：矩陣特征值問題及二次型

1、77第五章特征值問題及二次型要求：1）理解矩陣特征值特征向量的概念；掌握計算矩陣特征值和特征向量的方法。2）理解相似矩陣的概念及性質(zhì)，掌握矩陣對角化的充分必要條件。3）理解向量的內(nèi)積與正交的概念；掌握向量組正交化過程；理解正交矩陣的概念。4）理解實對稱矩陣有關(guān)特征值特征向量性質(zhì)；會用正交相似變換化實對稱矩陣為對角矩 陣。5） 了解二次型及其矩陣表示；了解二次型的標(biāo)準(zhǔn)型。6）會用正交變換法和配方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型。7） 了解二次型的秩、慣性定理、正定性；掌握正定矩陣的判別。5.1矩陣的特征值問題知識點：矩陣特征值特征向量的概念；計算矩陣特征值特征向量的方法。矩陣特征值的一些基本性質(zhì)。定義1 （特

2、征值特征向量）設(shè) A是n階方陣，若存在數(shù)和非零向量x,使得Ax x（1）則稱 為A的特征值，稱x為A的屬于（或?qū)?yīng)于）的特征向量。有時也稱（，x）是A 的特征對。注意特征值特征向量是針對方陣定義的。另外零向量 總滿足（1）式，但 不是特征向量。（1）可寫成（I A）x=（2）設(shè)A=（ aj ）,對于固定的 ，（2）是關(guān)于x的齊次線性方程組，它有非零解的充要條件是a12.anAa21a22.a2nA=.=0an1an2 .ann78（3）是關(guān)于 的一元n次方程，稱為方陣 A的特征方程，而它左端的n次多項式f( )= fA( )= I AfA（）的零點。n次多項式恰稱為A的特征多項式。表明A的特征

3、值是特征方程（3）的根或 有n個零點，故n階方陣A恰有n個特征值。但需注意兩點：1） n個特征值中有可能是相同的，稱為重特征值，即是 fA（ ） = 0的重根。如單位矩陣。 TOC o 1-5 h z r , 012）即便A為實萬陣，其特征值也可能是復(fù)數(shù)。例如 A=，則 HYPERLINK l bookmark38 o Current Document 10I A=1 = 2 1.1A的特征值為二i.但根據(jù)多項式理論，實矩陣的復(fù)特征值是成對出現(xiàn)的。定理1設(shè)1, 2, , 口是A= aj n n的n個特征值，則nn1o) i aii = trA i 1i 12o) i A . i 1證明由條件

4、I A=(1)(2)( n)(4)nn ( i) n1i 1n(1)ni 1另一方面，由行列式定義,I A中含有n的只有一項:d1( an)( a2?)( ann)nnn 1aii且在I A中，n 1也只出現(xiàn)在d1中，故1o）成立；在（4）式中令 0, 2o）成立。 推論1方陣A可逆當(dāng)且僅當(dāng)它的特征值全不為0。定理2設(shè) 是人=a的特征值，是對應(yīng)的特征向量，則j n n791） 不再是其它特征值的特征向量;2)(）是Ak的特征對；進步，（），（A）的特征對，其中3)若證明2)由3)若定理證明a0 a1as s, (A)aIa1AasAsoA可逆，則1）假設(shè)A2(A)A可逆，則1/1 一，的特征對

5、。因為類似可得Ak(ad aiAm分別是A2, m線性無關(guān)。s、 as A )(a0aiAk的特征對。進一步有as )=()(1/的屬于互不相同的特征值m的特征向量，則歸納法。當(dāng)m 1,結(jié)論成立（因 1）。設(shè)mk時結(jié)論成立，當(dāng)a1 1 a2 2akk ak 1(1)則 A(a1 1 a2 2 ak k aka1 1 1 a2 2akak(2)將（1）式乘以k 1 ,再減去（2）式得因為a1 ( k 1a2(2)21, 2, k線性無關(guān),故 ai ( k 1i)0,而k1,2, ,k).代入（1）式，得ak 1.因為 k，所以ak 10,故k 1線性無關(guān)。11的特征值和特征向量。80對于 2I

