2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修4-5學(xué)案：第一講一3.三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式含解析

1、3.三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式1.探索并了解三個(gè)正數(shù)的算術(shù)一幾何平均不等式的證明過(guò)程.2.會(huì)用平均不等式求一些式子或函數(shù)的最大（?。┲?3.會(huì)用平均不等式解決實(shí)際中的應(yīng)用問(wèn)題.預(yù)習(xí)案酯主學(xué)習(xí)_T星二思考.裳鎮(zhèn)一T*,學(xué)生用書(shū)P9）新知提煉，.三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式（定理3）如果a, b, cC R+,那么a + b+c孤瓦，當(dāng)且僅當(dāng)a= b=c時(shí)，等號(hào)成立.3.基本不等式的推廣對(duì)于n個(gè)正數(shù)ai,a2,，a*它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均，即a1+a1 2+ + annaia2an,當(dāng)且僅當(dāng) 3i= a2= , = an時(shí)，等號(hào)成立.一一a自我嘗試， TOC o 1-5 h z

2、.判斷（正確的打“，”，錯(cuò)誤的打“X”）（1）任意n個(gè)數(shù)的算術(shù)平均值不小于它們的幾何平均值.（）（2）紅土匣nanjn/a1a2,an只對(duì) n = 2和n= 3的情形適用.（）（3）算數(shù)-幾何平均不等式是針對(duì) n個(gè)正數(shù)而言的，否則不一定成立.（）答案：（1）X（2）X （3）V.若a, b, c都是正數(shù)且a+b+c=6,則abc的最大值為（）A. 2B. 27C. 8D. 3解析：選 C.因?yàn)?a0, b0, c0, a+b+c=6,所以 abcbcd,求證:【證明】 因?yàn)閍bcd,所以 ab0)b c0)cd0)a d0)所以a b b c c d(a-d)3*x 3yj_(a b) ( b

3、 c) ( c d) = 9,ab b c cd卜J, a b b c cd a d即當(dāng)且僅當(dāng)ab= bc=cd時(shí)，等號(hào)成立.等號(hào)成立的條件是所以2x+x2 2xy+ y產(chǎn) 2y+3.證明不等式的方法,看是否滿足“一正、二定、(1)首先觀察所要證的式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及題目所給條件 相等”的條件.若滿足即可利用平均不等式證明.(2)若題目不滿足該條件，則可靈活利用已知條件構(gòu)造出能利用三個(gè)正數(shù)的平均不等式 的式子.過(guò)跟蹤訓(xùn)箍 1.已知 x0, y0,證明：(1 + x+ y2)(1 + x2+y)9xy.證明：因?yàn)閤0, y 0,所以 1 + x+ y2 3-3/xy2 0,1 + x2+ y 33x

4、2y 0,故(1 + x+ y2)(1 + x2 + y) 33/xy2 33x2y= 9xy. TOC o 1-5 h z ，、1c C2.已知 x, y 均為正數(shù)，且 xy,求證：2x+2xy+y22y+3.證明：因?yàn)?x0, y0, x y0,一,1所以 2x+ -2 -2- 2y一， 、1=2(xy)+7P1= (x-y) + (x-y) + (x-y)2_2= x y,即 x y= 1.(x y)=3231(x-y)探究點(diǎn)2 利用三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式求最值學(xué)生用書(shū)P104.一一求函數(shù)y=x+ . 1)2(x1)的最小值. TOC o 1-5 h z 一. 4【解】因?yàn)?x1

5、, 所以 x- 10, y=x+；(x-1) 2二211)+ %下 +1c 3 113、/2(x1) 2(x-1):當(dāng)且僅當(dāng)-1) =2(x-1)=2 , (x1)即x= 3時(shí)等號(hào)成立.即 ymin = 4.反思愜升用平均不等式求最值的注意點(diǎn)(1)應(yīng)用平均不等式，要注意三個(gè)條件，即“一正、二定、三相等”同時(shí)具備時(shí),獲得定值需要一定的技巧取得最值.其中定值條件決定著平均不等式應(yīng)用的可行性系數(shù)、拆項(xiàng)、分離常數(shù)、平方變形等.(2)當(dāng)不具備使用平均不等式的條件時(shí),求函數(shù)的最值可考慮利用函數(shù)的單調(diào)性.1跟跆訓(xùn)練若x0，求函數(shù)y= 4x2+1的最小值解：因?yàn)閤0, 2 1211所以 y=4x +x= 4x

