高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)解析幾何題型與方法

1、2008高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)解析幾何題型與方法一、 考點回顧1.直線(1),直線的傾斜角和斜率直線的斜率是一個非常重要的概念，斜率 k反映了直線相對于 x軸的傾斜程度,當(dāng)斜率k 存在時，直線方程通常用點斜式或斜截式表示，當(dāng)斜率不存在時，直線方程為x=a (aCR),因此，利用直線的點斜式或斜截式方程解題時，斜率k存在與否，要分別考慮.(2),直線的方程a,點斜式：y - y1 = k(x-x1) ； b,截距式：y=kx+b；c.兩點式：y -y1 = x-x1 ； d,截距式：x +)=1 ； y2 - yix2 - xia be, 一般式：Ax+By+C=0,其中A B不同日為0,(3),兩直

2、線的位置關(guān)系兩條直線li , I2有三種位置關(guān)系：平行(沒有公共點)；相交(有且只有一個公共點)；重 合(有無數(shù)個公共點)，在這三種位置關(guān)系中，我們重點研究平行與相交設(shè)直線 li ： y =ki x + bi,直線 12 ： y = k2 x + b2,則l/l2的充要條件是 匕=卜2,且“#4 ； l，l2的充要條件是k1k2=-i.(4),簡單的線性規(guī)劃.a,線性規(guī)劃問題涉及如下概念：存在一定的限制條件，這些約束條件如果由x、y的一次不等式(或方程)組成的不 TOC o 1-5 h z 等式組來表示，稱為線性約束條件，都有一個目標要求，就是要求依賴于x、y的某個函數(shù)(稱為目標函數(shù))達到最大

3、值或最小值,特殊地，若此函數(shù)是 x、y的一次解析式，就稱為線性目標函數(shù)，求線性目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值問題，統(tǒng)稱為線性規(guī)劃問題，滿足線性約束條件的解(x, y)叫做可行解，所有可行解組成的集合，叫做可行域，使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解，叫做這個問題的最優(yōu)解b,線性規(guī)劃問題有以下基本定理：一個線性規(guī)劃問題，若有可行解，則可行域一定是一個凸多邊形凸多邊形的頂點個數(shù)是有限的，對于不是求最優(yōu)整數(shù)解的線性規(guī)劃問題，最優(yōu)解一定在凸多邊形的頂點中找到，C,線性規(guī)劃問題一般用圖解法，2,圓(1)，圓的定義：平面內(nèi)到定點等于定長的點的集合(或軌跡) 。(2),圓的方程a,圓的標準方程(x

4、 -a)2 +(yb)2 =r2(r0),稱為圓的標準方程，其圓心坐標為（a, b）,半徑為r.特別地，當(dāng)圓心在原點（0, 0）,半徑為r時，圓的方程為x2 y2 = r2.b.圓的一般方程 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark14 o Current Document 222_ 2x +y +Dx+Ey + F=0（D +E 4F 0）稱為圓的一般方程，其圓心坐標為(-E ),半徑為r = 1 . D2 E2 -4F HYPERLINK l bookmark12 o Current Document 222D當(dāng)D2 +E2 -4F =0時，方程表示一個點（2

5、HYPERLINK l bookmark99 o Current Document 2-2當(dāng)D +E -4F 0時，方程不表不任何圖形 .c.圓的參數(shù)方程圓的普通方程與參數(shù)方程之間有如下關(guān)系:（0為參數(shù)）222Xx = r cos 二x y 二 r =y = r sin 1(x - a)2 (y - b)2 : r2 二x = a r cos?y = b r sin f（0為參數(shù)）（3）.直線與圓 3.圓錐曲線（1）.橢圓a.定義定義1 :平面內(nèi)一個動點到兩個定點Fi、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|FiF2|）,這個動點的軌跡叫橢圓（這兩個定點叫焦點）.定義2:點M與一個定點的距離和它到一條定

6、直線的距離的比是常c數(shù)晝=-（0 eb0)=1(ab0)c.幾何性質(zhì)條件M|MF 1 |+|MF2|=2a , 2a |F1F2|MF1|MF2|M|點M到11的距離一點M到l2的距離e，0eb0)a2b222xyf + J =1(ab0)b2a2頂點A1( a, 0), A2(a, 0)B1(0， b) , B2(0 , b)A1(0， a), A2(0 , a)Bi( b, 0) , B2(b , 0)軸對稱軸：x軸，y軸.長軸長|A1A2|=2a ,短軸長|B1 B2|=2b焦點Fi( c, 0), F2(c, 0)Fi(0， c) ,F2(0 , c)焦距|F1 F2|=2c(c 0)

7、, c2=a2 b2離心率e= (0 e外22，當(dāng)=1u (x0,y0)在橢圓上a bv內(nèi)切線方程(k為切線斜奉2，2y=kx4ak +b(k為切線斜零，2 y= kx V b k +a箋十誓=1a2b2(x0, y0)為切點粵十岑=1b2a2(x0, y0)為切點切點弦 方程（x0, y0）在橢圓外把十紗=1a2b2（x0, y0）在橢圓外小十四 = 1b2a2弦長公式|x2 x1W1+k 或|y1y2,1+ 2k k2其中（x1 , y1）, （x2 , y2）為割弦端點坐標，k為割弦所在直 線的斜率d,常用結(jié)論 TOC o 1-5 h z x222b2過橢圓 與十丫2 =1的焦點的弦AB

