wlv數(shù)學(xué)建模之住房的合理定價(jià)問(wèn)題

1、住房的合理定價(jià)問(wèn)題摘要房?jī)r(jià)的合理性已成為當(dāng)今社會(huì)的熱門話題。本文依照題中所給出的數(shù)據(jù)，對(duì)3個(gè)問(wèn)題分別建立模型并求解。針對(duì)問(wèn)題1,首先利用Excel建立圖表，繪制出歷年房?jī)r(jià)走勢(shì)圖。然后，對(duì) 原始數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得出指數(shù)型及多項(xiàng)式型擬合方程，并在原圖上繪制出趨勢(shì)線。同時(shí)，求出確定性系數(shù)R2,依據(jù)R2是否接近于1判斷擬合程度好壞，即檢驗(yàn)擬 合方程的有效性。計(jì)算得出的指數(shù)型及二階多項(xiàng)式型擬合方程：x1(i) 678.81e0.1281i x2(i) 12.59i2 50.274i 716.38 ,由此預(yù)測(cè)出 2010年房?jī)r(jià)分別為4080元/平米、3888元/平米。為了增加預(yù)測(cè)的可靠性，再結(jié)合二次指數(shù)平

2、滑法對(duì)2010年房?jī)r(jià)進(jìn)行預(yù)測(cè)。通過(guò)比較實(shí)際值與預(yù)測(cè)值的平均偏差值 ME勺大小， 選擇出合適的。預(yù)測(cè)出2010年的房?jī)r(jià)為3800元/平米。最后，建立三元線性回歸模型，將上述三種方法對(duì)歷年房?jī)r(jià)的預(yù)測(cè)值分別作為自變量xx2、x3的原始數(shù)據(jù)，以實(shí)際房?jī)r(jià)P(i)作為因變量，用Matlab軟件擬合出多元線性方程：Pf1(i)0.0202 0.1389 x1(i) 1.1319 x2(i) 0.0084 x3。代入相關(guān)數(shù)據(jù)，求出歷年的最終房?jī)r(jià)預(yù)測(cè)值為3866元/平米。針對(duì)問(wèn)題2,通過(guò)Excel繪制出歷年平均房?jī)r(jià)與人均 GDP勺關(guān)系走勢(shì)圖，且 自動(dòng)生成對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合后的指數(shù)型和自變量為 2階、3階、4階的

3、多項(xiàng)式 型擬合方程及各自的確定性系數(shù) R2。R2的值分別為：0.8673; 0.9929; 0.9982； 0.9986 o由此判斷，因2階多項(xiàng)式型擬合方程的R2不僅十分接近于1,且相對(duì) 于3階、4階的多項(xiàng)式方程更為簡(jiǎn)便，故選擇：P(i) ( 7E 06) G(i)2 0.3236 G(i) 177.06為平均房?jī)r(jià)與人均 GDP勺關(guān)系方 程。最后，在聯(lián)系當(dāng)下實(shí)際狀況的基礎(chǔ)上對(duì)建立的模型進(jìn)行研究， 分析出平均房 價(jià)與人均GDP勺關(guān)系。針對(duì)問(wèn)題3,首先從政府、人民、房地產(chǎn)商三方面分析其各自對(duì)房?jī)r(jià)的要求。 然后，利用Excel ,并依據(jù)前兩個(gè)問(wèn)題的解決方法求出最合理的歷年人均GDPffi平均收入走勢(shì)

4、的擬合方程，分別為：G(i) 135.36i2 659.73i 4486.8;I(i) 57.978i2 390.52i 4715.8。由此預(yù)測(cè)出 2010 年的人均 GDP1 為 21781 元、平均年收入為21547元。利用Matlab軟件擬合出以歷年人均 GDPffi平均年收入 的實(shí)際值作為自變量2, x2 ;以歷年平均房?jī)r(jià)的實(shí)際值作為因變量的二元線性回歸方程，將已經(jīng)預(yù)測(cè)出的2010年人均GD厲口平均收入值代入擬合方程Pf3(i)48.4599 0.0492G(i) 0.1348I，得到 2010年平均房?jī)r(jià)的預(yù)測(cè)值 3928元/平米。最后，再結(jié)合房?jī)r(jià)收入比等相關(guān)數(shù)據(jù)改善模型。本文最大的特

