數(shù)學專題突破一：不等式

1、高三數(shù)學第二輪復習專題不等式 一、本章知識結構：實數(shù)的性質(zhì)均值不等式不等式的性質(zhì) 不等式的應用不等式的證明不等式的解法函數(shù)性質(zhì)的討論最值的計算與討論實際應用問題比較法綜合法分析法其它方法一元一次不等式一元二次不等式分式高次不等式含絕對值不等式二、高考要求（1）理解不等式的性質(zhì)及其證明。（2）掌握兩個（不擴展到三個）正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)定理，并會簡單應用。（3）分析法、綜合法、比較法證明簡單的不等式。（4）掌握某些簡單不等式的解法。（5）理解不等式|a|b| |a+b|a| +|b|。三、熱點分析1.重視對基礎知識的考查，設問方式不斷創(chuàng)新.重點考查四種題型：解不等式，證明不等式

2、，涉及不等式應用題，涉及不等式的綜合題，所占比例遠遠高于在課時和知識點中的比例.重視基礎知識的考查，?？汲Ｐ?，創(chuàng)意不斷，設問方式不斷創(chuàng)新，圖表信息題，多選型填空題等情景新穎的題型受到命題者的青瞇，值得引起我們的關注.2.突出重點，綜合考查，在知識與方法的交匯點處設計命題，在不等式問題中蘊含著豐富的函數(shù)思想，不等式又為研究函數(shù)提供了重要的工具，不等式與函數(shù)既是知識的結合點，又是數(shù)學知識與數(shù)學方法的交匯點，因而在歷年高考題中始終是重中之重.在全面考查函數(shù)與不等式基礎知識的同時，將不等式的重點知識以及其他知識有機結合，進行綜合考查，強調(diào)知識的綜合和知識的內(nèi)在聯(lián)系，加大數(shù)學思想方法的考查力度，是高考對

3、不等式考查的又一新特點.3.加大推理、論證能力的考查力度，充分體現(xiàn)由知識立意向能力立意轉變的命題方向.由于代數(shù)推理沒有幾何圖形作依托，因而更能檢測出學生抽象思維能力的層次.這類代數(shù)推理問題常以高中代數(shù)的主體內(nèi)容函數(shù)、方程、不等式、數(shù)列及其交叉綜合部分為知識背景，并與高等數(shù)學知識及思想方法相銜接，立意新穎，抽象程度高，有利于高考選拔功能的充分發(fā)揮.對不等式的考查更能體現(xiàn)出高觀點、低設問、深入淺出的特點，考查容量之大、功能之多、能力要求之高，一直是高考的熱點.4.突出不等式的知識在解決實際問題中的應用價值，借助不等式來考查學生的應用意識.不等式部分的內(nèi)容是高考較為穩(wěn)定的一個熱點,考查的重點是不等式

4、的性質(zhì)、證明、解法及最值方面的應用。高考試題中有以下幾個明顯的特點：（1）不等式與函數(shù)、數(shù)列、幾何、導數(shù),實際應用等有關內(nèi)容綜合在一起的綜合試題多，單獨考查不等式的試題題量很少。（2）選擇題,填空題和解答題三種題型中均有各種類型不等式題，特別是應用題和壓軸題幾乎都與不等式有關。（3）不等式的證明考得比得頻繁,所涉及的方法主要是比較法、綜合法和分析法，而放縮法作為一種輔助方法不容忽視。四、復習建議1力求熟練掌握不等式的性質(zhì)，以最大限度地減少不等式解題中可能出現(xiàn)的失誤。2對于不等式的證明，應略高于教材上有關例題和習題的難度。必須重視演練與其它內(nèi)容綜合在一起的證明題，特別是綜合教材上的例題與習題、創(chuàng)

5、新題。3對于解不等式，一般不需超出教材上的例題和習題的難度，也不要超出教材上的例題和習題所涉及的范圍，但對于需要分類求解的不等式應給予充分的注意，而這類習題的分類一般不超過兩層。4熟練掌握利用平均值不等式求最值的方法及其使用條件，并重視在幾何和實際問題中的應用。5,通過訓練,使學生掌握等價轉化思想和化歸思想,培養(yǎng)學生的代數(shù)推理能力,提高學生應用不等式知識解決問題的能力.6.重視數(shù)學思想方法的復習根據(jù)本章上述的命題趨向我們迎考復習時應加強數(shù)學思想方法的復習.在復習不等式的解法時，加強等價轉化思想的訓練與復習.解不等式的過程是一個等價轉化的過程，通過等價轉化可簡化不等式（組），以快速、準確求解.加

