高考數(shù)學(xué)圓錐曲線及解題技巧

1、橢圓與雙曲線的性質(zhì)橢圓. 點(diǎn)P處的切線 PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的外角. PT平分 PFF2在點(diǎn)P處的外角，則焦點(diǎn)在直線 PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離 TOC o 1-5 h z .以焦點(diǎn)半徑PFi為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓內(nèi)切225.若兄(x0,y0)在橢圓0+與=1上，則過(guò)兄的橢圓的切線方程是 W+*? = 1. a ba b22x y6.右P0(Xo,yo)在橢圓 二十彳=1外，則過(guò)Po作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為P、R,則切點(diǎn)弦a bP1P2的直線方程是等+翠=1. a b22x y .7.橢圓 不+今=1 (a

2、 b0)的左右焦點(diǎn)分別為F F2,點(diǎn)P為橢圓上任意一點(diǎn)a by/F1PF2 = %則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為S與pf2 =b2tan-.22x y. 橢圓 丁+1=1 (ab0)的焦半徑公式：a b|MFi |=a e%, |MF2|=a-e/( FcQ) , F2(c,0) M(x0,y。).設(shè)過(guò)橢圓焦點(diǎn)F作直線與橢圓相交 P、Q兩點(diǎn)，A為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn) F的橢圓準(zhǔn)線于 M N兩點(diǎn)，則MFL NF.。、1212.過(guò)橢圓一個(gè)焦點(diǎn) F的直線與橢圓交于兩點(diǎn) P、Q, Ai、A為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，AP和AQ交于點(diǎn)M AP和AQ交于點(diǎn)N,則MFL NF.2211.x

3、yAB是橢圓二+ =1的不平行于對(duì)稱軸的弦，M(x0, y0)為 AB的中點(diǎn)，則 a bb .kOM kAB 2 ,颯沓 a即 Kab =b2x020a yO12.x y右P)(%,y0)在橢圓t a b22xx . y y _ x0 . yO2 2 一 2. 2 .a b a b=1內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方程是Po的弦中點(diǎn)的軌跡方程是2213.若P)(x),0)在橢圓2_+y_=1內(nèi)，則過(guò) a b2 xa1.2.3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.2y X)xy0y-2 = -2-2b a b雙曲線點(diǎn)P處的切線 PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處的內(nèi)角.PT平分 PF1F2在點(diǎn)P處

4、的內(nèi)角，則焦點(diǎn)在直線 PT上的射影H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直 TOC o 1-5 h z 徑的圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn).以焦點(diǎn)弦PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交.以焦點(diǎn)半徑PF1為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓相切.（內(nèi)切：P在右支；外切：P在左支）22x y 若F0（X0,y。）在雙曲線 F、= 1 （a0,b0）上，則過(guò)F0的雙曲線的切線方程是 a bXoX y0 yFT=1阿薩德.a b22._x y右8（,丫0）在雙曲線 -2 = 1 （a0,b0）外，則過(guò)Po作雙曲線的兩條切線 a b切點(diǎn)為Pi、P2,則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是 粵邛 =1.a b22x y 雙曲線 =_22=1（a0,b

5、o）的左右焦點(diǎn)分別為 F1, F2,點(diǎn)P為雙曲線上任意一 a by點(diǎn)/F1PF2 =，則雙曲線的焦點(diǎn)角形的面積為S占1Pf2 =b2cota .22x y 雙曲線2 -2- =1 （a0,b o）的焦半徑公式：（弓（一60） , F2（c,0） a b當(dāng) M（x0,y0）在右支上時(shí)，IMF1 |=e%+a,|MF2|=ex）a.當(dāng) M（X0,y0）在左支上時(shí)，|MF1 |= -ex） +a, | MF21= e% -a設(shè)過(guò)雙曲線焦點(diǎn) F作直線與雙曲線相交 P、Q兩點(diǎn)，A為雙曲線長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié)AP和AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn) F的雙曲線準(zhǔn)線于 M N兩點(diǎn)，則MF NF.過(guò)雙曲線一個(gè)焦點(diǎn) F的直線

