初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)與代數(shù)綜合第05講教師版

1、二次函數(shù)與代數(shù)綜合中考要求內(nèi)容基本要求略高要求較高要求二次函數(shù)能結(jié)合實(shí)際問題情境了解二次函數(shù)的意義；會(huì)用描點(diǎn)法畫出二次函數(shù)的圖象能通過分析實(shí)際問題的情境確定二次函數(shù)的表達(dá)式；能從圖象上認(rèn)識(shí)二次函數(shù)的性質(zhì)；會(huì)根據(jù)二次函數(shù)的解析式求其圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，會(huì)確定圖象的頂點(diǎn)、開口方向和對稱軸；會(huì)利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解能用二次函數(shù)解決簡單的實(shí)際問題；能解決二次函數(shù)與其他知識(shí)綜結(jié)合的有關(guān)問題重難點(diǎn)理解二次函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)與一元二次方程的關(guān)系；理解二次函數(shù)圖象與軸的位置關(guān)系與一元二次方程解的情況的聯(lián)系；會(huì)利用二次函數(shù)圖象判斷一元二次方程的根的個(gè)數(shù)；會(huì)根據(jù)拋物線與軸的位置關(guān)系求字母系數(shù)

2、；會(huì)用圖象法求一元二次方程的近似解；掌握拋物線與軸的交點(diǎn)與一元二次方程兩根之間的聯(lián)系，靈活運(yùn)用相關(guān)的概念解題；掌握并運(yùn)用二次函數(shù)解題；理解二次函數(shù)與不等式之間的關(guān)系；會(huì)用函數(shù)的觀點(diǎn)去看方程和會(huì)用數(shù)形結(jié)合的思想去解決問題；理解二次函數(shù)與一次函數(shù)、反比例函數(shù)之間的關(guān)系。會(huì)將二次函數(shù)、一次函數(shù)與反比例函數(shù)綜合應(yīng)用。課前預(yù)習(xí)你知道“函數(shù)”的發(fā)展史嗎？你知道“函數(shù)”是怎樣發(fā)展來的嗎？讓我們一起回顧一下函數(shù)概念的發(fā)展史吧。函數(shù)（function）這一名詞，是德國的數(shù)學(xué)家萊布尼茨17世紀(jì)首先采用的與萊布尼茨幾乎同時(shí)，瑞士數(shù)學(xué)家雅克柏努意給出了和萊布尼茨相同的函數(shù)定義1718年，雅克柏努意的弟弟約翰柏努意給出

3、了函數(shù)的如下定義：由任一變數(shù)和常數(shù)的任意形式所構(gòu)成的量叫做這一變數(shù)的函數(shù)換句話說定義為：由和常量所構(gòu)成的任一式子都可稱之為關(guān)于的函數(shù)約翰柏努意的學(xué)生瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，把約翰柏努意關(guān)于函數(shù)的定義又推進(jìn)了一步，使之更加明朗化為了適應(yīng)當(dāng)時(shí)所出現(xiàn)的各種情況，為了適應(yīng)數(shù)學(xué)的發(fā)展，法國數(shù)學(xué)家柯西引入了新的函數(shù)定義。在柯西的定義中，首先出現(xiàn)了“自變量”一詞德國數(shù)學(xué)家黎曼引入了新的定義：“對于的每一個(gè)值，總有完全確定了的值與之對應(yīng)，而不拘建立，之間的對應(yīng)方法如何，均將稱為的函數(shù)”1834年，俄國數(shù)學(xué)家羅巴契夫斯基進(jìn)一步提出函數(shù)的定義，這個(gè)定義指出了對應(yīng)關(guān)系（條件）的必要性，利用這個(gè)關(guān)系以求出每一個(gè)的對應(yīng)值183