6、A = (4)4,解(4I A)x ，得的特征向量全體為k2 2對于 2A） x ,得無關(guān)的=(k3 3.( k2,k3不全為 0)00的特征值和特征向量。I A =(2)(1)2 = 0,2,解(2I A)x ，得31 ,解(I A)x ,得2,.o 屬于24) (1) =0, 14,2 。屬于4的特征向量全體為0 .屬于12的特征向量全體為231的特征向量為（強調(diào)：對于重特征值，有可能有重數(shù)個線性無關(guān)的特征值，也有可能沒有。若AAn n滿足A2I ,證明:A的特征值只能為證明設(shè)（，）為A的特征對，則A2是（12)2IA和3IA均不可逆。1）證明：I 2A可逆。2)求A 和 trA .證明1

7、）由條件知I A0,2IA 0,3I A 0,故1,2,3均為A的特征值,所以1 一一不是A的特征值。因而2I 2A12(金 I A)(2)30.813n32）由定理 1 知 A= i 1 2 3 6. trA= a = i =1+2+3=6. i 1i 1i 15.2相似矩陣知識點：相似矩陣的概念與性質(zhì)，矩陣相似于對角矩陣的充分必要條件。定義2（相似矩陣）對于n階方陣A, B ,若存在可逆陣 P ,使P 1AP B ,則稱A相似于B ,記作AB . （ P稱為相似變換矩陣）三條性質(zhì)：AA.(自反性)ii)若AB,則BA.(對稱性)iii)若AB, BC,則AC.(傳遞性)例 5 若 AB ,

8、則 r(A) r(B).證明若AB,則P 1AP B .因為P可逆，故PP1P2Ps。于是有R1B1R1AP1P2PsB .表明 A與 B等價。故 r(A) r(B).例6 (可作為習(xí)題)證明：若 AB ,則Ak Bk;(A)(B),()是的多項式)證明 由AB,成立P 1AP B.故(i ) Bk = P 1AkP ,即 Ak Bk.(ii)設(shè)()=am m am 1 m 1 a1a0,有(B)=amBm am 1Bm 1a1B a0I=P 1(amAm am 1Am 1 a1A a0I )P = P 1 (A)P,即(A)(B).82定理4 若AB ,則A與B的特征多項式相同，從而 A與B

9、的特征值也相同。證明 由AB,使P 1AP B.故I B P 1 IP P 1AP P 1( I推論4.a 若n階方陣A =diag J ,則證明因為對角矩陣的特征值即為對角元素。推論 4.b 若 AB,則 trA trB, A B .1若A相似于對角陣=2nAk = P kP 1.類似可得(A) P ( )P 1k 1 kk2,()knA)P P 1| I AP I A. 1, 2, n為A的所有n個特征值。(由定理1即得).，則 P 1AP ，即 A P P 1.(參見例5的證明過程).并易得(1)(2)(n)(具體例子作為習(xí)題)定理5 n階方陣A相似于對角陣的充要條件是A有n個線性無關(guān)的

10、特征向量。這樣就可以比較簡便地計算出Ak和(A) 了。證明 必要性.存在P,使P 1AP = diag J；其中1, 2,門為人的n個特征值。上式可寫成AP P 。記P= 1,2, n ,則成立A i i i ,即i是i的特征向量。因為 P可逆，故1, 2, , n線性無關(guān)。充分性.若A有n個線性無關(guān)的特征向量1, 2, , n滿足 A i i i，記P =1 ,2, n ,= diag i ,由必要性證明的推導(dǎo)過程倒推上去，即可得A相似于對角陣。83推論5若n階方陣A的n個特征值互異，則 A相似于對角陣。但須注意本推論的逆不成立。例如上節(jié)例1中的A有3個線性無關(guān)的特征向量，故 A相似于對角陣