6、與雙曲線交于兩點(diǎn) P、Q, A1、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn),AP和 AQ交于點(diǎn) M, AaP和AQ交于點(diǎn)N,則MF NF. TOC o 1-5 h z 22x yAB是雙曲線 二一看=1 （a0,b0）的不平行于對(duì)稱軸的弦，M（x0 ,y0）為AB的中a b22點(diǎn)，則 Kom Kab = T0，即 K ab = Y0。ay。ay。22若P)(Xg,y0)在雙曲線2一一=1 (a0,b 0)內(nèi)，則被Po所平分的中點(diǎn)弦的方 a b22曰 X0X _ yy = X0 _y飪 21 2-21 2 .a b a bx V13.右R(Xo,yo)在雙曲線 -2-r = 1 (a0,b 0)內(nèi)，則過(guò) Po的

7、弦中點(diǎn)的軌跡萬(wàn)程 a b22星 x y _ XoX VoV2 22 - -2- - 2-2- .a b a b橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)-(會(huì)推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論)橢 圓 TOC o 1-5 h z 22X V一 一.橢圓 = + =1 (abo)的兩個(gè)頂點(diǎn)為 A(a,0), A2(a,0),與y軸平行的直線 a b22交橢圓于P1、及時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是 勺冬=1.a2 b222X V.過(guò)橢圓 +2=1 (a 0, b 0)上任一點(diǎn)A(X0，V0)任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線a b交橢圓于B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且kBC =學(xué) (常數(shù)). a V。 TOC o 1-5 h z X2V

8、2.若P為橢圓 =十。= 1 (ab0)上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1, F 2是焦點(diǎn)，a b HYPERLINK l bookmark43 o Current Document a - c:工PNPF)F2 =b , PPF2F1 = P，則=tan -co t一. HYPERLINK l bookmark45 o Current Document a c22X2 V2.設(shè)橢圓 一+=1 (ab0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P (異于長(zhǎng)軸端點(diǎn))為橢圓上任 a b意一點(diǎn)，在PF1F2 中，記 /FFFznU, ZPF1F2= P , ZF1F2P = V ?則有 TOC o 1-5 h z HYP

9、ERLINK l bookmark51 o Current Document sin 工c二 二 e. HYPERLINK l bookmark53 o Current Document sin : sina HYPERLINK l bookmark148 o Current Document 22X V.右橢圓 二+=1 (ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1、F2,左準(zhǔn)線為L(zhǎng),則當(dāng)0ve a bb0)上任一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2為二焦點(diǎn)，A為橢圓內(nèi)一定點(diǎn)，則a b2a IAF2 |W|PA| + |PF1 |M2a+|AF1|,當(dāng)且僅當(dāng)A, F2,P三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立.橢圓(XX)+(y卜)=1與直

10、線Ax+ Bv+ C=0有公共點(diǎn)的充要條件是 abA2a2 B2b2 -(AX0 BV0 C)2.228.9.x V已知橢圓 F+12=1(2b0),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且OP_LOQ.a b/ ,、1111224ab(1) 2+2 =-2+2 ; (2) |OP| +|OQ| 的最大值為 -22; (3)|OP |2 |OQ|2 a2 b2a2 b22. 2 的最小值是ab 2.a b22x V 過(guò)橢圓=十、=1 (ab0)的右焦點(diǎn)F作直線交該橢圓右支于 M,N兩點(diǎn)，弦 MN a b的垂直平分線交 x軸于p,則|PF 1 = TOC o 1-5 h z HYPERLINK l

11、 bookmark75 o Current Document | MN |222X VAB的垂直平分10.已知橢圓三+=1( a b0) ,A、B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段 a2 b22. 22. 2,、,_ a _b a _b線與 x軸相交于點(diǎn) P(x0,0), 則一 x0 b0)上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2為其焦點(diǎn)記 a2b2w2b2 小、2/F1PF2 =日，則(1) |PFJ|PF2|= .(2) S 存F1F2=b tan-.1 cos?2x v12.設(shè)A、B是橢圓 =+22=1( ab0)的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是橢圓上的一點(diǎn)，/PAB=a,a b/PBA = P , /BPA =尸，c

12、、e分別是橢圓的半焦距離心率，則有22, 22ab |cos： |2 c 2a b , |PA| = w 22 .(2) tan - tan - -1 - e .(3) S pab 二=2 cot .a -c cosb -a22x V.已知橢圓 =1 ( a b0)的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)E ,過(guò)橢圓右焦點(diǎn)F的 a b直線與橢圓相交于 A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線l上，且BC_Lx軸，則直線 AC經(jīng)過(guò)線段EF的中點(diǎn).過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.過(guò)橢圓焦半徑的端點(diǎn)作橢圓的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.e

