新高考數(shù)學(xué)模擬卷分類匯編二期專題04《空間向量與立體幾何》(解析版)

1、專題04 空間向量與立體幾何1（2021河北邯鄲一中高三開學(xué)考試）2021年東京奧運(yùn)會的游泳比賽在東京水上運(yùn)動中心舉行，其中某泳池池深約3.5m，容積約為4375，若水深要求不低于1.8m，則池內(nèi)蓄水至少為（ ）A2250B2500C2750D2000【答案】A【解析】由題意，池底面積，則蓄水量至少為，故選A。2（2021湖北武漢二中高三開學(xué)考試）某圓柱體的底面直徑和高均與某球體的直徑相等，則該圓柱體表面積與球體表面積的比值為（ ）A2BCD【答案】C【解析】設(shè)圓柱得底面半徑為，則高為，球的半徑為，所以圓柱體表面積，球得表面積，所以圓柱體表面積與球體表面積的比值為.故選C。3（2021廣東佛山

2、高三月考）若將面積為2的等腰直角三角形，以其一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而成一個圓錐，則該圓錐的體積為（ ）ABCD【答案】D【解析】由等腰直角三角形的面積為2，得其直角邊長為2，所以經(jīng)過旋轉(zhuǎn)得到圓錐的高為2，底面圓半徑為2，所以圓錐的體積為：，故選D。4（2021湖南省岳陽一中高三開學(xué)考試）2021年7月18日18時至21日0時，鄭州出現(xiàn)罕見持續(xù)強(qiáng)降水天氣過程，全市普降大暴雨特大暴雨，累積平均降水量449毫米，給鄭州市帶來重大的財產(chǎn)損失和人員傷亡.一般氣象學(xué)上定義：24小時內(nèi)降水在平地上積水厚度（）來判斷降雨程度.其中小雨（），中雨（），大雨（），暴雨（），小明用一個圓錐形容器接了24小

3、時的雨水，如圖，則這天降雨屬于哪個等級（ ）A小雨B中雨C大雨D暴雨【答案】B【解析】由題意,一個半徑為的圓面內(nèi)的雨充滿一個底面半徑為,高為的圓錐,所以積水厚度,屬于中雨.故選B5（2021寧波市北侖中學(xué)高三質(zhì)檢）已知平面，直線，m，且有，給出下列命題：若，則；若，則；若，則其中命題正確的有（ ）個A0B1C2D3【答案】A【解析】對于由，得不出，故錯誤；對于，得不出，故錯誤；對于，得不出，故錯誤，故選A。6（2021廣東深圳中學(xué)高三月考）已知兩條不同的直線和兩個不同的平面，則：（1）若，則；（2）空間中，三點(diǎn)確定一個平面；（3）若，則；（4）若且，則.以上假命題的個數(shù)為（ ）A1B2C3D4

4、【答案】C【解析】對于（1），當(dāng)時，與可能平行，可能相交不垂直，可能垂直，可能在內(nèi)，所以（1）錯誤，對于（2），當(dāng)空間中的三點(diǎn)不共線時，這三點(diǎn)確定一個平面，當(dāng)空間中的三點(diǎn)共線時，則過這三點(diǎn)有無數(shù)個平面，所以（2）錯誤，對于（3）當(dāng)，若時，則不一定平行，所以（3）錯誤，對于（4），如圖，過直線作平面，所以，同理可得，所以，因為，所以，因為，所以 ，所以，所以（4）正確，故選C。7（2021江蘇省蘇州中學(xué)高三月考）已知各頂點(diǎn)都在一個球面上的正四棱錐的高為3，體積為6，則這個球的表面積為（ ）ABCD【答案】A【解析】如圖所示：在正四棱錐中，為底面對角線的交點(diǎn)，為外接球的球心.，所以，即.因為.設(shè)四

5、棱錐外接球半徑為，則，所以，解得.所以外接球表面積為.故選A。8（2021浙江杭州高三聯(lián)考）如圖，在直三棱柱中，則與所成的角的余弦值為（ ）A B C D 【答案】A【解析】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以，所以直線與所成角的余弦值為故選A。9（2021浙江紹興一中高三月考）在三棱錐中，兩兩垂直，為棱上一動點(diǎn)，當(dāng)與平面所成角最大時，與平面所成角的正弦值為（ ）ABCD【答案】A【解析】由條件，且，平面，則與平面所成角為，所以，當(dāng)取得最小值時，取得最大值在等腰中，當(dāng)為的中點(diǎn)時，取得最小值.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的法向

