生產(chǎn)與庫存問題

1、生產(chǎn)與庫存問題的數(shù)學(xué)模型摘要隨著中國經(jīng)濟的發(fā)展，中小企業(yè)在我國經(jīng)濟發(fā)展過程中起著越來越重要的作 用。生產(chǎn)與庫存問題一直是學(xué)術(shù)界及企業(yè)十分關(guān)注的問題。如果庫存量過大，流 動資金占用過多，就會影響企業(yè)的經(jīng)濟效益，但如果庫存量過小，乂難以保證生 產(chǎn)經(jīng)營活動的正常進行。在生產(chǎn)經(jīng)營管理活動中也是如此，除了合理安排生產(chǎn)外, 還遇著采購的物資和生產(chǎn)的產(chǎn)品都在入庫，這就關(guān)系到最佳庫存量的問題。庫存 量多了增加成本費用，庫存量少了，會造成供不應(yīng)求，在收益上造成損失，因此 庫存合理，不僅能增強資金的流動活力，而且能降低成本，提高利潤。下面用動 態(tài)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型來處理一類庫存問題，既保證市場的需要，乂能降低總的成本。

2、關(guān)鍵字：動態(tài)規(guī)劃，生產(chǎn)庫存，數(shù)學(xué)模型一、問題的提出庫存管理一直是現(xiàn)代企業(yè)物流管理的一個核心部分，同時也是我國許多企業(yè) 內(nèi)部管理上的薄弱環(huán)節(jié)。庫存是占用流動資金的一個大的方面，如何盡可能減少 原料和產(chǎn)品庫存，降低庫存成本，乂能準時完成對生產(chǎn)的供應(yīng)，是庫存管理系統(tǒng) 的最現(xiàn)實的問題。加入WTO后，面對世界其他國家煙草強手即將到來的激烈競爭, 我國的煙草企業(yè)越來越意識到，企業(yè)要在競爭中站穩(wěn)腳跟，求得發(fā)展，就必須加 強物流方面的管理，并以此來降低成本，提高企業(yè)的競爭力。甚至有人提出了零 庫存概念，零庫存的概念，零庫存是一種特殊的庫存概念，零庫存的概念：是指 物料（包括原材料、半成品和產(chǎn)成品等）在采購、生

3、產(chǎn)、銷售、配送等一個或凡個經(jīng) 營環(huán)節(jié)中，不以倉庫存儲的形式存在，而均是處于周轉(zhuǎn)的狀態(tài)。并且在韓國、日 本得到廣泛應(yīng)用，尤其是在鋼鐵庫存方面，并引起了寶鋼、首鋼的關(guān)注，決定下 大力氣解決他們的庫存問題。本文針對三個具體的案例，建立了數(shù)學(xué)動態(tài)規(guī)劃模 型，用LINGO軟件將其解決。第一類問題是期初庫存為零且成本固定的情況；第 二類問題是期初有庫存且給定生產(chǎn)成本；第三類問題是期初有庫存但生產(chǎn)能力受 限二、模型假設(shè)假設(shè)產(chǎn)品不受其他外界因素影響假設(shè)企業(yè)能可持續(xù)發(fā)展假設(shè)所得數(shù)據(jù)有效真實三、符號說明心：R階段該產(chǎn)品的生產(chǎn)量（或采購量）4： #階段市場對該產(chǎn)品的需求量:決策為每個階段的產(chǎn)量嶺：狀態(tài)變量嶺T： #

4、階段開始的庫存量q（天）：#階段生產(chǎn)該產(chǎn)品的成本費用K :生產(chǎn)固定成本axk :產(chǎn)品成本九（匕）：k階段末庫存量嶺所需的庫存費用fk （vk）:從第一階段初始庫存量為零到k階段末庫存量為嶺時最小的總費用四、模型的分析與建立4.1動態(tài)規(guī)劃模型建立（1）劃分階段（2）正確選擇狀態(tài)變量決策變量心為k階段該產(chǎn)品的生產(chǎn)量（或采購量），4為A階段市場對該產(chǎn)品 的需求量，狀態(tài)變量為匕=片_+玉.（# = 1,2,3,.,）。其中嶺_表示R階段開 始的庫存量，玉.（匕+4。（3）確定決策變量及允許決策集合（4）確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程階段按計劃時間自然劃分，狀態(tài)定義為每階段開始時的儲存量從，決策為每 個階段的產(chǎn)量緝，

