新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)講義 考點(diǎn)39 利用導(dǎo)數(shù)求極值最值（教師版含解析）

1、26/26考點(diǎn)39 利用導(dǎo)數(shù)求極值最值知識(shí)理解一函數(shù)的極值(1)函數(shù)的極小值：函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xa的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)xa附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，f(a)0；而且在點(diǎn)xa附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，則點(diǎn)a叫做函數(shù)yf(x)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)yf(x)的極小值(2)函數(shù)的極大值：函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xb的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)xb附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，f(b)0；而且在點(diǎn)xb附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，則點(diǎn)b叫做函數(shù)yf(x)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)yf(x)的極大值極小值點(diǎn)、極大值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)，極大值和極小值統(tǒng)稱為極值注意事項(xiàng)函數(shù)f(x)在x0處有極值

2、的必要不充分條件是f(x0)0，極值點(diǎn)是f(x)0的根，但f(x)0的根不都是極值點(diǎn)(例如f(x)x3，f(0)0，但x0不是極值點(diǎn))極值反映了函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況，刻畫的是函數(shù)的局部性質(zhì)極值點(diǎn)是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn)，不會(huì)是端點(diǎn)二函數(shù)的最值(1)在閉區(qū)間a，b上連續(xù)的函數(shù)f(x)在a，b上必有最大值與最小值(2)若函數(shù)f(x)在a，b上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的最小值，f(b)為函數(shù)的最大值；若函數(shù)f(x)在a，b上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的最大值，f(b)為函數(shù)的最小值考向分析考向一 求極值【例1】(2021全國(guó)課時(shí)練習(xí))函數(shù)在上的極大值點(diǎn)為( )ABCD【答案】C【解析】函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

3、為，因?yàn)椋?，可得，解?當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以使得函數(shù)取得極大值的的值為，故選：C.【方法總結(jié)】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟如下：（1）求函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)；（3）解方程，當(dāng)；（4）列表，分析函數(shù)的單調(diào)性，求極值：如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極小值；如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極大值【舉一反三】1(2021石泉縣石泉中學(xué))函數(shù)的極小值為( )A0BCD【答案】A【解析】由，得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，極小值為.故選：A.2(2021河南新鄉(xiāng)市)已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為，則的極大值為( )ABCD1【答案】A【解析】

4、因?yàn)?，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)在圖象在處的切線方程為，所以，解得，.由，知在處取得極大值，.故選：A.考向二 已知極值求參數(shù)【例2】(2021福建南平市)已知是函數(shù)的極小值點(diǎn)，則函數(shù)的極小值為( )ABCD4【答案】B【解析】由題意，函數(shù)，可得，因?yàn)槭呛瘮?shù)的極小值點(diǎn)，則，即，解得，可得，當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)是函數(shù)的極小值點(diǎn)，所以函數(shù)的極小值為.故選：B.【方法總結(jié)】解含參數(shù)的極值問題要注意：是為函數(shù)極值點(diǎn)的必要不充分條件，故而要注意檢驗(yàn)；若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極值，那么在內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)沒有極值【舉一反三】1(2020全國(guó)課時(shí)練習(xí))若函數(shù)的極小值點(diǎn)是，則的極大值為

5、( )ABCD【答案】C【解析】由題意，函數(shù)，可得，所以，解得，故，可得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以的極大值為故選：C.2(2020安徽省太和第一中學(xué))若函數(shù)的極值為，則實(shí)數(shù)的值為( )ABCD【答案】D【解析】由已知可得.當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)無極值；當(dāng)時(shí)，令，可得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；令，可得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增.所以，函數(shù)的極小值為，令，則且，.當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減.所以，由于，.故選：D.3(2021全國(guó)課時(shí)練習(xí))若函數(shù)在處取得極小值，則a=_【答案】2【解析】由可得，因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極小值，所以，解得或，若，則，當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞增

6、；當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞增；所以函數(shù)在處取得極小值，符合題意；當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，則單調(diào)遞增；所以函數(shù)在處取得極大值，不符合題意；綜上：.故答案為：2.4(2021全國(guó)高二課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)函數(shù)的極值為，則_【答案】【解析】已知函數(shù),所以 ,由題意知 ， ，即解得或當(dāng)時(shí),此時(shí)函數(shù)在上是增函數(shù),函數(shù)沒有極值,不合題意;當(dāng)時(shí),令,解得,當(dāng)或時(shí), ;當(dāng)時(shí), ;所以函數(shù)在和上是增函數(shù),函數(shù)在上是減函數(shù),當(dāng)時(shí)取得極大值,符合題意,所以,所以 所以.故答案為: 考向三 求最值【例3】(2021江蘇單元測(cè)試)函數(shù)在0，2上的最大值是( )ABC0D【答案】A【解析

