課題設(shè)計教案 帶圓孔平板的均勻拉伸

1、7.6 帶圓孔平板的均勻拉伸學(xué)習(xí)思路: 平板受均勻拉力q作用，平板內(nèi)有半徑為a的小圓孔。圓孔的存在，必然對應(yīng)力分布產(chǎn)生影響。孔口附近的應(yīng)力將遠(yuǎn)大于無孔時的應(yīng)力，也遠(yuǎn)大于距孔口稍遠(yuǎn)處的應(yīng)力。這種現(xiàn)象稱為應(yīng)力集中。 孔口的應(yīng)力集中，根據(jù)局部性原理，影響主要限于孔口附近區(qū)域。根據(jù)上述分析，在與小圓孔同心的厚壁圓筒上，應(yīng)力可以分為兩部分：一部分是沿外圓周作用的不變的正應(yīng)力，另一部分是以三角函數(shù)變化的法向力和切向力。對于前者是軸對稱問題；或者根據(jù)問題性質(zhì)可以確定應(yīng)力函數(shù)后求解。 孔口應(yīng)力分析表明，孔口應(yīng)力集中因子為3。學(xué)習(xí)要點： 1. HYPERLINK 帶圓孔平板拉伸問題； 2. HYPERLINK

2、厚壁圓筒應(yīng)力函數(shù)； 3. HYPERLINK 應(yīng)力與邊界條件； 4. HYPERLINK 孔口應(yīng)力。設(shè)平板在x方向受均勻拉力q作用，板內(nèi)有一個半徑為a的小圓孔。圓孔的存在，必然對應(yīng)力分布產(chǎn)生影響。 HYPERLINK javascript:expands(P2) 如圖所示?？卓诟浇膽?yīng)力將遠(yuǎn)大于無孔時的應(yīng)力，也遠(yuǎn)大于距孔口稍遠(yuǎn)處的應(yīng)力。這種現(xiàn)象稱為應(yīng)力集中。 孔口的應(yīng)力集中，根據(jù)局部性原理，影響主要限于孔口附近區(qū)域。隨著距離增加，在離孔口較遠(yuǎn)處，這種影響也就顯著的減小。 根據(jù)上述分析，假如b與圓孔中心有足夠的距離，則其應(yīng)力與無圓孔平板的分布應(yīng)該是相同的。因此 上述公式表明在與小圓孔同心的，半徑

3、為b的圓周上，應(yīng)力可以分為兩部分：一部分是沿外圓周作用的不變的正應(yīng)力，其數(shù)值為；另一部分是隨變化的法向力cos2和切向力sin2。 對于沿厚壁圓筒外圓周作用的不變的正應(yīng)力，其數(shù)值為。 由此產(chǎn)生的應(yīng)力可用 HYPERLINK javascript:expands(P1) 軸對稱應(yīng)力計算公式計算。則 這里，將均勻法向應(yīng)力作為外加載荷作用于內(nèi)徑為a，外徑為b的厚壁圓筒的外圓周處。使得問題成為一個典型的軸對稱應(yīng)力。對于厚壁圓筒的外徑作用隨2變化的法向外力cos2和切向外力sin2， HYPERLINK javascript:expands(P3) 如圖所示。根據(jù)面力邊界條件，厚壁圓筒的應(yīng)力分量也應(yīng)該是

4、2的函數(shù)。由應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的關(guān)系可以看出，由此產(chǎn)生的應(yīng)力可以由以下形式的應(yīng)力函數(shù)求解，即 將上述應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式代入 HYPERLINK javascript:expands(P1) 變形協(xié)調(diào)方程，可得 f（）所要滿足的方程 即 上述方程是歐拉(Euler)方程，通過變換可成為常系數(shù)常微分方程，其通解為 因此，將其代入 HYPERLINK javascript:expands(P2) 公式 ,可得應(yīng)力函數(shù)為 因此，應(yīng)力分量為 應(yīng)力分量表達(dá)式中的待定常數(shù)A，B，C，D可用邊界條件確定，本問題的面力邊界條件為 將應(yīng)力分量代入上述邊界條件，則 聯(lián)立求解上述方程，并且注意到對于本問題，a/b0, 可