5、記每個階段的需求量（己知量）為4,則狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程為M+i = xk + uk -dk,xk 0,k = 1,2,.（5）確定階段指標函數(shù)和最優(yōu)指標函數(shù)，建立動態(tài)規(guī)劃基本方程用q（.q）表示上階段生產(chǎn)該產(chǎn)品的成本費用，它包括生產(chǎn)固定成本k和產(chǎn)品 成本心女（其中。是單位產(chǎn)品成本）兩項費用，即CJ玉）= K + aq（R = l,2,.,）。 當從=0時，G（xQ = 0。用九（*）表示k階段末庫存量嶺所需的畝存費用，故A階 段的成本費用為q （丸）十九（*）。用A （K）表示從第一階段初始庫存量為零到A階 段末庫存量為此時最小的總費用，于是可得庫存問題5】動態(tài)規(guī)劃基本方程：f：（嶺）=嬰, （c,

6、g）+hk（vk）+人-（*_）= i,2,. . A A 人期初庫存為零且成本固定的情況庫存系統(tǒng)的優(yōu)化方法：某工廠對一種產(chǎn)品擬出一個季度生產(chǎn)計劃，據(jù)預(yù)測，在下一季度三個月中市 場對產(chǎn)品的需求量分別為3, 2, 4,并設(shè)每月產(chǎn)品固定成本為5,單位變動成本為 1,每單位產(chǎn)品的庫存費用為0.2,假設(shè)季度開始庫存量和季度末庫存量均為0,問 該廠如何安排下季度三個月的生產(chǎn)，使其既滿足市場的需要乂使季度的總成本最 低？解：將下季度三個月分為三個階段，即階段變量k=l,2,3。以為決策變量，表 示第#個月的生產(chǎn)量，公（易）為第A個月的生產(chǎn)成本，海為第k個月市場需求量， 將態(tài)變量嶺為第k個月末庫存量，九（、

7、）為第#個月庫存費用，指標函數(shù)人（*）為 第一個月至第k個月的積累成本，即A （* ） = 、畔.Q 成）+ 九（*） + A-i（*-】） M = 1,2,3,Vo（K） = o.其中q（玉）=固定成本+變動成本=5 +從x 1 = 5 +五;*_ = * + dk - xk, vk 2dk(庫存量不超過市場需求量的二倍)；島=0,v3 =0,也+4，/?(攻)=。.2% 下面分別就4 = 1,2,3.進行計算。當A = 1 時，有(vj= niiii (5 + x1 + O.2v1 + /o(vo)Vi Hi因4 = 3n* 為=3,4,5,6,78,9于是有：(0) = 5 + 氣 +

8、0.2 K = 5 + 3 = 8, = * = 0, X； = 3(1) = 5 + 耳 + 0.2% = 5 + 4 + 0.2 = 9.2,=%* = 1,=4f (2) = 5 + 5 + 0.2 x 2 = 10.4,= 匕=2, x； = 5k(3) = 5 + 6+0.2x3 = 11.6,nV； = 3,x： = 6/；4(4) = 5 + 7 + 0.2x4 = 12.8Vl* = 4,x； = 7f (5) = 5 + 8 + 0.2x5 = 14,AV； = 5,x；= 8f (6) = 5 + 9 + 0.2x6 = 15.2,=Vf = 6,x： = 9當k = l時

