7.1 復(fù)數(shù)的概念（解析版）

1、7.1復(fù)數(shù)的概念【知識點(diǎn)梳理】知識點(diǎn)一：復(fù)數(shù)的基本概念.虛數(shù)單位i數(shù)Z叫做虛數(shù)單位，它的平方等于-1,即產(chǎn)知識點(diǎn)詮釋：，是一1的一個(gè)平方根，即方程d=l的一個(gè)根，方程1=_1的另一個(gè)根是i;，可與實(shí)數(shù)進(jìn)行四那么運(yùn)算，進(jìn)行四那么運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立。,復(fù)數(shù)的概念形如a + 力，（）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，記作：z = a + bi （ a.bR ）；其中：。叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，人叫復(fù)數(shù)的虛部，是虛數(shù)單位。全體復(fù)數(shù)所成的集合叫做復(fù)數(shù)集，用字母C表示。 知識點(diǎn)詮釋：復(fù)數(shù)定義中，容易忽視，但卻是列方程求復(fù)數(shù)的重要依據(jù).復(fù)數(shù)的分類對于復(fù)數(shù) z = a+bi （a,be R ） 假設(shè)h=0,那么q+加為實(shí)數(shù)，假

2、設(shè)厚0,那么q+4為虛數(shù)，假設(shè)=0且屏0,那么q+歷為純虛數(shù)。分類如下:z = a+bi(a.b g /?)實(shí)數(shù)3 = 0）虛數(shù)（。0）純虛數(shù)（ =0）非純虛數(shù)（4W0）用集合表示如以下圖:4 .復(fù)數(shù)集與其它數(shù)集之間的關(guān)系N整Z&Q&R&C （其中N為自然數(shù)集，Z為整數(shù)集，。為有理數(shù)集，E為實(shí)數(shù)集，。為復(fù)數(shù)集。）5.共舸復(fù)數(shù):當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共筑復(fù)數(shù)。虛部不等于。的兩個(gè)共 規(guī)復(fù)數(shù)也叫做共枕虛數(shù)。通常記復(fù)數(shù)Z的共瓏復(fù)數(shù)為Z。故答案為：8 + 6i類型五、復(fù)數(shù)的軌跡與最值問題例 20. (2021 全國高一課時(shí)練習(xí))設(shè)全集 U=C, A=z|z|-l|=l

3、-|z|, zGC, B=zz 1由復(fù)數(shù)模的幾何意義可知，復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的集合是以原點(diǎn)。為圓心、1為半徑的圓.例2L (2021 .江蘇金陵中學(xué)高三階段練習(xí))假設(shè)復(fù)數(shù)Z滿足zi = i，那么|z-2i|的最大值是.【答案】3【詳解】設(shè)2 = +歷，力,那么6+=1,根據(jù)復(fù)數(shù)幾何意義知，|z-2i|表示在復(fù)平面內(nèi)，33到(0,2)的距離，那么最大值為2 + 1=3,故答案為：3例22. (2021 重慶市實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三階段練習(xí))設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-”=|z + l|=|z + i|,那么2=.【答案】0【詳解】設(shè)復(fù)數(shù) Z = X+W(XR),由|z-l|=|z + l|,可得復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)

4、在以(-1,0)和(1,0)為端點(diǎn)的線段的垂直平分線上，所以x = 0,由|z + l卜|z + i|可得復(fù)數(shù)Z對應(yīng)的點(diǎn)在以(TO)和為端點(diǎn)的線段的垂直平分線上，所以y = x,由|z-1卜|z + i|可得復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在以(1,0)和為端點(diǎn)的線段的垂直平分線上， 所以y = r,x = 0又由/2.應(yīng)選：C.（2022浙江高三專題練習(xí)）復(fù)數(shù)4 =加 +（4-22.（加氏），Z2 =2cose+（X + 3sin（9）i（；l,并且z = z ,那么;I的取值范圍是（ 1JA.C.A.C.916,7B.D.【答案】A【解析】【分析】 根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件消去2可將用sin。表示，根據(jù)三角函