13、(離.橢圓焦三角形中，內(nèi)點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)心率).(注：在橢圓焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn).橢圓焦三角形中，內(nèi)心將內(nèi)點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e.橢圓焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng)橢圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì)-(會(huì)推導(dǎo)的經(jīng)典結(jié)論)雙曲線1.2.3.X2V2雙曲線 二22=1(a0,b0)的兩個(gè)頂點(diǎn)為A1(-a,0), A2(a,0),與y軸平 a b22行的直線交雙曲線于 P1及時(shí)A1P1與A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是 0+m=1.a bx2y2過(guò)雙曲線=1 (a0,bo)上任一點(diǎn) A(x0, y0)任意作兩條傾斜角互

14、補(bǔ)a bb2 x的直線交雙曲線于 B,C兩點(diǎn)，則直線BC有定向且kBC=-一 (常數(shù)).a V。22x y右P為雙曲線2 -2 =1 (a0,b 0)右(或左)支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)，F(xiàn)1,a bc - aF 2 是焦點(diǎn)，ZPF1F2, /PF2F1 = F,則= taTCO 十(或 TOC o 1-5 h z c a 22c -a:丁=t a n co +).c a22224.設(shè)雙曲線 與一匕=1 (a0,b0)的兩個(gè)焦點(diǎn)為 F1、F2,P (異于長(zhǎng)軸端點(diǎn))為a b雙曲線上任意一點(diǎn)，在 PF1F2中，記NF1PF2 =a ,2PF1F2 =P ,/F1F2P = ,則有sin ;二(sin -

15、 sin ：)225.若雙曲線一4=1 (a0,b0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1、Fa,左準(zhǔn)線為L(zhǎng),a2 b2則當(dāng)1vew J2 + 1時(shí)，可在雙曲線上求一點(diǎn)P,使得PF1是P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離 d與PF2的比例中項(xiàng).22x yP為雙曲線 下七=1 (a0,b0)上任一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2為二焦點(diǎn)，A為雙曲線內(nèi)a b定點(diǎn)，則| AF2 | -2a E|PA|十| PFi |,當(dāng)且僅當(dāng)A,F2,P三點(diǎn)共線且P和AF2在y軸同側(cè)時(shí)，等號(hào)成立.x2 y2雙曲線 二J=1 (a0,b 0)與直線Ax +By +C =0有公共點(diǎn)的充要條件 a b是 A2a2 -B2b2 EC2.22x y已知雙曲線 =_彳=1 (b

16、a 0), O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P、Q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn), a2 b2且OP _OQ.2 2112+2 |OP |2 |OQ |2114ab-2-2 ; (2) |OP| +|OQ| 的最小值為-22 ; (3) Sa2 b2b2-a2的最小值是-b9.過(guò)雙曲線2, 2a b22 ._ a22xyF彳=1 (a0,b0)的右焦點(diǎn)F作直線交該雙曲線的右支于M,Nab兩點(diǎn)，弦MN勺垂直平分線交 x軸于 巳 則J-PF-L = e|MN | 210.22x y已知雙曲線 _22=1 (a0,b0) ,A、B是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段 AB的垂 a b2.222 aba - b直平分線與x軸相交于點(diǎn)P(Xo ,0

17、),則Xo之a(chǎn)或Xo0,b 0)上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn) ，F(xiàn)1、F2為ab2b2-.2其焦點(diǎn)記 /F1PF2 =e ,則(1) | PF11| PF2 |=.(2) S/Ff2 b cot .1 -cos212.22x y設(shè)A、B是雙曲線 二3=1 (a 0,b 0)的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)，P是雙曲線上的一a b點(diǎn),率,/PAB =u , /PBA = P , /BPA = , c、e分別是雙曲線的半焦距離心2 , 一，則有 |PA|=221L.22_2|a -c cos |(2)tan 二 tan ： =1 -e2 .(3) S PAB2, 22a b x22 cotb2 a22213.已知雙曲線 與