11、。但 A的3個特征值不互異。*定理6 n階方陣A相似于對角陣的充要條件是：對于A的每個K重特征值i都有ki個線性無關(guān)的特征向量。即r( i I A) n K .6.3向量的內(nèi)積與正交矩陣知識點：向量的內(nèi)積與正交；向量組的正交化過程；正交矩陣及其性質(zhì)。在空間解析幾何中兩個向量a, b的內(nèi)積定義為 a?b = | a | | b | cos ,其中I a | ,I b I分別是 a, b的長度，是a與b的夾角。若在 R3中建立直角坐標(biāo)系后，向量3a=a1，a2, a3, b=b1，b2, b3的內(nèi)積的計算公式為a?b = aibi .i 1我們現(xiàn)在把內(nèi)積定義推廣到一般 n維實向量。定義3 (向量內(nèi)

12、積)設(shè)(a1,a2, ,an)T,(Db, ,bn)T Rn,則與的內(nèi)積定義為:aibi =i 1向量的內(nèi)積滿足如下性質(zhì)：i ) ：； , ) = ( , )；(對稱性)ii)1 k2 2, ) kX 1, ) k212, )； (k1,k2 R)(線性性)iii) ( , ) 0;且(，)0；(正定性)的長度(或模)(記作| | )定義為:過)， ， ) 0；定義4 (向量長度)對于Rn ,84向量的長度滿足如下性質(zhì)：1o | | 0;且卜卜0;（正定性）2o Hk | = k| |;（k R）（齊次性）3o K ,| JI J ；（Cauchy 不等式） TOC o 1-5 h z nC-

13、n| n HYPERLINK l bookmark120 o Current Document 即ai ha2h2i 1 i 1 i 14o| H H | （三角不等式）（1o, 2o的證明用定義；4o利用3o來證明。3o證明如下）證明 當(dāng)，線性相關(guān)時，則存在 k C,使得 k或 k .若 k則 HYPERLINK l bookmark122 o Current Document K，）1 K，k ；.| k）|，|I III II ）2 |k|（,）對于 k類似可證。故當(dāng) ，線性相關(guān)時，K , ）| II III | 設(shè)，線性無關(guān)，則t R,t ,由性質(zhì)iii） , （ , ） （ t ,

14、t ） 0 ,即 （，）2（ , ）t 0 ,即二次實系數(shù)方程 ,） 2 , t （ , t2=。沒有實根，故 4（，4 , 乂 ，）0,于是 （,）1.于是引入如下定義:定義5 （向量的夾角）對于，Rn,當(dāng)時，定義的夾角為:arccosE (0若性質(zhì):0,則稱與正交，記為1)Rn;852222）對于, Rn,若 ，則J J I| .（勾股定理）.、 一，一 1 ,一 、，長度為1的向量稱為 單位向量。非零向量的單位化： 力 ，幾何意義：同方向上的單位向量。正交向量組：兩兩正交的一組非零向量；標(biāo)準(zhǔn)正交向量組： 由單位向量組成的正交向量組。定理7若1, 2, m是正交向量組，則 1,2, m線性

15、無關(guān)。證明設(shè)K i k2 2% m .用i與兩邊作內(nèi)積得：.i,k1 1 k2 2km m ： i, . 0 （i 1,2, ,m）.由于1, 2, , m正交，即得：ki（ i, ） 0,而（i, i） 0,于是ki 0.故無關(guān)。正交基：由正交向量組構(gòu)成的向量空間的基;標(biāo)準(zhǔn)正交基：由標(biāo)準(zhǔn)正交向量組構(gòu)成的向量空間的基。定理Rn中，若m線性無關(guān)（mm與某個正交向量組證明由于2,m等價。且tf 1,t等價（2 tm)（線性無關(guān)），故k1 1（ k1為待定系數(shù)），k111 ,2k1J 0 ,從而取k1要使0.1 , 2, , ,o又從上式可得1 ,12k11 .表明2y 1,2等價。一般已求得正交向