9、，表格計算如表3-1表3-1/(*) = 5 + &+0.2*九W)V；/；56789012345689.210.411.612.8415.289.210.411.612.81415.20,31,42,53,64,75,86,9當k = 2時，有以*)= 1是n 5 + 易 + 0.2* + 九(匚)因為:4 = 2,n匕 K = 0,1,2,3,4;x2 x2 = 2,3,4,5,6：K=V,+d,叢,0匕=0,1,2,3,4。于是有：(0) = 5 + 2 + 0.2x0 + f (0) = 7 + 8 = 15,=* = 0,x； = 2U(0) = 5 + 3 + 0.2xl + T(

10、0) = 8.2 + 8 = 16.2,n* = l,x； = 3U(2) = 5 + 4 + 0.2x2 + f(0) = 9.4 + 8 = 174=V； = 2,x；=4U(3) = 5 + 5 + 0.2x3 + /；(0) = 10.6 + 8 = 18.6,nV * = 4,工；=6當k = 2時，表格計算如表3-2表3-2我)wft (V2) = miii 5 + 上 + 0.2V2 + f* (* )成）V；,x：23456012341516.217.418.619.81516.217.418.619.80,21,32,43,54,6當 A = 3時，有七=。,工3 .q =

11、0,1,2,3,4 ,于是有 *(*)= nuii 5 + 易 + 0.2匕 +人(*+% 易)當 v3 = 0, x3 = 0 時，有(0) = 5 + 0 + 0 +(4) = 5 + 19.8 = 24.8當七=0,易=1時，有 (0) = 5 + 1 + 0 +(3) = 6 + 18.6 = 24.6（3）當七=0,易=2時，有(0) = 5 + 2 +0 +工(2) = 7 + 17.4 = 24.4當 v3 = 0,x3 = 3 時，有 (0) = 5 + 3 + 0 +(1) = 8 +16.2 = 24.2當 v3 = 0,x3 =4時，有(0)= 5 + 4 + 0+工(0

12、) = 9 + 15 = 24”24.8、1=24.24.624.424.224當A = 3時,表格計算如表3-3表3-3AW)= 5 + /+0.2* + y；(匕)勺八301234024.824.624.424.224240,4最優(yōu)生產(chǎn)方案：、=3,x； = 2,x；=4,其最小總成本為24。市場需求量三個月 分別為:4 = 3,久=2,% = 4,三個月庫存量每月末分別為:匚=0,崎=0,匕=0。4.1. 2期初有庫存且給定生產(chǎn)成本一個工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，17月份生產(chǎn)成本和產(chǎn)品需求量的變化情況如下表:表34月份（k）1234567生產(chǎn)成本11181317201015（。）需求量（4）085

13、3274為了調(diào)節(jié)生產(chǎn)和需求，工廠設(shè)有一個產(chǎn)品倉庫，庫容量H=9o已知期初庫存 量為2,要求期末(七月低)庫存量為0。每個月生產(chǎn)的產(chǎn)品在月末入庫，月初根 據(jù)當月需求發(fā)貨。求七個月的生產(chǎn)量，能滿足各月的需求，并使生產(chǎn)成本最低。階段R：月份，A = 1,2,3,.,7,8;狀態(tài)變量心：第k個月初(發(fā)貨以前)的庫存量；決策變量4：第k個月的生產(chǎn)量；狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程：xk+l = xk -rk+ dk;決策允許集合：Dk (xk) = 414 0, /; +1 +1 而x6 r6+d6= x7 =4 因此有 口 =工7 +七一工6 = 4+7-*6 = 11-工6也是唯一的決策。因此遞推方程為：f (% )

14、 = 】皿我+ (%)=10=10(11-) = 110-10對于A = 5, f5(x5) = niinc5J5 + f6(x6)= niui20J5 + 110-10=min 20 + 110-10(x5+ 6/5)=nun 20% +110 -10 (w _ 2 + g)=min (10d5 -10 x5 + 1302(X5)*1420“ 5-烏+4 0,/ + -x5 J5 0,9-x5 d5 ll-x5因為七0,決策允許集合可以簡化為。5 (電)=09-x5d5ll-x5遞推方程成為：f5(x5) = niui(106/5- 10 x5 +130)=10(9*5)10氏5 + 130