5、數(shù)的有界性結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性即可得【詳解】: 4 = %【詳解】: 4 = %出結(jié)果.化為 4sin2e = 2 + 3sin。,= 2cos94 - nr = 4 + 3sin。 TOC o 1-5 h z (3丫 9AZ = 4 sin。一二-I8j 1639當(dāng)sin9 = j時(shí)，2取得最小值-當(dāng)sin6 = -1時(shí)，2取得最大值7, o1627 ,169 1/1的取值范圍是二，7 ,16應(yīng)選：A.二、多項(xiàng)選擇題9. （2021 ,山東萊西高一期末）設(shè)復(fù)數(shù)z = m（3 + i）-（2 + i）, i為虛數(shù)單位，機(jī)eR,那么以下結(jié)論正確的為（ ）2A.當(dāng)可根Zj2 + z22 = 0,那

6、么 Z|=Z2=0D.假設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z| = l,那么|z + 2i|的最大值為3【答案】BD【解析】【分析】通過復(fù)數(shù)的基本性質(zhì)，結(jié)合反例，以及復(fù)數(shù)的模，判斷命題的真假即可.【詳解】解：對于A選項(xiàng)，當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)時(shí)，可以比擬大小，所以A不正確；對于B選項(xiàng)，復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部都是。時(shí); 復(fù)數(shù)是0,所以B正確；對于C選項(xiàng)，當(dāng)馬=l*2=i,滿足z： + z22=0，但馬=Z2=（）,所以C不正確；對于D選項(xiàng)，復(fù)數(shù)z滿足忖=1,那么復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的軌跡為單位圓，那么|z + 2i|的幾何意義，是單位圓上的點(diǎn)到（0,-2）的距離，它的最大值為3,所以D正確；應(yīng)選：BD.（2021 .江蘇.南京市

7、第二十九中學(xué)高二期中）“虛數(shù)”這個(gè)詞是17世紀(jì)著名數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家笛卡爾創(chuàng)制的， 當(dāng)時(shí)的觀念認(rèn)為這是不存在的數(shù).人們發(fā)現(xiàn)即使使用全部的有理數(shù)和無理數(shù)，也不能解決代數(shù)方程的求解問 題，像d +1=（）這樣最簡單的二次方程，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)沒有解.引進(jìn)虛數(shù)概念以后，代數(shù)方程的求解問題才 得以解決.設(shè)/是方程f+x + l = 0的根，那么（）B. t + t =-1c. v是該方程的根D.產(chǎn)21是該方程的根【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)每個(gè)選項(xiàng)的描述進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)果.【詳解】解：對于A選項(xiàng)，由于，是方程的根，那么產(chǎn)+/ + 1 = 0,而尸_1 = _1 乂/+, + 1) = 0,故,=1,

8、選項(xiàng)A正確；對于B選項(xiàng)，由虛根成對定理可知，T也是方程f+x+JO的根，故r+7 = _1,選項(xiàng)B正確；對于C,，工0且產(chǎn)T + lwO,故T不是該方程的根，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；對于D,泮21=卜33.產(chǎn)=而=L = 1,代入方程得，f + + 1 /=0,t tyt J tt.！是該方程的根，即產(chǎn)21是該方程的根，選項(xiàng)D正確. t應(yīng)選：ABD.三、雙空題(2019 浙江臺州模擬預(yù)測)z是復(fù)數(shù)，i是虛數(shù)單位，且z = -2 +5，(z+4)2 =1 + 473/,那么|?|=，復(fù)數(shù)N在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第 象限.【答案】 V7 二【解析】【分析】利用共飄復(fù)數(shù)的定義求出三，然后根據(jù)復(fù)數(shù)相等求出參數(shù)。的

9、值，即得復(fù)數(shù)z, Z ,進(jìn)而可得|z|及復(fù)數(shù)5在 復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.【詳解】_L 4-2=1因?yàn)閦 = 2 +出，所以N = 2由，所以(z + 4/=(2-出)2=4-/4出=1 + 46所以 廣，解得 -4 = 4A/3a = Y，所以z = -2-Qi, z =-2 + V3z ,所以|z|=V7,復(fù)數(shù)5在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(-2,6),位于第 二象限.故答案為：y/l ；二.【點(diǎn)睛】此題主要考查共輒復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)相等、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)的運(yùn)算等，考查考生的運(yùn)算求解能力.四、填空題（2021 湖北高一期末）根wR,復(fù)平面內(nèi)表示復(fù)數(shù)（加2-56） +（加2+m）i的

