對稱結(jié)構(gòu)動力學(xué)設(shè)計中的廣義逆特征值問題

1、對稱結(jié)構(gòu)動力學(xué)設(shè)計中的廣義逆特征值問題李書卓家壽任青文摘要將對稱結(jié)構(gòu)動力學(xué)設(shè)計問題歸結(jié)為一類含設(shè)計參數(shù)的廣義逆特征值問題，以結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性指標(biāo)作為設(shè)計準(zhǔn)則來設(shè)計結(jié)構(gòu)，通過建立等效的非線性方程組，利用Newton法求解其設(shè)計參數(shù)，使得到的結(jié)構(gòu)具有滿足設(shè)計要求的動態(tài)特性。數(shù)值例題表明本文方法有很好的效能。關(guān)鍵詞結(jié)構(gòu)設(shè)計；動力學(xué)；逆問題分類號TU311.3;V214.33InversegeneralizedeigenvalueproblemindynamicdesignofsymmetricstructuresLiShu(InstituteofAircraftDesign,BeijingUniver

2、sityofAeronauticsandAstronautics,Beijing100083,P.R.China)ZhuoJiashou,RenQingwen(Dept.ofEngineeringMechanics,InstituteofCivilEngineering,HohaiUniversity,Nanjing210098,P.R.China)AbstractInthispaper,dynamicdesignofsymmetricstructuresisconsideredasaninversegeneralizedeigenvalueproblem.Thestructuredynami

3、cperformanceindicesaretreatedasacriteriontodesignstructures.Byconstructingequivalentnonlinearequations,thedesignparameterscanbesolvedusingNewtonsmethodsothatthedesignedstructuressatisfythespecifieddynamicperformance.Thenumericalexampleshowsthebenefitofthepresentedmethodology.Keywords:structuraldesig

4、n;dynamics;inverseproblem1引言振動問題在航空、航天、機械、土木建筑等工程領(lǐng)域大量存在，許多重大事故都與振動有關(guān)，對結(jié)構(gòu)進行動力學(xué)設(shè)計有其重要意義1。動力學(xué)設(shè)計，就是以結(jié)構(gòu)的動態(tài)特性指標(biāo)作為設(shè)計準(zhǔn)則來設(shè)計結(jié)構(gòu)，這樣得到的結(jié)構(gòu)具有滿足設(shè)計要求的動態(tài)特性。這類問題是工程實際中經(jīng)常遇到的問題。本文將對稱結(jié)構(gòu)動力學(xué)設(shè)計問題歸結(jié)為一類含參數(shù)的廣義逆特征值問題，視結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣為設(shè)計參數(shù)的非線性函數(shù)，以設(shè)計出結(jié)構(gòu)具有給定的固有頻率為準(zhǔn)則，建立等效的非線性方程組，利用Newton法求解。實際應(yīng)用中，由于結(jié)構(gòu)的對稱性普遍存在，不可避免地會遇到重特征值情況。當(dāng)結(jié)構(gòu)出現(xiàn)重特征值時

5、，數(shù)學(xué)上已經(jīng)證明對應(yīng)的逆特征值問題是一個幾乎處處無解的問題2。特征值導(dǎo)數(shù)是結(jié)構(gòu)設(shè)計中的重要環(huán)節(jié)和主要工作，為克服重特征值情形帶來的困難，本文將文獻3的理論應(yīng)用于重特征值導(dǎo)數(shù)的計算，這是一種新的數(shù)學(xué)方法，通過對重特征值導(dǎo)數(shù)的重新定義，給出重特征值導(dǎo)數(shù)的表達式。算例表明本文方法適合于對稱結(jié)構(gòu)的動力學(xué)設(shè)計。2對稱結(jié)構(gòu)的動力學(xué)設(shè)計結(jié)構(gòu)剛度矩陣和質(zhì)量矩陣是關(guān)于設(shè)計參數(shù)的函數(shù)，而且事實上一般是非線性函數(shù)。結(jié)構(gòu)動力學(xué)設(shè)計通常要求結(jié)構(gòu)具有指定的動力特性，如頻率和振型。我們將結(jié)構(gòu)動力學(xué)設(shè)計問題歸納為一類含設(shè)計參數(shù)的廣義逆特征值問題。2.1對稱結(jié)構(gòu)的動力學(xué)設(shè)計問題對于如下的動力特征方程KO=MOQ2(1)其中K是

6、結(jié)構(gòu)剛度矩陣，M是質(zhì)量矩陣，=(,)是振型矩12n陣，Q2=diag(32,32，仁)是頻率矩陣(diag(.)表示對角矩陣)，12n并且滿足下列條件tM=1(2)QtKO=Q2(3)實際設(shè)計中，往往只要求滿足部分低階動態(tài)特性的要求，這時TM=Irrr(4)tK=Q2rrr(5)其中=(，)，Q2=diag(32，32，32)，rWn。眾所周知，結(jié)構(gòu)的剛度矩陣和質(zhì)量矩陣是由結(jié)構(gòu)的物理參數(shù)和幾何參數(shù)決定的，不妨假設(shè)這組參數(shù)為c=(c，c，c)t，其中元素可代表彈性模量、密度、長度、面積等等，則剛度矩陣和質(zhì)量矩陣是參數(shù)c的函數(shù)，分別表示為K(c),M(c)，(11)rfc為了確定參數(shù)c,建立下面非