8、長的最大值為2a,（長軸）；最小值為（過焦點 aba垂直長軸的弦）xy2設(shè)橢圓 +2r=1的兩焦點分別為Fi,F2, P為橢圓任意一點，當(dāng)/ F1PF2最大時,a bP為短軸端點；橢圓上的點到焦點的最短距離為a-G橢圓上的點到焦點的最長距離為a+c（2）雙曲線a.定義定義1:平面內(nèi)與兩個定點Fi、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)（小于IF1F2I）的點的軌跡叫做雙曲線（這兩個定點叫雙曲線的焦點）.e(e 1)時,定義2:動點到一定點的距離與它到一條定直線的距離之比是常數(shù) 這個動點的軌跡是雙曲線（這定點叫做雙曲線的焦點）.圖83的標準方程為:2y%= 1(a0, b0) b2-Ei,A11US-4

9、圖8 4的標準方程為: HYPERLINK l bookmark140 o Current Document 22yx2- - 2 = 1(a 0, b 0) HYPERLINK l bookmark220 o Current Document abc.幾何性質(zhì)條件P =M|MF 1|-|MF2|= 2a, a 0 , 2a1,標準方程22二yF = 1（a0, b0） ab224 =1（a0, b0） ab頂點1A1（ a, 0）, A2（a, 0）Ai（0， a）, A2（0, a）軸對稱軸：x軸，y軸，實軸長|A1A2|= 2a,虛軸長 |B1B2|= 2b焦點F1（ c, 0） , F

10、2（c , 0）Fi（0， c）,F2（0 , c）焦距|F1F2|= 2c（c 0） , c2 = a2 + b2離心率ce= （e1） a準線方程22,a .a11: x=；l2: x= cc22,a ,al1： y=；l2： y= cc漸近線 方程.22,b xy小y= x（或2=0）aab22,a y x - y= x（或 丫22=0）ba2b2共漸近線 的雙曲線 系方程22J=k（kW0）a2b2224一好k（kw。）a2b2焦點半徑|MF1|= ex0 + a , 1性 kFexa 2k2a-b2|MF1|= ey0 + a , 妙乩e%123a2（k為b線斜率）b k 或kv a

11、a（k為切線斜率）a k 或 kv bb切線方程x0 xyy2 / T ab（xo，版福呼/x0y +yyy X0X2 / T ab0 xx0，2y。）為切點、，- -xy a的切或方程：2-a （x0, y0）為切盡、切點弦 方程(xo , yo)在雙曲線外xox _ yoy _12.2ab(Xo , yo)在雙曲線外yoy _ xox _12.2ab弦長公式|x2 XiN11 + k2或1yi -y2I J1 + 曾其中（xi，yi）, （X2，y2）為割弦端點坐標，k為 割弦所在直線的斜率d.常用結(jié)論 22x V過雙曲線 二與=1的焦點的弦AB長的最小值為2a （A,B分別在兩支上），最

12、小 a b2b2 TOC o 1-5 h z 值為 （A,B在同一支上且過焦點垂直實軸的弦）a HYPERLINK l bookmark251 o Current Document 2222雙曲線的xy4=%（九#0）的漸近線方程為3一4=。 a2 b2a2b2雙曲線上的點到焦點的最短距離為c-a.拋物線a.定義平面內(nèi)與一個定點 F和一條定直線l的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，定點F叫做拋物線的焦點，定直線 l叫做拋物線的準線.b.拋物線的標準方程，類型及幾何性質(zhì)，見下表：拋物線的標準方程有以下特點：都以原點為頂點，以一條坐標軸為對稱軸； 方程不同，開口方向不同；焦點在對稱軸上，頂點到焦點的距

13、離等于頂點到準線距離.p的幾何意義：焦點 F到準線l的距離.弦長公式：設(shè)直線為y= kx+b拋物線為y2=2px, |AB| =Jl + k2|X2Xil= J1 + jlV2 Vil焦點弦長公式：|AB| = p + Xi + X2c.常用結(jié)論過拋物線y2=2px的焦點F的弦AB長的最小值為2p設(shè)A(xi,y), iB(X2,y2)是拋物線y2=2px上的兩點,則AB過F的充要條件是yiy2=-p2設(shè)A, B是拋物線y2=2px上的兩點，0為原點，則OALOB的充要條件是直線 AB恒過定點(2p,0).圓錐曲線(橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱圓錐曲線)的統(tǒng)一定義與一定點的距離和一條定直線的距離的比

14、等于常數(shù)的點的軌跡叫做圓錐曲線,點叫做焦點，定直線叫做準線、常數(shù)叫做離心率，用e表示，當(dāng)0V e1時，是雙曲線，當(dāng) e=1時，是拋物線.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系：(在這里我們把圓包括進來).首先會判斷直線與圓錐曲線是相交、相切、還是相離的a.直線與圓：一般用點到直線的距離跟圓的半徑相比b.直線與橢圓、雙曲線、拋物線一般聯(lián)立方程，判斷相交、相切、相離c.直線與雙曲線、拋物線有自己的特殊性.a.求弦所在的直線方程b.根據(jù)其它條件求圓錐曲線方程.已知一點A坐標，一直線與圓錐曲線交于兩點P、Q,且中點為A,求P、Q所在的直線方程.已知一直線方程，某圓錐曲線上存在兩點關(guān)于直線對稱，求某個值的取值范圍(或

15、者是圓錐曲線上否存在兩點關(guān)于直線對稱).二次曲線在高考中的應(yīng)用二次曲線在高考數(shù)學(xué)中占有十分重要的地位，是高考的重點、熱點和難點。通過以二次曲線為載體，與平面向量、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式、平面幾何等知識進行綜合，結(jié)合數(shù)學(xué)思想方法，并與高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識融為一體，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力及創(chuàng)新能力，其設(shè)問形式新穎、有趣、綜合性很強。本文關(guān)注近年部分省的高考二次曲線問題，給予較深入的剖析，這對形成高 三復(fù)習(xí)的新的教學(xué)理念將有著積極的促進作用。.重視二次曲線的標準方程和幾何性質(zhì)與平面向量的巧妙結(jié)合。.重視二次曲線的標準方程和幾何性質(zhì)與導(dǎo)數(shù)的有機聯(lián)系。.重視二次曲線性質(zhì)與數(shù)列的有機結(jié)合。.重視解析幾何與立體幾何