5、色在于采用多種方法解決問(wèn)題并對(duì)其結(jié)果擬合得到最佳答案。 同時(shí)結(jié)合國(guó)家政策，社會(huì)現(xiàn)狀等實(shí)際因素改善模型，增強(qiáng)模型的實(shí)用性。關(guān)鍵詞：二次指數(shù)平滑、多項(xiàng)式、線性回歸、房?jī)r(jià)收入比電視劇蝸居的熱播不是一個(gè)偶然。它的成功，正是在于其所反映的“房 奴”問(wèn)題激發(fā)了廣大老百姓的共鳴。當(dāng)今社會(huì)，房?jī)r(jià)的急速上漲讓人們不知所措。 房?jī)r(jià)太高，而需房者收入又太低，使得國(guó)內(nèi)的房地產(chǎn)業(yè)面臨前所未有的困境。 如 何遏制房?jī)r(jià)過(guò)快上漲勢(shì)頭，使百姓買得起房，房地產(chǎn)商有錢可賺，國(guó)家的支柱性 產(chǎn)業(yè)得以健康地發(fā)展是放在我們面前的一大難題。以上述背景為基礎(chǔ)，根據(jù)某地區(qū)各年的平均房?jī)r(jià)、人均 GDP職工平均年收 入等數(shù)據(jù)(見(jiàn)表1)解決關(guān)于住房的

6、合理定價(jià)問(wèn)題：表1某地區(qū)19972009年房?jī)r(jià)、GDP職工收入數(shù)據(jù)表時(shí)間：年平均房?jī)r(jià)：元/平米人均GDP元平均年收入：元199776735405156199889537835138199999539166526200011174239743420011261492284752002143755609688200316406399107032004195778421138420052244911612343200624891087913630200728011347515558200830961673718472200935001874519820(1)根據(jù)該地區(qū)歷年的平均房?jī)r(jià)建立模型預(yù)測(cè) 20

7、10年的平均房?jī)r(jià)。(2)研究該地區(qū)人均GDPW房?jī)r(jià)的關(guān)系。(3)試建立2010年該地區(qū)的合理房?jī)r(jià)模型使得百姓、房地產(chǎn)商、政府都比較滿意。.表1中所提供的1997至2009年的平均房?jī)r(jià)、人均 GDP平均收入值真 實(shí)有效。.在2010年內(nèi)，無(wú)地震、洪災(zāi)、瘟疫等重大自然災(zāi)害及戰(zhàn)爭(zhēng)、動(dòng)亂等人為 災(zāi)難發(fā)生。.在2010年內(nèi)，國(guó)內(nèi)經(jīng)濟(jì)以固有趨勢(shì)穩(wěn)步發(fā)展，無(wú)金融危機(jī)沖擊，人均 GDP呆持穩(wěn)定上漲趨勢(shì)。.針對(duì)第1個(gè)問(wèn)題，假設(shè)政府沒(méi)有出臺(tái)任何有關(guān)住房的新政策。符號(hào)意義ii （1,2,3|14） , 1997為第1年，1998為第2年一以此類推P（i）第i年平均房?jī)r(jià)的實(shí)際值P（i）第i年平均房?jī)r(jià)的第一次平滑值P2

8、（i）第i年平均房?jī)r(jià)的第二次平滑值Pfi（i）（第1問(wèn)中）2010年平均房?jī)r(jià)的最終預(yù)測(cè)值Pf2（i）（第2問(wèn)中）2010年平均房?jī)r(jià)的最終預(yù)測(cè)值Pf3（i）（第3問(wèn)中）2010年平均房?jī)r(jià)的最終預(yù)測(cè)值平滑系數(shù)X（i）由指數(shù)型擬合方程預(yù)測(cè)的第i年平均房?jī)r(jià)值X2（i）由二階多項(xiàng)式型擬合方程預(yù)測(cè)的第i年平均房?jī)r(jià)值X3（i）由二次指數(shù)平滑法預(yù)測(cè)的第i年平均房?jī)r(jià)值T自i時(shí)點(diǎn)起1可前預(yù)測(cè)的時(shí)點(diǎn)數(shù)；ai、bi二次指數(shù)平滑法中的待定系數(shù)c0、g、 c2、C3（第1問(wèn)中）三元線性回歸模型的待定系數(shù)d0、d1、d2（第3問(wèn)中）二元線性回歸模型的待定系數(shù)G(i)第i年人均GDP的實(shí)際值G(i)第i年人均GDP的預(yù)測(cè)值I