10、點(diǎn)在虛軸上，貝I【答案】-1或6【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)在虛軸上，解方程求得結(jié)果.【詳解】復(fù)數(shù)對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（4-5m-6 , m2 +m）,假設(shè)點(diǎn)在虛軸上，那么 m2 - 5m - 6 = 0 ,解得m=-1 或2 = 6 .故答案為：-1或6.（2021福建福州高三期中）i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)4=1 + ,在復(fù)平面中將4繞著原點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)165。得到 Z2,那么 z?=.【答案】0 6【解析】【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，特殊角的三角函數(shù)值，即可得解.【詳解】解：4=1 + /在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為所以|。4| = F彳=2,且。4與1軸正方向的夾角為60。, 將其逆時(shí)針旋

11、轉(zhuǎn)165。后落在第三象限，且與x軸負(fù)半軸的夾角為60。+ 165。-180。= 45。，所以對應(yīng)的點(diǎn)為所以 z2 二 /2 /2i.故答案為：-0i.(2022上海高三專題練習(xí))。是實(shí)系數(shù)一元二次方程/一(2m-1)工+/+ 1 =()的一個(gè)虛數(shù)根，且 |a區(qū)君，假設(shè)向量M = (26-1,3-，那么向量|3|的取值范圍為【答案】收理【解析】【分析】根據(jù)條件一元二次方程根的特征可知，a也是犬-(2機(jī)-1次 +/+1 = 0的虛數(shù)根，結(jié)合條件，利用 根與系數(shù)之間的關(guān)系和判別式求出2的取值范圍，然后再利用向量的模長公式和一元二次函數(shù)性質(zhì)即可求 解.【詳解】不妨設(shè) i = a + bi , a =

12、a . bi，因?yàn)椤Ｊ菍?shí)系數(shù)一元二次方程2-(2加-1口 +加2+1 = 0的一個(gè)虛數(shù)根，所以a也是/ _(22-1)工+/+1 =0的一個(gè)虛數(shù)根，1.A/從而 aa = /+Z?2 =|。2=/ + 5，又因?yàn)閒 - (2機(jī)- l)x +62 +1 = o無實(shí)根，所以 A = -(2m-l)2-4(m2 +1)0，3由可得，根2,4因?yàn)槿?(2口1,3 一),所以向2 =(2加一 +(3一加 =5(-一 1)、+5 ,由一元二次函數(shù)性質(zhì)易知，3 f 325當(dāng) 2 = 1時(shí)，有最小值5；當(dāng)2 = -時(shí)，當(dāng)機(jī)=2時(shí)，| W|2=10，故當(dāng)1v22時(shí)，5。柒2(竽，即右4164故向策面的取值范圍為

13、：君，返1故答案為：I君， 五、解答題知識點(diǎn)二：復(fù)數(shù)相等的充要條件兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛局部別相等，那么我們就說這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等.即:a-c 如果,那么。+沅=。+成 b = a特別地：a+bi = Qa = b = O. 知識點(diǎn)詮釋：一個(gè)復(fù)數(shù)一旦實(shí)部、虛部確定，那么這個(gè)復(fù)數(shù)就唯一確定；反之一樣.根據(jù)復(fù)數(shù)a+bi與c+di相等的定義，可知在a-c, /尸。兩式中，只要有一個(gè)不成立，那么就有a+h#c+di (a, b, c, dR).一般地，兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說相等或不相等，而不能比擬大小,如果兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)，就可以比擬大小; 也只有當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)全是實(shí)數(shù)時(shí)才能比擬大小. 知識點(diǎn)三：

14、復(fù)數(shù)的幾何意義.復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：如下圖，復(fù)數(shù)z = a + bi (。/尺)可用點(diǎn)Z(a,b)表示，這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫 做復(fù)平面，也叫高斯平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸. P ZGO) O,：X-0知識點(diǎn)詮釋：實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù).除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù).復(fù)數(shù)集與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系按照復(fù)數(shù)的兒何表示法，每一個(gè)復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)唯一的一個(gè)點(diǎn)和它對應(yīng)；反過來，復(fù)平面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)， 有唯一的一個(gè)復(fù)數(shù)和它對應(yīng)。復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合是一一對應(yīng)關(guān)系，即復(fù)數(shù)z = a+ 復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(q1) 這是復(fù)數(shù)的一種幾何意義。 3.復(fù)數(shù)集與復(fù)平面中的向量的對應(yīng)關(guān)系