6、+2x+2x34xk224 k22 .22U=3.； 2x 2x21當(dāng)且僅當(dāng)4x=2x(x0),即x=所以當(dāng)1皿x=2時(shí),y=4x2+X(x0)的最小值為 3.探究點(diǎn)3 應(yīng)用三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式解決實(shí)際問(wèn)題學(xué)生用書(shū)例3|如圖所示，在一張半徑是 掛得太高，桌子邊緣處的亮度就?。?米的圓桌的正中央上空掛一盞電燈.眾所周知,掛得太低，桌子的邊緣處仍然是不亮的.桌子邊緣一點(diǎn)處的燈光亮度E和電燈射到桌子邊緣的光線與桌子的夾角P10燈由物理學(xué)知道, 0的正弦成正比，而和這一點(diǎn)到光源的距離r的平方成反比，即 E=ksT,這里k是一個(gè)和燈光強(qiáng)度有關(guān)的常數(shù)，那么究竟應(yīng)該怎樣選擇燈的高度h,才能使桌子邊

7、緣處最亮?【解】 因?yàn)閞= 一，cos 02也a l , sin (cos式k2 2sin2 0+ cos2 0+ cos2 32 I03 / )108.所以 E=k 一4(00, y0, z0,且 4(x+ y+ z)= 72,即 x+ y+z= 18.所以體積 V=xyzW；+ zJ=作;=216.當(dāng)且僅當(dāng) x=y=z= 6 時(shí)，Vmax=216.因此當(dāng)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高均為 6 cm時(shí)，其體積最大，最大值為216 cm3.2.已知圓錐的底面半徑為R,高為H,求圓錐的內(nèi)接圓柱體的高h(yuǎn)為何值時(shí)，圓柱的體積最大？并求出這個(gè)最大的體積.解：設(shè)圓柱體的底面半徑為 r,如圖，由相似三角形的性質(zhì)可得

8、HJ =, H R所以 r = R(H-h).所以V圓柱=4飛 = 等田一h)2h(0hVObC的理解 3(1)在不等式中a, b, c的范圍是a0, b0, c0 ,等號(hào)成立的條件是 a=b=c.(2)a+ :+ abc與，； /Ob都是01土鬼土 土里拉班佬an的特例，它們統(tǒng)稱為均 32n值不等式.因此與基本不等式的應(yīng)用是一樣的.(3)將不等式a3+b3+c33abc中的a, b, c分別以 北，證,加代替就可得到 弋十。3 3 abc.定理3的兩個(gè)推論(1)當(dāng)abc為定值時(shí)：a+ b + c3Vabc,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào).（2）當(dāng)a+b+c為定值時(shí)：abcw，+ :+ C，當(dāng)且僅

9、當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào).用定理3求最值時(shí)的關(guān)注點(diǎn)一 “正”：項(xiàng)或因式為正.二“定”：項(xiàng)（因式）的和或積為定值.三“相等”：各項(xiàng)相等或各因式相等時(shí)等號(hào)成立. 當(dāng)堂檢測(cè).正實(shí)數(shù)x, y, z滿足xyz= 2,則（）x+y+z的最大值是3小x+y+z的最大值是33/2x+y+z的最小值是3mx+y+z的最小值是33/2解析：選D.由三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式，得x + y + z3xyz=3%f2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y= z= 3/2時(shí)，x+ y + z取得最小值3*. TOC o 1-5 h z 2.設(shè)a, bCR+,且a+b=3,則ab2的最大值為（）A. 2B. 3C. 4D. 6解析：選C.因?yàn)閍b2=4axbxb2 2b b b X0,則 x2（12x） = x x（1 _ 2x） w 卜 +x+ （ 1_2x_ Y = + = *.當(dāng)且僅當(dāng) x=1 2x,即 x=T時(shí)_33273等號(hào)成立.故x2（12x）的最大值為27.,1答案：27.4 , 一，一.當(dāng)x0時(shí)，（1）求丫=*+ /的最小值.x27,(2)求y=x + /的最小值.4_2X十X- 2+X- 24斛：（1）因?yàn)閤0 ,所以y=x+ xx 42尸.x 4 一當(dāng)且僅當(dāng)2=2,即x=2時(shí)，ymin=3.(2)因?yàn)?x0,所以 y=x+ 27 = 3+3+x+27X 3 3 3 x一，I x 27 一