9、(i)第i年平均收入的實(shí)際值I(i)第i年平均收入的預(yù)測(cè)值問(wèn)題1:1）問(wèn)題分析Stepl:利用Excel軟件，作出1997至2009年的平均房?jī)r(jià)走勢(shì)圖，并添加指數(shù)型及 二階多項(xiàng)式型趨勢(shì)線。經(jīng)觀察可知，添加的趨勢(shì)線與原平均房?jī)r(jià)的走勢(shì)線較為吻 合。故使軟件自動(dòng)生成指數(shù)型及二階多項(xiàng)式型擬合方程，和它們各自的確定性系數(shù)R2。如下圖：該地區(qū)歷年房?jī)r(jià)走勢(shì)圖-系列1指數(shù)（系列1）圖1添加指數(shù)型趨勢(shì)線的該地區(qū)歷年房?jī)r(jià)走勢(shì)圖該地區(qū)歷年房?jī)r(jià)走勢(shì)圖4000 ry = 12.59x2 + 50.274x + 716.38T系列1多項(xiàng)式(系列1)oooo OO 0 5 0 5 0 53 2 2 1 1價(jià)房米平每圖2添加

10、二次多項(xiàng)式型趨勢(shì)線的該地區(qū)歷年房?jī)r(jià)走勢(shì)圖因R2分別為0.9980和0.9989 ,十分接近于1,故兩擬合方程的擬合程度均 很高。利用它們進(jìn)行2010年，即第14年的平均房?jī)r(jià)預(yù)測(cè)具有可很高的參考性。 Step2:為了增加預(yù)測(cè)的可靠性，再利用二次平滑指數(shù)法對(duì)2010年平均房?jī)r(jià)進(jìn)行預(yù)測(cè)。首先，要確定 的值。選取不同的 進(jìn)行計(jì)算，通過(guò)由不同 值得出的預(yù)測(cè) 數(shù)據(jù)再進(jìn)行實(shí)際值與偏差值的平均偏差大小 ME計(jì)算。選取ME值較小的 作為 參加計(jì)算的平滑系數(shù)。Step3:建立三元線性回歸模型，將上述三種方法對(duì)歷年房?jī)r(jià)的預(yù)測(cè)值分別作為自變量為、X2、X3的原始數(shù)據(jù)，以實(shí)際房?jī)r(jià)P(i)作為因變量，用Matlab軟件擬

11、合出三元線性回歸方程，使我們所需要的2010平均房?jī)r(jià)預(yù)測(cè)值更為精確。2)模型的建立與求解Step1 :指數(shù)型擬合方程：x1(i) 678.81e0.1281i其確定性性系數(shù)R2 0.998二階多項(xiàng)式型擬合方程：x2(i) 12.59i2 50.274i 716.38其確定性性系數(shù)R20.9989經(jīng)計(jì)算可得：x1(i)(772, 877 , 997, 1133, 1288, 1464, 1664, 1892, 2150, 2444,2778, 3158, 3589);X2(i)(779, 867, 981, 1119, 1283, 1471, 1685, 1924, 2189, 2478, 27

12、93,3133, 3489);i (1 , 2, 313)利用以下公式進(jìn)行誤差檢驗(yàn)：E P(i) x(i)nEin其中n=13;可得 MEX1 0.5; MEX2 0.6由此判斷該擬合方程誤差很小，預(yù)測(cè)數(shù)據(jù)具有有效性。4080其中，X1(14) 4080; X2(14) 3888即，用指數(shù)型及二階多項(xiàng)式型擬合方程對(duì)2010年的房?jī)r(jià)預(yù)測(cè)值分別為元/平米；3888元/平米。Step2:指數(shù)平滑法的預(yù)測(cè)關(guān)系式為：P1P(i) (1)P1(i 1)利用上式進(jìn)行兩次平滑值的計(jì)算；再將第一次平滑值和第二次平滑值代入以下公式：ai n(i) (P(i) P2O)bi -(Pi P2(i)1確定待定系數(shù)ai,

