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微積分講課提綱微積分（I）浙江大學(xué)理學(xué)院講課人：朱靜芬E-mail:第五節(jié) 函數(shù)圖形的凹向與拐點(diǎn)第三章 微分中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、曲線凹凸的定義二、曲線凹向的判定定理三、曲線的拐點(diǎn)及其求法 前面我們介紹了函數(shù)的單調(diào)性和極值，這對(duì)于了解函數(shù)的性態(tài)很有幫助，但僅知道單調(diào)性還不能比較全面地反映出曲線的性狀，還須要考慮彎曲方向。oyxL3L2L1AB 如右圖所示L1 ，L2 ，L3 雖然都是從A點(diǎn)單調(diào)上升到B點(diǎn)，但它們的彎曲方向卻不一樣。 L1 是“下凹”弧，L2是“上凹”弧 ，L3既有上凹弧，也有下凹弧。定義 設(shè) f(x)在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且如果在此區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上任意一點(diǎn)的切線的上方，則稱(chēng)曲線在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是上凹(或稱(chēng)“凹”)的；如果在此區(qū)間內(nèi)，曲線弧位于其上任意一點(diǎn)的切線的下方，則稱(chēng)曲線在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是下凹(或稱(chēng)“凸”)的。上凹的下凹的一、曲線凹凸的定義定義圖形上任意弧段位于所張弦的上方圖形上任意弧段位于所張弦的下方二、定理 (曲線凹向的判定定理)設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)具有二階導(dǎo)數(shù),那么(1)若在內(nèi)，則在上圖形是上凹的下凹的(2)若在內(nèi)，則在上圖形是證明分別應(yīng)用L定理，得兩式相減，得由假設(shè)這就證明了同理可證（1）例解注意到,例：解：三、曲線的拐點(diǎn)及其求法1.定義2.拐點(diǎn)的求法證定理（拐點(diǎn)的第一充分條件）例：解上凹下凹上凹拐點(diǎn)拐點(diǎn)定理（拐

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