15、= 220-20a5對于k=4,人(w) = mm(c0 + /；(w)=niui (17J4 + 220 一 20電=nun 17% + 220 - 20 (七 - /; + %)=nun 1 ld4 + 220-20(x4-3+f/4)=nun 一 3/ - 20*4 + 280)。4(七)=4 14 20 x4-r4+d40,r5 + r4-x4d40,5-x4 d4 12-4=d4 | max0,5-x4d4 12-x4j由于在尤(七)的表達式中4的系數(shù)是-3,因此在決策允許集合中應(yīng)取集合 中的最大值，即 = 12 心，由此人(&) = 一3(12-也)一20也+280=-17易+ 2

16、44, 對于k = 3, (電)=皿如4+ (%)= nun 12 + 244-1 7x4)=nun 13d3 + 244-17 (西-弓 + %)= min -4一 17七 + 329 ( = |義 2 0g 馮-弓+4 = 4/3 2 0山 + 弓 一 t/3 0,8-x3 r/3 14-x3=/31 max0,8-x3 J3 2(x2) = (J2 d2 0, x2-r2+d2 0,/; + /; -x2 0,13-x2 d2 0,所以 J2(x2) = J2 |13-x2 cl2 09r2 -7; + H=10 20,; + q -*i 4 0,8- dL 9-xJ根據(jù)題意氣=2,所以

17、0(氣)=|647由此，d】 = 1，片3) = 74 18& + 442= -7x7-18x2 + 442= 357將以上結(jié)果總結(jié)成下表：表3-5k1234567Ck11181317201015fk0853274Xk2959974dk713-X2=4 14-X3=9 12-X4=3 9-X5=011-X6=40期初有庫存但生產(chǎn)能力受限設(shè)某工廠調(diào)查了解市場情況，估計在今后三個時期市場對產(chǎn)品的需要量如表3-6所示:表3-6時期K需求量血132435假定：不論在任何時期，生產(chǎn)每批產(chǎn)品的固定費用F為8（干無），單位產(chǎn)品的 生產(chǎn)成本費用為2（千元），單位產(chǎn)品每時期（階段）庫存貨H為2（干元），最初庫存

18、量 S1為1個單位，倉庫容量M為4個單位，計劃期末的庫存量0。任何一個時期生 產(chǎn)能力所允許的最大生產(chǎn)批量B不超過6個單位。問題：在滿足上述給定的條件 下，該廠如何安排各個時期的生產(chǎn)與庫存，使所花的總成本費用最低？解：將下季度三個月分為三個階段，即階段變量k=l,2,3。以為決策變量，表 示第#個月的生產(chǎn)量，q（七）為第R個月的生產(chǎn)成本，4為第#個月市場需求量， 將態(tài)變量山為第k個月末庫存量，九（*）為第*個月庫存費用，指標函數(shù)人（*）為 第一個月至第妃個月的積累成本，即fk （% ） = 甄樹（易）+ 九（*） + 人t （%-】）M = 1，2,37o（vo） = 2其中ck化）=固定成本+

19、變動成本=8 +玉.x 2 = 8 + 2玉;y = + 4 -知* 4（庫存量不超過市場需求量的二倍）；v0 = 1, v3 = 0,xk vk +勿-*-i，九（* ） = 2*卜面分別就A = 1,2,3進行計算。當R = 1 時，有/；*(*)=理8 + 2耳 + 2* + ./0(椿).I 一 十4 = 3mI、* = 0,1,2,3,4 , X X = 2,3,4,5,6 于是有：廣(0) = 8 + 2氣 + 2匕 + 2 = 8 + 6 = 14,=匚* = 0,* = 2/；(1) = 8 + 2為 + 2、+ 2 = 18,=咋=1,工：=3f (2) = 8 + 2x4