4、7年德國數(shù)學(xué)家狄里克雷認(rèn)為怎樣去建立與之間的對應(yīng)關(guān)系是無關(guān)緊要的，所以重新定義，這個(gè)抓住了概念的本質(zhì)屬性，曾被比較長期的使用著上面我們對函數(shù)概念的歷史發(fā)展作了概述，我們看到，“函數(shù)”這個(gè)重要概念發(fā)展到近代，經(jīng)過了一段如此漫長的道路，從某種意義上來說，它反映了人類對事物逐漸精確化的認(rèn)識(shí)過程數(shù)學(xué)史表明，重要的數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生和發(fā)展，對數(shù)學(xué)發(fā)展起著不可估量的作用例題精講模塊一 二次函數(shù)與一元二次方程求二次函數(shù)的圖象與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，就是令，求中的值的問題。此時(shí)二次函數(shù)就轉(zhuǎn)化為一元二次方程，因此一元二次方程的根的個(gè)數(shù)決定了拋物線與軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)。當(dāng)中的時(shí)，二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)中的時(shí)，二次函數(shù)的

5、圖象與軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)中的時(shí)，二次函數(shù)的圖象與軸沒有交點(diǎn)； 拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離公式（2005 廣東）求二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)？【難度】1星【解析】求二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，也就是令，解一元二次方程即可?！敬鸢浮繉τ?令，則 解得， 二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，【鞏固】已知拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是方程的兩個(gè)根，且拋物線經(jīng)過點(diǎn)，求二次函數(shù)的解析式【難度】1星【解析】通過交點(diǎn)確定函數(shù)的解析式，可以采用雙根式。【答案】 ， 交點(diǎn)坐標(biāo)為， 設(shè)拋物線的解析式為 將點(diǎn)代入得 解得 二次函數(shù)的解析式為已知拋物線，求： （1）為何值時(shí)，拋物線與軸相交于兩點(diǎn)，僅相交于一點(diǎn)、不想交？ （2）為何值時(shí)

6、，拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)，分別在原點(diǎn)的兩側(cè)？【難度】2星【解析】判斷拋物線與軸的交點(diǎn)情況，主要判斷；兩交點(diǎn)是否在原點(diǎn)兩側(cè)，要由根與系數(shù)的關(guān)系來推斷。【答案】（1） 當(dāng)，且 即當(dāng)且時(shí)，拋物線與軸交于兩點(diǎn) 當(dāng)，且 即當(dāng)時(shí)，拋物線與軸交于一點(diǎn)當(dāng)，且 即當(dāng)時(shí)，拋物線與軸無交點(diǎn) （2）設(shè)拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、 拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別在原點(diǎn)的兩側(cè)，則 ，且 又， 解得 當(dāng)時(shí)，拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別在原點(diǎn)的兩側(cè)【鞏固】（2006 武漢）已知拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且這兩個(gè)交點(diǎn)分別在直線的兩側(cè)，則的取值范圍是？【難度】2星【解析】本題要求兩個(gè)交點(diǎn)分別在直線的兩側(cè)，則兩根中一根大于1，另一根小于1

7、。【答案】拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且在直線的兩側(cè) 即 解得【鞏固】為何值時(shí)，拋物線與軸沒有交點(diǎn)？【難度】1星【解析】判斷函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)情況要通過判斷來決定。【答案】 圖象與軸沒有交點(diǎn) 所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)與軸沒有交點(diǎn)已知二次函數(shù)的圖象與軸交與、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，求的面積【難度】2星【解析】本題的關(guān)鍵是求線段的長【答案】依題意知 模塊二 二次函數(shù)與一元二次不等式二次函數(shù)與一元二次不等式及之間的關(guān)系如下：（其中 ）判別式情況拋物線與軸的交點(diǎn)不等式的解集不等式的解集有兩個(gè)交點(diǎn)或有一個(gè)交點(diǎn)或無解無交點(diǎn)全體實(shí)數(shù)無解判別式情況拋物線與軸的交點(diǎn)不等式的解集不等式的解集有兩個(gè)交點(diǎn)或有一個(gè)交點(diǎn)無解或無交點(diǎn)無解全體實(shí)

