專(zhuān)題三 第4講 數(shù)列中的奇、偶項(xiàng)問(wèn)題

1、3/3第4講數(shù)列中的奇、偶項(xiàng)問(wèn)題數(shù)列中的奇、偶項(xiàng)問(wèn)題是對(duì)一個(gè)數(shù)列分成兩個(gè)新數(shù)列進(jìn)行單獨(dú)研究，利用新數(shù)列的特征(等差、等比數(shù)列或其他特征)求解原數(shù)列例已知數(shù)列an滿(mǎn)足a11，a2eq f(1,2)，3(1)nan22an2(1)n10，nN*.(1)令bna2n1，判斷bn是否為等差數(shù)列，并求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列an的前2n項(xiàng)和為T(mén)2n，求T2n.解(1)因?yàn)?(1)nan22an2(1)n10，所以3(1)2n1a2n12a2n12(1)2n110，即a2n1a2n12，又bna2n1，所以bn1bna2n1a2n12，所以bn是以b1a11為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以bn1(

2、n1)22n1，nN*.(2)對(duì)于3(1)nan22an2(1)n10，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，可得(31)an22an2(11)0，即eq f(an2,an)eq f(1,2)，所以a2，a4，a6，是以a2eq f(1,2)為首項(xiàng)，eq f(1,2)為公比的等比數(shù)列；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，可得(31)an22an2(11)0，即an2an2，所以a1，a3，a5，是以a11為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以T2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)eq blcrc(avs4alco1(n1f(1,2)nn12)eq f(f(1,2)blcrc(avs4alco1(1blc(rc)(avs4alco1(f(1

3、,2)n),1f(1,2)n21eq f(1,2n)，nN*. (1)數(shù)列中的奇、偶項(xiàng)問(wèn)題的常見(jiàn)題型數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)和或積的問(wèn)題(anan1f(n)或anan1f(n)；含有(1)n的類(lèi)型；含有a2n，a2n1的類(lèi)型；已知條件明確的奇偶項(xiàng)問(wèn)題(2)對(duì)于通項(xiàng)公式分奇、偶不同的數(shù)列an求Sn時(shí)，我們可以分別求出奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和，也可以把a(bǔ)2k1a2k看作一項(xiàng)，求出S2k，再求S2k1S2ka2k.1數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an(1)n1(4n3)，則它的前100項(xiàng)之和S100等于()A200 B200 C400 D400答案B解析S100(413)(423)(433)(41003)4(12)(34

4、)(99100)4(50)200.2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn(1)nn，若對(duì)任意的正整數(shù)n，使得(an1p)(anp)0恒成立，則實(shí)數(shù)p的取值范圍是_答案(1,3)解析當(dāng)n1時(shí)，a1S11；當(dāng)n2時(shí)，anSnSn1(1)nn(1)n1(n1)(1)n(2n1)因?yàn)閷?duì)任意的正整數(shù)n，(an1p)(anp)0恒成立，所以(1)n1(2n1)p(1)n(2n1)p0.當(dāng)n是正奇數(shù)時(shí)，化為p(2n1)p(2n1)0，解得12np2n1，因?yàn)閷?duì)任意的正奇數(shù)n都成立，取n1時(shí)，可得1p3.當(dāng)n是正偶數(shù)時(shí)，化為p(2n1)p(12n)0，解得12np2n1，因?yàn)閷?duì)任意的正偶數(shù)n都成立，取n2時(shí)，可得5p3

5、.聯(lián)立eq blcrc (avs4alco1(1p3，,5p3，)解得1p3.所以實(shí)數(shù)p的取值范圍是(1,3)3在數(shù)列an中，已知a11，anan1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n，記Sn為an的前n項(xiàng)和，bna2na2n1，nN*.(1)判斷數(shù)列bn是否為等比數(shù)列，并寫(xiě)出其通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(3)求Sn.解(1)因?yàn)閍nan1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n，所以an1an2eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n1，所以eq f(an2,an)eq f(1,2)，即an2eq f(1,2)an.因?yàn)閎na2

6、na2n1，所以eq f(bn1,bn)eq f(a2n2a2n1,a2na2n1)eq f(f(1,2)a2nf(1,2)a2n1,a2na2n1)eq f(1,2)，所以數(shù)列bn是公比為eq f(1,2)的等比數(shù)列因?yàn)閍11，a1a2eq f(1,2)，所以a2eq f(1,2)，b1a1a2eq f(3,2)，所以bneq f(3,2)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n1eq f(3,2n)，nN*.(2)由(1)可知an2eq f(1,2)an，所以a1，a3，a5，是以a11為首項(xiàng)，eq f(1,2)為公比的等比數(shù)列；a2，a4，a6，是以a2eq f(1,2)為首項(xiàng)，eq f(1,2)為公比的等比數(shù)列，所以a2n1eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n1，a2neq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n，所以an (3)因?yàn)镾2n(a1a3a2n1)(a2a4a2n)eq f(1blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)n,1f(1,2)eq f(f(1,2)blcrc(a