20、+ +2x2 + 2 = 22,n* = 2, = 4f (3) = 8 + 2x5 + 2x3 + 2 = 26,W * 易=4,5,6,7,8;X2 X2 = 4,5,6于是有：*(0) = 8+2匕 + 2嶺+片*(*) = 30,嶺* = 0,入；=4U(0) = 8 + 10 + 2 + 14 = 34,WV； = 1,x； = 5U(2) = 8 + 12 + 4 + 14 = 38,n* = 2,x； = 6當k = 2時，表格計算如3.8表38Af；(V2) = min 8+2x2 + 2嶺 + f (*)成）V；x：4560123034383034380,41,52,6當k

21、= 3時，有匕=0,凡V +一* = 0+ 5 = 5,=丹=0,2,3,4,5*)= njig 8 + 2玉+2* + 人(* +一凡)（1）當 v3 = 0,x3 = 0 時，有(0) = 8 + 0 + 0 + /；(5).f：(5)不存在,.無解(2 )當 v3 = 0, x5 = 1 時，有(0) = 8 + 2 + 0+工(4).不存在,.無解（3）當七=0,毛=2時,(0) = 8 + 4 + 0+(3).不存在,二無解當 v3 = 0,x3 =3 時,(0) = 8 +6 + 0+(2) = 14 + 38 = 52當 v3 = 0, x3 = 4 時，有(0) = 8 + 8

22、 + 0 +工(1) = 16 + 34 = 50當 v3 = 0, x3 = 5 時，有六*(0) = 8+10+人*(0)= 18+30 = 4852/；(0)=nihi 5048=48當A = 3時,表格計算如表3-9表3-9片(*) = 8 + 2易 + 2* +(匕)V； x；0123450無解無解無解525048480,5最優(yōu)生產(chǎn)方案：、= 3,x； = 4,x； = 5,其最小總成本為24。市場需求量三個月分別為：4 = 3,q=4, = 5,三個月庫存量每月末分別為：匚=0,* = 0,* = 0。五、模型的評價及推廣動態(tài)規(guī)劃主要用于求解以時間劃分階段的動態(tài)過程的優(yōu)化問題而且是

23、用來解 決多階段決策過程最優(yōu)化的一種數(shù)量方法。其特點在于，它可以把一個維決策問 題變換為兒個一維最優(yōu)化問題，從而一個一個地去解決。對于此類問題，現(xiàn)實生活中也經(jīng)常遇到，我們通過建模，把問題一般化，運 用動態(tài)規(guī)劃的一般方法，對其進行有效的求解，使其成本達到最低，這也是企業(yè) 最根本的目的，所以該模型的推廣就更顯重要了。參考文獻1張家善.基于多階段決策的庫存動態(tài)規(guī)劃模型研究.中國市場.2010(49)2肖侃;譚長庚;丁玲；基于中文分詞的文本相似度動態(tài)規(guī)劃算法J現(xiàn)代電子技術(shù),ModernElectronics Techiuque, 2011( 08): 72-743孫曉燕，李自良，彭雄鳳,傅亞力，梁志強

24、.利用動態(tài)規(guī)劃法求解運輸問題的最短路徑.機 械設(shè)計與制造.2010(02)4邢莉燕，李紀成.動態(tài)規(guī)劃法在網(wǎng)絡(luò)成本工期優(yōu)化中的應(yīng)用J.山東科學(xué).1998(03)5牟德;陳秋雙.基于安全庫存的二級庫存系統(tǒng)的優(yōu)化方法J.系統(tǒng)工程,2003,(02)6唐立新;孫德剛.單一品種項目的生產(chǎn)批量問題的動態(tài)規(guī)劃算法J.東北大學(xué)學(xué)報,1999,(04).附錄算法程序的框圖如下:圖附錄-1圖的左邊部分是函數(shù)序列的遞推計算，可輸出全過程最優(yōu)值/,（）,如果需要 還可以輸出后部子過程最優(yōu)值函數(shù)序列fk（Xki）和最優(yōu)決策序列誠（功）。計算過程 中存fg）是備計算九|之用，在九T算完后可用fl將人替換掉；存戒（4）是備