6、量為，則，即,令，得.因為，所以與平面所成角的正弦值為.故選A。10（2021江蘇金陵中學(xué)高三月考）以為底的兩個正三棱錐和內(nèi)接于同一個球，并且正三棱錐的側(cè)面與底面所成的角為45，記正三棱錐和正三棱錐的體積分別為和，則（ ）A1BCD【答案】D【解析】如圖，正三棱錐和正三棱錐內(nèi)接于同一個球，設(shè)到底面的距離為，到底面的距離為，則，取的中點(diǎn)，連接，記與平面的交點(diǎn)為，由兩個正三棱錐和內(nèi)接于同一個球，故一定為球的直徑，記其中點(diǎn)為，且由題意可知，為正三角形的中心，因此，分別為正三棱錐和正三棱錐的高，由，且為的中點(diǎn)，可得，則為正三棱錐的側(cè)面與底面所成的角為，記球的半徑為，于是，在中，由勾股定理可得，解得，于

7、是，則故選D。11（2021浙江諸暨中學(xué)高三開學(xué)考試）如圖四面體，平面，于，于，則（ ）A可能與垂直，的面積有最大值；B可能與垂直，的面積沒有最大值；C不可能與垂直，的面積有最大值；D不可能與垂直，的面積沒有最大值.【答案】C【解析】假設(shè)，,面，面 ，面，又， ，面，又面， 等要三角形中是不可能的，假設(shè)錯誤，不可能與垂直；設(shè)，則，等號成立當(dāng)且僅當(dāng) ，故選C。12（2021浙江金華中學(xué)高三月考）已知四面體，平面，于E，于F，則（ ）A可能與垂直，的面積有最大值B不可能與垂直，的面積有最大值C可能與垂直，的面積沒有最大值D不可能與垂直，的面積沒有最大值【答案】D【解析】由平面知，則，利用等面積法求

8、得斜邊上的高，從而有，則為等腰三角形，不可能與垂直，即不可能與垂直.故AC錯誤；由上知，設(shè)，則，由余弦定理知，則由知，故為銳角，且的面積，當(dāng)取得右側(cè)邊界點(diǎn)時，三點(diǎn)共線，不能構(gòu)成三角形，故無最大值，故B錯誤，D正確；故選D。13（2021浙江金華中學(xué)高三月考）某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（ ）ABCD【答案】D【解析】由三視圖還原原幾何體的直觀圖如下圖所示：由圖可知，該幾何體是長為、寬為、高為的長方體中挖去一個棱長為的正方體，和一個半徑為、高為的半圓柱和一個長為、高為，寬為的長方體，因此，該幾何體的體積為，故選D。14（2021湖南長郡中學(xué)高三月考）公元前3世紀(jì)，古希臘歐幾里得在

9、幾何原本里提出：“球的體積（V）與它的直徑（D）的立方成正比”，此即，歐幾里得未給出k的值17世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家們對球的體積的方法還不了解，他們將體積公式中的常數(shù)k稱為“立圓率”或“玉積率”類似地，對于等邊圓柱（軸截面是正方形的圓柱），正方體也可利用公式求體積（在等邊圓柱中，D表示底面圓的直徑；在正方體中，D表示棱長）假設(shè)運(yùn)用此體積公式求得球獎（直徑為a），等邊圓柱（底面圓的直徑為a），正方體（棱長為a）的“玉積率”分別為，那么（ ）ABCD【答案】D【解析】由題意得球的體積為；等邊圓柱的體積為；正方體的體積，所以，故選D。15（2021浙江杭州外國語學(xué)校高三調(diào)研）某幾何體的三視圖（單位：）如圖所

10、示，則該幾何體的體積（單位：）是（ ）ABCD4【答案】A【解析】根據(jù)幾何體的三視圖轉(zhuǎn)換為直觀圖為：該幾何體為故故選A。16（2021浙江麗水外國語實(shí)驗學(xué)校月考）一個幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積為（ ）ABCD【答案】D【解析】作出幾何體的直觀圖如下：由三視圖和直觀圖可知，該幾何體由棱長為的正方體切去兩個底面為等腰直角三角形、高等于正方體棱長的三棱錐得到，如下圖所示：所以幾何體的體積為，故選D。17（2021河北邯鄲一中高三開學(xué)考試）如圖，在正方體中，E是棱的中點(diǎn)，F(xiàn)是四邊形內(nèi)一點(diǎn)（包含邊界）.平面，當(dāng)線段EF長度最大時，與平面所成角的余弦值為（ ）ABCD【答案】B【解析】設(shè)正方

