正方形的性質(zhì)及判定講義

1、-. z.正方形的性質(zhì)及判定知識(shí)點(diǎn)歸納正方形的概念： 一組鄰邊相等的矩形叫做正方形。正方形的性質(zhì)：因?yàn)锳BCD是正方形正方形是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱軸有4條，也是中心對(duì)稱例題講解 考點(diǎn) 正方形與等腰三角形等邊三角形結(jié)合1. 如圖，E是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且BEBC，則ACE2. 如圖，四邊形ABCD是正方形，延長(zhǎng)CD到E，使CE=CB，則DBE.3. 如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上，AE平分DAC,則以下結(jié)論：1E=22.5； (2) AFC=112.5； (3) ACE=135；4AC=CE；(5) ADCE=1 eq r(,2). 其中正確的有 A5個(gè) B.4個(gè) C.

2、3個(gè) D.2個(gè)4. 如圖，等邊EDC在正方形ABCD內(nèi)，連結(jié)EA、EB，則AEB；ACE.5.正方形ABCD，以CD為邊作等邊CDE，則AED的度數(shù)是.考點(diǎn)正方形與旋轉(zhuǎn)結(jié)合1.如圖1，四邊形ABCD是正方形，E是邊CD上一點(diǎn)，假設(shè)AFB經(jīng)過(guò)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角后與AED重合，則的取值可能為 A.90 B.60 C.45 D.302.正方形ABCD中，點(diǎn)E在邊DC上，DE = 2，EC = 1如圖2所示 把線段AE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E落在直線BC上的點(diǎn)F處，則F、C兩點(diǎn)的距離為_.3. 如圖3，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為DC，BC邊上的點(diǎn)，且滿足EAF=45，連接EF，求證：DE+BF=EF考點(diǎn)正

3、方形對(duì)角線的對(duì)稱性1. 如圖：正方形ABCD中，AC=10，P是AB上任意一點(diǎn)，PEAC于E，PFBD于F，則PE+PF= .可以用一句話概括：正方形邊上的任意一點(diǎn)到兩對(duì)角線的距離之和等于.思考：如假設(shè)P在AB的延長(zhǎng)線時(shí)，上述結(jié)論是否成立？假設(shè)不成立，請(qǐng)寫出你的結(jié)論，并加以說(shuō)明.2.如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PEBC于點(diǎn)E，PFCD于點(diǎn)F，連接EF給出以下五個(gè)結(jié)論：AP =EF；APEF；APD一定是等腰三角形；PFE=BAP；PD= eq r(sdo1(),2)EC其中正確結(jié)論的序號(hào)是思考：當(dāng)點(diǎn)P在DB的長(zhǎng)延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)將備用圖補(bǔ)充完整，并思考1正確結(jié)論是否依舊成立？假設(shè)

4、成立，直接寫出結(jié)論；假設(shè)不成立，請(qǐng)寫出相應(yīng)的結(jié)論.考點(diǎn)正方形的折疊1.如圖1，將邊長(zhǎng)為8cm的正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D落在BC邊中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，折痕為MN，則線段的長(zhǎng)是.2.如圖2，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為9的正方形紙片，將其沿MN折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上的處，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，且=3，則AM的長(zhǎng)是.3如圖3，正方形ABCD中，AB6，點(diǎn)E在邊CD上，且CD3DE將ADE沿AE對(duì)折至AFE，延長(zhǎng)EF交邊BC于點(diǎn)G，連結(jié)AG、CF以下結(jié)論：ABGAFG；BGGC；AGCF；SFGC3其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是.課后練習(xí)1、：如圖，正方形ABCD中，CM=CD，MNAC，連結(jié)，則D=_=_B，

5、MND=_=_B.在正方形ABCD中，AB=12 cm，對(duì)角線AC、BD相交于O，則ABO的周長(zhǎng)是 A.12+12 B.12+6 C.12+ D.24+63.正方形的面積是，則其對(duì)角線長(zhǎng)是_.4. 如圖，在正方形ABCD中，PBC、QCD是兩個(gè)等邊三角形，PB與DQ交于M，BP與CQ交于E，CP與DQ交于F.求證：PM = QM.5.如圖4，正方形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，正方形ABCD的頂點(diǎn)A與點(diǎn)O重合，AB交BC于點(diǎn)E，AD交CD于點(diǎn)F，假設(shè)正方形ABCD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)*個(gè)角度后，OE=OF嗎？?jī)烧叫沃睾暇植康拿娣e怎樣變化？為什么？6如圖，P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD對(duì)角線AC上

6、一動(dòng)點(diǎn)P與A、C不重合，點(diǎn)E在射線BC上，且PE=PB.試判斷PE與PB的關(guān)系.7. 如圖，正方形ABCD的面積為12，ADE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，使PBPE的和最小，則這個(gè)最小值為.8.如圖，將邊長(zhǎng)為4cm的正方形紙片ABCD沿EF折疊(點(diǎn)E、F分別在邊AB、CD上)，使點(diǎn)B落在AD邊上的點(diǎn) M處，點(diǎn)C落在點(diǎn)N處，MN與CD交于點(diǎn)P， 連接EP (1)如圖，假設(shè)M為AD邊的中點(diǎn)， AEM的周長(zhǎng)=_cm； 求證：EP=AE+DP； (2)隨著落點(diǎn)M在AD邊上取遍所有的位置(點(diǎn)M不與A、D重合)，PDM的周長(zhǎng)是否發(fā)生變化請(qǐng)說(shuō)明理由三正方形的判定： 四邊形A