16、的有機結(jié)合。.知識網(wǎng)絡(luò)一直線的傾斜角和斜率 一直線方程的基本形式直線一一點和直線的位置關(guān)系_兩點式一般式在線上在線外一一點到直線的距離一兩條直線的位置關(guān)系曲線與方程十平行1-相交一垂直一交點 夾角1簡單的線性規(guī)劃二兀一次不等式表布平面區(qū)域 線性規(guī)劃線性規(guī)劃的實際應(yīng)用一圓的定義圓的方程L交點相交弦長一-切一一圓的切線性質(zhì)：對稱性、焦點、頂點、圓錐曲線一一橢圓、曲線、直線一定義一標準方程一 離率、準線、焦半徑等一直線與圓錐曲線的位置關(guān)系二、經(jīng)典例題剖析（根據(jù)近幾年高考命題知識點及熱點做相應(yīng)的試題剖析，要求例題不得少于8個）考點一 曲線（軌跡）方程的求法常見的求軌跡方程的方法：（1）單動點的軌跡問題

17、一一直接法（五步曲） +待定系數(shù)法（定義法）；（2）雙動點的軌跡問題一一代入法；（3）多動點的軌跡問題參數(shù)法+ 交軌法。22.（哈九中） 設(shè)A（xi, yj B（x2, 丫2）是橢圓 4+與=1（a b 。）上的兩點， x b滿足（工）（殳，）=。，橢圓的離心率e =、3,短軸長為2, 0為坐標原點. baba2（1）求橢圓的方程；（2）若直線AB過橢圓的焦點F （0, c）, （c為半焦距），求直線AB的斜率k的值;（3）試問： AOB勺面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由解析：本例（1）通過e=?, 2b =2,及a,b,c之間的關(guān)系可得橢圓的方程；（2）從 2方程入手

18、，通過直線方程與橢圓方程組成方程組并結(jié)合韋達定理；（3）要注意特殊與一般的關(guān)系，分直線的斜率存在與不存在討論。cF23答案：（1） 2b=2.b=1,e = = a=2.e = 43a a 22橢圓的方程為上 x2 =14（2）設(shè)AB的方程為y = kx + J3-1“、2一 k2 4 TOC o 1-5 h z y=kx +氏 22 廠-2V3k由 (v2= (k +4)x +243kx-1 = 0 x1 +x2 =21+x2 =1k +4l.4由已知x1x2y1y21k. 3k30 = = x1x2(kx13)(kx2. 3) = (1)x1x2 (x1x2)-b2a24444解得k =

19、2k2 4 /1 x 3k - 2.3k 3(2)24 k2 44k2 44（3）當(dāng)A為頂點時,B必為頂點.字AOB = 1當(dāng)A, B不為頂點時，設(shè) AB的方程為y=kx+by 二 kx bx2 = 12222kb二(k 4)x 2kbx b - 4 = 0得到 x1 x2 = fk2 4xx2b2 -4k2 4xx2=義吸=0= x1x2 (kx1飛)(炊2 b) =0代入整理得:42b2 k2 =4-112S = -21b |Xi -X2 | = 2 |b| .,(X1 X2) -4x1X2 b|b| .4k2 -4b2 16k2 4反=12|b|所以三角形的面積為定值.點評：本題考查了直

20、線與橢圓的基本概念和性質(zhì), 基本思想方法以及運用綜合知識解決問題的能力。二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、解析幾何的2.（湖北省H一校）在直角坐標平面中，ABC的兩個頂點為 A （0, 1）, B （0, 1 ）平面內(nèi)兩點 GM同時滿足 Ga+Gb +Gc =0 , |MA |= |MB |= |mC | gM / AB（1）求頂點C的軌跡E的方程（2）設(shè)P、。R N都在曲線E上，定點F的坐標為（J2,0 ），已知7F/ EQ ,pF - rf = 0.求四邊形prqnt積s的最大值和最小值.解析：本例（1）要熟悉用向量的方式表達點特征；（2）要把握好直線與橢圓的位置關(guān)系,弦長公式，靈活的運算技巧是解

21、決好本題的關(guān)鍵。答案：（1）設(shè) C （ X , y ）,GA + GB = 2GO,由知GC=-2E, G 為 ABC的重心 ，G（-, ）由知M是 ABC的外心，M在X軸上3 3由 |MC |MA| 得(3)2+1=卜-y+/2x 2化簡整理得:+ y =1 (xw0)。3_2（2）F （近,0 ）恰為二+ y2 =1的右焦點3設(shè)PQ的斜率為kw 0且kw 亞，則直線PQ的方程為y = k ( x J2)26k2 -3Xi - x2 = -53k2 1由 y =k(x 一 2) = (3k2 1)x2 -6.2k2x 6k2 -3=0 x 3y -3 =06 ,2k2設(shè) P(x1 , y1)

22、, Q (x2 ,y2) 貝U xi + X2 = -23k 1則| PQ | = k2、2x1 x2) -4X|X2=、,1 k26 2k23k2 1/ 6k -3-4 2 3k2 12.3(k21)3k2 1_ ，一-1 ,一RN，PQ,把k 換成得 | RN | =k、.3(k2 1)k2226(k2 1)2(3k2 1)(k2 3)= 2-23(k一)10213(k 正)10i+21k 2k23- S 16士1時取等號)又當(dāng)k不存在或Smax = 2_ 3Smin = 一2點評：本題考查了向量的有關(guān)知識，橢圓與直線的基本關(guān)系， 二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及不等式，轉(zhuǎn)化的基本思想方法以及運