5、得 將計算所得到系數(shù)代入 HYPERLINK javascript:expands(P1) 應(yīng)力分量公式，則 將隨 變化的法向力 cos2和切向力 sin2的計算所得結(jié)果與沿外圓周作用的不變的正應(yīng)力結(jié)果相疊加，則 上述應(yīng)力分量表達(dá)式表明，如果 相當(dāng)大時，上述應(yīng)力分量與均勻拉伸的應(yīng)力狀態(tài)相同。 對于孔口應(yīng)力，即=a 時，有 最大環(huán)向應(yīng)力發(fā)生在小圓孔的邊界上的=/2 和=3/2 處，其值為 max = 3q 這表明，當(dāng)板很大而孔很小時，則圓孔的孔口將有應(yīng)力集中現(xiàn)象。通常把最大應(yīng)力與平均應(yīng)力的比值用于描述應(yīng)力集中的程度。即 K 稱為應(yīng)力集中因子。對于平板受均勻拉伸問題，K=3。7.7 楔形體頂端受集

6、中力或集中力偶學(xué)習(xí)思路: 本節(jié)將推導(dǎo)有關(guān)楔形體的幾個有實用價值的解答。 對于彈性力學(xué)問題的求解，重要的問題是確定應(yīng)力函數(shù)的形式。由于楔形體幾何形狀的特殊性，本身沒有任何描述長度的幾何參數(shù)，借助于幾何特性，可以找到應(yīng)力函數(shù)的基本形式，然后根據(jù)變形協(xié)調(diào)方程得到應(yīng)力函數(shù)。 楔形體彈性力學(xué)解答可以推廣為半無限平面應(yīng)力的解答，這對于工程問題的求解具有指導(dǎo)意義。學(xué)習(xí)要點： 1. HYPERLINK 楔形體作用集中力問題的應(yīng)力函數(shù)； 2. HYPERLINK 楔形體邊界條件； 3. HYPERLINK 楔形體應(yīng)力； 4. HYPERLINK 半無限平面作用集中力； 5. HYPERLINK 楔形體受集中力偶

7、作用； 6. HYPERLINK 楔形體受集中力偶作用的應(yīng)力。討論題： HYPERLINK 楔形體頂端應(yīng)力和無窮遠(yuǎn)應(yīng)力分析設(shè)有一楔形體，其中心角為，下端可以認(rèn)為是伸向無窮遠(yuǎn)處。 首先討論楔形體在其頂端受集中力作用，集中力與楔形體的中心線成角。設(shè)楔形體為單位厚度，單位厚度所受的力為F，極坐標(biāo)系選取 HYPERLINK javascript:expands(P3) 如圖所示。 通過量綱分析可以確定本問題應(yīng)力函數(shù)的形式。由于楔形體內(nèi)任一點的應(yīng)力分量將與F 成正比，并與， ，和有關(guān)。由于F 的量綱為MT-2，的量綱為L-1，而， 和是無量綱的，因此各個應(yīng)力分量的表達(dá)式只能取的負(fù)一次冪。 而根據(jù) HYP

8、ERLINK javascript:expands(P1) 應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式，其 的冪次應(yīng)比各應(yīng)力分量的冪次高兩次。因此可以假設(shè)應(yīng)力函數(shù)為的某個函數(shù)乘以的一次冪。有 將上述應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式代入 HYPERLINK javascript:expands(P2) 變形協(xié)調(diào)方程，可得 f ( ) 所要滿足的方程。即 求解上式，可得 其中A，B，C和D為待定常數(shù)，將上式代入應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式可得， 由于為線性項，不影響應(yīng)力分量的計算，因此可以刪去。因此應(yīng)力函數(shù)為 由應(yīng)力分量表達(dá)式，可得楔形體的應(yīng)力分量 現(xiàn)在的問題是利用面力邊界條件確定待定常數(shù)。楔形體左右兩邊的面力邊界條件為 已經(jīng)自然滿足。此外還有一個應(yīng)力邊界