6、強分類討論思想的復習.在解不等式或證不等式的過程中，如含參數(shù)等問題，一般要對參數(shù)進行分類討論.復習時，學生要學會分析引起分類討論的原因，合理的分類，做到不重不漏.加強函數(shù)與方程思想在不等式中的應用訓練.不等式、函數(shù)、方程三者密不可分，相互聯(lián)系、互相轉化.如求參數(shù)的取值范圍問題，函數(shù)與方程思想是解決這類問題的重要方法.在不等式的證明中，加強化歸思想的復習，證不等式的過程是一個把已知條件向要證結論的一個轉化過程，既可考查學生的基礎知識，又可考查學生分析問題和解決問題的能力，正因為證不等式是高考考查學生代數(shù)推理能力的重要素材，復習時應引起我們的足夠重視.利用函數(shù)f（x）=x （a0）的單調(diào)性解決有關

7、最值問題是近幾年高考中的熱點，應加強這方面的訓練和指導.7.強化不等式的應用高考中除單獨考查不等式的試題外，常在一些函數(shù)、數(shù)列、立體幾何、解析幾何和實際應用問題的試題中涉及不等式的知識，加強不等式應用能力，是提高解綜合題能力的關鍵.因此，在復習時應加強這方面訓練，提高應用意識，總結不等式的應用規(guī)律，才能提高解決問題的能力.如在實際問題應用中，主要有構造不等式求解或構造函數(shù)求函數(shù)的最值等方法，求最值時要注意等號成立的條件，避免不必要的錯誤.五、典型例題不等式的解法解不等式：解：原不等式可化為：0，即(a1)x+(2a)(x2)0.當a1時，原不等式與(x)(x2)0同解.若2，即0a1時，原不等

8、式無解；若2，即a0或a1，于是a1時原不等式的解為(，)(2，+).當a1時，若a0，解集為(，2)；若0a1，解集為(2，)綜上所述：當a1時解集為(，)(2，+)；當0a1時，解集為(2，)；當a=0時，解集為；當a0時，解集為(，2).設不等式x22ax+a+20的解集為M，如果M1，4，求實數(shù)a的取值范圍.解：M1，4有n種情況：其一是M=，此時0；其二是M，此時0，分三種情況計算a的取值范圍.設f(x)=x2 2ax+a+2，有=(2a)2(4a+2)=4(a2a2)(1)當0時，1a2，M=1，4(2)當=0時，a=1或2.當a=1時M=11，4；當a=2時，m=21，4.(3)

9、當0時，a1或a2.設方程f(x)=0的兩根x1，x2，且x1x2，那么M=x1，x2，M1，41x1x24即，解得：2a，M1，4時，a的取值范圍是(1，).解關于x的不等式：解：原不等式等價于 ，即.由于，所以，所以，上述不等式等價于 解答這個含參數(shù)的不等式組，必然需要分類討論，此時，分類的標準的確定就成了解答的關鍵如何確定這一標準？（1）當時，不等式組等價于此時，由于，所以 從而 （2）當時，不等式組等價于所以 （3）當時，不等式組等價于此時，由于，所以，綜上可知：當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為；當時，原不等式的解集為解關于的不等式：解：原不等式等價于，當時，原不等式的解

10、集為當時，原不等式的解集為設函數(shù)，（1）當時，解不等式；（2）求的取值范圍，使得函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)講解：（1）時，可化為：，等價于： 或 解得 ，解得 所以，原不等式的解集為 （2）任取，且，則要使函數(shù)在上為單調(diào)函數(shù)，需且只需：恒成立，（或恒成立）因此，只要求出在條件“，且”之下的最大、最小值即可為了探求這個代數(shù)式的最值，我們可以考慮極端情況，如：，容易知道，此時；若考慮，則不難看出，此時，至此我們可以看出：要使得函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，只需事實上，當時，由于恒成立，所以，所以，在條件“，且”之下，必有：所以，在區(qū)間上單調(diào)遞減當時，由（1）可以看出：特例的情況下，存在由此可以猜想：函數(shù)在區(qū)間上不是單調(diào)