23、用綜合知識解決問題的能力?？键c二圓錐曲線的幾何性質(zhì)3. (2006年安徽省高考題)如圖，F(xiàn)為雙曲線C:2,2a b= 1(a0,b0 )的右焦點，P為雙曲線 C右支上一點，且位于 X軸上方，M為左準線上一點， O為坐標原點.已知四邊形OFPM為平行四邊形,PF OF(I)寫出雙曲線 C的離心率e與九的關(guān)系式;(n)當(dāng)九=1時，經(jīng)過焦點F且品行于op的直線交雙曲線于若AB =12,求此時的雙曲線方程A、分析：圓錐曲線的幾何性質(zhì)結(jié)合其它圖形的考查是重點。注意靈活應(yīng)用第二定義。解：四邊形 OFPM是I , |OF |=| PM |=c,作雙曲線的右準線交 PM于H,則2一 _ a| PM HPH |

24、 +2，又3 =c|PF| |OF |_2|PH | oac -2c2c-2a c2-2 -2 八c -2a e -22e 一 e -2=0(n)當(dāng)九=1 時，e = 2, c =2a , b2 =3a2,雙曲線為2_ 24a 3a=1四邊形OFPM是菱形，所以直線OP的斜率為 J3,則直線AB的方程為y =J3(x-2a),代入到雙曲線方程得:9x2 -48ax +60a2 = 0,又 AB =12,由 AB27=1 k2 % (Xi x2)2-4x1X2 得：12=2.(48a2、260a2)-4,解得927=1為所求點評：本題靈活的運用到圓錐曲線的第二定義解題。22x V4. （2006

25、年湖北省局考題） 設(shè)A,B分別為橢圓 f+t =1（a,b 0）的左、右頂點，橢圓長半 a b軸的長等于焦距，且 x=4為它的右準線.（I）、求橢圓的方程；（n）、設(shè)P為右準線上不同于點（4, 0）的任意一點，若直線AP,BP分別與橢圓相交于異于A,B的點M、N ,證明：點B在以MN為直徑的圓內(nèi)分析：本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識進行推理運算的能力和解決問題的能力解：（I）依題意得 a = 2c, = 4,解得a=2, c=1,從而b= J3. c TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark242 o Current Doc

26、ument 22故橢圓的方程為J-L=1 HYPERLINK l bookmark216 o Current Document 43(n)解法 1:由(I)得 A ( 2, 0), B (2, 0).設(shè) M（X。，y） HYPERLINK l bookmark97 o Current Document 32M點在橢圓上，y0= （4-X0）,d4又點M異于頂點A、B, 2X00,Bm BP0,貝叱MBP為銳角，從而/ MB財鈍角,故點B在以M時直徑的圓內(nèi).解法 2:由(I )得 A (2, 0), B (2, 0).設(shè) M (Xi, yi), N(X2,則一2xi2, - 2X22,又MN勺中

27、點 Q的坐標為(依題意，計算點B到圓心Q的距離與半徑的差-2 iBQ - - MN2 ( xi X2) 2+ (yi y2)242x1x2仆 2/ y1y2、=( -2) + ( yi)=(Xi 2) ( X22) + yiyi又直線AP的方程為y= yi (x+2),直線BP的方程為y= y2 (x 2), xi 2x2 - 2而點兩直線 AP與BP的交點P在準線x=4上， TOC o 1-5 h z ，巫二星，即y2=3QkM公x1 2 x2 -2xi 2 HYPERLINK l bookmark186 o Current Document 22又點M在橢圓上，則 分一+=i ,即y： =

28、3(4 X：)(5) HYPERLINK l bookmark167 o Current Document 434一,、一 一一一,i2 125于是將、代入化簡后可得 BQ - - MN =(2 Xi)(X2 -2)044從而，點B在以MN為直徑的圓內(nèi).點評：本題關(guān)鍵是聯(lián)系直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，運用數(shù)學(xué)知識進行推理運算的能力和解決問題的能力考點三有關(guān)圓錐曲線的定義的問題 TOC o 1-5 h z 利用圓錐曲線的第一、第二定義求解.5,已知某橢圓的焦點 Fi (4,0), F2 (4,0),過點F2并垂直于x軸的直線與橢圓的一個焦點為B,且=10,橢圓上不同兩點A(Xi,yi

29、),C(X2,y2)滿足條件IF2A | , |F2B| , |F2C |成等差數(shù)列.(1)求該橢圓的方程；(2)求弦AC中點的橫坐標.分析：因為已知條件中涉及到橢圓上的點到焦點的距離，所以可以從橢圓的定義入手.解：(1)由橢圓的定義及已知條件知：2a = | FiB I + | F2B I =10,所以a=5,又c= 3, HYPERLINK l bookmark236 o Current Document 22故b=4.故橢圓的方程為 +或=1.259.，925由點B (4, y0)在橢圓上，仔| F2B | = | y|=一,因為橢圓的右準線方程為x =, HYPERLINK l boo

30、kmark230 o Current Document 54一- 4 4254離心率e =一.所以根據(jù)橢圓的第二定義，有產(chǎn)2A|=一(Xi) = 5 Xi,55 45 4 25._ 4 一. _ 4|FzC|= 一(Xz) =5 X2.因為 IF2AI , IF2BI , IF2CI成等差數(shù)列，5-Xi+5 455_ 4- 9 一5 - - X2 =2父一，所以：X1+X2=8,55從而弦AC的中點的橫坐標為 X1=4。2點評：涉及橢圓、雙曲線上的點到兩個焦點的距離問題，常常要注意運用第一定義，而涉 及曲線上的點到某一焦點的距離，常常用圓錐曲線的統(tǒng)一定義.對于后者，需要注意的是右焦點與右準線對