16、量組t 1等價(2 t m).令86由t i (i 1, ,t 1)的要求，用與上式兩邊作內(nèi)積得：0 ( i, t)，.于是可求得kit(i 1, ,t 1),即易見1, 1是正交向量組，且由1, 與1, t1等價及上式，可得 11 , t等價。定理10的證明給出了將一個線性無關(guān)的向量組1, 2, , m正交化的步驟：如果再將正交向量組單位化，即令1,2,m)則1, m是與1, 2, m等價的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組。由上述過程把一個線性無關(guān)的向量組1, 2, m化為與1, 2, m等價的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組 1, m的過程稱為施密/I ( Schmidt)正交化方法.例 7 設(shè) 11, 1, 1T, 21,

17、 1, 0T, 31, 0, 1T，將 1, 2, 3 化為 R3的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基。解 易見1, J 0,(i2,3),故1 i,(i2,3),以下將2, 3正交化。令22,2 , 332, 2再令871/22=1/21（考慮為什么31 ?）則1,1/.3 1/73 , 1/.31/.21/ . 21/ .61/.6 ,2/ .632, 3即為R3的一個標(biāo)準(zhǔn)正交基。設(shè) 11, 1,1, 1 T, 21,1,1,2,1,1, 3T，求 12的夾角以及與3都正交的向量。1 arccos-233都正交，由正交條件可得方程組:解之得k 4,定義6 （正交矩陣）等價定義：0,1, 3 T，其中k為任意實

18、數(shù)。A是方矩陣。若ATAI ,則稱A為正交陣。當(dāng)且僅當(dāng)?shù)牧邢蛄拷M標(biāo)準(zhǔn)。事實上，設(shè)T 1T 2100010T001定理11若A,B都是n階正交陣，則1oATA1;2o AT也是正交陣;8840 AB也是正交陣。證明 1o顯然；又由AT T ATAAT AA 1 I得AT也是正交陣;取行列式得AT| AATA1A2由 AB T AB BTATA B BTBI得AB也是正交陣。由2o可得A Ann是正交陣AT的列向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交的。的行向量組（轉(zhuǎn)置）標(biāo)準(zhǔn)正交。由以上討論容易驗證下面三個實方陣都是正交陣：1 61 62 61 21 2 o1 31 31 3in121.21.61,J 62.61.12

19、1.121.123.1212121An n是正交陣,0。于x的非零解向量，對于實對稱陣A的特征向量都可以取為實向量。A的屬于不同特征值的特征向量相互正交。2）是實對稱陣對于任意實對稱陣A,實對稱陣?yán)?0設(shè)AA即例11, 1,0,即是實數(shù)。A的任一特征值A(chǔ)的不同特征值，i是屬于12 ，即必存在正交矩陣Q 1 AQ Qt AQ的特征向量.則1TAT1TA1,2, ,n .A的ki重特征值i有ki個線性無關(guān)的特征向量,從而有ki個標(biāo)準(zhǔn)正交的1 ,求正交矩陣Q ,使得Q2中的實對稱陣，它的特征值為1 4,1AQ為對角陣。1.屬于14的特征向量為1, 1, 0T, 31, 0, 1 T.又在例 7 中,

20、我們得 A的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量組:90111F下飛111F ,2,3飛102 得1,2,3 , Q即所求的正交矩陣。且1Q 1AQ為對角陣。11已知實對稱陣AA3 3的特征值為-6, 3,3,且2,2,6的特征向量，求A.屬于特征值233的特征向量X2,X3T都應(yīng)與交,即有2X1 2X2 X30.2x1 2x2 X3.令 X21,X30得一特征向量1,1都正交的特征向量2可由下式得到:2X1 2x2X30.X1聯(lián)立解得為2.將正交的23231311 一1F1202,則它為正交陣且T是A的屬于特征2,2, 1T 正1, 0T.屬于3的另一個與2單位化:1AQX22丁,2丁2 23Q QT23231