11、函數(shù)為了說明這一點，只需找到，使得即可簡便起見，不妨取，此時，可求得，也即：，所以，在區(qū)間上不是單調(diào)函數(shù)另解：，對，易知：當時，；當時，；所以當時，從而只須，必有，函數(shù)在上單調(diào)遞減。已知f(x)是定義在1，1上的奇函數(shù)，且f(1)=1，若m、n1，1，m+n0時0.(1)用定義證明f(x)在1，1上是增函數(shù)；(2)解不等式：f(x+)f()；(3)若f(x)t22at+1對所有x1，1，a1，1恒成立，求實數(shù)t的取值范圍.解：(1)證明：任取x1x2，且x1，x21，1，則f(x1)f(x2)=f(x1)+f(x2)=(x1x2)1x1x21，x1+(x2)0，由已知0，又 x1x20，f(x

12、1)f(x2)0，即f(x)在1，1上為增函數(shù).(2)解：f(x)在1，1上為增函數(shù)， 解得：x|x1，xR(3)解：由(1)可知f(x)在1，1上為增函數(shù)，且f(1)=1，故對x1，1，恒有f(x)1，所以要f(x)t22at+1對所有x1，1，a1，1恒成立，即要t22at+11成立，故t22at0，記g(a)=t22at，對a1，1，g(a)0，只需g(a)在1，1上的最小值大于等于0，g(1)0，g(1)0，解得，t2或t=0或t2.t的取值范圍是：t|t2或t=0或t2.給出一個不等式（xR）。經(jīng)驗證：當c=1, 2, 3時，對于x取一切實數(shù)，不等式都成立。試問：當c取任何正數(shù)時，不

13、等式對任何實數(shù)x是否都成立？若能成立，請給出證明；若不成立，請求出c的取值范圍，使不等式對任何實數(shù)x都能成立。解：令f(x)=，設u=(u) 則f(x)= (u)f(x) 要使不等式成立，即f(x)0u0 只須u10u2c1 u2 x2+cx2c 故當c=時，原不等式不是對一切實數(shù)x都成立，即原不等式對一切實數(shù)x不都成立 要使原不等式對一切實數(shù)x都成立，即使x2c對一切實數(shù)都成立。x20 故c0c1(c0) c1時，原不等式對一切實數(shù)x都能成立。不等式的證明已知，求證：解1：因為，所以，所以，所以，命題得證解2：因為，所以，所以，由解1可知：上式1故命題得證已知a0，b0，且a+b=1。求證：

14、(a+)(b+).證法一：(分析綜合法)欲證原式，即證4(ab)2+4(a2+b2)25ab+40，即證4(ab)233(ab)+80，即證ab或ab8.a0，b0，a+b=1，ab8不可能成立1=a+b2，ab，從而得證.證法二：(均值代換法)設a=+t1，b=+t2.a+b=1，a0，b0，t1+t2=0，|t1|，|t2|顯然當且僅當t=0，即a=b=時，等號成立.證法三：(比較法）a+b=1，a0，b0，a+b2，ab證法四：(綜合法)a+b=1， a0，b0，a+b2，ab.證法五：(三角代換法） a0，b0，a+b=1，故令a=sin2，b=cos2，(0，)2證明不等式(nN*)

15、證法一：(1)當n等于1時，不等式左端等于1，右端等于2，所以不等式成立；(2)假設n=k(k1)時，不等式成立，即1+2，當n=k+1時，不等式成立.綜合(1)、(2)得：當nN*時，都有1+2.另從k到k+1時的證明還有下列證法：證法二：對任意kN*，都有：證法三：設f(n)= 那么對任意kN* 都有：f(k+1)f(k)因此，對任意nN* 都有f(n)f(n1)f(1)=10，不等式的應用根據(jù)復合函數(shù)的單調(diào)性得：例2、已知函數(shù) （1）判斷函數(shù)的增減性； （2）若命題為真命題，求實數(shù)x的取值范圍.解：（1）函數(shù)是增函數(shù)； （2），必有時，不等式化為，故；當，不等式化為，這顯然成立，此時；當