11、體的棱長為a，如圖，取的中點(diǎn)G，連接，過G作，與交于點(diǎn)H，則點(diǎn)，且平面，則即為與平面所成角，當(dāng)長度最大時，點(diǎn)F與點(diǎn)H重合，得.故選B。18（2021湖南長沙一中高三調(diào)研）如圖所示，圓形紙片的圓心為O，半徑為，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O，D，E，F(xiàn)為圓O上的點(diǎn)，分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起，使得D，E，F(xiàn)重合，得到三棱錐，則當(dāng)?shù)倪呴L變化時，三棱錐的表面積S的取值范圍是（ ）ABCD【答案】D【解析】設(shè)三棱錐底面邊長為a，則如圖所示，連接OD交BC于點(diǎn)G，則，故三棱錐的底面積為，側(cè)面積為因而表面積為，故故選D。19（2021重

12、慶八中高三質(zhì)檢）六氟化硫，化學(xué)式為，在常壓下是十種無色、無臭、無毒、不燃的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途六氟化硫分子結(jié)構(gòu)為正八面體結(jié)構(gòu)（正八面體是每個面都是正三角形的八面體），如圖所示，硫原子位于正八面體的中心，6個氟原子分別位于正八面體的6個頂點(diǎn)若相鄰兩個氟原子間的距離為2a，則六氟化硫分子中6個氟原子構(gòu)成的正八面體的體積是（不計氟原子的大?。?）ABCD【答案】B【解析】如圖，連接，連接因為，所以，所以平面因為，所以因為四邊形是正方形，所以，則，故該正八面體的體積為，故選B。20（2021河北正定中學(xué)高三開學(xué)考試）如圖，將正方形沿對角線折成直二面角，則以下四個結(jié)論中

13、正確的個數(shù)為（ ）；是等邊三角形；與所成的角為；與平面所成的角為A1個B2個C3個D4個【答案】C【解析】如圖所示：取的中點(diǎn)，連接AO，OC，則，直二面角的平面角，對于，平面，平面，面，平面，故正確；對于，設(shè)正方形的邊長為2，在直角中，是等邊三角形，故正確；對于，與平面所成的線面角的平面角是，故與平面成的角不正確，故錯誤；對于，可取中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，由于，是中位線，可證得其長度為正方形邊長的一半，而是直角三角形的中線，其長度是的一半即正方形邊長的一半，故是等邊三角形，由此即可證得與所成的角為，故正確故選C。21（2021河北滄州一中高三月考）攢尖頂是中國傳統(tǒng)建筑屋頂表現(xiàn)手法，多用于面積不大的

14、建筑，如故宮的中和殿攢尖根據(jù)脊數(shù)多少，分三角攢尖頂、四角攢尖頂、六角攢尖頂、八角攢尖頂，具有較強(qiáng)的藝術(shù)裝飾效果一建筑屋頂想采用攢尖形式，有三種設(shè)計方案，三角攢尖，四角攢尖，八角攢尖，若將三種方案中屋頂分別看成正三棱錐，正四棱錐，正八棱錐的側(cè)面，且各正棱錐底面面積相同，各正棱錐側(cè)面與底面所成角相等那么三種設(shè)計中正棱錐側(cè)面積最小的為（ ）A三角攢尖B四角攢尖C八角攢尖D面積一樣大【答案】D【解析】設(shè)正三棱錐的底面邊長為，底面中心到邊的距離為，底面積為,側(cè)面積為；設(shè)正四棱錐的底面邊長為，底面中心到邊的距離為，底面積為,側(cè)面積為；設(shè)正八棱錐的底面邊長為，底面中心到邊的距離為，底面積為,側(cè)面積為；，因為

15、底面積相同，所以，因為側(cè)面與底面的夾角相等，設(shè)為，所以正三棱錐，正四棱錐，正八棱錐側(cè)面每個三角形的高分別為，所以，又，所以，所以側(cè)面積一樣大，故選D。22（2021江蘇省前黃高級中學(xué)高三月考）已知四棱錐的底面ABCD是邊長為2的正方形，且.若四棱錐P-ABCD的五個頂點(diǎn)在以4為半徑的同一球面上，當(dāng)PA最長時，則四棱錐P-ABCD的體積為（ ）ABCD【答案】C【解析】如圖，由及，得平面，即點(diǎn)在與垂直的圓面內(nèi)運(yùn)動，由題意知，當(dāng)、三點(diǎn)共線時，達(dá)到最長，此時，是圓的直徑，則，又，所以平面，此時可將四棱錐補(bǔ)形為長方體，其體對角線為，底面邊長為2的正方形，由題意得高，故四棱錐體積故選C。23（2021西

