=PABCV AABC是等邊三角形AAB=AC=BC,第1頁(共1頁)第1頁(共1頁)APB+PC=PA,PD. AD,(3)解：如圖，以BC為邊長在4ABC的外部作等邊ABCD,連接AD,

45、則知線 段AD的長即為最短距離.:BCD為等邊三角形，BC=4,AZCBD=60 BD=BC=4,VZABC=30, AZABD=90o,在 RtZABD 中，VAB=3, BD=4, c= 3 ；(2)如圖1, P是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)D (0, 1)在y軸上，連接PD,求證PD+PC 的最小值；(3)如圖2,點(diǎn)M在拋物線上，若Sambc=3,求點(diǎn)M的坐標(biāo).第1頁（共1頁）第1頁（共1頁）【解答】解:(1)把C (3, 0), B (0, -3)代入y=ax2 -得到，Q=3,解得141 .9a-6+c=01c二一3故答案為1, -3.2x+c/ZPCH=45%在 RtAPCH 中,PH=PC.

46、2Va/2DP+PC=V2 (PD+-PC) =V2 (pd+ph),2根據(jù)垂線段最短可知，當(dāng)D、P、H共線時(shí)&DP+PC最小,在 RtZDHzB 中，VBD=4, ZDBHZ=45,最小值為&DH，,工業(yè)DP+PC的最小彳直為我 2任4.（3）如圖2中，取點(diǎn)E （1, 0）,作EG_LBC于G,易知EG71/Saebc=1BC EG3V2 S=3,22過點(diǎn)E作BC的平行線交拋物線于Mi，M2,則S&bcm=3，SAbcm =3,工直線MiM2的解析式為y=x - 1,Mi （手，害），M2 （唔子;直線BC的解析式為y=x- 3,）,根據(jù)對(duì)稱性可知，直線M1M2關(guān)于直線BC的對(duì)稱的直線與拋物

47、線的交點(diǎn)M3、IVU也滿足條件，易知直線M3M4的解析式為y=x-5,由仁；解得卜二1或卜二2 ,I y= x-2x-3 尸一4 產(chǎn)-3AM3 （1. - 4）, M4 （2, - 3）,綜上所述，滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)為Mi （主巫，土立I）, M2 （也亙, 222十7 ）, M3（1. - 4）, M4（2, - 3）. 217.如圖，在4ACE中，CA=CE, ZCAE=30,。0經(jīng)過點(diǎn)C,且圓的直徑AB在 線段AE上.（1）試說明CE是。的切線；（2）若4ACE中AE邊上的高為h,試用含h的代數(shù)式表示。的直徑AB：（3）設(shè)點(diǎn)D是線段AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接0D,當(dāng)LcD+OD的

48、最小 2值為6時(shí)，求00的直徑AB的長.VCA=CE, ZCAE=30,AZE=ZCAE=30, ZCOE=2ZA=60,AZOCE=90,CE是。0的切線；（2）過點(diǎn)C作CH_LAB于H,連接OC,如圖2,由題可得CH=h.在 RtZXOHC 中，CH=OCsinNCOH,第1頁(共1頁)第1頁（共1頁）Ah=OCsin60=OC, 2/. OC=-23h,M 3AAB=20C=-&h：3(3)作OF平分NAOC,交。于F,連接AF、CF、DF,如圖3,則NAOF=NCOF上NAOC=L (180 - 60) =60. 22VOA=OF=OC,.AOF、cof是等邊三角形，aaf=ao=oc