16、時，不等式化為故；綜上所述知，使命題p為真命題的x的取值范圍是（1994年)已知函數(shù)解： (1995年)設是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，項之和。(1)證明(2)是否存在常數(shù)C0,使得成立？并證明你的結論。證明：(I)根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可得即(2)不存在常數(shù)C使等式成立。 證法一：因為要使 ；綜合上面的證明可見不存在常數(shù) 還可以直接用反證法證明： 證法二：假設存在常數(shù)C0，使等式能夠成立,則有 由(4)可得：由平均值不等式可知(1990年)設是任意給定的自然數(shù)，且。(1)如果時有意義，求a的取值范圍。(2)如果0時成立。解：(I)，； (2)證法一：根據(jù) 下面用數(shù)學歸納法證之。 A. 設n=2時若

17、 ，即(1)成立。 若 B. 設 證法二：只需證明，如圖，ABC是某屋頂?shù)臄嗝?，CDAB，橫梁AB的長是豎梁CD長的2倍.設計時應使保持最小，試確定D點的位置，并求y的最小值.解：設AD=x，CD=1，則AB=2，BD=2x，（0 x2）令；當且僅當時取等號當時，y取得最小值此時答：取AD:DB=1:時，y有最小值在一容器內(nèi)裝有濃度為r%的溶液a升，注入濃度為p%的溶液升，攪勻后再倒出溶液升，這叫做一次操作。(I)設第n次操作后容器內(nèi)溶液的濃度為（每次注入的溶液都是p%）， 計算，并歸納出的計算公式（不要求證明）(II)設要使容器內(nèi)溶液濃度不小于q%，問至少要進行上述操作多少次？（已知）解：某

18、商場經(jīng)過市場調(diào)查分析后得知，2003年從年初開始的前n個月內(nèi)，對某種商品需求的累計數(shù)（萬件）近似地滿足下列關系：（）問這一年內(nèi)，哪幾個月需求量超過1.3萬件？（）若在全年銷售中，將該產(chǎn)品都在每月初等量投放市場，為了保證該商品全年不脫銷，每月初至少要投放多少件商品？（精確到件）解：（）首先，第n個月的月需求量 ， 當時， 令，即 ，解得：， nN， n = 5 ，6 即這一年的5、6兩個月的需求量超過1.3萬件（）設每月初等量投放商品a萬件，要使商品不脫銷，對于第n個月來說，不僅有本月投放市場的a萬件商品，還有前幾個月未銷售完的商品所以，需且只需：， 又 即每月初至少要投放11112件商品，才能

19、保證全年不脫銷一根水平放置的長方體形枕木的安全負荷與它的寬度a成正比，與它的厚度d的平方成正比，與它的長度l的平方成反比adl （）將此枕木翻轉90（即寬度變?yōu)榱撕穸龋?，枕木的安全負荷變大嗎？為什么?（）現(xiàn)有一根橫斷面為半圓（半圓的半徑為R）的木材，用它來截取成長方體形的枕木，木材長度即為枕木規(guī)定的長度，問如何截取，可使安全負荷最大？解：（）由題可設安全負荷為正常數(shù)），則翻轉90后，安全負荷因為，所以，當時，安全負荷變大；當時，安全負荷變小（2）如圖，設截取的枕木寬為a，高為d，則，即 枕木長度不變，u=ad2最大時，安全負荷最大 當且僅當，即取，時，u最大， 即安全負荷最大現(xiàn)有流量均為30

20、0的兩條河流A、B會合于某處后，不斷混合，它們的含沙量分別為2和0.2假設從匯合處開始，沿岸設有若干個觀測點，兩股水流在流經(jīng)相鄰兩個觀測點的過程中，其混合效果相當于兩股水流在1秒鐘內(nèi)交換100的水量，即從A股流入B股100水，經(jīng)混合后，又從B股流入A股100水并混合問：從第幾個觀測點開始，兩股河水的含沙量之差小于0.01（不考慮泥沙沉淀）？解：本題的不等關系為“兩股河水的含沙量之差小于0.01”但直接建構這樣的不等關系較為困難為表達方便，我們分別用來表示河水在流經(jīng)第n個觀測點時，A水流和B水流的含沙量則2，0.2，且（）由于題目中的問題是針對兩股河水的含沙量之差，所以，我們不妨直接考慮數(shù)列由（