31、應(yīng)，不能弄錯.考點四 直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題利用數(shù)形結(jié)合法或?qū)⑺鼈兊姆匠探M成的方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用判別式、韋達定理來求解或證明.6.拋物線C的方程為y=aX2(a0),過拋物線C上一點P(X0,y)(X w0)作斜率為的兩條直線分別交拋物線C于 A(X1,y1)B(X2,y2)兩點(P,A,B三點互不相同)，且滿足 k2 +冰1 =0（九/0且九#1）.（1）求拋物線 C的焦點坐標和準線方程；（n）設(shè)直線 AB上一點M,滿足麗 =，uMA,證明線段PM的中點在y軸上；（出）當(dāng) 九二1時，若點P的坐標為（1,-1）,求/ PAB為鈍角時點 A的縱坐標y1的取值 范圍.分析：將直線方

32、程和拋物線方程組成的方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，用韋達定理來求解.21解：（I）由拋物線 C的萬程y = ax （ac0）得，焦點坐標為（0,），準線萬程為4a1 y = 4a（n）證明：設(shè)直線PA的方程為丫一丫0=（乂一%）,直線PB的方程為y -v。=k2(x -X0). TOC o 1-5 h z ，、fy-丫0 = k1(x-X0)|，、八、點P(%, y0)和點A(X1, yj的坐標是方程組02的解.將式代入(y =ax 2八k1kl式信 ax 一 k x + k刈 一 y0 = 0,于是 xI + % = ，故 x = 一 x0 aa、_y y0 = k2(x x0)川又點P(x0,

33、y0)和點B(x2,y2)的坐標是方程組2的解將式代y=ax2III 入式得 ax2-k2xk2x0-y0=0 .于是x2+x0=反，故x2=反-x0. HYPERLINK l bookmark286 o Current Document aa，一小 .、.一九,G由已知得，k2 = 一九k1，則x2 = k1 - x0.ax2x1設(shè)點M的坐標為(xm , Vm ),由BM =九MA ,則xm =二.一.1 x0 - x0r將式和式代入上式得xM =00 = -x0,即xM + x0 = 0 .ivi00ivi01 ,線段PM的中點在y軸上. 22(出)因為點P(1,T)在拋物線y = ax上

34、，所以a = -1,拋物線萬程為 y =-x .由式知 x1 = -k1 -1，代入 y = x2 得 y1 = -(k1 + 1)2.將九=1代入式得x2 = k1 1,代入y = -x2得y2 = -(k2+1)2 .因此，直線PA、PB分別與拋物線C的交點A、B的坐標為 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark206 o Current Document A(_k1T _k12 _2kl -1) , B(k1 -1,-k12 +2k1 -1). Il于是 AP =(k1+2,k；+2k)，7B = (2k1,4k1),AP AB = 2k1(k1 +2)+4k

35、1(k12 +2k1)=2k1(k1 +2)(2k1 +1) .因/PAB為鈍角且P、A、B三點互不相同，故必有 AP AB 0 . HYPERLINK l bookmark296 o Current Document 2求得k1的取值范圍是k1 -2或-萬 k1 0 .又點A的縱坐標y1滿足y1 = (k1 +1)2 ,一，1 一 一1一 1故當(dāng) k1 2時，y1 1 ；當(dāng) k1 0 時，-1 y1 0),則 M (t ,2t) , F(1,0)o4因為M、F、N共線，則有kFM =kNF ,所以-t1t2 .142tt2 -1所以k=2J2 -1因而，直線 MN勺方程是y = 2j2(x1

36、)。(3) “逆向問題”已知拋物線 C： y2 =2px(p A0)的焦點為F,過點F的直線交拋物線 C于P、Q兩點,設(shè)點P關(guān)于x軸的對稱點為 R,則直線RQ必過定點A(-衛(wèi),0)。2證明：設(shè)過F的直線為y=k(x _E), P(x1,y3 Q(x2,y2),則 R(x1,-) 2kRAy2 =4xy k(x-Jp)得k2x2 一( pk2 4)x 1 p2k2 = 04XX2_-y1x1 f所以直線k(XiXiRQ必過焦點Ao過點A(_p 0)的直線交拋物線2，k(x2-9刈.-鳥為)xx2 p xk(x1 -p)2 =kRA, x12C于P、Q兩點，F(xiàn)P與拋物線交于另一點 R,則RQ垂直于

37、X軸o已知拋物線 C: y2=2px(p0),過點B(m,0 ) (m0)的直線交拋物線 C于P、Q兩點，設(shè)點P關(guān)于x軸的對稱點為 R,則直線RQ必過定點A(-m,0)。22“逆向問題”二：已知橢圓C:、+與=1的焦點為Fi(-c,0), F2(c,0),過F2的直線交橢圓Ca b2于P、Q兩點，設(shè)點P關(guān)于x軸的對稱點為 R,則直線RQ必過定點A(,0) c 22 .逆向問題三：已知雙曲線C:匕=1的焦點為Fi(-c,0), F2(c,0),過F2的直線交雙曲a2b2 一2a線C于P、Q兩點，設(shè)點P關(guān)于x軸的對稱點為 R,則直線RQ必過定點A( ,0)。 c點評：考點五圓錐曲線在高考中的應(yīng)用.

