兩向量的向量積1

1、二、兩向量的向量積一、兩向量的數(shù)量積7.2 數(shù)量積 向量積一、兩向量的數(shù)量積 設(shè)一物體在常力F作用下沿直線(xiàn)從點(diǎn)M1移動(dòng)到點(diǎn)M2. 以s表示位移. 數(shù)量積的物理背景 由物理學(xué)知道, 力F所作的功為W|F|s|cos , 其中 為F與s的夾角. 對(duì)于兩個(gè)向量a和b, 它們的模|a|、|b|及它們的夾角 的余弦的乘積稱(chēng)為向量a和b的數(shù)量積, 記作ab, 即ab|a|b|cos . 數(shù)量積的定義 根據(jù)數(shù)量積, 力F所作的功W就是力F與位移s的數(shù)量積, 即WFs. 一、兩向量的數(shù)量積數(shù)量積與投影 由于|b|cos|b|cos(a, b), 當(dāng)a0時(shí), |b|cos(a, b)是向量b在向量a的方向上的投

2、影, 于是ab|a|Prjab. 同理, 當(dāng)b0時(shí), ab|b|Prjba. 所以, 對(duì)于兩個(gè)向量a和b, 它們的模|a|、|b|及它們的夾角 的余弦的乘積稱(chēng)為向量a和b的數(shù)量積, 記作ab, 即ab|a|b|cos . 數(shù)量積的定義 一、兩向量的數(shù)量積數(shù)量積的性質(zhì) (1) aa|a|2. (2) 對(duì)于兩個(gè)非零向量 a、b, 如果 ab0, 則 ab; 反之, 如果ab, 則ab0. 如果認(rèn)為零向量與任何向量都垂直, 則abab0. 對(duì)于兩個(gè)向量a和b, 它們的模|a|、|b|及它們的夾角 的余弦的乘積稱(chēng)為向量a和b的數(shù)量積, 記作ab, 即ab|a|b|cos . 數(shù)量積的定義 一、兩向量的

3、數(shù)量積數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)交換律: abba; (2)分配律: (ab)cacbc. (3)(a)ba(b)(ab), (a)(b)(ab), 其中、為數(shù). 對(duì)于兩個(gè)向量a和b, 它們的模|a|、|b|及它們的夾角 的余弦的乘積稱(chēng)為向量a和b的數(shù)量積, 記作ab, 即ab|a|b|cos . 數(shù)量積的定義 一、兩向量的數(shù)量積 例1 試用向量證明三角形的余弦定理.要證c2=a2+b2-2abcosq . 則有 ca-b, 從而 |c|2cc(a-b)(a-b) aa+bb-2ab |a|2+|b|2-2|a|b|cos(a, b), 即 c2a2+b2-2abcosq. 證明 在DABC中,

4、BCAq, |CB|=a, |CA|=b, |AB|=c,提示：數(shù)量積的坐標(biāo)表示 aaxiay jazk, bbxiby jbzk, ab(axiay jazk)(bxiby jbzk) axbxiiaxbyijaxbzik aybx jiayby jjaybz jk azbxkiazbykjazbzkk axbxaybyazbz . abaxbxaybyazbz . 設(shè)a(ax ay az ) b(bx by bz ) 則 數(shù)量積的坐標(biāo)表示abaxbxaybyazbz . 設(shè)a(ax ay az ) a(bx by bz ) 則 設(shè)(a b) 則當(dāng)a0、b0時(shí), 有 向量夾角余弦的坐標(biāo)表示

5、提示 a b|a|b|cos 例2 已知三點(diǎn)M(1, 1, 1)、A(2, 2, 1)和B(2, 1, 2), 求AMB. 從M到A的向量記為a, 從M到B的向量記為b, 則AMB 就是向量a與b的夾角. 2011|222=+=a, 2101|222=+=b,因?yàn)?ab1110011, b(2, 1, 2)(1, 1, 1)a(2, 2, 1)(1, 1, 1)(1, 1, 0), (1, 0, 1). 解 從而, 所求液體的質(zhì)量為 P=rAvn.體積為 A|v|cosq=Avn. 這柱體的高為 |v|cosq, 解 單位時(shí)間內(nèi)流過(guò)這區(qū)域的液體組成一個(gè)底面積為A、斜高為|v|的斜柱體. 例3

