高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)折疊與展開(kāi)問(wèn)題專(zhuān)題

1、2008高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 折疊與展開(kāi)問(wèn)題專(zhuān)題割形、補(bǔ)形、展開(kāi)、折登、內(nèi)切、外接、（簡(jiǎn)稱(chēng)為割、補(bǔ)、展、聾、切、接） 考察空間想像力。題目多變，有意思、有趣味、有回味。方法巧妙，構(gòu)思新奇。 將平面圖形的一部分按題目所給條件翻折，就使一個(gè)平面圖形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成一 個(gè)立體圖形的問(wèn)題，由此得出一類(lèi)立體幾何題，如空間元素間的位置關(guān)系的 判定與證明，元素間的距離的大小及成角的大小的計(jì)算等.因此：折疊和展 開(kāi)是培養(yǎng)和訓(xùn)練空間想象能力和“轉(zhuǎn)化”思想方法的好題材.例題1 （2006年山東）如圖，在等腰梯形 ABCLfr, AB=2DC=2/DAB=60 ,E為AB的中點(diǎn)，ADEtABEC分另J沿ED.P- DCEE棱錐

2、的外接球的體積為A.巨 b, L 亙 D.EC向上折起，使A B重合于點(diǎn)P,則）解：由題意可知，折疊后的三棱錐為正四面體, CDE 的高為PH,球心為 O,則千心O在PH上。在原圖正CDE中，求得DH =3在折疊后的圖形中，利用直角 PDH求得PH =11,設(shè)球的半徑為OH = 一 R,在直角 ODH 中，由 R2 = |得R =迫故V /逅=近。 4348點(diǎn)撥：本題以折疊問(wèn)題為載體，考查多面體（正四面體）的外接球問(wèn)題（簡(jiǎn)單幾何體 的組合問(wèn)題），能力要求較高，體現(xiàn)了最新考試大綱“要構(gòu)造有一定的 深度和廣度的數(shù)學(xué)問(wèn)題”的高考命題要求。這類(lèi)題型我們要引起足夠的重 視，如2006年江蘇卷第19題、遼

3、寧卷理科第18題和文科第19題都是以平 面圖形的折疊問(wèn)題為載體考查立體幾何知識(shí)，成為試卷的把關(guān)題。例題2水平桌面a上放有4個(gè)半徑均為2R的球，且相鄰的球都相切（球心的連線 構(gòu)成正方形）,在這4個(gè)球的上面放1個(gè)半徑為R的小球，它和下面4個(gè)球恰好都相切，則小球的球心到水平桌面 a的距離是解：水平桌面a上放有4個(gè)半徑均為2R的球，且相鄰的球都相切（球心的連線構(gòu) 成正方形）.在這4個(gè)球的上面放1個(gè)半徑為R的小球，它和下面4個(gè)球恰好 都相切，5個(gè)球心組成一個(gè)正四棱錐，這個(gè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為4R,側(cè)棱長(zhǎng)為3R,求得它的高為R,所以小球的球心到水平桌面 a的距離是3R.說(shuō)明：本題是空間圖形的壘疊問(wèn)題例題3

4、 （2005年湖南卷）如圖1,已知ABC比上、下底邊長(zhǎng)分別為 2和6,高為J3的等腰梯形，將它沿對(duì)稱(chēng)軸 OO折成直二面角，如圖 2。（I ）證明：ACL BO;（II ）、由（I） AC BO, OCL BO,知 BOL平面 AOC 設(shè) OOH OB=E,過(guò)點(diǎn) E 作 EFL AC 于F,連結(jié)OF （如圖3）,則EF是OF在平面AOCft的射影，由三垂線定理得 OFAG所以/ OFE是二面角0-AC-。的平面角。從而將求二面角的大小轉(zhuǎn) 化為求直角三角形中/ OFE的大小。小結(jié)：本題以一個(gè)折疊問(wèn)題為載體，不落俗套，以圖形變換的方式考查考生空間想象能力。兩種解法均體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的思想，解法1體現(xiàn)

5、了將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題的降維思想，而解法2則是將幾何問(wèn)題的求解轉(zhuǎn)化為空間向量的計(jì)算，體現(xiàn)了幾何問(wèn)題的代數(shù)化的思想。兩種解法均充分體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法在解題中的威力！例題4 2005年上海卷理科11題：有兩個(gè)相同 2的直二棱柱，圖為，底面二角形的二a邊長(zhǎng)分別為3a,4 a,5a(a 0)。用它們拼 成一個(gè)三棱柱或四棱柱，在所有可能的 情形中，表面積最小的是一個(gè)四棱柱， 則a的取值范圍是 o小結(jié)：(1)本題研究空間圖形的拼接問(wèn)題(2)該題不僅考查了學(xué)生的觀察能力、動(dòng)手操作能力，也注意了學(xué)科內(nèi)的綜合考查。例題5 側(cè)棱長(zhǎng)為4,3的正四棱錐V-ABC中，/ AVBW BVCW CVD=/DVA

6、=30,過(guò)A作截面AEF前棱分別交于E、F、G點(diǎn)，則截面四邊形AEFG勺周長(zhǎng)的最小值為 12 o提示：利用側(cè)面展開(kāi)圖展成一個(gè)平面圖形即可.學(xué)生練習(xí)：正三棱錐A-BCD面邊長(zhǎng)為a,側(cè)棱長(zhǎng)為2a。過(guò)B點(diǎn)作與側(cè)棱AC AD 都相交的截面(如下左圖)。當(dāng)截面三角形周長(zhǎng)最小時(shí)，求其截面的面積。解 沿側(cè)棱AB把三棱錐A-BCD的側(cè)面展開(kāi)(如上右圖)。則BE, EF, FB為截面 BEF的三邊，欲使截面三角形的周長(zhǎng)最小，由平面幾何知識(shí)知，須B, E, F,B共線，即線段BB為周長(zhǎng)最小時(shí)的截線展開(kāi)圖。易知 BE=B F, EF/ CD ABC曰AAB(CAAEF 于是 TOC o 1-5 h z /133BE