8、數(shù)已知二次函數(shù)，當(dāng)自變量取時(shí)，其相應(yīng)的函數(shù)值小于，那么下列結(jié)論中正確的是（ ）A的函數(shù)值小于B的函數(shù)值大于C的函數(shù)值等于D的函數(shù)值與的大小關(guān)系不確定【難度】2星【解析】由題意得：此二次函數(shù)與軸有兩交點(diǎn)，兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，兩交點(diǎn)的距離為，當(dāng)取時(shí)，函數(shù)值小于，當(dāng)取時(shí)，函數(shù)值大于【答案】B【鞏固】小明、小亮、小梅、小花四人共同探究代數(shù)式的值的情況他們作了如下分工：小明負(fù)責(zé)找值為時(shí)的值，小亮負(fù)責(zé)找值為0時(shí)的值，小梅負(fù)責(zé)找最小值，小花負(fù)責(zé)找最大值幾分鐘后，各自通報(bào)探究的結(jié)論，其中錯(cuò)誤的是（ ）A小明認(rèn)為只有當(dāng)時(shí)，的值為.B小亮認(rèn)為找不到實(shí)數(shù)，使的值為.C小梅發(fā)現(xiàn)的值隨的變化而變化，因此認(rèn)為沒有最小值D小花

9、發(fā)現(xiàn)當(dāng)取大于的實(shí)數(shù)時(shí)，的值隨的增大而增大，因此認(rèn)為沒有最大值.【難度】2星【解析】當(dāng)時(shí)，解得，故A正確當(dāng)時(shí)，故B正確，當(dāng)時(shí)，有最小值1，但沒有最大值.故C錯(cuò)D正確.【答案】D（2009 北京中考）已知關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根，為正整數(shù).（1）求的值；（2）當(dāng)此方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根時(shí)，將關(guān)于的二次函數(shù)的圖象向下平移8個(gè)單位，求平移后的圖象的解析式；（3）在（2）的條件下，將平移后的二次函數(shù)的圖象在軸下方的部分沿軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象.請你結(jié)合這個(gè)新的圖象回答：當(dāng)直線與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，的取值范圍.【難度】3星【解析】二次函數(shù)與方程、不等式綜合.【答案】（1）由題

10、意得，為正整數(shù)，（2）當(dāng)時(shí)，方程有一根為零；當(dāng)時(shí)，方程無整數(shù)根；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)非零的整數(shù)根綜上所述，和不合題意，舍去；符合題意當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)為，把它的圖象向下平移個(gè)單位得到的圖象的解析式為（3）設(shè)二次函數(shù)的圖象與軸交于、兩點(diǎn)，則，依題意翻折后的圖象如圖所示當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，可得；當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，可得由圖象可知，符合題意的的取值范圍為閱讀材料，解答問題。例：用圖象法解一元二次不等式：設(shè)，則是的二次函數(shù)拋物線開口向上又當(dāng)時(shí)，解得，的解集為或（1）觀察圖象，直接寫出一元二次不等式的解集是 （2）仿照上例，解一元二次不等式?！倦y度】2星【解析】二次函數(shù)與方程、不等式綜合.【答案】（1） （2）設(shè)，則是

11、的二次函數(shù) 拋物線開口向上 又當(dāng)時(shí)，解得，的解集為或模塊三 二次函數(shù)與一次函數(shù)、反比例函數(shù)綜合一次函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象的交點(diǎn)，由方程組的解的數(shù)目來確定：（1）方程組有兩組不同的解時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）方程組只有一組解時(shí)與只有一個(gè)交點(diǎn)；（3）方程組無解時(shí)與沒有交點(diǎn).（2011 蕪湖）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則反比例函數(shù)與一次函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是（ ） A B C D【難度】2星【解析】先根據(jù)二次函數(shù)的圖象開口向下可知，再由函數(shù)圖象經(jīng)過原點(diǎn)可知，利用排除法即可得出正確答案【答案】D【鞏固】（2006 日照）已知，兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，且點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上，設(shè)點(diǎn)的