7、線性方程組3(c)3*=0i=1,，mig(c)i(c)3*i=1,，mi(6)(7)其中(c),g(c),，g2m(c)t。為了方便,0(C)=32i(c)(8)K(c)=0i(c)M(c)(9)由式(9)不難知i冰f(10)對式(8)兩邊求導(dǎo),悶()7因此(15)(16)1邂11昭()KdiV(c)11邈(r)fc1fc*1t1.c)也Jz(12)一般說來，mHr,這時，采用Moore-Penrose廣義逆求下面線性方程組的解g（c（k）Ac（k）=g（c（k）（13）則k+1步逼近值為c(k+1)=C(k)Ac(k)(14)2.2重特征值導(dǎo)數(shù)計算在對稱結(jié)構(gòu)中，重特征值情形是不可避免的。特

8、征值的導(dǎo)數(shù)計算有多種多樣。設(shè)9是式（9）在點c=c*的r重特征值，相應(yīng)的特征向量為,ii=i(,，)GRnXrii+1i+r1令設(shè)i+r1彎I則根據(jù)文獻3被定義為重特征值的導(dǎo)數(shù)，其中p(.)表示譜半徑。d(9)三pPji(tD(9)ijii2.3計算步驟1選擇初值co,設(shè)k=0；2.當(dāng)c=ck時，用有限元方法計算K和M；3求特征方程K=MQ2前r階特征值3(ck)和相應(yīng)的特征向量(ck),iii=1,，r4.收斂性檢驗。如果|3(Ck)3C*|足夠小，停止計算；5利用式(12)計算g(c(k)；利用式(14)計算下一步逼近值；令k=k+1和重復(fù)步驟27。3數(shù)值算例以文獻4中的二單元懸臂梁模型作

9、為算例，見圖1,單元位移矢量為d=v，w，d，e，v，w，e，e11y1z122y2z2(17)(昭二卑元慰皆於捱顯J(UJ啣充國二單元益魁垂圖1-2IJL20122,/A30一込仏ML0訂，0aE4A對具有8個自由度的梁單元，單元剛度矩陣K和質(zhì)量矩陣M分別為symmetric-12/,/Pe00汎仏-0一一陸仏fl0fl6/a/L002412M00一JLnijD込仏flfl15600-ZlL4A-22L00一3匸U：比一3L-1：3人】1pAl.:M00一:必佗0syninictric15600一TIL15622L】41/由于結(jié)構(gòu)的對稱性，涉及到重特征值問題。下面為結(jié)構(gòu)所要求具有指定的特征值

10、0=diag(1.84141.841473.481273.4812)r分別以長度L,慣性矩I,I,密度P,面積A,彈性模量E為設(shè)計變量，zy通過計算結(jié)果如下L=I=I=P=1,A=420,E=1000zy可見，本文方法得到的結(jié)果與文獻4提供算例的結(jié)果完全一致。在整個計算過程中，如初值適當(dāng)，收斂速度很快。4結(jié)論本文研究了對稱結(jié)構(gòu)動力學(xué)的設(shè)計問題。數(shù)值算例表明將對稱結(jié)構(gòu)動力學(xué)的設(shè)計問題視為一類含參數(shù)的廣義逆特征值問題是合理的，并且獲得了很好的數(shù)值結(jié)果。其中，對于對稱結(jié)構(gòu)中常見的重特征值情形，我們運用了新的數(shù)學(xué)方法解決了重特征值導(dǎo)數(shù)的計算問題，有實際意義。該數(shù)學(xué)方法是在由重特征值對應(yīng)的特征向量張成的子空間中重新定義了重特征值的導(dǎo)數(shù)。本文中采用Newton方法解非線性方程組，其收斂性和收斂快慢與初值選取有較大的關(guān)系。*中國博士后科學(xué)基金資助作者簡介：李書：男，1965年生，博士，副教授作者單位：李書：北京航空航天大學(xué)飛機設(shè)計所，北京100083；卓家壽任青文：河海大學(xué)土木學(xué)院工程力學(xué)系，南京210098)參考文獻1顧松年參數(shù)辯識與動力學(xué)設(shè)計見：第三屆全國逆特征值問題討論會論文集.南京，1992.31352李書，馮太華，范緒箕結(jié)構(gòu)靜力問題的重特征值靈敏度分析工程力學(xué)，1996,13(2)：971043SunJG.Anoteonlocalbehaviorof