2022年Matlab數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)報(bào)告

1、Matlab 數(shù)學(xué)試驗(yàn)報(bào)告一、 試驗(yàn)?zāi)康耐?過(guò) 以 下 四 組 實(shí) 驗(yàn) , 熟 悉 MATLAB的 編 程 技 巧 , 學(xué) 會(huì) 運(yùn) 用MATLAB 的一些主要功能、命令,通過(guò)建立數(shù)學(xué)模型解決理論或?qū)?際問(wèn)題；明白諸如分岔、混沌等概念、學(xué)會(huì)建立 Malthu 模型和 Logistic 模型、懂得最小二乘法、線(xiàn)性規(guī)劃等基本思想；二、 試驗(yàn)內(nèi)容 2.1 試驗(yàn)題目一 2.1.1 試驗(yàn)問(wèn)題Feigenbaum 曾對(duì)超越函數(shù)y= sin （ 為非負(fù)實(shí)數(shù)）進(jìn)行了分岔與混沌的爭(zhēng)論,試進(jìn)行迭代格式 xk+1= sin xk,做出相應(yīng)的 Feigenbaum圖 2.1.2 程序設(shè)計(jì) clear;clf; axis

2、0,4,0,4; hold on for r=0:0.3:3.9 x=0.1; for i=2:150 xi=r*sin3.14*xi-1; end pause0.5 for i=101:150 plotr,xi,k.; end textr-0.1,maxx101:150+0.05,itr=,num2strr end 加密迭代后 clear;clf; axis0,4,0,4; hold on for r=0:0.005:3.9 x=0.1; for i=2:150 xi=r*sin3.14*xi-1; end pause0.1 for i=101:150 plotr,xi,k.; end en

3、d 運(yùn)行后得到 Feigenbaum圖2.2 試驗(yàn)題目二 2.2.1 試驗(yàn)問(wèn)題某農(nóng)夫有一個(gè)半徑10 米的圓形牛欄,長(zhǎng)滿(mǎn)了草；他要將一頭牛拴在牛欄邊界的樁欄上, 但只讓牛吃到一半草, 問(wèn)拴牛鼻子的繩子應(yīng)為多長(zhǎng)？2.2.2 問(wèn)題分析如以下圖, E 為圓 ABD 的圓心, AB 為拴牛的繩子,圓 ABD 為草場(chǎng),區(qū)域 ABCD 為牛能到達(dá)的區(qū)域；問(wèn)題要求區(qū)域 ABCD 等于圓ABC 的一半,可以設(shè) BC 等于 x,只要求出 a 和b 就能求出所求面積；先運(yùn)算扇形 ABCD 的面積, 2a x2=2a 2,再求 AB 的面積,用扇形 ABE 的面積減去三角形ABE 的面積即可；2.2.3 程序設(shè)計(jì) f

4、=inlineacosx/20*x2+100*pi-200*acosx/20-x*sqrt100-x2/4-50*pi; a=0; b=20; dlt=1.0*10-3; k=1; while absb-adlt c=a+b/2; if fc=0 break; elseif fc*fb0 a=c; else b=c; end fprintfk=%d,x=%.5fn,k,c; k=k+1; end 2.2.4 問(wèn)題求解與結(jié)論 k=6,x=11.56250 k=7,x=11.71875 k=8,x=11.64063 k=9,x=11.60156 k=10,x=11.58203 k=11,x=11.

5、59180 k=12,x=11.58691 k=13,x=11.58936 k=14,x=11.58813 k=15,x=11.58752 結(jié)果說(shuō)明,要想牛只吃到一半的草,拴牛的繩子應(yīng)當(dāng)為 11.6米；2.3 試驗(yàn)題目三 2.3.1 試驗(yàn)問(wèn)題飼養(yǎng)廠(chǎng)飼養(yǎng)動(dòng)物出售,設(shè)每頭動(dòng)物每天至少需要700g 蛋白質(zhì)、 30g礦物質(zhì)、100mg 維生素；現(xiàn)有 5 種飼料可供選用,每種飼料每千克所 含養(yǎng)分成分含量及單價(jià)如下表；試確定既能中意動(dòng)物生長(zhǎng)的養(yǎng)分需 要,又可使費(fèi)用最省的選用飼料的方案；飼料蛋白質(zhì) g 礦物質(zhì) g 維生素 mg 飼料A1 0.2 3 1 0.5 A2 2 0.5 1 0.7 A3 1 0.2