16、南大學(xué)附中高三開學(xué)考試）已知雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M是雙曲線右支上一點(diǎn)，滿足，點(diǎn)N是F1F2線段上一點(diǎn)，滿足現(xiàn)將MF1F2沿MN折成直二面角，若使折疊后點(diǎn)F1，F(xiàn)2距離最小，則為（ ）ABCD【答案】B【解析】，將MF1F2沿MN折成直二面角，過作，易知面，設(shè)，在中有，在中，有，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立.F1，F(xiàn)2距離最小時，為角平分線，故，可得.故選B。24（2021山東師范大學(xué)附中高三開學(xué)考試）已知三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，滿足，為球O的直徑且，則點(diǎn)P到底面的距離為（ ）ABCD【答案】D【解析】三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，為球O的直徑且，球心O是的中點(diǎn)，球半徑，取

17、AB的中點(diǎn)D，連接OD，OB，則，且滿足，又，平面，平面所以點(diǎn)P到底面的距離為,故選D。25（2021浙江省普陀中學(xué)高三開學(xué)考試）如圖，棱長為1的正方體中，點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)，點(diǎn)分別為線段的中點(diǎn)，則下列說法錯誤的是（ ）AB三棱錐的體積為定值CD的最小值為【答案】D【解析】由平面，可得，則由，可得平面又平面，則，所以A項命題正確；由于M，N分別為中點(diǎn)，可得因為點(diǎn)P在上，所以點(diǎn)P到平面的距離為定值，則三棱錐的體積由于和h都為定值所以三棱錐的體積為定值，所以B項命題正確；設(shè)，由對稱性可得，則當(dāng)P與C重合時，此時，達(dá)到最小為，當(dāng)交于P時，由等面積法可得，此時，達(dá)到最大為，所以C項命題正確；將平面與平面

18、沿展成平面圖，當(dāng)交于P時，可得，此時為最小值，所以D項命題錯誤；故選D。26（2021河北滄州一中高三月考）如圖所示，已知四棱錐中，四邊形為正方形，三角形為正三角形，側(cè)面底面，M是棱的中點(diǎn)（1）求證：；（2）求二面角的正弦值【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】（1）取的中點(diǎn)O，連接，并過O點(diǎn)作的平行線，交于E，則三角形為正三角形平面底面且平面底面底面以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向為x軸正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，令，則，（2），設(shè)平面的一個法向量為則即 令， 設(shè)平面的一個法向量為 則即令，所以，所以二面角的正弦值為27（2021浙江省富陽中學(xué)高三開學(xué)考試）如圖，平面五邊形中，將沿折起成四棱

19、錐（1）證明：;（2）若，求直線與平面所成角的正弦值【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）取AD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF、CF、AC.因為，所以.又，所以四邊形CDEA為平行四邊形.因為且，所以四邊形CDEA為正方形,所以CD、AE互相平分且ADEF，ADCF.即ADPF，ADCF.又，所以AD面PCF,所以AD面PC.（2）由（1）可知：四邊形CDEA為正方形，所以ADAB,且.以A為原點(diǎn)，為x、y軸正方向，過A垂直平面ABCD向上的方向為z軸建立坐標(biāo)系. 則，由，即，解得：，所以.所以,設(shè)為平面PCD的一個法向量，則有：，不妨設(shè)x=1，則.設(shè)直線與平面所成角為，則,即直線與平面所成角的正弦值為.28（2021湖北襄陽四中高三月考）如圖，在三棱柱中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱，上（均異于端點(diǎn)），平面（1）求證：四邊形是矩形；（2）若，求平面與平面所成銳二面角的余弦值【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）證明：因為三棱柱，所以，因為平面，所以平面，又因為，平面，所以，所以，因為，且，所以，所以，因為，所以四邊形為平行四邊形，因為平面且平面，所以，故四邊形是矩形；（2）取的中點(diǎn)G，連結(jié)，由（1）可知，因為平面且平面，所以平面平面，因為平面平面，且平面，所以平面