12、坐標(biāo)為，則二次函數(shù)（ ）A有最小值，且最小值是B有最大值，且最大值是C有最大值，且最大值是D有最小值，且最小值是【難度】1星【解析】先用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)的解析式，再根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)求出其最值即可【答案】D（2009 南充）如圖，已知正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)（1）求正比例函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；（2）把直線向下平移后與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，求的值和這個(gè)一次函數(shù)的解析式；（3）第（2）問中的一次函數(shù)的圖象與軸、軸分別交于、，求過、三點(diǎn)的二次函數(shù)的解析式；（4）在第（3）問的條件下，二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)，使四邊形的面積與四邊形的面積滿足：？若存在，求點(diǎn)E的坐

13、標(biāo)；若不存在，請說明理由【難度】4星【解析】此題將初中所學(xué)三個(gè)主要函數(shù)：一次函數(shù)（含正比例函數(shù)）、反比例函數(shù)、二次函數(shù)結(jié)合起來，考查了用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、函數(shù)與坐標(biāo)的關(guān)系及不規(guī)則圖形面積的求法，綜合性較強(qiáng)，難度適中【答案】：（1）設(shè)正比例函數(shù)的解析式為因?yàn)榈膱D象過點(diǎn)所以，解得這個(gè)正比例函數(shù)的解析式為設(shè)反比例函數(shù)的解析式為（ 因?yàn)榈膱D象過點(diǎn)，所以解得 這個(gè)反比例函數(shù)的解析式為（2）因?yàn)辄c(diǎn)在的圖象上，所以 則點(diǎn) 設(shè)一次函數(shù)解析式為（） 因?yàn)榈膱D象是由平移得到的，所以，即又因?yàn)榈膱D象過點(diǎn)所以 解得 一次函數(shù)的解析式為 （3）因?yàn)榈膱D象交軸于點(diǎn)，所以的坐標(biāo)為設(shè)二次函數(shù)的解析式為（）因?yàn)榈膱D象過點(diǎn)

14、， 所以 ，解得 ，這個(gè)二次函數(shù)的解析式為 （4）交軸于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)是如圖所示，假設(shè)存在點(diǎn)，使四邊形的頂點(diǎn)只能在軸上方，S 在二次函數(shù)的圖象上， 解得或 當(dāng)時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，這時(shí)不是四邊形，故舍去，點(diǎn)的坐標(biāo)為課堂檢測二次函的圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù) 在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致為（ ） A B C D【難度】2星【解析】本題考查了一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與各系數(shù)的關(guān)系【答案】D已知方程的兩個(gè)實(shí)根一個(gè)小于，一個(gè)大于，求的取值范圍【難度】2星【解析】二次函數(shù)與方程、不等式綜合【答案】設(shè)，因?yàn)榉匠痰膬蓚€(gè)實(shí)數(shù)根一個(gè)小于，一個(gè)大于，所以有即，解得所以已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過三點(diǎn)（1，0）

15、，（-3，0），（0，）。（1）求二次函數(shù)的解析式，并在給定的直角坐標(biāo)系中作出這個(gè)函數(shù)的圖象；（2）若反比例函數(shù)圖象與二次函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)，落在兩個(gè)相鄰的正整數(shù)之間。請你觀察圖象，寫出這兩個(gè)相鄰的正整數(shù)；（3）若反比例函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為A，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為滿足，試求實(shí)數(shù)的取值范圍。【難度】3星【解析】二次函數(shù)與方程、不等式綜合【答案】（1）設(shè)拋物線解析式為將（代入，解得拋物線解析式為（2）正確的畫出反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象（略）由圖象可知，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)落在1和2之間，從而得出這兩個(gè)相鄰的正整數(shù)為1與2。（3）由函數(shù)圖象或函數(shù)性質(zhì)可知：當(dāng)時(shí)，對,隨著x增

