高考數(shù)學(xué)排列組合二項(xiàng)式定理概率

1、第15講排列組合二項(xiàng)式定理和概率一、知識(shí)整合二、考試要求： TOC o 1-5 h z .掌握分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理，并能用它們分析和解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題.理解排列的意義，掌握排列數(shù)計(jì)算公式，并能用它解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題.理解組合的意義，掌握組合數(shù)計(jì)算公式和組合數(shù)的性質(zhì)，并能用它們解決一些簡(jiǎn)單的應(yīng)用問(wèn)題.掌握二項(xiàng)式定理和二項(xiàng)展開式的性質(zhì)，并能用它們計(jì)算和證明一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題. 了解隨機(jī)事件的發(fā)生存在著規(guī)律性和隨機(jī)事件概率的意義. 了解等可能性事件的概率的意義，會(huì)用排列組合的基本公式計(jì)算一些等可能性事件的概率. 了解互斥事件、相互獨(dú)立事件的意義，會(huì)用互斥事件的概率加法公式與相互獨(dú)立事件的概

2、率乘 法公式計(jì)算一些事件的概率 .會(huì)計(jì)算事件在 n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率.I、隨機(jī)事件的概率例1某商業(yè)銀行為儲(chǔ)戶提供的密碼有0, 1, 2,，9中的6個(gè)數(shù)字組成.(1)某人隨意按下6個(gè)數(shù)字，按對(duì)自己的儲(chǔ)蓄卡的密碼的概率是多少？(2)某人忘記了自己儲(chǔ)蓄卡的第6位數(shù)字，隨意按下一個(gè)數(shù)字進(jìn)行試驗(yàn)，按對(duì)自己的密碼的概率是多少？解(1)儲(chǔ)蓄卡上的數(shù)字是可以重復(fù)的，每一個(gè)6位密碼上的每一個(gè)數(shù)字都有0, 1, 2,，9這10種,16正確的結(jié)果有1種，其概率為 一，隨意按下6個(gè)數(shù)字相當(dāng)于隨意按下 106個(gè)，隨意按下6個(gè)數(shù)字 10661相當(dāng)于隨意按下10個(gè)密碼之一，其概率是 一6 .10(2)以該人

3、記憶自己的儲(chǔ)蓄卡上的密碼在前5個(gè)正確的前提下， 隨意按下一個(gè)數(shù)字， 等可能性的結(jié)果為0,1, 2,，9這10種，正確的結(jié)果有 1種，其概率為 .10例2 一個(gè)口袋內(nèi)有 m個(gè)白球和n個(gè)黑球，從中任取 3個(gè)球，這3個(gè)球恰好是2白1黑的概率是多少？(用組合數(shù)表示)解 設(shè)事件I是從m個(gè)白球和n個(gè)黑球中任選 3個(gè)球”，要對(duì)應(yīng)集合 11,事件A是從m個(gè)白球中任選2個(gè)球，從n個(gè)黑球中任選一個(gè)球”，本題是等可能性事件問(wèn)題，且 Card(I 1)=Cm n,Card (A)Cm *于是由瑞Cm c：C：nn、互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率例3在20件產(chǎn)品中有15件正品，5件次品，從中任取 3件，求： (1)恰有1件次

4、品的概率；(2)至少有1件次品的概率.解(1)從20件產(chǎn)品中任取3件的取法有C；0,其中恰有1件次品的取法為 c；c5 C沁35恰有一件次品的概率P= 3.C3076(2)法一從20件產(chǎn)品中任取3件，其中恰有1件次品為事件 A,恰有2件次品為事件 A, 3件全是 次品為事件A3,則它們的概率21C15C5 105P(A1)= 手=P(A2)C202282 1_CT 228, P(A3)C32Co 228，而事件Ai、隧、A3彼此互斥，因此3件中至少有1件次品的概率P(Ai+A+A3)=P(A i)+P(A 2)+P(A 3)=137228法二記從20件產(chǎn)品中任取 3件,3件全是正品為事件 A,

5、那么任取3件，至少有C3根據(jù)對(duì)立事件的概率加法公式P( A)= 1 P(A) 1 TC20137228例4 1副撲克牌有紅桃、黑桃、梅花、方塊 4種花色，每種 取4張，求4張中至少有3張黑桃的概率.13張，共52張，從1副洗好的牌中任解 從52張牌中任取4張，有C；2種取法.“4張中至少有3張黑桃”，可分為“恰有3張黑桃”和“ 4張全是黑桃”，共有 C13 c39 c：種取法C13 C39C13C2注研究至少情況時(shí)，分類要清楚。田、相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率 例5獵人在距離100米處射擊一野兔，其命中率為，如果第一次射擊未中，則獵人進(jìn)行第二次射擊，但200米.已距離150米.如果第二次射擊又未