38、圓錐曲線的標準方程和幾何性質(zhì)與平面向量的巧妙結(jié)合。8. (2004年全國高考天津理科 22題)橢圓的中心是原點0,它的短軸長為2 J2 ,相應(yīng)于焦點F (C, 0) (C0)的準線L與X軸相交于點A, OF =2FA,過點A的直線與橢圓相交于P、Q兩點。(1)求橢圓的真程號心率;(2)若OP O Q = 0 ,求直線PQ的方程； TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark232 o Current Document - (3)設(shè)A P =八AQ (九 1),過點P且平行與準線L的直線與橢圓相交于另一點M證明FM =-九FQ。分析：(1)要求橢圓的方程及離心率，很重要的

39、一點就是要熟悉這種二次曲線的標準方程 的中心、長軸長、短軸長、焦點坐標、標準方程、離心率、焦距等有關(guān)概念及幾何性質(zhì)。解:22/71-c),聯(lián)系以上這兩個關(guān)于a、c的方(1)根據(jù)已知條件“橢圓的中心是原點 0它的短軸長為2v12 ,相應(yīng)于焦點F (C, 0) (C0)的準線L與X軸相交于點 A?！?可設(shè)橢圓的方程為2a2 -c2 =Q5 f；又因 OF =2FA,可以有 c =2(曳 c程組并解得a=J6, c=2,所以橢圓的方程為+=1 ,離心率 e= 622(2)根據(jù)已知條件 “0 P - 0 Q = 0 ，我們可設(shè)P (x1, y1 ) , Q(x2,y2 ),把兩個向量的數(shù)量積的形式轉(zhuǎn)化

40、為坐標表示的形式，再根據(jù)直線PQ經(jīng)過A (3, 0),只須求出直線 PQ的斜率K即可求出直線 PQ的方程。而P、Q兩點又在橢圓上，因此，我們?nèi)菀紫氲酵ㄟ^直線 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark244 o Current Document 22y=k ( x-3 )與橢圓左+ =1,聯(lián)系方程組消去一個未知數(shù)y (或x)得 HYPERLINK l bookmark421 o Current Document 622222(3k +1X -18kx+27k -6=0,并利用一兀二次方程的根與系數(shù)關(guān)系結(jié)合.2 cc 一一，、5、，-x1x2 +y1y2 =0及y1y2

41、 =k (x1 -3 (x2 -3仆難求出k= ,這里應(yīng)特別注意 K的值要保5證&0成立，否則無法保證直線PQ與橢圓有兩個交點。(3)要證F M =-九F Q ,我們?nèi)菀紫氲酵ㄟ^式中兩個向量FM FQ的坐標之間關(guān)系來謀求證題的方法。為此我們可根據(jù)題意“過點P且平行為準線L的直線與橢圓相交于另一點MT,求得點M坐標為(x1,y1 又因APGuAQ易知FM FQ的兩個縱坐標已經(jīng)滿足 必=九y2 ,所以現(xiàn)在要考慮的問題是如何證明FM FQ的兩個橫坐標應(yīng)該滿足 x1 -2 = -Z(x2 -2),事實上，AP = xi -3,yi ,AQ = x2 -3, y2、.5 -1汪息到兒 1,解得x2 =

42、2因 F (2, 0),“，-必),故 FM=x1 2,% (雙3)+1, y2.一11 -1i 一 .又 FQ=(x2 -2, y2 )= , y2 I,因此 FM=-九 FQ 2人)點評：本題主要考查橢圓的標準方程、幾何性質(zhì)及相關(guān)概念，直線方程、平面向量的坐標 表示和向量的數(shù)量積，多元二次方程組解法、曲線和方程的關(guān)系、直線與橢圓相交等解析幾何 的基礎(chǔ)思想方法，以及分析問題和綜合解題能力。把兩個向量之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為兩個向量坐標之間的關(guān)系，再通過代數(shù)運算的方法來解決有關(guān)向量的問題是一種常用的解題手段。9.(江蘇卷)已知F1(2,0), F2(2,0)，點P滿足| PF1 |-| PF2 |=

43、2,記點P的軌跡為E(1)求軌跡E的方程；(2)若直線l過點F2且與軌跡E交于P、Q兩點.(i)無論直線l繞點F2怎樣轉(zhuǎn)動，在 x軸上總存在定點 M (m,0),使MP _LMQ恒成 立，求實數(shù)m的值.(ii )過P、Q作直線x =1的垂線PA OB垂足分別為 A、B,記,=|PA|+|QB| ,2| AB |求入的取值范圍.解析: 答案：解：(1)由| PF1 | | PF2 | = 2 1).3(2)當(dāng)直線I的斜率存在時，設(shè)直線方程為y =k(x2), P(xi,yJQ(x2,y2),與雙曲線方程聯(lián)立消 y 得(k2 3)x2 4k2x+4k2+3 = 0,L 2k2 -30 0 TOC

44、o 1-5 h z ,j4k2 , x1 + x2 = 0k -34k2 +3x x2 =20lk -3解得k2 3v MP MQ =(x1 m)(x2 m) + y1y22 ,= (x1 -m)(x2-m) k (x2)(x 2 2) TOC o 1-5 h z 2222=(k1)x1x2-(2km)(x 1 x )2 m 4k(k2 1)(4k2 3) 4k 22k 2 m)k2 -33 -(4m 5)k22二；m .22m 4kk2 -3丁 MP _LMQ,/. MP MQ = 0,k2 -3故得 3(1 -m2) + k2(m2 -4m-5) =0對任意的.2k 3恒成立,L 2解得m

45、 = -1.1 -m =0口 -4m -5=0當(dāng) m = -1 時，MPLMQ.當(dāng)直線l的斜率不存在時，由 P(2,3),Q(2,3)及M(1,0)知結(jié)論也成立,綜上，當(dāng)m =1時，MPXMQ.1- a =1, c =2,一直線x =一是雙曲線的右準線，2 11-1 一由雙曲線定義得：| PA|二 | PF2 |= | PF2 |,|QB |= |QF2 | ,e 22方法| PQ | 二 1 k2 |X2 -xi |2| AB| 一2 1y2 -y”V1 +k2 |x2 -x1 |、；1 + k21 1 + 12 |k(x2 -Xi)| 一 2 |k | 一 2 ； k221k2 3, 0；