18、一4=1 (a 0,b 0)的右準(zhǔn)線l與x軸相交于點(diǎn)E ,過(guò)雙曲線 a b右焦點(diǎn)F的直線與雙曲線相交于 A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在右準(zhǔn)線l上，且BC_Lx軸,則直線AC經(jīng)過(guò)線段EF的中點(diǎn).14.過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng)焦點(diǎn)的連線必與切線垂直.過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦半徑互相垂直.雙曲線焦三角形中，外點(diǎn)到一焦點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e（離心率）.（注：在雙曲線焦三角形中，非焦頂點(diǎn)的內(nèi)、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱為內(nèi)、外點(diǎn)）.雙曲線焦三角形中，其焦點(diǎn)所對(duì)的旁心將外點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成

19、定比e.雙曲線焦三角形中，半焦距必為內(nèi)、外點(diǎn)到雙曲線中心的比例中項(xiàng)圓錐曲線問(wèn)題解題方法圓錐曲線中的知識(shí)綜合性較強(qiáng)，因而解題時(shí)就需要運(yùn)用多種基礎(chǔ)知識(shí)、采用多種數(shù)學(xué) 手段來(lái)處理問(wèn)題。熟記各種定義、基本公式、法則固然重要，但要做到迅速、準(zhǔn)確解題，還 須掌握一些方法和技巧。一.緊扣定義，靈活解題靈活運(yùn)用定義，方法往往直接又明了。例1.已知點(diǎn)A (3, 2), F (2, 0),雙曲線x2 -y- = 1 , P為雙曲線上一點(diǎn)。1求|PA| 1|PF|的最小值。2解析：如圖所示，1:雙曲線離心率為 2, F為右焦點(diǎn)，由第二定律知 |PF|即點(diǎn)P到準(zhǔn)線距離。_1 _5.|PA| 1|PF|=|PA| |P

20、E|, AM =5二.引入?yún)?shù)，簡(jiǎn)捷明快參數(shù)的引入，尤如化學(xué)中的催化劑，能簡(jiǎn)化和加快問(wèn)題的解決。例2.求共焦點(diǎn)F、共準(zhǔn)線l的橢圓短軸端點(diǎn)的軌跡方程。解：取如圖所示的坐標(biāo)系， 設(shè)點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離為p (定值)，橢圓中心坐標(biāo)為0) (t為參數(shù)): p =,而 c = t2b 二 pc 二 pt再設(shè)橢圓短軸端點(diǎn)坐標(biāo)為P (x, y),則x = c = t.y = b - pt消去t,得軌跡方程y2 = px三.數(shù)形結(jié)合，直觀顯示將“數(shù)”與“形”兩者結(jié)合起來(lái)，充分發(fā)揮“數(shù)”的嚴(yán)密性和“形”的直觀性，以數(shù)促形, 用形助數(shù)，結(jié)合使用，能使復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化，抽象問(wèn)題形象化。熟練的使用它，常能巧妙地 解決許多

21、貌似困難和麻煩的問(wèn)題。例3.已知x, y R ,且滿足方程x2 +y2 =3（y之0）,又m =_y3 ,求m范圍。x 3解析：1 m =X二的幾何意義為，曲線 x2+y2 = 3（y至0）上的點(diǎn)與點(diǎn)（3, 3） x 3連線的斜率，如圖所示代-3廣3）kPA m 三 kPB3 - . 33 .5- m _22.應(yīng)用平幾，一目了然用代數(shù)研究幾何問(wèn)題是解析幾何的本質(zhì)特征，因此，很多“解幾”題中的一些圖形性質(zhì)就 和“平幾”知識(shí)相關(guān)聯(lián)，要抓住關(guān)鍵，適時(shí)引用，問(wèn)題就會(huì)迎刃而解。例4.已知圓（x3）2+y2 =4和直線y = mx的交點(diǎn)為 P、Q,則|OP|，OQ|的值為解： . OMP . OQN|OP