9、條件：在楔形體頂端附近的一小部分邊界上有一組面力，它的分布沒有給出，但已知它在單位寬度上的合力為F。如果取任意一個截面，例如圓柱面ab， HYPERLINK javascript:expands(P1) 如圖所示。則該截面的應(yīng)力分量必然和上述面力合成為平衡力系，因此也就必然和力F形成平衡力系。 于是得出由應(yīng)力邊界條件轉(zhuǎn)換而來的平衡條件 將應(yīng)力分量表達(dá)式代入上式，則 積分可得 即 將常數(shù)C和D代入 HYPERLINK javascript:expands(P1) 應(yīng)力分量表達(dá)式 ，則本問題的解答為 上述楔形體應(yīng)力在 等于0時，將趨于無限大。即在載荷作用點的應(yīng)力無限大，解答是不適用的。但是如果外力

10、不是作用于一點，而是按照上述應(yīng)力分布作用于一個小圓弧區(qū)域，上述解答則為精確解。 根據(jù)圣維南原理，除了力的作用點附近，解答是有足夠精度的。在上述楔形體問題中，如果令，0，則轉(zhuǎn)化為彈性半無限平面作用集中力問題。 將，0代入 HYPERLINK javascript:expands(P1) 楔形體應(yīng)力表達(dá)式，則彈性半無限平面作用集中力作用的應(yīng)力表達(dá)式為 彈性半無限平面作用集中力作用的 HYPERLINK javascript:expands(P2) 應(yīng)力場具有以下特點: 1. 為主應(yīng)力,其余主應(yīng)力為0。 2.在直徑為d，圓心在x 軸并且與y 軸相切于原點O的圓上，由于該圓上任意一點滿足= dcos

11、，所以，圓上任意一點應(yīng)力為 =-2F/d。這就是說，圓上任意一點應(yīng)力，除載荷作用點以外，各點應(yīng)力和 相同。 此圓為等徑向應(yīng)力的軌跡線，稱為壓力泡。 3. 由于此圓最大切應(yīng)力 max=/2=const，因此在光彈性實驗中，又稱為等色線。 4.主應(yīng)力軌跡為一組以坐標(biāo)原點為中心的放射線。 5.最大切應(yīng)力軌跡為一組與主應(yīng)力軌跡夾45度角的曲線，其軌跡為對數(shù)螺線。以下討論楔形體的頂端受有集中力偶作用問題， HYPERLINK javascript:expands(P2) 如圖所示。 設(shè)單位寬度的力偶矩為M。 根據(jù)和楔形體受集中力相同的量綱分析，可見在各應(yīng)力分量的表達(dá)式中，只能是以負(fù)二次冪出現(xiàn)，因此應(yīng)力函

12、數(shù)表達(dá)式應(yīng)該與無關(guān)。也就是 將上式代入 HYPERLINK javascript:expands(P1) 變形協(xié)調(diào)方程，可得所要滿足的方程 求解這一關(guān)于的常微分方程，可得 其中A，B，C和D為待定常數(shù)。 求解前，首先作結(jié)構(gòu)分析。由于楔形體頂端作用集中力偶，因此為反對稱結(jié)構(gòu)。其正應(yīng)力應(yīng)為的奇函數(shù)，而切應(yīng)力分量應(yīng)為的偶函數(shù)。 由此可見，A = D = 0，則應(yīng)力函數(shù)簡化為 則由極坐標(biāo)應(yīng)力分量表達(dá)式，楔形體的應(yīng)力分量為對于楔形體問題，邊界條件要求 由應(yīng)力分量表達(dá)式可見，前一條件總能滿足，而后一條件要求 C = -2Bcos 同樣考慮ab以上部分的平衡條件，則 積分后可得 將計算所得的系數(shù)回代 HYPERLINK javascript:expands(P1) 應(yīng)力分量表達(dá)式，可得 大家可以自己證明上述應(yīng)力分量也可滿足以上部分的另外兩個平衡條件，即 在楔形體問題中，我們曾假定楔形體頂端所受的力或力偶是集中作用的，因此計算所得的應(yīng)力分量在 =0處成為無限大。實際上，集中在一點的力或力偶是不存在的，因此也就不會發(fā)生無限大