46、 k2. 一1注意到直線的斜率不存在時,| PQ|二| AB|,此時九=一, 2方法二：設(shè)直線 PQ的傾斜角為0 ,由于直線PQ與雙曲線右支有二個交點,二 .2二，一一一. 一 Q - 消去x1得 m的軌跡方程為x122221y0 =x0 2 11(X0 #0)。2x0即M的軌跡方程為y = x21 一 八2 1 x 吏 0 。2x（2）根據(jù)式子列十回SP| |SQ|的特點，我們很自然想到平面直角坐標系中的兩點間的距離公式。于是可先求S、T兩點的坐標，易知:.2 一，12、.S(x +x1,0)T 0,1+一x I 從而有 2!, SP = y1 Jx1 +1, SQ = y2 %/x1ST

47、= 1 +1x12 1x； +1i 2 rSPSQ1 2 Y 11 1+2x1 又因y4 =1x2 x；=；僅自2 f =2242X2 12STSPSTSQ12、 1 +x1 l 2 J 2yi y2y1、V2可取一切不相等的正數(shù)。,ST SPST+SQ的取值范圍是（2,十00）。點評：這里的解法有別于 2004年福建省高考數(shù)學(xué)評標準所給的答案。我們看到，其解法 的優(yōu)點在于不用添加任何輔助線的方法就可直接給出作答，這更貼近考生的學(xué)習(xí)實際。方法總結(jié)與2008年高考預(yù)測（分析2008年高考命題趨勢，對命題難度，內(nèi)容，熱點等作總結(jié)）（一）方法總結(jié).求曲線方程常利用待定系數(shù)法，求出相應(yīng)的a, b, p

48、等.要充分認識橢圓中參數(shù) a,b,c,e的意義及相互關(guān)系，在求標準方程時，已知條件常與這些參數(shù)有關(guān).涉及橢圓、雙曲線上的點到兩個焦點的距離問題，常常要注意運用第一定義，而涉及曲線上的點到某一焦點的距離，常常用圓錐曲線的統(tǒng)一定義.對于后者，需要注意的是右焦點與右準線對應(yīng)，不能弄錯.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題，利用數(shù)形結(jié)合法或?qū)⑺鼈兊姆匠探M成的方程組轉(zhuǎn)化為一元二次方程，利用判別式、韋達定理來求解或證明.對于軌跡問題，要根據(jù)已知條件求出軌跡方程，再由方程說明軌跡的位置、形狀、大小等特征.求軌跡的常用方法有直接法、定義法、參數(shù)法、代入法、交軌法等 .與圓錐曲線有關(guān)的對稱問題，利用中心對稱以及軸對稱的

49、概念和性質(zhì)來求解或證明 （二）2008年高考預(yù)測.求曲線（軌跡）方程的常用方法（直譯法、定義法、待定系數(shù)法、動點轉(zhuǎn)移法、參數(shù)法等）。.掌握綜合運用直線的基礎(chǔ)知識和圓的性質(zhì)，解答直線與圓的位置關(guān)系的思想方法。.解析幾何是銜接初等數(shù)學(xué)和高等數(shù)學(xué)的紐帶。直線與圓錐曲線是解析幾何的重要內(nèi)容，因而成為高考考查的重點。綜觀近幾年的全國和部分省高考數(shù)學(xué)試題，本專題列出高考考查的熱點內(nèi)容有：（1）直線方程；（2）圓錐曲線的標準方程；（3）圓錐曲線的幾何性質(zhì)；（4）直線與圓錐曲線的位置關(guān)系；（5）求曲線（軌跡）方程。特別是求曲線（軌跡）方程和直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題是高考解析幾何問題的熱中之熱。四、強化訓(xùn)練

50、（要求選擇填空解答兼有并留有解答空間，便于用戶直接應(yīng)用）（一） 選擇題 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark309 o Current Document 22，一 一 x y1 .若橢圓 十=1內(nèi)有一點P（1-1） , F為右焦點，橢圓上有一點M,使 HYPERLINK l bookmark325 o Current Document 43|MP | + 2 |MF最小，則點M是（）-2 6332 6（A）（二,-1）（1稼 （匚）（D） （土工,7）2 .過拋物線y2 =2x的焦點作直線交拋物線于P(x,yi),Q(X2,y2),若4+乂2=3，則PQ的中點M

51、到拋物線準線的距離為()(A) 5(B) 4(C)3(D)2222.已知橢圓 2-+2-=1(ab0),雙曲線 與一與二1和拋物線y2 = 2 px( p 0)的 a ba b離心率分別為ei,e2,q,則()(A) qe2 e3(B)ee? =Q (C)eezCQ (D)己金之q4.拋物線y2=2px上的一點為Q(6, y0)且Q點到拋物線的焦點 F的距離|FQ|=10 ,則F點到拋物線的準線l的距離是() (A) 16(B) 12(C) 8(D) 45.直線 l : xy =2 ,點 P(1,0),若P點關(guān)于l的對稱點P在雙曲線2ax-ay2 =1 上,則雙曲線的焦點坐標是(),j6?6(

52、A) (0,*萬) (土3,0)(C).4242(0F(D)F0)22226.設(shè)連結(jié)雙曲線x2 y2=1與y2- x2=1的四個頂點所成的四邊形面積為a b b a四個焦點所成的四邊形的面積為S2,則 : 6的最大值是() TOC o 1-5 h z (A) 1 (B) 1 (C)1 (D)2 HYPERLINK l bookmark169 o Current Document 42 HYPERLINK l bookmark361 o Current Document 22設(shè)F (c,0)為橢圓 + J =1(a Ab 0)的右焦點，橢圓上的點與點F的距離的最a b1 , 大值為M ,取小值為