7、 =B F = BC =a,CE =DF =a,AE =AF = a,所以 EF = a , HYPERLINK l bookmark87 o Current Document 224 HYPERLINK l bookmark43 o Current Document 設(shè)EF的中點(diǎn)為H,則Ek 1EF= 3a, Bk 史5a 288則當(dāng)截面三角形周長(zhǎng)最小時(shí)截面面積為3.55 2a64例題6直三棱柱ABC-AB1C1的體積為V,又P、 則四棱錐B-APQ說(shuō)體積為Q分別是側(cè)棱AA、CC上的點(diǎn)，且AP=CQ( B )。A、1V B、V C、1V D、1V2345提示：利用割補(bǔ)的辦法求體積。1VB S

8、PQC = 2Vb -AA1cle1 、，、，、=2 (VabC *B1cl Vb*B1c )1 (1)=V V213 )-V3課后練習(xí)題1、將邊長(zhǎng)為a的正方形ABCM AC折起，使得BD=a則三棱錐 D-ABC的體積為(3A. 63B.12C.由a3122 3D. - a提示：這是一個(gè)折疊問(wèn)題，注意折疊前后線線位置關(guān)系，數(shù)量關(guān)系的變化，取AC中點(diǎn)E,連結(jié)BE DE,則BE1AC , DE1AC,故/BED為二面角B AC D的平面角。 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark47 o Current Document BE =-2a, DE =-2a, BD =a

9、,顯然 BE2 DE2 =BD2 22二/BED =90 口，即 BE_LDE,二面角 BAC D 為直二面角AWBE _LACD, BE為面ACD上的高 HYPERLINK l bookmark53 o Current Document /1 Q 口匚 1 /1 22 3，V錐=-sacd BE (a a) ,Va = 77a HYPERLINK l bookmark57 o Current Document 33 22122、矩形ABCD43, AB=3 BC=4,沿對(duì)角線AC將AABC折起，使點(diǎn)B在平面ADC1射影E恰 好落在AD上。(1)求異面直線 AB與CD所成的角的大??；(2)求二

10、面角 B-AC-D的大??；(3)求四面體ABCD勺體積。解：(1)證明：丁點(diǎn)B在平面ADC上的射影E在AD上二 BE _L平面ACD,. BE _LCD又 *：AD_LCD,CD _L 平面ABE 二 CD _L AB 即CD與AB所成的角為90。(2)過(guò)E作EF_LAC于F,連結(jié)FB,由三垂線定理知BF_LAC.上BFE是二面角B-AC -E的平面角經(jīng)計(jì)算，得BF =12, EF =27 (RtAABC中由等積性求出BF,由射影定理 5209求出AF = 9, RtABAE中，由射影定理，求出 EF)5EF 9 TOC o 1-5 h z cosdBFE =BF 1699二/BFE =arc

11、cos,即一面角 BACE 的大小為 arccos161611(3) S ADC CD AD 3 4=622丁 BE_L底面ADC, BE是四面體B ADC的高BE = JBF 2 - EF 22崎215.73、. 720- V B _ADC1-S adc be - 3615、73.7203、一個(gè)正方體紙盒展開(kāi)后如圖，在原正方體紙盒中有下列結(jié)論AB，EF AB與CM成60EF與MN異面直線 MN/CD其中正確的是(A)(D )4、正方體展開(kāi)圖下列各圖形中，有的是正方體的展開(kāi)圖，寫(xiě)出這些圖形的編號(hào)。(3) (6) (8) (9) (12) (14) (16) (17) (19) (20)共 11

12、 個(gè)。5、若圓錐的表面積是15n ,側(cè)面展開(kāi)圖的圓心角是 60,則圓錐的體積是 1解：設(shè)圓錐的底面半徑為r,母線為l ,則2nr = -冗1 ,得l = 6r ,3S=nr2+nr 6r =7nr2=15 冗,得 r =，圓錐的高 h = J356、將正方體的紙盒展開(kāi)(如右圖),直線AB, CD在原來(lái)正方體中的位置關(guān)系是(DA平行BC相交且成60的角25 3=H7)垂直D異面且成60的角C D四點(diǎn)為頂點(diǎn)的正棱錐體積最大時(shí)，直線7、把正方形 ABCDg對(duì)角線AC折起，當(dāng)以A B、BD和平面ABC所成的角的大小為 (C )A 90 B 60 C 45 D 308、2005年高考江西卷 15題15.

13、如圖，在直三棱柱 ABC-AB1C1中，AB=BCERF= V2 ,其中最小值 ER=2就222是所求的說(shuō)明：關(guān)于多面體或旋轉(zhuǎn)體的表面最短路經(jīng)的問(wèn)題，一般都是研究其展開(kāi)圖9、2005年全國(guó)高考1卷4題)(4)如圖，在多面體 ABCDEFK 已知ABC比邊長(zhǎng)為1的正方形，且 AADE、ABCF均為正 三角形，EF/ AB, EF=2,則該多面體的體積為(A) 2L (B) 3L (C) - (D)-3332思路分析：將該幾何體分割成一個(gè)柱體和兩個(gè)錐體，然后再利用柱體和錐體的體積公式求它的體積解：過(guò)A、B兩點(diǎn)分別作 AM BN垂直于EF,垂足分別為 M N,連結(jié)DM CN 可證得 DML EE CN