13、bi的值；最后將ai ,b代入公式x3(i) ai b T求出預(yù)測(cè)值。當(dāng)求出所有年份的預(yù)測(cè)值后，利用以下公式進(jìn)行誤差檢驗(yàn):Ei P(i)川)nEiME -IJn其中n=12。比較ME大小，選ME較小的 值。 取值為0.5 ; R(i)的初始值為767表2時(shí)間：年平均房?jī)r(jià)：元/平米P(i):元/平米F2(i)：元/平米x1 (i)：元/平米Ei19977677677671998895831799767128199999591385689510020001117101593610279020011261113810371173882002143712881163134097200316401464

14、131415381022004195717111513176419320052244197817462107137200624892234199024424720072801251822092902-10120083096280725083136-402009350031542831340595ME1 78 取值為0.3 ； p,(i)的初始值為767 表3時(shí)間：年平均房P(i):元/平米F2(i)：元/平x1 (i)：元/Ei價(jià)：元/平米米平米199776776776719988958057787671281999995862803844151200011179398449461712001

15、126110369021075186200214371156978122721020031640130110751410230200419571498120216243332005224417221358192132320062489195215362242247200728012207173725462552008309624741958287821820093500278221133211289ME2 228因?yàn)镸Ei ME2 ,所以將 的取值定為0.5.貝Ux3(i)(767, 895, 1027, 1173, 1340, 1538, 1764, 2107, 2442, 2902,313

16、6, 3405) , i (2, 3, 4, 5- -13)其中 X3(14) 3800即，采用二次指數(shù)平滑法對(duì)2010年房?jī)r(jià)的預(yù)測(cè)值為3800元/平米。Step3:建立三元線性回歸方程：Pf1(i) / 。 x1(i)C2X2C3X3。)利用Matlab軟件解上式; 可得：Pfi(i)0.0202 0.1389 x1(i) 1.1319 x2(i) 0.0084 x3(i)將 xi(14) 4080, X2(14) 3888, Xs(14) 3800代入上式;得 Pf1(14) 3866；即，2010年平均房?jī)r(jià)的最終預(yù)測(cè)值是 3866元/平米。1.131322.95570.C1S3YeM s

17、tep:mercejrt= -uJ2ir2忸+它之U.SS修內(nèi)1F 卯了4ACUF-S1 = 0.336337p = 5 25rai a-oi20.000050D3 D.0470O.S63 150asModel History1iLLN UJ 工 LL圖3對(duì)三元線性回歸模型的誤差分析圖從圖中可看出確定性系數(shù)R2 0.998791 ,擬合程度相當(dāng)高因此根據(jù)此式得出的2010年平均房?jī)r(jià)預(yù)測(cè)值具有很大的參考價(jià)值。問(wèn)題2:1)問(wèn)題分析及模型的建立 建立如下圖表：該地區(qū)歷年房?jī)r(jià)與人均GD關(guān)系的走勢(shì)圖, 一 . . 一 一 -O OOOOOOOOOOo O0 544332211價(jià)房均平5000100001

18、500020000人均GDPrrr c 9E-05Xy = 777.3eR2 = 0.8673一系列指數(shù)（系列1）圖4添加指數(shù)型趨勢(shì)線的房?jī)r(jià)與人均 GDP1系走勢(shì)圖圖5添加二次多項(xiàng)式型趨勢(shì)線的房?jī)r(jià)與人均 GDP1系走勢(shì)圖圖6添加三次多項(xiàng)式型趨勢(shì)線的房?jī)r(jià)與人均 GD聯(lián)系走勢(shì)圖圖7添加四次多項(xiàng)式型趨勢(shì)線的房?jī)r(jià)與人均GD聯(lián)系走勢(shì)圖由圖4圖7可看出，指數(shù)型和自變量為2階、3階、4階的多項(xiàng)式型擬合方程及各自的確定性系數(shù) R2。 R2的值分別為：0.8673 ; 0.9929 ; 0.9982 ; 0.9986因?yàn)槎味囗?xiàng)式的R2值既比指數(shù)型擬合方程的R2更接近于1,且其方程形式比三次，四次多項(xiàng)式的擬合方