6、中，則獵人進(jìn)行第三次射擊，并且在發(fā)射瞬間距離為知獵人的命中概率與距離的平方成反比，求獵人命中野兔的概率解記三次射擊依次為事件 A, B, C,其中P(A)11一,由一P(A)22k i.2 ,求得 k=5000。1005000 2P(B) 2 - , P(C)1502 9500022002例6 要制造一種機(jī)器零件，甲機(jī)床廢品率為, 造的產(chǎn)品中，分別任意抽取一件，求：(1)其中至少有一件廢品的概率；1 人, 命中野兔的概率為8而乙機(jī)床廢品率為，而它們的生產(chǎn)是獨(dú)立的，從它們制(2)其中至多有一件廢品的概率解：設(shè)事件A為“從甲機(jī)床抽得的一件是廢品”；B為“從乙機(jī)床抽得的一件是廢品”則 P (A) =

7、, P(B)=,(1)至少有一件廢品的概率(2)至多有一件廢品的概率IV、概率內(nèi)容的新概念較多，本課時(shí)就學(xué)生易犯錯(cuò)誤作如下歸納總結(jié):類型一非等可能”與 等可能”混同例1擲兩枚骰子，求所得的點(diǎn)數(shù)之和為6的概率.1錯(cuò)解 擲兩枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和2, 3, 4,，12共11種基本事件，所以概率為P= 11剖析 以上11種基本事件不是等可能的，如點(diǎn)數(shù)和2只有(1, 1),而點(diǎn)數(shù)之和為 6有(1, 5)、(2, 4)、(3,3)、(4, 2)、(5, 1)共5種.事實(shí)上，擲兩枚骰子共有36種基本事件，且是等可能的，所以“所 5得點(diǎn)數(shù)之和為6”的概率為P=.36類型二互斥”與對(duì)立混同例2把紅、黑、白、藍(lán)

8、4張紙牌隨機(jī)地分給甲、乙、丙、丁 4個(gè)人，每個(gè)人分得 1張，事件甲分得紅 牌”與“乙分得紅牌”是()A ,對(duì)立事件B.不可能事件C.互斥但不對(duì)立事件D.以上均不對(duì)錯(cuò)解 A剖析 本題錯(cuò)誤的原因在于把互斥”與對(duì)立混同，二者的聯(lián)系與區(qū)別主要體現(xiàn)在：(1)兩事件對(duì)立，必定互斥，但互斥未必對(duì)立；(2)互斥概念適用于多個(gè)事件，但對(duì)立概念只適用于兩個(gè)事件；(3)兩個(gè)事件互斥只表明這兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，即至多只能發(fā)生其中一個(gè)，但可以都不發(fā)生；而兩事件對(duì)立則表示它們有且僅有一個(gè)發(fā)生.事件 甲分得紅牌”與 乙分得紅牌”是不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，這兩個(gè)事件可能恰有一個(gè)發(fā)生， 一個(gè)不發(fā)生，可能兩個(gè)都不發(fā)生，所以應(yīng)選

9、 C.類型三 互斥”與獨(dú)立混同例3甲投籃命中率為 O. 8,乙投籃命中率為，每人投 3次，兩人恰好都命中 2次的概率是多少？錯(cuò)解 設(shè)甲恰好投中兩次”為事件A,上恰好投中兩次” 為事件B,則兩人都恰好投中兩次為事件A+B,2222P(A+B)=P(A)+P(B) : C3 0.8 0.2 C30.70.3 0.825剖析本題錯(cuò)誤的原因是把相互獨(dú)立同時(shí)發(fā)生的事件當(dāng)成互斥事件來(lái)考慮，將兩人都恰好投中2次理解為 甲恰好投中兩次”與 乙恰好投中兩次”的和.互斥事件是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生；兩事件 相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生與否沒有影響，它們雖然都描繪了兩個(gè)事件 間的關(guān)系，但所描繪的