16、大而增大，對，隨著的增大而減小。因?yàn)闉槎魏瘮?shù)圖象與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)，所心當(dāng)時(shí)，由反比例函數(shù)圖象在二次函數(shù)上方得，即，解得 同理，當(dāng)時(shí)，由二次函數(shù)數(shù)圖象在反比例上方得，即，解得所以的取值范圍為若二次方程在區(qū)間內(nèi)僅有較大實(shí)根，另一根不等于，求的取值范圍【難度】3星【解析】二次函數(shù)與方程、不等式綜合【答案】原方程可化為，因?yàn)榉匠梯^大實(shí)根在內(nèi)，且另一根小于，所以有即解得所以，故當(dāng)時(shí)，方程在內(nèi)僅有較大實(shí)數(shù)根，且另一根不等于如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過三點(diǎn)、，它的頂點(diǎn)為，又正比例函數(shù)的圖象與二次函數(shù)相交于兩點(diǎn)、，且是線段的中點(diǎn)（1）求該二次函數(shù)的解析式，并求出函數(shù)頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2） 已知點(diǎn)，且二次函

17、數(shù)的函數(shù)值大于正比例函數(shù)時(shí)，試根據(jù)函數(shù)圖象求出符合條件的自變量的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，求四邊形的面積的最小值【難度】3星【解析】二次函數(shù)與方程、不等式綜合【答案】 二次函數(shù)的圖象經(jīng)過三點(diǎn)、，解得，二次函數(shù)的解析式為又，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為 在正比例函數(shù)的圖象上，即，正比例函數(shù)解析式為，與二次函數(shù)解析式聯(lián)立得，得，代入，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則當(dāng)二次函數(shù)值大于正比例函數(shù)時(shí)，根據(jù)函數(shù)圖象可知：自變量的取值范圍為 聯(lián)立正比例函數(shù)與二次函數(shù)解析式，消得：，時(shí)正比例函數(shù)與二次函數(shù)的交點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)坐標(biāo)為，即連結(jié)，而 ，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小值總結(jié)復(fù)習(xí)1通過本堂課你學(xué)會(huì)了 2掌握的不太好的部分 3老師點(diǎn)評： 課后作

18、業(yè)（2010 東營）二次函數(shù)的圖象如圖所示，則一次函數(shù)與反比例函數(shù) 在同一坐標(biāo)系內(nèi)的圖象大致為（） A B C D【難度】2星【解析】二次函數(shù)與方程、不等式綜合【答案】B若的二次方程，因?yàn)榉匠痰慕舛嘉挥诘姆秶校笳麛?shù)的值【難度】2星【解析】二次函數(shù)與方程、不等式綜合【答案】設(shè)，因?yàn)榉匠痰膬蓚€(gè)解都位于中，所以，滿足條件由得，符合條件的值為由得把各值代入，得，把各值代入，得，符合條件的，的值是，實(shí)數(shù)在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，關(guān)于的方程的一個(gè)根大于而小于，另一個(gè)根大于而小于？【難度】2星【解析】二次函數(shù)與方程、不等式綜合本題中，通過四個(gè)不等式即可將拋物線的“位置”確定，從而解不等式組求出的范圍一般地，在討論一元二次方程根的情形時(shí)，要充分利用數(shù)形結(jié)合的思想，即先根據(jù)條件“定”出圖象位置，由所給條件畫出滿足條件的圖象，再由圖象列出不等式(組)，最后解不等式(組)求解【答案】設(shè)，由題設(shè)及其示意圖知拋物線與軸的兩交點(diǎn)分別落在和內(nèi)的充要條件是即解得滿足條件的的取值范圍是如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過三點(diǎn)A，B，C，它的頂點(diǎn)為M，又正比例函數(shù)的圖象于二次函數(shù)相交于兩點(diǎn)D、E，且P是線段DE的中點(diǎn)。（1）該二次函數(shù)的解析式，并求函數(shù)頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2