25、 右邊部分讀；（K）之用。圖的右邊部分是最優(yōu)狀態(tài)和最優(yōu)決策序列的正向計算，可輸出最優(yōu)策略 ：（x：）和最優(yōu)軌線x：,x；,X：。lingo代碼：model：sets：lbj/1.5/:c;yf?1.6/:;sb/1.4/:;sll(yf,lbj):x,d,s;sl2(sb,lbj):t;sl3(sb,yf):n;end setsData:enddatamin= sum(sll(k,j):c(j)* x(k,j)+0.5 s(k,j);fot(yf(k):fdr(sb :suin(lbj(j):t(i,j)*x(k,j)=32O*n(i,k);for(yf(k)|k#gt# 1: for(lbj

26、 (j): s(k j)=s(s(k-1 ,j)+x(k,j)-d(k j);foi(lbj :s(l ,j)=8O+x( 1 j)-d( 1 ,j);for(lbj(j):s(6,j)=50);for(si 1 (k,j) :s(k,j)0);for(sll(k,j): x(k,j )=5 0);endmatlab 代碼：function p_opt,fTal=dynprog(x,DecisFun,ObjFun,TransFun)% p_opt,fval=dynpiog(x,DecisFun,ObjFun,TransFun)%自由始端和終端的動態(tài)規(guī)劃，求指標函數(shù)最小值的逆序算法遞歸%計算程序

27、。x是狀態(tài)變量，一列代表一個階段狀態(tài)；M-函數(shù)% DecisFun(k,x)由階段k的狀態(tài)變量x求出相應(yīng)的允許決策變量；% M-函數(shù) ObjFim(k,x,u)是階段指標函數(shù)，M-函數(shù) TransFun(k,x,u)%是狀態(tài)轉(zhuǎn)移函數(shù)，其中x是階段k的某狀態(tài)變量，u是相應(yīng)的決策變量;%輸出p.opt由4列構(gòu)成，p_opt=序號組;最優(yōu)策略組;最優(yōu)軌線組；%指標函數(shù)值組;fVal是一個列向量，各元素分別表示p_opt各%最優(yōu)策略組對應(yīng)始端狀態(tài)x的最優(yōu)函數(shù)值；%例(參看胡良劍等編數(shù)學(xué)實驗-使用MATLAB) Pl80%先寫3個函數(shù)%egl3fl_2.m% function u=DecisF_l(k,

28、x)%在階段k由狀態(tài)變量X的值求出其相應(yīng)的決策變量所有的取值 %c=70,72,80,76;q=10*6,7,12,6;% if q(k)-x0,u=0:100; %決策變量不能取為負值% else,u=q(k)-x:100;end; %產(chǎn)量滿足需求且不超過100% u=u(:);%egl3f2_2.m% function v=ObjF_l(k,XAi)%階段k的指標函數(shù)% c=70,72,80,76;v=c(k)*u+2*x;%egl3f3_2.m% function y=TiansF_l (k,x,u)%狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程% q=10* 6,7,12,6 ;y=x+u-q(k);%調(diào)用DynPr

29、og.m計算如下：% clear;x=nan*ones(14,4);% x 是 10 的倍數(shù)，最大范圍 0 x130,% %因此x=0,l,.13,所以x初始化取14行，nan表示無意義元素% x(l:7,l)=10*(0:6) %按月定義x的可能取值%x(l: ll,2)=10*(0:10);x(l: 12,3)=10*(2:13);%x(l:7,4)=10*(0:6)%p,f=dynpiog(x；egl3fl_27egl3f2_2,；egl3f3_2,)% By X.D. Ding June 2000k=length(x( 1,:; fLopt=nan*ones(size(x); d_opt=fLopt;t_vubm=mPones(size(x);x_isnan=isnan(x);t_vub=mf;%計算終端相關(guān)值tmp 1 =fiiid(x_isnan(:,k);tmp2=length(tmp 1);fbr i=l:tmp2u=ffeval(DecisFun,k,x(i,k);tmp3=length(u);fbf j=l:tmp3tmp=feval(ObjFun,k.x(tmp 1 (i),k),u(j);if tmpv=t_v