6、 0.2 0.4 A4 6 2 2 0.3 A5 18 0.5 0.8 0.8 五種飼料單位質(zhì)量（1kg）所含養(yǎng)分成分2.3.2 問(wèn)題分析與模型建立設(shè) X j j=1,2,3,4,5表示飼料中所含的第j 種飼料的數(shù)量；由于供應(yīng)的蛋白質(zhì)總量必需每天中意最低要求 70g,故應(yīng)有3X 1+2X2+1X3+6X 4+18X5700 同理,考慮礦物質(zhì)和維生素的需求；應(yīng)有1X 1+0.5X2+0.2X3+2X 4+0.5X530 0.5X1+1X 2+0.2X3+2X 4+0.8X5100 期望調(diào)配出來(lái)的混合飼料成本最低,故目標(biāo)函數(shù) f 為f=0.2X 1+0.7X2+0.4X3+0.3X4+0.8X5當(dāng)

7、來(lái)對(duì)決策量 X j 的要求應(yīng)為非負(fù)；所以該飼料配比問(wèn)題是一個(gè)線(xiàn)性規(guī)劃模型Min f =0.2X 1+0.7X 2+0.4X3+0.3X 4+0.8X 53X1+2X 2+1X 3+6X4+18X5700 1X1+0.5X2+0.2X3+2X 4+0.5X 530 0.5X1+1X 2+0.2X3+2X 4+0.8X 5100 X j0,j=1,2,3,4,5 2.3.3 模型評(píng)述一般的食譜問(wèn)題可表達(dá)為：設(shè)有 n 種食物,每種食物中含有 m 種養(yǎng)分成分；用 ija 表示一個(gè)單位的第 j 種食物中含有第 i 種養(yǎng)分的數(shù)量,用 ib 表示每人每天對(duì)第i 種養(yǎng)分的最低需求量, jc 表示第j 種食品的

8、單價(jià), jx 表示所用的第j 種食品的數(shù)量,一方面中意m 種養(yǎng)分成分的需要同時(shí)使事物的總成本最低；性規(guī)劃模型為一般的食譜問(wèn)題的線(xiàn)這類(lèi)線(xiàn)性規(guī)劃模型仍可以描述許多諸如合理下料、最小成本運(yùn)輸、合分派任務(wù)等問(wèn)題,具有很強(qiáng)的代表性；2.3.4 模型運(yùn)算將 該 問(wèn) 題 化 成Matlab 中 線(xiàn) 性 規(guī) 劃 問(wèn) 題 的 標(biāo) 準(zhǔn) 形 式Min f=0.2X 1+0.7X2+0.4X3+0.3X4+0.8X5-3X 1-2X 2-1X 3-6X 4-18X5-700 -1X 1-0.5X2-0.2X 3-2X 4-0.5X5-30 -0.5X 1-1X-0.2X 3-2X4-0/;.8X 5-100 j0,j

9、=1,2,3,4,5 由 MATLAB 軟件的編輯器構(gòu)作 c=0.2,0.7,0.4,0.3,0.8; m 文件 LF 如下：a=-3,-2,-1,-6,-18;-1,-0.5,-0.2,-2,-0.5;-0.5,-1,-0.2,-2,-0.8; b=-700,-30,-100; lb=0 0 0 0 0; ub=; aeq=; beq=; x,fval=linprogc,a,b,aeq,beq,lb,ub 在 MATLAB 命令窗口鍵入 LF,回車(chē),運(yùn)算結(jié)果顯示如下 x= 0.0000 0.0000 0.0000 39.7436 25.6410 fval = 32.4359 其結(jié)果顯示 x1

10、=0 x2=0 x 3=0 x 4=39.7436 x5=25.6410,就表示該公司分別購(gòu)買(mǎi)第四種第五種飼料39.7436kg, 25.6410（kg）配成混合飼料；所耗成本 32.4359（元）為中意養(yǎng)分條件下的最低成本；2.3.5 模型摸索：線(xiàn)性規(guī)劃的本質(zhì)特點(diǎn) 一. 目標(biāo)函數(shù)是決策變量的線(xiàn)性函數(shù) 二. 約束條件是決策變量的線(xiàn)性等式或不等式,它是一種較為簡(jiǎn)潔 而又特殊的約束極值問(wèn)題；三. 能轉(zhuǎn)化為線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題的實(shí)例許多如：生產(chǎn)決策問(wèn)題,一般性 的投資問(wèn)題,地址的選擇,運(yùn)輸問(wèn)題等等；2.4 試驗(yàn)題目四2.4.1 試驗(yàn)題目描述1790 年到 1980 年各年美國(guó)人口數(shù)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下表：年份17