7、】由，得，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上遞增，在上遞減，所以，故選：A【方法總結(jié)】導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與閉區(qū)間上的最值，設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，求在上的最大值和最小值的步驟如下：求函數(shù)在內(nèi)的極值；將函數(shù))的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值【舉一反三】1(2021全國(guó)課時(shí)練習(xí))函數(shù)y的最大值為( )Ae1BeCe2D10【答案】A【解析】令 當(dāng)時(shí)， ；當(dāng) 時(shí) ， 所以函數(shù)得極大值為 ，因?yàn)樵诙x域內(nèi)只有一個(gè)極值，所以故選：A.2.(2021平羅中學(xué))已知在與時(shí)取得極值(1)求的值；(2)求的極大值和極小值；(3)求在上的最大值與最小值.【答案】(1)；(2)，；(2)，

8、 【解析】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)樵谂c時(shí)取得極值所以，即，解得所以，(2)由(1)得令得或，令得，即函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在取得極大值，在處取得極小值，所以，(3)由(2)知函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，所以函數(shù)在上的最大值為與最小值為3(2021天津河西區(qū))已知函數(shù).(1)求的極值；(2)求在上的最值.【答案】(1)極大值為，極小值為；(2)最大值為4，最小值為.【解析】(1)，令，解得或，當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：200極大值極小值故當(dāng)時(shí)，取得極大值，；當(dāng)時(shí)，取得極小值，；(2)由(1)可知的極大值為，極小值為，又，因?yàn)?，所以在上的最大值?，最小值為.考向四 已

9、知最值求參數(shù)【例4】(2021南昌市新建一中)已知函數(shù)在處取得極小值，則在的最大值為( )ABCD【答案】B【解析】，則，由題意可得，解得，則，令，可得或，列表如下：極大值極小值所以，函數(shù)的極大值為，極小值為，又，則，所以，.故選：B.【舉一反三】1(2021江蘇)若函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則的取值范圍是( )ABCD【答案】C【解析】，令，解得或；令，解得.故的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以，函數(shù)在處取得極小值，由于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)取到最小值，則，由可得，可得,即，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.2.(2020陜西省子洲中學(xué))若函數(shù)在0，3上的最大值為5，則m=( )A3B4C5

10、D8【答案】C【解析】，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在上的最大值為，則.故選：C.3(2021江蘇單元測(cè)試)已知函數(shù)在上的最大值為，則a的值為( )ABCD【答案】A【解析】由，得，當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞減，若，則單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，解得，不符合題意.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，最大值為，不符合題意.當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減.此時(shí)最大值為，解得，符合題意.故a的值為.故選：A.4(2021全國(guó)課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)在區(qū)間上存在最小值，則a的取值范圍為_【答案】【解析】，時(shí)，或，當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是和，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，所以函數(shù)的極大值點(diǎn)是，極小

11、值點(diǎn)是0，且，那么當(dāng)，解得或， 所以函數(shù)在區(qū)間上存在最小值， 則 ，解得：.故答案為：.強(qiáng)化練習(xí)一、單選題1(2021河南平頂山市)已知函數(shù)有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是( )ABCD【答案】A【解析】由條件得，令，可得解集為令，可得解集為則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，要使有3個(gè)不同的零點(diǎn)，則，所以.故選：A2(2020福建莆田市高三其他模擬)已知函數(shù)，則“”是“有極值”的( )A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件【答案】C【解析】若“有極值”，則有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根，所以，解得，當(dāng)時(shí)，令可得，此時(shí)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以“”可以推出“有極值”

12、，所以“”是“有極值”的充要條件.故選：C3(2021寧夏吳忠市高三一模(文)若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為( )ABCD【答案】C【解析】令，則，令，則由知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以若函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為故選：C4(2020安徽六安市六安二中)若函數(shù)yx3x2m在-2，1上的最大值為，則m等于( )A0B1C2D【答案】C【解析】，易知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)或時(shí)，所以函數(shù)yx3x2m在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以最大值為，解得.故選：C5(2021江蘇高二)函數(shù)的極小值是_【答案】【解析】函數(shù)的f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)，令0，解得x1，由x1可