19、程更為簡(jiǎn)便。 故用它反應(yīng)歷年人均GDPf平均房 價(jià)的關(guān)系。如下式：Pf2（i） 7E 06G2 0.3236G（i） 177.062）模型的求解根據(jù)建立的模型，即上式，研究分析該地區(qū)平均房?jī)r(jià)與人均GDP勺關(guān)系。因?yàn)樵撌降亩雾?xiàng)系數(shù)小于1,則此方程的圖形為開(kāi)口向下的拋物線，必有 一個(gè)最高點(diǎn)。因而，隨著人均GDP勺不斷增長(zhǎng)，平均房?jī)r(jià)也在不斷增長(zhǎng)（如當(dāng)下 的情況），當(dāng)人均GDR續(xù)增長(zhǎng)到某一值時(shí)，平均房?jī)r(jià)達(dá)到最高點(diǎn)，且此后隨著 人均GDP勺不斷增長(zhǎng)，房?jī)r(jià)呈下降趨勢(shì)。最近，國(guó)家出臺(tái)了一系列新的政策，如：在商品價(jià)格過(guò)高、上漲過(guò)快、供應(yīng)緊張的地區(qū)，商業(yè)銀行可根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)狀況， 暫停發(fā)放購(gòu)買第三套及以上住房貸款；

20、對(duì)不能提供1年以上當(dāng)?shù)丶{稅證明或社會(huì)保險(xiǎn)繳納證明的非本地居民暫停 發(fā)放購(gòu)買住房貸款；二套房首付款不得低于50%貸款利率不得低于基準(zhǔn)利率的1.1倍（工商銀 行已于2010年4月16日率先實(shí)行此政策）。而當(dāng)這些政府調(diào)控樓市的政策出臺(tái)之后不久，深圳、上海紛紛出現(xiàn)樓市投資者拋盤的情況，更有浙江投資者將上億元的在京樓市投資拋售而出。由此分析得出，這一系列的新政策極大地影響了人們?cè)诜慨a(chǎn)上的消費(fèi)傾向， 在一定程度上削弱了住房的購(gòu)買量，從而使房地產(chǎn)商會(huì)以減少樓市的投資或以降 低房?jī)r(jià)的手段促進(jìn)樓盤的買賣。綜上所述，以理論模型結(jié)合實(shí)際情況進(jìn)行分析可得出以下結(jié)論：就當(dāng)前我國(guó)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r來(lái)看，我國(guó)人均GDK繼續(xù)保持

21、增長(zhǎng)趨勢(shì)，平均 房?jī)r(jià)也會(huì)隨之增長(zhǎng)。但是，由于國(guó)家政策的干預(yù)，平均房?jī)r(jià)的增長(zhǎng)速度可能會(huì)逐 漸減慢甚至呈負(fù)增長(zhǎng)狀態(tài)，不過(guò)，這將是政策被實(shí)際且廣泛實(shí)行一段時(shí)間后才可 能出現(xiàn)的結(jié)果，在短期內(nèi)房?jī)r(jià)不會(huì)大幅度下降。問(wèn)題3:1）問(wèn)題分析要想建立一個(gè)合理的房?jī)r(jià)模型使房地產(chǎn)商、 人民、國(guó)家都滿意，就必須同時(shí) 從三方面著手考慮。企業(yè)的根本目的是利潤(rùn)的最大化。 因而，就房地產(chǎn)商而言，高房?jī)r(jià)與高銷 售量成就的高銷售額是他們所追求的終極目標(biāo)。然而，房?jī)r(jià)可由房地產(chǎn)商決定， 但他們卻決定不了銷售量。銷售量無(wú)法提高，贏取利潤(rùn)便是空談。因此，確定合 理的房?jī)r(jià)對(duì)于房地產(chǎn)來(lái)說(shuō)十分必要。 因?yàn)椋績(jī)r(jià)在很大程度上決定了銷售量的多 少。