6、在流速為(常向量)v的液體內(nèi)有一個(gè)平面區(qū)域A, n為垂直于A的單位向量, 計(jì)算單位時(shí)間內(nèi)經(jīng)過(guò)這區(qū)域流向n所指一方的液體的質(zhì)量P(液體的密度為r).二、兩向量的向量積 設(shè)向量c是由兩個(gè)向量a與b按下列方式定出: c的模|c|a|b|sin(a, b); c的方向垂直于a與b所決定的平面, c的指向按右手規(guī)則從a轉(zhuǎn)向b來(lái)確定. 向量積的定義右手規(guī)則 那么, 向量c叫做向量a與b的向量積, 記作ab, 即cab. 向量積的定義二、兩向量的向量積 向量a與b的向量積cab: |c|a|b|sin(a,b); c的方向垂直于a與b所決定的平面, c的指向按右手規(guī)則從a轉(zhuǎn)向b來(lái)確定. 向量積的性質(zhì) (1)

7、 aa0; (2) 對(duì)于兩個(gè)非零向量a、b, 如果ab0, 則a/b; 反之, 如果a/b, 則ab0. 如果認(rèn)為零向量與任何向量都平行, 則a/bab0. 在空間直角坐標(biāo)系中 iijjkk? ij? jk? ki? (1) 交換律: abba; (2) 分配律: (ab)cacbc; (3) (a)ba(b)(ab)(為數(shù)). 向量積的運(yùn)算律討論：提示： iijjkk0, ijk, jki, kij.向量積的坐標(biāo)表示 設(shè)aaxiay jazk, bbxiby jbzk, 則提示： ab (aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k. azbxkiazbykj. ab(a

8、xiay jaz k)(bxiby jbzk)axbyijaxbzikaybx jiaybz jk(aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k. iijjkk0, ijk, jki, kij.aybzi+azbx j+axbyk-aybxk-axbz j-azbyi 利用三階行列式符號(hào), 上式可寫(xiě)成 記憶方法 (aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k.向量積的坐標(biāo)表示 設(shè)aaxiay jazk, bbxiby jbzk, 則 ab (aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k. 例4 設(shè)a2i3jk bij3k , 計(jì)算ab

9、 . 設(shè)aaxiay jazk, bbxiby jbzk, 則(aybzazby)i(azbxaxbz)j(axbyaybx)k. 解 : 解 : 例5 已知 求OAB的面積 根據(jù)向量積的幾何意義 表示以 和 為鄰邊的平行四邊形的面積 于是OAB的面積為 因?yàn)?所以三角形OAB的面積為 提示： 例6 設(shè)剛體以等角速度繞l軸旋轉(zhuǎn), 計(jì)算剛體上一點(diǎn)M的線(xiàn)速度. 剛體繞l軸旋轉(zhuǎn)時(shí), 我們可以用在l軸上的一個(gè)向量w表示角速度, 它的大小等于角速度的大小, 它的方向由右手規(guī)則定出: 即以右手握住l軸, 當(dāng)右手的四個(gè)手指的轉(zhuǎn)向與剛體的旋轉(zhuǎn)方向一致時(shí), 大姆指的指向就是w的方向. 解 軸上任取一點(diǎn)O作向量r , 并以 表示 設(shè)點(diǎn)M到旋轉(zhuǎn)軸l的距離為a, 再在lw與r的夾角, 那么設(shè)線(xiàn)速度為v, 那么由物理學(xué)可知 |v|w|a|w|r|sin ; a|r|sin . v垂直于w與r, 且v的指向是使w、r、v