13、得f(x)0，函數(shù)單調(diào)遞增，由x1，可得f(x)0，函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)取得極小值f(1) ，故答案為：6(2021江蘇泰州市泰州中學(xué))函數(shù)在處取得極值10，則_.【答案】【解析】由題意，函數(shù)，可得，因?yàn)樵谔幦〉脴O值10，可得，解得或，檢驗(yàn)知，當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)為極值點(diǎn)，不符合題意，(舍去)；當(dāng)時(shí)，可得，當(dāng)或時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，符合題意.所以.故答案為：.7(2021安徽宿州市)已知函數(shù)在，時(shí)取得極小值0，則_【答案】11【解析】依題意可得即解得或當(dāng)，時(shí)函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)無極值，故舍去；所以，所以故答案為：8(2021全國(guó)課時(shí)

14、練習(xí))已知函數(shù)在上存在極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.【答案】或【解析】由題可知：，因?yàn)楹瘮?shù)在上存在極值點(diǎn)，所以有解所以，則或當(dāng)或時(shí)，函數(shù)與軸只有一個(gè)交點(diǎn)，即所以函數(shù)在單調(diào)遞增，沒有極值點(diǎn)，故舍去所以或，即或故答案為：或9(2021河南鄭州市高三一模(理)已知，若存在極小值，則的取值范圍是_【答案】【解析】，若存在極小值，則存在極小值，所以方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，所以，解得：，所以的取值范圍是，故答案為：10(2020遼寧沈陽市高三月考)函數(shù)(，)在區(qū)間上存在極大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_【答案】【解析】設(shè)，令，解得，即在上單調(diào)遞增；令，解得，即在上單調(diào)遞減；且，又，則當(dāng)，即時(shí)，先增后減，即函數(shù)存

15、在極大值故答案為：11(2021全國(guó)課時(shí)練習(xí))若函數(shù)在區(qū)間上有極大值，則的取值范圍是_.【答案】【解析】由得，所以在和上，在上，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極大值，若函數(shù)在區(qū)間上有極大值，則a1，解得-1a1，則的取值范圍是，故答案為： .12(2021南昌市江西師大附中)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.【答案】【解析】由題可知： 所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故函數(shù)的極大值為 .所以在開區(qū)間內(nèi)的最大值一定是又， 所以 得實(shí)數(shù)的取值范圍是故答案為：13(2020通榆縣第一中學(xué)校高三月考(文)若函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_.【答案】【

16、解析】由題意得：，令解得；令解得或，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，故函數(shù)在處取到極大值2，所以極大值必是區(qū)間上的最大值，解得.檢驗(yàn)滿足題意故答案為：.14(2021定遠(yuǎn)縣育才學(xué)校4)已知函數(shù)在處有極值.(1)求實(shí)數(shù)、的值；(2)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，并求極值.【答案】(1)，；(2)單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，極小值，無極大值.【解析】(1)由，知.又在處有極值，則，即，.(2)由(1)可知，定義域?yàn)椋?令，則(舍去)或；當(dāng)變化時(shí)，的變化情況如表：1-0+極小值函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，且函數(shù)在定義域上有極小值，而無極大值.15(2021江蘇單元測(cè)試)已知函數(shù)

17、(1)當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)f(x)的極大值；(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；【答案】(1)極大值為；(2)答案見解析.【解析】函數(shù)的定義域?yàn)?1)當(dāng)時(shí)，令得 列表：10極大值所以的極大值為(1)(2)令得，記()當(dāng)時(shí)，所以單調(diào)減區(qū)間為； ()當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)減當(dāng)時(shí)，由得，若，則，由，得，；由，得所以，的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，； 若，由(1)知單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；若，則，由，得；由，得的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為綜上可得，當(dāng)時(shí)，單調(diào)減區(qū)間為；當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為，；當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為16(2020四川內(nèi)江市高三一模(理)已知函數(shù)，若在處與直線相切.(

18、1)求，的值；(2)求在上的極值.【答案】(1)；(2)極大值為，無極小值.【解析】(1)由題意，函數(shù)，可得，因?yàn)楹瘮?shù)在處與直線相切，所以，即，解得.(2)由(1)得，定義域?yàn)椋?，令，得，令，?所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在上的極大值為，無極小值.17(2020四川成都市華陽中學(xué)高二期中(文)已知函數(shù)，曲線過點(diǎn).(1)求函數(shù)解析式.(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值.【答案】(1)；(2)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極大值為.【解析】(1)由過點(diǎn)得，即，所以.(2)由(1)知，令，令，SY在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，極大值為，無極小值.18(2020莆田第十五中學(xué)高三期中(理)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；(2)討