7、BCD是正方形1、判斷:1四條邊都相等的四邊形是正方形。2兩條對(duì)角線相等且互相垂直的四邊形是正方形。3兩條對(duì)角線分別平分一組對(duì)角的四邊形是正方形。4兩條對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形。2不能判定四邊形是正方形的是A對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形B對(duì)角線互相垂直的矩形C對(duì)角線相等的菱形D對(duì)角線互相垂直平分且相等的四邊形3、四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，能判定它是正方形的條件是AAB=BC=CD=DABAO=CO，BO=DO，ACBDCAC=BD，ACBD且AC、BD互相平分DAB=BC，CD=DA4、如圖，四邊形ABCD是菱形，則只須補(bǔ)充條件：用字母表示就可以判定四邊形ABCD是正方形精講精練例

8、1、中，CD平分,交AB于D，DF/BC,DE/AC，求證：四邊形DECF為正方形。例2、：如圖，在ABC中，AB=AC，ADBC，垂足為點(diǎn)D，AN是ABC外角CAM的平分線，CEAN，垂足為點(diǎn)E，1求證：四邊形ADCE為矩形；2當(dāng)ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADCE是一個(gè)正方形？并給出證明ABCDMNE例3如圖，平行四邊形中，對(duì)角線交于點(diǎn)，是延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且是等邊三角形1求證：四邊形是菱形；2假設(shè)，求證：四邊形是正方形ECDBAO例4、如圖，ABC中，點(diǎn)O是AC邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作直線MNBC，設(shè)MN交BCA的平分線于E，交BCA的外角平分線于點(diǎn)F.(1)求證：EO=FO(2)當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到

9、何處時(shí)，四邊形AECF是矩形？并證明你的結(jié)論.(3) 當(dāng)點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到何處時(shí)，四邊形AECF是有可能是正方形？并證明你的結(jié)論.拓展探究平行四邊形與特殊平行四邊形的綜合運(yùn)用1、如圖，正方形ABCD中，E、F、G分別是AD、AB、BC上的點(diǎn)，且AE=FB=GC。試判斷的形狀，并說(shuō)明理由。2、如圖，在正方形ABCD中，P為BC上一點(diǎn)，Q為CD上一點(diǎn)，(1)假設(shè)PQ=BP+DQ，求。2假設(shè),求證：PQ=BP+DQ. 3、如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，對(duì)角線BD=2，E、F分別是AD、CD上的動(dòng)點(diǎn)，且滿足AE+CF=2.1求證：.(2)判斷的形狀。4以四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為斜邊分別向外側(cè)

10、作等腰直角三角形，直角頂點(diǎn)分別為E、F、G、H，順次連結(jié)這四個(gè)點(diǎn)，得四邊形EFGH1如圖1，當(dāng)四邊形ABCD為正方形時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH是正方形；如圖2，當(dāng)四邊形ABCD為矩形時(shí)，請(qǐng)判斷：四邊形EFGH的形狀不要求證明；2如圖3，當(dāng)四邊形ABCD為一般平行四邊形時(shí)，設(shè)ADC=090， 試用含的代數(shù)式表示HAE； 求證：HE=HG； 四邊形EFGH是什么四邊形？并說(shuō)明理由 例1、在正方形ABCD的邊BC的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)E，使CE=CA,連接AE交CD于F，求的度數(shù)。變式：1、如以下圖，正方形ABCD中，E是CD邊上的一點(diǎn)，F(xiàn)為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE=CF. (1)求證：BECDFC；(2)

11、假設(shè)BEC=60，求EFD的度數(shù).例2：如圖，E為正方形ABCD的BC邊上的一點(diǎn)，CG平分DCF，連結(jié)AE，并在CG上取一點(diǎn)G，使EG=AE.求證：AEEG.例3、P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA=1，PB=2，PC=3，求APB的度數(shù).例4如圖，P是邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)P與A、C不重合，點(diǎn)E在射線BC上，且PE=PB.1求證：PE=PD ； PEPD；ABCPDE1、如圖，四邊形ABCD為正方形，以AB為邊向正方形外作等邊三角形ABE，CE與DB相交于點(diǎn)F，則=。2、假設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為BC邊上一點(diǎn)，BE=3，M為線段AE上一點(diǎn)，射線BM交正方形的一邊于點(diǎn)F

12、，且BF=AE，則BM的長(zhǎng)為。4.E為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且EBC是等邊三角形，求EAD的度數(shù).5、如圖，正方形ABCD與正方形OMNP的邊長(zhǎng)均為10，點(diǎn)O是正方形ABCD的中心，正方形OMNP繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，證明：無(wú)論正方形OMNP旋轉(zhuǎn)到何種位置，這兩個(gè)正方形重疊局部的面積總是一個(gè)定值，并求這個(gè)定值6、如圖1，四邊形ABCD是正方形，G是CD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)G與C、D不重合)，以CG為一邊在正方形ABCD外作正方形CEFG，連結(jié)BG，DE我們探究以下圖中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系： 1猜測(cè)如圖1中線段BG、線段DE的長(zhǎng)度關(guān)系及所在直線的位置關(guān)系；將圖1中的正方形CEFG繞著點(diǎn)C按順時(shí)針(或逆時(shí)針)方向旋轉(zhuǎn)任意角度，得到如圖2、如圖3情形請(qǐng)你通過(guò)觀察