21、3121202 甘- 262 22312262312261302,2例12求實矩陣Aa?a2,an ,(a10）特征值和特征向量。ana1，a2,T an91To顯然A對稱，故成立P 1AP由于a2 ala色2a2可見r(A)征向量為1r1 ,ria1airi(i 1)1 ,由于A也等價于0。由于對于j 0的特征向量,其是方程組是：a1x1 a2x2的特征向量:a2a10知識點：二次型及其矩陣形式;anaiana2diag(jIanxna10a20an0A)x0,a3 05.5n),所以只有一個特征值不為零，其余都是的解,x1二次型二次型的標(biāo)準(zhǔn)形;在平面解析幾何中，為看清二次曲線 ax2x x

22、cosy xsinT ),所以等價于Axa2一x2a1an0a1的解,anxa1,其對應(yīng)的特由前述，其等價n,易得線性無關(guān)化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的正交變換法和配方法。bxy cy2 1的類型，可以采用坐標(biāo)變換ysinycos化二次曲線為標(biāo)準(zhǔn)形ax2 by2 1,由此二次曲線的幾何性質(zhì)便一目了然。92定義7二次齊次多項式2f X1,X2, , Xna11X12a12 X1X22a1n X1Xn稱為n元二次型，簡稱二次型。以下我們只討論實二次型。其中2 a22 X22a2n X2Xn2 ann Xn如果系數(shù)a。記 a。aji(i,j1,2,n);f(X1,X2, ,Xn) (X1, X2 ,和變量Xi都

23、為實數(shù)，則稱,Xn)Tf為實二次型。可以表示為矩陣形,Xn)a11a12anX1a21a22a2 nX2an1an2annXnA為對稱陣。（講課時，可對三元具體演示過程）二次型的矩陣。例如,f與對稱陣A確立了 1-1對應(yīng)關(guān)系。稱對稱陣A的秩為二次型f的秩。f2 2x22x；2-5x3的矩陣A2稱二次型fta唯一確定的對稱陣 A為二次.秩為3;54而對稱陣A30 ,確定的二次型為14x； 2x2 X2 2x1x2 6x1x3 .稱上述f2那樣只含平方項的二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。易見f TA為標(biāo)準(zhǔn)形當(dāng)且僅當(dāng)f的矩陣A為對角陣。兩組變量X1,X2,?門和丫1,丫2, ,yn之間的關(guān)系式93XiPiiYiPl

24、2 y2PinynX2P2iYiP22 y2P2nynXnPni YiPn2 y2PnnynPinP2nPnn稱為從Xi,X2, Xn到y(tǒng)i, y2, yn的一個線性變換。其矩陣形式Pl1P12TTP21P22其中(Xi,X2, Xn) , (yi,y2, , yn) , PPniPn2方陣P稱為線性變換的矩陣。若 P可逆，則稱線性變換為可逆線性變換。問題：如何用可逆線性變換P ,將二次型fta 化為標(biāo)準(zhǔn)形。將 p代入fta后，得f( ) TA (P )T A(P )T(PTAP)g().易證PTAP仍為對稱陣。二次型g()為標(biāo)準(zhǔn)形當(dāng)且僅當(dāng) PTAP為對角陣。定義8 (矩陣合同)設(shè) A,B R

25、nXn ,若存在可逆陣 P使得PtAP B ,則稱A合同于B ,記為 A- B.由定義易證矩陣間的合同關(guān)系也滿足自反性，對稱性和傳遞性。于是若二次型f tA經(jīng)可逆的線性變換P化為二次型g( ) tB ，則A- B.若A=B,即PtAP B,由于P可逆，故A與B等價，于是 r(A) r(B). 一、正交變換法.若Q Qn n為正交陣，則線性變換Q ( ,Rn)稱為正交變換。正交變換有比一般可逆線性變換更好的性質(zhì)：定理i5 Rn中的正交變換Q不改變向量的內(nèi)積(因而也不改變向量的長度和夾角)94證明 Q 1,Q 2. Q 1 T Q 2 T QTQ2 1TI 21T21 1, 2正交變換 Q 把Rn