22、|OQ|=|OM |ON| = 5.應(yīng)用平面向量，簡(jiǎn)化解題向量的坐標(biāo)形式與解析幾何有機(jī)融為一體，因此，平面向量成為解決解析幾何知識(shí)的有力 工具。22例5.已知橢圓：+上一=1，直線l :工+義=1 , P是l上一點(diǎn)，射線 OP交橢圓于241612 8一點(diǎn)R,點(diǎn)Q在OP上且滿足|OQ|OP|=|OR|2 ,當(dāng)點(diǎn)P在l上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn) Q的軌跡方程。分析：考生見(jiàn)到此題基本上用的都是解析幾何法，給解題帶來(lái)了很大的難度，而如果用向量共線的條件便可簡(jiǎn)便地解出。TTTfffff解：如圖，OQ, OR, OP 共線，設(shè)OR = KOQ,OP= NOQ,OQ= （x, y）,ff則 OR=（ x, y）, OP

23、=（ Lx,y）|OQ|.OP|=|OR|2,_22 _2.|OQ|2 = 2|OQ|2.1- - 2丁點(diǎn)R在橢圓上，P點(diǎn)在直線l上242即x 242_y162y162彳x Jy彳一 =1 ,+ =11281222(x-1) . (y -1)化簡(jiǎn)整理得點(diǎn) Q的軌跡方程為:-2，、.=1 （直線y=-x上萬(wàn)部分）3六.應(yīng)用曲線系，事半功倍利用曲線系解題，往往簡(jiǎn)捷明快，收到事半功倍之效。所以靈活運(yùn)用曲線系是解析幾何中重要的解題方法和技巧之一。例6.求經(jīng)過(guò)兩圓x2 +y2+6x4 = 0和x2+y2+6y28 = 0的交點(diǎn)，且圓心在直線x -y -4 =0上的圓的方程。解：設(shè)所求圓的方程為：x2 y

24、2 6x -4 （x2 y2 6y -28）=0（1 一 ,） x2 （1 一 ,） y2 6x 6 , y - （28 - 4） = 0-3-3則圓心為（二）,在直線x y4 = 0上11,二解得九=-7故所求的方程為x2 y2 -x 7y - 32 = 0七.巧用點(diǎn)差，簡(jiǎn)捷易行在圓錐曲線中求線段中點(diǎn)軌跡方程，往往采用點(diǎn)差法，此法比其它方法更簡(jiǎn)捷一些。2例7.過(guò)點(diǎn)A （2, 1）的直線與雙曲線x2 上2=1相交于兩點(diǎn)P、P2,求線段PP2中點(diǎn)的軌跡方程。解：設(shè) P（x1，y1），2 x12 x22 必22 y22耳(x2 , y2),則：1:二 2 得(x2 - x)( x1 x2)二(y2

25、 一 yi)(yi y2)即至二11x2 x12(xi X2)y1 y2設(shè)P1P2的中點(diǎn)為 M(x0, y0),則kP1P2又kAMy2 - y1 _x2 - x1_ y0 -1 ?x0 22x0y0而Pi、A、M P2共線 kP弓即 y。-1x0 - 22x0yo二P1P2中點(diǎn)M的軌跡方程是 2x2 y2 4x+y = 0解析幾何題怎么解高考解析幾何試題一般共有4題(2個(gè)選擇題，1個(gè)填空題，1個(gè)解答題),共計(jì)30分左右,考查的知識(shí)點(diǎn)約為 20個(gè)左右.其命題一般緊扣課本，突出重點(diǎn)，全面考查.選擇題和填空題 考查直線，圓，圓錐曲線，參數(shù)方程和極坐標(biāo)系中的基礎(chǔ)知識(shí).解答題重點(diǎn)考查圓錐曲線中的重要知

26、識(shí)點(diǎn)，通過(guò)知識(shí)的重組與鏈接，使知識(shí)形成網(wǎng)絡(luò)，著重考查直線與圓錐曲線的位置 關(guān)系，求解有時(shí)還要用到平幾的基本知識(shí)，這點(diǎn)值得考生在復(fù)課時(shí)強(qiáng)化.例1 已知點(diǎn)T是半圓O的直徑AB上一點(diǎn)，AB=2、OT=t (0tb 0)有且僅有 a b交于R S,求以線段SR為對(duì)角線的矩形 ORPS勺一個(gè)頂點(diǎn)P的軌跡方程.講解：從直線l所處的位置，設(shè)出直線l的方程，由已知，直線l不過(guò)橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，所以設(shè)直線 l的方程為y=kx+m(k=0).代入橢圓方程 b2x2+a2y2 =a2b2,得b2x2+a2(k2x2+2kmx+m2) = a2b2.化簡(jiǎn)后，得關(guān)于 x的一兀二次方程(a2k2+b2)x2+2ka2mx