11、90 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 統(tǒng)計(jì)3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 年份1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 統(tǒng)計(jì)62.0 72.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 試依據(jù)以上數(shù)據(jù),1 分別用 Malthu 模型和 Logistic 模型建立美國(guó)人口增長(zhǎng)的近似曲線(xiàn)設(shè)美國(guó)人口總體容納量為 3.5 億; 2 推測(cè) 2022 年,2022 年,2022 年

12、,2022 年,2022 年人口數(shù) ; 3 對(duì)兩種推測(cè)結(jié)果進(jìn)行比較 . 2.4.2 問(wèn)題的分析2.4.2.1 Malthu 模型1798 年,Malthus 提出對(duì)生物繁殖規(guī)律的看法；他認(rèn)為,一種群中個(gè)體數(shù)量的增長(zhǎng)率與該時(shí)刻種群的的個(gè)體數(shù)量成正比；設(shè) xt表示該種群在 t 時(shí)刻個(gè)體的數(shù)量,就其增長(zhǎng)率（dx/dt）=rxt, 或相對(duì)增長(zhǎng)率 1/x*dx/dt=r. 其中常數(shù) r=B-D,B 和 D 分別為該種群個(gè)體的平均生育率與死亡率；2.4.2.2 Logistic模型1838 年,Verhulst指出上述模型未考慮“ 密度制約” 因素；種群生活在確定的環(huán)境中,在資源給定的情形下,個(gè)體數(shù)目越多

13、,個(gè)體所獲資源就越少,這將抑制其生長(zhǎng)率,增加死亡率；所以相對(duì)增長(zhǎng) 率 1/x*（dx/dt）不應(yīng)為一常數(shù) r,而應(yīng)是 r 乘上一個(gè)“ 密度制約”因子；此因子隨 x 單調(diào)減小,設(shè)其為 1-x/k,其中 k 為環(huán)境容納量；于是 Verhulst 提出 Logistic 模型： dx/dt=rx1-x/k ；2.4.3 試驗(yàn)設(shè)計(jì)的流程 2.4.3.1 Malthu 模型源代碼 clear;clf x=10:10:200; y=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.0 72.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179

14、.3 204.0 226.5; plotx+1780,k-,markersize,20; axis1780,2022,3,800; grid;hold on n=20; a=sumx1:n; b=sumx1:n.*x1:n; c=sumlogy1:n; d=sumlogy1:n.*x1:n; A=n a;a b; B=c;d; P=invA*B; t=10:10:800; f=expP1+P2*t; plott+1780,f,ro-,linewidth,2; k=2022 2022 2022 2022 2022; f=expP1+P2*k-1780; fprintff=%.1f,f; 2.4.

15、3.2 Logistic模型程序源代碼 clc;clear; x=9:28; y=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.0 72.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5; plotx*10+1700,y,k.,markersize,15; grid; hold on; axis1790 2022 0 400; m=1000*y./1000-y; a1=sumx; a2=sumx.2; a3=sumlogm; a4=sumx.*logm; A=20,a1;a1,a2; B=a3;

16、a4; p=invA*B; t=9:0.1:55; s=1./0.001+exp-p1-p2*t; plott*10+1700,s,r-; k=30 30.5 31 31.5 32; l=k*10+1700;1./0.001+exp-p1-p2*k; 2.4.4 上機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的分析與結(jié)論 Malthus 模型結(jié)果Logistic 模型結(jié)果對(duì)比推測(cè)結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù),可看出三、 試驗(yàn)小結(jié)與體會(huì)Logistic 模型更符合自然規(guī)律；通過(guò)以上四組數(shù)學(xué)試驗(yàn)、我們熟識(shí)明白了許多 MATLAB 的方法及理論、并嘗試了將其運(yùn)用到了實(shí)際問(wèn)題中去,解決實(shí)際問(wèn)題； 比如,在試驗(yàn)一中,明白了方程的迭代以及分岔、混沌的概念；試驗(yàn)二中通 過(guò)簡(jiǎn)潔的 MATLAB 程序解決數(shù)學(xué)問(wèn)題；試驗(yàn)三中嘗試通過(guò)線(xiàn)性規(guī)劃 建立數(shù)學(xué)模型, 從而解決生產(chǎn)生活中的實(shí)際問(wèn)題,明白了最大最小化 問(wèn)題的求解及其 MATLAB 指令；試驗(yàn)四中通過(guò)人口推測(cè)問(wèn)題的分析 求解,明白運(yùn)用最小二乘法進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合的基本思想,把握了建