15、在平面直角坐標(biāo)系中，每一個(gè)平面向量都可以用一個(gè)有序?qū)崝?shù)對來表示，而有序?qū)崝?shù)對與復(fù)數(shù)是一一對應(yīng) 的，所以，我們還可以用向量來表示復(fù)數(shù)。17. (2022江西上饒高二期末(文)復(fù)數(shù)z =(6帆+8)+ (療-3瓶+2)i ,其中i是虛數(shù)單位，m為實(shí)數(shù).實(shí)數(shù).當(dāng)復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)時(shí)，求加的值;當(dāng)復(fù)數(shù)zi在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限時(shí)，求m的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)閦為純虛數(shù),所以m2 - 6m + 8 = 0m2 - 3m + 2 0由阜彳尋m=2或根=4 ,且加w 1且mw 2綜上可得，當(dāng)z為純虛數(shù)時(shí)根=4;因?yàn)閦i = -(/-3m + 2)+ (/6m+8)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限,

16、一(加2 -3根+ 2) 0m2- 6m + 8 0自牟得根2,且2m4即220）滿足閔=A，4的實(shí)部與虛部的積為5（1）求 4 ；（2）設(shè) z2 =（/2q 3）+ （q2 4a + 3）i（a H）, ,求。的值.從4 二 Z八 Z2為純虛數(shù)；Z2在復(fù)平面上對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（-3,3）,這三個(gè)條件中選一個(gè)，將問題（2）補(bǔ)充完整，并作答.（注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.）【解析】,（+2 =34（1）解：由 ，nm = 15Q m n 0,解得m=5, n = 3所以 4 =5 + 3i.（2） ./Z = 5 + 3i假設(shè)選，由z1=Z2，那么:一：，解得 =4a -4。+

17、 3 = 320 公八2解得。=-1a -4。+ 3_仿22。3 = 3假設(shè)選，由題意2 , o ,解得。=0.q2_44 + 3 = 321.（2021全國高一專題練習(xí)）為虛數(shù)單位，關(guān)于工的方程X2氏+10 = 0（/?）的兩根分別為否，馬.（1）假設(shè)l=3 + i,求實(shí)數(shù)的值；（2）假設(shè)|不一%|=2,求實(shí)數(shù)的值.【解析】解：（1）西為方.程V庶+10 =。（尺）的根，所以（3 + i一 （3 + i） + 10 = 0,整理得至.18 3p +（6 p）i=0,由pwR可得 =6.(2)由方程fa+1。=。(/?)可得x，Y2)p2 10iu，4假設(shè) R-1020 即 -2加或 22屈，

18、那么 X = 422210=-Jp2-40 ,42 V那么 x1-x2= J / _ 40,即玉 - % | = dP? - 4。- 2，解得 p - 2,假設(shè)一100即一2何 軸對稱，那么，=( zA. 1+iA. 1+i1 iD.+ -2 2【答案】B【詳解】角星：設(shè)z = q + 5（。*eR）,那么 z + 2 = （a + 2）+ /?i, z + 2i = a +（2b）i,依題意得 + 2 = a b = 2-ba，解得，應(yīng)選：B.例15. (2022河北高三階段練習(xí))在復(fù)平面中，復(fù)數(shù)(。+ 121+(1-“修。2。對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，那么實(shí)數(shù)的可能取值為()A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】CD【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)(。+ 1疔21+(1 。疔2。=(1 a) + ( + l)i 在第二象限，所以+應(yīng)選：CD.例16. (2022江西上饒高二期末(文)復(fù)數(shù)2 =(蘇-6帆+ 8) + (4-3m + 2)i,其中i是虛數(shù)單位，m為實(shí)數(shù).(1)當(dāng)復(fù)數(shù)Z為純虛數(shù)時(shí)，求相的值；(2)當(dāng)復(fù)數(shù)zi在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限時(shí)，求用的取值范圍.【解析】(1)因?yàn)閦為純虛數(shù)，所以所以m2 6m