10、關(guān)系是根本不同.解： 設(shè) 甲恰好投中兩次”為事件A,乙恰好投中兩次”為事件 B,且A, B相互獨(dú)立， 則兩人都恰好投中兩次為事件A B,于是P(A -B)=P(A)XP(B)=四、高考題選講1甲、乙二人參加普法知識(shí)競(jìng)賽，共有10個(gè)不同的題目，其中選擇題6個(gè)，判斷題4個(gè)，甲、乙二人依次各抽一題.(I )甲抽到選擇題、乙抽到判斷題的概率是多少？(n)甲、乙二人中至少有一人抽到選擇題的概率是多少？(2000年新課程卷)2如圖，用A、B、C三類不同的元件連接成兩個(gè)系統(tǒng)Ni、N2.當(dāng)元件A、B、C都正常工作時(shí)，系統(tǒng)Ni正常工作；當(dāng)元件A正常工作且元件 B、C至少有一個(gè)正常工作時(shí)，系統(tǒng)N2正常工作.已知

11、元件A、B、C正常工作的概率依次為，,.分別求系統(tǒng) Ni、N2正常工作的概率 Pi、P2. (2001 年新課程卷)3某單位6個(gè)員工借助互聯(lián)網(wǎng)開展工作，每個(gè)員工上網(wǎng)的概率都是(相互獨(dú)立)(I)求至少 3人同時(shí)上網(wǎng)的概率;(n)至少幾人同時(shí)上網(wǎng)的概率小于?(2002年新課程卷)4有三種產(chǎn)品，合格率分別是，和，各抽取一件進(jìn)行檢驗(yàn)(I )求恰有一件不合格的概率;(n)求至少有兩件不合格的概率.(精確到)(2003年新課程卷)5.從10位同學(xué)(其中6女，4男)中隨機(jī)選出 3位參加測(cè)驗(yàn).每位女同學(xué)能通過(guò)測(cè)驗(yàn)的概率均為 3位男同學(xué)能通過(guò)測(cè)驗(yàn)的概率均為-試求：5(I)選出的3位同學(xué)中，至少有一位男同學(xué)的概率

12、;d) io位同學(xué)中的女同學(xué)甲和男同學(xué)乙同時(shí)被選中且通過(guò)測(cè)驗(yàn)的概率(2004年全國(guó)卷I )解：本小題主要考查組合，概率等基本概念,解決實(shí)際問(wèn)題的能力，滿分12分.解：(I)隨機(jī)選出的 3位同學(xué)中,獨(dú)立事件和互斥事件的概率以及運(yùn)用概率知識(shí)至少有一位男同學(xué)的概率為Cl5；C306(n)甲、乙被選中且能通過(guò)測(cè)驗(yàn)的概率為C1C8C3C1012分6.已知8支球隊(duì)中有5 125支弱隊(duì)，以抽簽方式將這 8支球隊(duì)分為 A、B兩組，每組4支.求:(I ) A、B兩組中有一組恰有兩支弱隊(duì)的概率;(n) A組中至少有兩支弱隊(duì)的概率(2004年全國(guó)卷n解：(I)解法一：三支弱隊(duì)在同一組的概率為c5C：c5C；故有一組

13、恰有兩支弱隊(duì)的概率為解法二：有一組恰有兩支弱隊(duì)的概率典C84C；C；C；(n)解法一：A組中至少有兩支弱隊(duì)的概率c；c5C84C84解法二：A、B兩組有一組至少有兩支弱隊(duì)的概率為1,由于對(duì)1A組和B組來(lái)說(shuō)，至少有兩支弱隊(duì)的概率是相同的，所以 A組中至少有兩支弱隊(duì)的概率為.某同學(xué)參加科普知識(shí)競(jìng)賽，需回答3個(gè)問(wèn)題.競(jìng)賽規(guī)則規(guī)定：答對(duì)第一、二、三問(wèn)題分別得100分、100分、200分，答錯(cuò)得零分.假設(shè)這名同學(xué)答對(duì)第一、二、三個(gè)問(wèn)題的概率分別為、，且各題答對(duì)與否相互之間沒有影響.(I )求這名同學(xué)得 300分的概率；(n)求這名同學(xué)至少得300分的概率.(2004年全國(guó)卷田).從4名男生和2名女生中任

14、選3人參加演講比賽.(I )求所選3人都是男生的概率；(n)求所選3人中恰有1名女生的概率；(田)求所選 3人中至少有1名女生的概率.(2004年天津卷).某地區(qū)有5個(gè)工廠，由于用電緊缺，規(guī)定每個(gè)工廠在一周內(nèi)必須選擇某一天停電(選哪一天是等可能的).假定工廠之間的選擇互不影響(I )求5個(gè)工廠均選擇星期日停電的概率;(n)求至少有兩個(gè)工廠選擇同一天停電的概率(2004年浙江卷)10.甲、乙兩人參加一次英語(yǔ)口語(yǔ)考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對(duì)其中的 6題，乙能答對(duì)其中的8題.規(guī)定每次考試都從備選題中隨機(jī)抽出3題進(jìn)行測(cè)試，至少答對(duì) 2題才算合格(I )分別求甲、乙兩人考試合格的概率；(II