21、）可得：所以，數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列所以，由題，令 0.01，得所以，由得，所以，即從第9個觀測點開始，兩股水流的含沙量之差小于0.01用一塊鋼錠燒鑄一個厚度均勻，且表面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器(如右圖)設容器高為h米，蓋子邊長為a米，(1)求a關于h的解析式；(2)設容器的容積為V立方米，則當h為何值時，V最大？求出V的最大值(求解本題時，不計容器厚度)解：設h是正四棱錐的斜高，由題設可得： 消去由 (h0)得：所以V，當且僅當h=即h=1時取等號故當h=1米時，V有最大值，V的最大值為立方米.六、專題練習【不等式的解法練習1】1不等式的解集是 （ D ） （A） （B）

22、 （C） （D）2當時，不等式恒成立，則 的取值范圍是（ B ） （A） （B）（1，2） （C） （D）（0，1）3不等式成立的一個充分但不必要條件是 （ B ） （A） （B） （C） （D）4三個數(shù)的大小關系是 （ B ） （A） （B） （C） （D）5若全集是( B )ABCD6下列命題中，正確的是( C )A若B若C若D若7若是任意實數(shù)，且，則( D )ABCD8設，則下列四數(shù)中最大的是( A )ABCD9不等式恒成立，則的取值范圍為( D )ABCD10不等式的解集是( B )ABCD11當 成立的充要條件是( C )ABCD12已知，那么的最小值是( B )A6BCD13不等式

23、組的解集是( D )ABCD 14不等式的解集是( C )ABCD15的大小順序是16若，則的取值范圍是。17不等式的解集是18關于的不等式的解集是空集，那么的取值區(qū)間是0，419. 解不等式：解： a+a=(a2+)ax，變形原不等式，得 a (1) 當0 a 1時，a，則a2 ax a-2，-2 x 1時，a，則a-2 ax a2，-2x2 (3) 當a=1時，a，無解。 綜上，當a1時，-2 x 2，當a=1時無解。20對于x，關于x的不等式0,a+x1,lg(a+x)0 有l(wèi)g2axlg(a+x),2axa+x (2a-1)x時，x，由1x2時x2，a (2)a=時，有0 x 1x2時

24、不等式總成立 (3)0a，由1x2時x總成立，得a1，綜合0a，得0a 綜上，0a0，且，則的最小值為 。3；提示：，當且僅當即時，上式等號成立，又故此時11某鄉(xiāng)為提高當?shù)厝罕姷纳钏?，由政府投資興建了甲、乙兩個企業(yè)，1997年該鄉(xiāng)從甲企業(yè)獲得利潤320萬元，從乙企業(yè)獲得利潤720萬元。以后每年上交的利潤是：甲企業(yè)以1.5倍的速度遞增，而乙企業(yè)則為上一年利潤的。根據(jù)測算，該鄉(xiāng)從兩個企業(yè)獲得的利潤達到2000萬元可以解決溫飽問題，達到8100萬元可以達到小康水平.（1）若以1997年為第一年，則該鄉(xiāng)從上述兩個企業(yè)獲得利潤最少的一年是那一年，該年還需要籌集多少萬元才能解決溫飽問題？（2）試估算2

25、005年底該鄉(xiāng)能否達到小康水平？為什么？解：（）若以1997年為第一年，則第n年該鄉(xiāng)從這兩家企業(yè)獲得的利潤為 =當且僅當，即n=2時，等號成立，所以第二年（1998年）上交利潤最少，利潤為960萬元。由2000960=1040（萬元）知：還需另籌資金1040萬元可解決溫飽問題。（）2005年為第9年，該年可從兩個企業(yè)獲得利潤所以該鄉(xiāng)到2005年底可以達到小康水平.12.如圖，假設河的一條岸邊為直線MN，又ACMN于C，點B、D在MN上。先需將貨物從A處運往B處，經(jīng)陸路AD與水路DB.已知AC=10公里，BC=30公里，又陸路單位距離的運費是水路運費的兩倍，為使運費最少，D點應選在距離C點多遠處?解：設CDx公里，設水路運價每公里為a元，則陸路運價為每公里2a元，運費 (0 x30)令, 則, 平