26、中的標(biāo)準(zhǔn)正交基1, 2, n變?yōu)镽n中的標(biāo)準(zhǔn)正交基Q 1,Q 2,Q若Q為正交陣，則Q1.若Q1 ,則正交變換Q稱為第一類的（或旋轉(zhuǎn)），若Q1,則正交變換Q稱為第二類的。定理16對于n元實二次型f( ) Ta,存在正交變換,可將該二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形:2f 1丫122 y22 n yn其中n是對稱陣A的特征值。Q的列向量組n是標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量組，且A ii i i 1,2,例 6.12 (1)用正交變換22Q化二次型f 4x1 4x24x；4x1x2 4x1x3 4x2x3為標(biāo)準(zhǔn)形,并給出正交變換矩陣Q .(2)22判別4X1 4X24X24x1x24X1X34X2X31是什么曲面?解（1）f的矩

27、陣A8)一一 2(8)(2)可得對于 3 3對于 1X1X2X38,可以通過解2,2I.210,它的一個基礎(chǔ)解系為:0 .正交化得:8I A x工2121來求38的一個特征向量3。再將951單位化得：1；1T20i飛1飛21市白。令Q1,即為所求正交變換矩陣.滿足Q 1AQ于是正交變換可化二次型f為標(biāo)準(zhǔn)形:2y；2y2 8y；.(2)因為正交變換不改變空間中的向量的長度和夾角，故二次曲面4x； 4x2 4xf 4x1x2 4x1x3 4x2x3 1 與2 yl22y2 8y2表示同一個曲面：是一個橢球面。例6.14證明：當(dāng)| | 1時，實二次型f()TA 的最大值等于A的最大特征值。證明T A

28、 為n元實二次型,存在正交變換Q ，可將f()化為標(biāo)準(zhǔn)形:其中2yi2y22 1%即當(dāng)現(xiàn)取n是A的特征值。設(shè)2 Tyn22 y22 n yn為第i個基本單位向量f taQ i 時，f( ) TA二、配方法.QTAQi是A的最大特征值。T八八丁QQ2 i%2 i y2因為1,tqtaqi時就有確實可以取到最大值用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形可以保持許多幾何性質(zhì),2 iYn固然很好。但做起來比較煩。有時我們只要了解二次型一些主要性質(zhì)，那我們就可以用其它相對簡單的方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。以下我們介紹一種最常用的配方法。96分兩種情況討論:若二次型f(X1,X2, ,Xn)中至少有一個變量平方項的系數(shù)不為零

29、，且還有該變量交叉項,不妨設(shè)an 0,則先對所有含X1的項進行配方。如此下去，直到把所有含有變量平方項且有該變量交叉項的都進行配方。2o若二次型中某變量只有交叉項而無平方項的,不妨設(shè)ai20,則作如下變換:X1yiy2X2Xky1 yk,(ky21,2)我們結(jié)合例子講解。1)2)6.15用配方法將下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形，并求所用變換的矩陣2 o 2X1 3x22X1X2 2x1x3 6x2x3 ；1)4x1x22X1X32x2X3 .P.(X1X2X3)2(X2X3)23x| 6x2x3(X1X2X3)24X24X2X32X3(X1X2X3)2(2X2X3)2令y22x2X3;即有X201212 y2y3X3X3001y311322.則f2y1y2為標(biāo)準(zhǔn)形。所用變換的矩陣p01222.001X1y1y2X1110y12)令X2y1y2,即X2110y2；則X3y3X3001y3f4( y1y2)(y1y) 2(y1y2)y32(%y2)y31y1X1X2X3X1y11232再令則 f4z2得變換矩陣97ZiZ2Z34yi24z2XiX2X3yi4yiY324y2i2 y3y2y34(yi 4即有y3)2yiy2y324y22y3Z2Z32Z3為標(biāo)準(zhǔn)形。且由ZiZ2Z3i