49、=fc,四邊形AOCF是菱形，根據(jù)對(duì)稱性可得DF=DO.過點(diǎn)D作DH_LOC于H,VOA=OC, AZOCA=ZOAC=30,/. DH=DCsin ZDCH=DCsin30=A-DC,2a1cd+OD=DH+FD.2根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：當(dāng)F、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH+FD (即JCD+OD)最小，2此時(shí) FH=OFsinNFOH=OF=6,2 則 OF=4V3，AB=2OF=8a/3.當(dāng)&d+OD的最小值為6時(shí)，00的直徑AB的長為8北.18.如圖，拋物線y=X0,則PG=x.V PQPA, ZACB=90AZAPQ=ZACB=90.若點(diǎn)G在點(diǎn)A的下方，如圖 2，當(dāng)NPAQ=NCAB 時(shí)

50、，則PAQs/CAB.VZPGA=ZACB=90, NPAQ=NCAB,/pgaAbca, PG_BC_1AG AC TAAG=3PG=3x.則 P (x, 3 - 3x). TOC o 1-5 h z 把 P (x, 3 - 3x)代入 y=-l-x2 -旦(+3,得 22X(2 -立x+3=3 - 3x, 22整理得：x2+x=O解得：X1=O (舍去)，X2= - 1 (舍去).如圖 2，當(dāng)NPAQ=NCBA 時(shí); 則PAQsaCBA.同理可得：AG=l-PG=i-x,則 P (x, 3-Lx), 333把 p (x, 3 - X)代入 y=L(2 -2(+3,得322i-x2 -至x+

51、3=3 - ix,223整理得：x2 - M=03解得：xi=o （舍去），X2a,3P （至，11）: 39若點(diǎn)G在點(diǎn)A的上方，當(dāng)NPAQ=NCAB 時(shí)，則PAQsacaB, 同理可得：點(diǎn)P的坐標(biāo)為（11，36）.當(dāng)NPAQ=NCBA 時(shí)、則PAQS/CBA.同理可得：點(diǎn)p的坐標(biāo)為p （Al, il）.39綜上所述：滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（11, 36）、（絲，兇）、（IL, 11）：3939方法二：作APCi的外接矩形AQGH,易證AHPs/qgp, AP HP ,二, PQ QG.以A, P, Q為頂點(diǎn)的三角形與4ACB相似，.或皿衛(wèi)上或處空里PQQGAC3 PQQG-BC設(shè) P(2t,

52、 2t2 - 5t+3), A (0, 3), H (2t, 3),罌與 3-2t2-5t+3 ：_1 , .2哼2t 32t2上, 3也；1-212-51+3 =3 2t - / 211=11 2t2= - 1,(舍)，滿足題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)為(11, 36)、(M 11)、(11, 11)；3939（2）方法一：過點(diǎn)E作EN_Ly軸于N,如圖3.在 RtZANE 中，EN=AEsin45。返A(chǔ)E,即 AE=VEN, 2點(diǎn)M在整個(gè)運(yùn)動(dòng)中所用的時(shí)間為叫瞿=DE+EN.1 V2第1頁（共1頁）第1頁(共1頁)作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)A，連接D，E, 則有 DE=DE, Dt=DC, ZD/CA=ZD

53、CA=45,/ Z0X0=90, DE+EN=DZE+EN.根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得： 當(dāng)D;、E、N三點(diǎn)共線時(shí)，DE+EN=E+EN最小. U七時(shí)，V ZD,CD=ZDzNO=ZNOC=90, ，四邊形OCDN是矩形， /NDZ=OC=3, ON=DZC=DC.對(duì)于 y=ix2 - 1-x+3, 當(dāng) y=0 時(shí),有Lx?-芻(+3=0,22解得：xi=2, X2=3./D (2, 0), OD=2,AON=DC=OC - OD=3 - 2=1, /NE=AN=AO - ON=3 - 1=2, ，點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2, 1).方法二: 作點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)A, DD咬AC于點(diǎn)M,顯然DE=DZE,作Nl.y軸，垂足為N,交直線AC于點(diǎn)E,如圖4,在 RtZiANE 中，EN=AEsin45。返A(chǔ)E,即 AE=V5EN, 2當(dāng)DI E、N三點(diǎn)共線時(shí),DE+EN=