27、+ a2m2a2b2 =0.于是其判別式.：=(2ka2m)2 -4(a2k2 b2)(a2m2 -a2b2) =4a2b2(a2k2 b2 -m2). 由已知，得 =0.即a2k2 +b2 =m2.在直線方程y=kx + m中，分別令y=0, x=0,求得R(_m,0), S(0, m).k TOC o 1-5 h z rrm . y .，一， ，r X 二 二，k = ，令頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x, y),由已知，得j k解得j xy=m. m = y.2代入式并整理，得 上+目一，即為所求頂點(diǎn)P的軌跡方程. 22x y22方程史+)1形似橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，你能畫出它的圖形嗎？22x y22_，過(guò)

28、A(a,0), B(Qb)的直線到原點(diǎn)的距離 HYPERLINK l bookmark146 o Current Document 例3已知雙曲線x- -y- =1的離心率e = 23 a b3曰 3是.2(1)求雙曲線的方程;(2)已知直線y =kx +5(k 0)交雙曲線于不同的點(diǎn)C, D且C, D都在以B為圓心的圓上,求k的值.講解：( 1 )ababd = 一、a 2 b 之 cb = 1, a = 、, 3 .c = 2-JT原a 3,_ 3_.2.點(diǎn)到直線 AB : xay =1的距離 b故所求雙曲線方程為(2)把y = kx +5代入x2 -3y2 =3中消去y,整理得_ 22一

29、(1 -3k2)x2 - 30kx -78 = 0.設(shè) C(x1,yJD(x2,y2)CD 的中點(diǎn)是 Ed,),則XoXi x2215 k7 y0 二 kx 051 - 3k22 , k BE1 -3k2V。1 二Xokx。ky。k = 0,15 k2- - 一1 - 3k 215k22 + k= 0,又 k#0,. k 2 = 7-3k 2故所求k=J7.為了求出k的值，需要通過(guò)消元，想法設(shè)法建構(gòu)k的方程.例4已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)Fi、F2在x軸上，點(diǎn)P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， 且/ EPE 的最大值為90 ,直線l過(guò)左焦點(diǎn)Fi與橢圓交于A、B兩點(diǎn)， ABF的面積最大值為12.（1）求橢

30、圓C的離心率；（2）求橢圓C的方程.12,2,、2212 -4c(% 七)-2m-4ccos ZF1 PF2 =212212講解：（1）設(shè) |PF1|=r/PF2|=r2,|F1F2|=2c,對(duì) APF1F2,由余弦定理，得4a2-4c24a2 _4c2 、_1 2e2 _0-1_1 2e 0212-2(12)22解出 e _ 2 e .2（2）考慮直線l的斜率的存在性，可分兩種情況：i） 當(dāng)k存在時(shí)，設(shè)l的方程為y = k（x+c）22橢圓方程為X.My-）由e*得2_ 22a = 2c ,b于是橢圓方程可轉(zhuǎn)化為x2 2y2 - 2c2 =0將代入，消去 y得整理為x的二次方程,2k2(x

31、- c)2 -2c2 = 0,(1 2k2)x2 4ck2x - 2c2 (k2 -1) =0.則x1、x2是上述方程的兩根.且|x2 X | 二2.2c 1 k21 2k2AB邊上的高 h 7F1F2 |sin/BF1F2 =26 JJkL1 k2,|AB|g嚕/不也可這樣求解：、-1s=-|F1F2|-|y1-y2|1S= 2.2c(21 k21 2k|k|1k2 2c,一 二 c |k | | x1 - x2 |=2 2c21 k2|k|21 2k.2. 4* 2c2.1 4k2.4k4=2 2c2 二、.2c2. 4k41k2ii）當(dāng)k不存在時(shí)，把直線x = c代入橢圓方程得y =乂2