53、m,則橢圓上與F點的距離是一(M +m)的點是()2b.b. (C,土?) B. (0, b) C. (C,士b)D.以上都不對 HYPERLINK l bookmark29 o Current Document aa8 中心在原點，焦點在坐標為 (0, 5技)的橢圓被直線3x y 2=0截得的弦的中點的橫坐標為1,則橢圓方程為()2A r.25.=175 HYPERLINK l bookmark419 o Current Document 22 22 2x2 2y2/B.- =175252C. 土 252上=17522D.2L =175252斜率為1的直線l與橢圓 +y2=1相交于 42B坐

54、C5A、B兩點，則|AB|的最大值為(4j10D8/5510拋物線y=ax2與直線y=kx+b(kw 0)交于A、B兩點，且此兩點的橫坐標分別為Xi ,X2，直線與x軸交點的橫坐標是A X3=Xi+X2BX3,則恒有()XiX2=XiX3+X2X3Xi+X2+X3=0 D XiX2+X2X3+X3Xi=0.已知 A、B、C三點在曲線 y=，x上，其橫坐標依次為1, m,4(1m4),當(dāng) ABC TOC o 1-5 h z 的面積最大時，m等于()A 3B 9C -D - HYPERLINK l bookmark275 o Current Document 422.設(shè) u,vC R,且 |u|w

55、 0,則(uv)2+( %；2u2 9 )2 的最小值為() vA 4B 2C 8D 2,21-12答案 一 IMF |11 .【答案】A解析： 設(shè)點M到右準線距離為|MN |,則 = e=。|MN |22于是|MP|+2|MF RMP |+|MN |,所以過點P作準線a ,x = 一的垂線，該垂線與橢圓的焦c點就是M,此時 M (R6,1)。32.【答案】D解析：分別過點P,Q,M向準線引垂線，其長度分別為d1,d2,d3, M是PQ的中點,a d2 (P X” 4 勾Xi X2p _ _一 2a2 -b2.【答案】C解析：.橢圓0=a1-2),雙曲線 e2 =a +b =jl+br ,拋物

56、線 e3 =1。a , ab2/ b2、-b。御 :2)二 (a2)e.【答案】C解析： 拋物線準線x = R,由拋物線定義知6-(-)=10,得p=8,由p 22的意義知選C。1.【答案】D解析：解得對稱點R(2,-1),代入雙曲線方程的 a=-,.雙曲線為22x _ y_7 一 72=1。.半焦距 c = J7+7=%2 。. 221八 C 八，【答案】B 解析： 設(shè)a0,bA0, S1 = -M2ax2b =2ab ,2S2 =2 (1 2c c) -2c2 =2(a2 b2)222宜二 2ab ：:. a2 b2 = 1S2 -2(a2 b2) - 2(a2 b2) - 2B 提示：M

57、 = a+c, m=a c,1，一 、(M + m) = a,應(yīng)選 B.C提示。由題意，可設(shè)橢圓方程為將直線3x-y-2=0代入，整理成關(guān)于22a2b2x的二次方程22=1,且 a2=50+b2,即方程為 一y-5 +5=150 b2 b2由 Xi+x2=1 可求得 b2=25,a2=759. C4 v 5 -110 D提示；解方程組2,y = ax /日 ，得y =kx +bax?- kx b=0,可知 Xi+x2= ab,XiX2= 一 ，X3= 一a-，代入 k提示；弦長|AB|=d2 - 5驗證即可答案 B11 B 提示器 由題意知A(1, 1), B(m,Jm),C(4,2),直線A

58、C所在方程為x 3y+2=0,點B到該直線的距離為 d= 1m吧 +2|,10S2ABe 二1| AB| dk炳M1m -3四+21 =1同_3而 +2|（而_a2| m 22102224（1,4），當(dāng)dm =3時，Sabc有最大值，此時 m=9.答案：B2412 C 提示器考慮式子的幾何意義，轉(zhuǎn)化為求圓x2+y2=2上的點與雙曲線xy=9上的點的距離 的最小值.選C（二）填空題.直線l的方程為y=x+3，在l上任取一點P,若過點P且以雙曲線12x2 4y2=3的焦點 作橢圓的焦點，那么具有最短長軸的橢圓方程為 在拋物線y2=16x內(nèi)，通過點（2, 1）且在此點被平分的弦所在直線的方程是 A是

59、橢圓長軸的一個端點，O是橢圓的中心，若橢圓上存在一點P,使/ OPA=,2則橢圓離心率的范圍是、已知拋物線y=x21上一定點B（1, 0）和兩個動點P、Q,當(dāng)P在拋物線上運動時，BPXPQ,則Q點的橫坐標的取值范圍是 1T答案一 x2 y2+=1 提示：所求橢圓的焦點為 F1(1,0),F2(1,0),2a=|PF1|+|PF2|54欲使2a最小，只需在直線l上找一點P.使|PF1|+|PF2|最小，利用對稱性可解8x-y- 15=0 提示士設(shè)所求直線與y2=16x相交于點A、B,且A(x1,y1),B(x2,y2),代入拋物線方程得 y12=16x1,y22=16x2,兩式相減得，(y1+y

60、2)(y1一y2)=16(x1 x2).即y1 - y2 = _l6_ = kAB=8 故所求直線方程為 y=8x 15x1 -x2 y1 y2 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark19 o Current Document 22215 eb0),以O(shè)A為直徑的圓：x22a2b22 f2ax+y2=0，兩式聯(lián)立消y得 匚2x2-ax+b2=0 即e2x2ax+b2=0,該方程有一解 x2,一解為a, aI由韋達定理 x2= a a,0 V x2 a,即 0 V a a a= e 1,tC R,，必須有 A=(s- 1)2+4(s- 1)0 即 s2+2s30,解