22、對(duì)于普通老百姓而言，房?jī)r(jià)當(dāng)然是盡可能越低越好。（不考慮靠“炒房” 謀生的人群）。當(dāng)下，房?jī)r(jià)的居高不下令許多買房者望而生畏，整個(gè)社會(huì)中降低 房?jī)r(jià)的呼聲越來(lái)越高。針對(duì)政府來(lái)看，房?jī)r(jià)高，房地產(chǎn)業(yè)興盛必然會(huì)帶動(dòng)多產(chǎn)業(yè)的發(fā)展與壯大， 從而促進(jìn)整個(gè)國(guó)家的經(jīng)濟(jì)發(fā)展。但是，過(guò)高的房?jī)r(jià)又必定會(huì)引起百姓的怨言。 所 以，怎樣確定一個(gè)既能保持房產(chǎn)業(yè)的繁榮又能滿足百姓的住房需求的合理房?jī)r(jià)是 政府不得不考慮的問(wèn)題。綜上所述，合理房?jī)r(jià)的確定不僅要參考?xì)v年平均房?jī)r(jià)的走勢(shì)，也要將以上三個(gè)因素考慮在內(nèi)。因此，首先，根據(jù)該地區(qū)歷年人均GD林口平均收入值的數(shù)據(jù)，分別擬合出一 個(gè)二次多項(xiàng)式方程，通過(guò)該方程得到該地區(qū) 2010年人均G

23、D林口平均收入的預(yù)測(cè)值。然后再將該地區(qū)歷年人均 GDPG(i)和平均收入I(i)作為自變量，歷年平均房?jī)r(jià)P(i)作為因變量擬合出二元線性回歸方程。即，在人均GD吸平均收入的影響下，對(duì)2010房?jī)r(jià)進(jìn)行預(yù)測(cè)的模型。人均 GDPfe一定程度上反應(yīng)出整個(gè)國(guó)家的經(jīng)濟(jì)發(fā)展?fàn)顩r，而平均收入也在一定程度上映射出該地區(qū)老百姓的購(gòu)買能力。最后，結(jié)合國(guó)家政策和社會(huì)狀況對(duì)該模型進(jìn)一步改善，使其具有實(shí)效性。2)模型的建立與求解Stepl:該地區(qū)歷年人均GDP走勢(shì)圖年份T系列1多項(xiàng)式(系列1)PDG均人圖8添加二次多項(xiàng)式型趨勢(shì)線的歷年人均 GD就勢(shì)圖該地區(qū)歷年平均年收入走勢(shì)圖T-系列多項(xiàng)式系列)圖9添加二次多項(xiàng)式型趨勢(shì)線

24、的歷年平均年收入走勢(shì)圖以上兩圖是通過(guò)Excel軟件繪制的該地區(qū)歷年人均GD林口平均收入的走勢(shì)圖，并自動(dòng)生成二次多項(xiàng)式擬合方程合確定性系數(shù)R2。人均GDP勺擬合方程為： 2 G(i) 135.36i659.73i 4486.8R2 0.9957平均收入的擬合方程為：I (i) 57.978i2 390.52i 4715.82 R2 0.9898通過(guò)對(duì)R2與1的接近程度判斷可知，兩擬合方程的擬合程度均很高。代入數(shù)據(jù)可得：G(14) 21781； I(14) 21547。所以2010年的人均GDP和平均收入的預(yù)測(cè)值分別為 21781元，21547元Step2:以G、I(i)作為自變量，P作為因變量建

25、立二元線性回歸模型。其中，i (1, 2, 3- -13)。利用Matlab軟件求解，得到擬合方程：Pf348.4599 0.0492G(i) 0.1348I(i)代入 G(14) 21781 和 I (14) 21547 ,得到 Pf3(14) 3928即，在人均GDP與平均收入的影響下所預(yù)測(cè)的 2010年房?jī)r(jià)為3928元/平米口-丫幻.03232.5123 C.1611口.1三3.二46mC.UO32MvkI 囚（ap”. i nr0 DJD5 0.10 15 U2H erupt - -4二白七日RUSE -11t；JLitii1-sc|_we -U ytlti- tti&dJFf-5邛= U931IB田產(chǎn)一三3 MiT口-注JF2etH 口圖10對(duì)二元線性回歸模型的誤差分析圖由上圖可知此二元線性回歸方程的確定性系數(shù)為。因此判斷該方程的擬合程 度很高，誤差較小。但是，3928元/平米的