32、&| AB |= J2c,S = J2cmV5c2 22由知S的最大值為，2c2由題意得石c2=12 所以c2=6五=b2a2=12石故當(dāng) ABE面積最大時(shí)橢圓的方程為：x2 + y2I.12- 2 6 2下面給出本題的另一解法，請(qǐng)讀者比較二者的優(yōu)劣：設(shè)過(guò)左焦點(diǎn)的直線方程為：x=my -c（這樣設(shè)直線方程的好處是什么？還請(qǐng)讀者進(jìn)一步反思反思.）橢圓的方程為:=1, A(X1, yi), B(x2, y2)由e = J2得：a2 =2c2,b2 =c2,于是橢圓方程可化為：x2+2y2 2c2 =02把代入并整理得：(m2 -2)y2 -2mcy -c2 =0于是yi,y2是上述方程的兩根.|A

33、B |= J(xi X2)2 +(yiy2)2 =H+m2 | y2 -yi |品叵三巫亙m - 22_2二2 2c 1_ 2c.m2 1:2m 1當(dāng)且僅當(dāng)m=0取等號(hào)，即Smax = 2c2.由題意知 短c =12, 于是 b2 =c2 =6/2,a2 =12jE.故當(dāng) ABF2面積最大時(shí)橢圓的方程為：工 +工 =112.26 2 一. TOC o 1-5 h z 22例5已知直線y = X +1與橢圓 t+/nVaAbAO）相交于a、B兩點(diǎn)，且線段 AB a b的中點(diǎn)在直線l : x -2y = 0上.（1）求此橢圓的離心率； HYPERLINK l bookmark47 o Curren

34、t Document 22.（2 ）若橢圓的右焦點(diǎn)關(guān)于直線 l的對(duì)稱點(diǎn)的在圓x + y =4上，求此橢圓的方程.y：得 b22 2-a b =0,a2J-y - -x 1, 講解：（1）設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 A（x1，y1），B（x2, y2）則由 x222222(a b )x -2a x a根據(jù)韋達(dá)定理，得2a2a2 b2,y1 y = 一(、x2) 2 二2b2a2 b2線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（2a22 ,a bb2、a2+b22由已知得-a-a2 b22b2a2 b22222、2=0, a = 2b = 2(a -c ) a= 2c2,故橢圓的離心率為.2e 二2(2)由(1)知b =

35、c,從而橢圓的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(b,0),設(shè)F(b,0)關(guān)于直線l:x2y = 0的對(duì)稱點(diǎn)為(xo,yo),則，工二且一一？&=。/x :xo -b 23.廠 4.b 且 y0b55由已知得2Xo+ y； =4,.(3b)2 +(4b)2 =4,/. b2 =4 ,故 所求的 55橢圓方程為2匕=14例6 已知。M:22x +(y2) =1,Q是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，QA QB分別切。M于A, B兩點(diǎn),(1)如果 | AB |4 2,求直線 MQ勺萬(wàn)程；(2)求動(dòng)弦 AB的中點(diǎn)P的 3講解：(1)由| AB |=4.2，可得|MP|=MA|2 -(|AB|)21 人,由射影定理，得3|MB |2=| M

36、P | | MQ |,得 | MQ |=3,在 RSMOQKAJ| OQ |=寸| MQ |2 -1 MO |2 =，32 -22 = V5 ,故 a =5或a = 75 ,所以直線AB方程是2x + v15y -2芯=0或2x J5y + 2J5 = 0;(2)連接MB MQ設(shè)P(x, y),Q(a,0),由點(diǎn)M, P, Q在一直線上，得修,(*)由射影定理得 |MB |2=|MP| |MQ |,即 ；x2+(y2)2 4a2+4=1,(*)把(*)及(* )消去a,并注意到y(tǒng) 2,可得x2十(y 7)241 (y = 2).16適時(shí)應(yīng)用平面幾何知識(shí)，這是快速解答本題的要害所在，還請(qǐng)讀者反思其中的奧妙例 7如圖，在 RtABC中，/ CBA=90 , AB=2, AC=2。DOL AB于 O 點(diǎn)，OA=OB DO=22曲線E過(guò)C點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn) P在E上運(yùn)動(dòng)，且保持| PA |+| PB |(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線E的方程；的值不變.DMDN兒，試確(2)過(guò)D點(diǎn)的直線L與曲線E相交于不同的兩點(diǎn) M N且M在口 N之間，設(shè)人的取值范圍.定實(shí)數(shù)得(2k2+1)x2+8kX+6 =0設(shè) m ( K)。，N(x2, y