15、)求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率(2004年福建卷)11.甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的1零件不是一等品的概率為一，乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為4 TOC o 1-5 h z 工，甲、丙兩臺(tái)機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為-.129(I)分別求甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)床各自加工零件是一等品的概率；(n)從甲、乙、丙加工的零件中各取一個(gè)檢驗(yàn)，求至少有一個(gè)一等品的概率(2004年湖南卷).為防止某突發(fā)事件發(fā)生，有甲、乙、丙、丁四種相互獨(dú)立的預(yù)防措施可供采用，單獨(dú)采用甲、乙、丙、丁預(yù)防措施后此突發(fā)事件不發(fā)生的概率(

16、記為P)和所需費(fèi)用如下：預(yù)防措施甲乙丙丁P費(fèi)用(力兀)90603010120萬(wàn)元的前預(yù)防方案可單獨(dú)采用一種預(yù)防措施或聯(lián)合采用幾種預(yù)防措施，在總費(fèi)用不超過(guò)提下，請(qǐng)確定一個(gè)預(yù)防方案，使得此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大.（2004年湖北卷）解：方案1 :單獨(dú)采用一種預(yù)防措施的費(fèi)用均不超過(guò)120萬(wàn)元.由表可知，采用甲措施，可使此突發(fā) TOC o 1-5 h z 事件不發(fā)生的概率最大，其概率為.方案2:聯(lián)合采用兩種預(yù)防措施，費(fèi)用不超過(guò) 120萬(wàn)元，由表可知.聯(lián)合甲、丙兩種預(yù)防措施可使此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大，其概率為1 （1 （1 =.方法3:聯(lián)合采用三種預(yù)防措施，費(fèi)用不超過(guò) 120萬(wàn)元，故只能聯(lián)合乙、丙

17、、丁三種預(yù)防措施，此時(shí)突發(fā)事件不發(fā)生的概率為1（1一） （1 （1=1 =.綜合上述三種預(yù)防方案可知，在總費(fèi)用不超過(guò)120萬(wàn)元的前提下，聯(lián)合使用乙、丙、丁三種預(yù)防措施可使此突發(fā)事件不發(fā)生的概率最大.設(shè)甲、乙、丙三人每次射擊命中目標(biāo)的概率分別為、和 （I）三人各向目標(biāo)射擊一次，求至少有一人命中目標(biāo)的概率及恰有兩人命中目標(biāo)概率；（n）若甲單獨(dú)向目標(biāo)射擊三次，求他恰好命中兩次的概率.（2004年重慶卷）14.從數(shù)字1, 2, 3, 4, 5,中，隨機(jī)抽取3個(gè)數(shù)字（允許重復(fù)）組成一個(gè)三位數(shù)，其各位數(shù)字之和等于9的概率為A.尤12515.（本小題滿分B.16125一接待中心有12分)A、B、C、D四部熱

18、線電話，已知某一時(shí)刻電話A B占線的概率均為，電話 C、D占線的概率均為，各部電話是否占線相互之間沒有影響.假設(shè)該時(shí)刻有H部電話占線 .試求隨機(jī)變量H的概率分布和它的期望解：本小題主要考查離散型隨機(jī)變量分布列和數(shù)學(xué)期望等概念 滿分12分.考查運(yùn)用概率知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力解：P( H =0)= HYPERLINK l bookmark71 o Current Document 11P(2=1)= C2 x x+ C2 x x x =2112P( H =2)= C2 x x+ C2 C2 x x x+ C2 x x =.2112P(七=3)= C2 C2 x x x+ C2 C2 x x =P( H =4)=01234P于是得到隨機(jī)變量E的概率分布列為:所以 E H =0X+1X+2X+3X+4X=.從 1, 2,A. 59.在由數(shù)字的數(shù)共有A. 56 個(gè).某工廠生產(chǎn) 個(gè)容量為1, 2,9這九個(gè)數(shù)中，隨機(jī)抽取493個(gè)不同的數(shù)，則這 3個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)的概率是（ C ）11213, 4, 5組成的所有沒有重復(fù)數(shù)字的c 10