《高級宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)》考研羅默版2021考研真題與習(xí)題

1、高級宏觀經(jīng)濟(jì)學(xué)考研羅默版2021考研真題與習(xí)1.10假定與習(xí)題1.9類似，資本和勞動按照邊際產(chǎn)出支付報酬。此外，假設(shè)所有資本收入用于儲蓄而所有勞動收入均用于消費。因此n二-（a）證明該經(jīng)濟(jì)收斂于平衡增長路徑。（b）在平衡增長路徑上，k大于、小于還是等于k的黃金律水平？這一結(jié)論的直觀含義是什么？解：（a）證明：由k二K/AL，對其兩邊關(guān)于時間求導(dǎo)，可得:*=K_K(AL-KLA-ALY.ALK_KALAL_ALLA.A.LKAL(1)將m,和代入方程（1）,可得:=釀爲(wèi)嚴(yán)k-滌訓(xùn)將T二二:：=-代入方程（2）,可得：匚=尸（町-（科+黑+占）卡（3）當(dāng)時，每單位有效勞動保持不變。即f(k)-(n

2、+g+6)二0,因此平衡增長路徑上的每單位有效勞動的資本可以由f(k)-(n+g+6)二0潛在地決定。k二K/AL，由于在平衡增長路徑上k保持不變，因此，K必須與AL保持同樣的增長速度。AL的增長速度為n+g,所以K的增長速度為n+g。由于生產(chǎn)函數(shù)是規(guī)模報酬不變的，因此，在平衡增長路徑上每單位有效勞動的產(chǎn)出增長速度也必須是n+g。綜上所述，可以發(fā)現(xiàn)所有變量增長速度均不變。下面證明經(jīng)濟(jì)收斂于平衡增長路徑。在k二k*時，f(k)-(n+g+6)二0,此時經(jīng)濟(jì)處于平衡增長路徑上。如果kk*,由于f(k)0,所以(n+g+S)k,則k上升；反之，如果(k)=r_=_勿=廣X)曠(F)-(n-g-S)=

3、sfr(k*)-(n-g-S)7W)y=y(10)因為在平衡增長路徑上，S二(n+g+6)k*/f(k*),從而方程(10)可以表示為：妙)(11)又由于aK二kf(k)/f(k),所以方程(11)可以簡化為：Bydy=i-aK(k(n-g-S)y*綜上所述，在平衡增長路徑附近，y以近似于1-aK(k*)(n+g+6)的不變速度收斂于平衡增長路徑值。1.12物化的技術(shù)進(jìn)步。來自索洛(Solow,1960)和薩托(Sato,1966)。有關(guān)技術(shù)進(jìn)步的一種看法是，資本品在時刻t的生產(chǎn)力依賴于時刻t的技術(shù)水平，而與此后的技術(shù)進(jìn)步無關(guān)，這就是物化的技術(shù)進(jìn)步(技術(shù)進(jìn)步必須物化為新的資本才能增加產(chǎn)出)。本

4、題旨在探討物化技術(shù)進(jìn)步的影響。(a)首先，我們修改基本的索洛模型，假定技術(shù)進(jìn)步為資本增強型而不是勞動增強型。為了保證平衡增長路徑的存在，假設(shè)生產(chǎn)函數(shù)為柯布一道格拉斯函數(shù)：Y(t)二A(t)K(t)aL(t)1-a,A的增長率為匕:r:1二U1證明該經(jīng)濟(jì)收斂于一個平衡增長路徑，并計算Y與K在平衡增長路徑上的增長率。提示：證明Y/(A)可以寫為K/(A)的函數(shù)，其中屮二a/(1-a),并分析K/(A)的動態(tài)變化。(b)考慮物化的技術(shù)進(jìn)步。具體來說，假定生產(chǎn)函數(shù)為Y(t)二J(t)aL(t)1-a,其中j(t)為有效資本存量。J(t)的動態(tài)變化由給定。表達(dá)式中的A(t)項表明在時刻t投資的生產(chǎn)力取決

5、于時刻t的技術(shù)水平。證明該經(jīng)濟(jì)收斂于一個平衡增長路徑，并計算在這個平衡增長路徑上Y和J的增長率。提示：令/I；l=/l：心；1，然后用(a)中的方法，著重考慮小Z而不是K/(ApL)。(c)在平衡增長路徑上，產(chǎn)出對s的彈性是多少？在平衡增長路徑附近，經(jīng)濟(jì)向平衡增長路徑收斂得有多快？把(c)和(d)中得到的結(jié)果與課文中基本索洛模型的相應(yīng)結(jié)果進(jìn)行對比。解：(a)A以Y二F(K,AL)的形式進(jìn)入，則技術(shù)進(jìn)步為哈羅德中性的；A以Y二F(AK,L)的形式進(jìn)入，則技術(shù)進(jìn)步為資本增加型的；A以Y二AF(K,L)的形式進(jìn)入，則技術(shù)進(jìn)步為?？怂怪行缘摹１绢}為第二種情況。資本增加型的技術(shù)進(jìn)步的生產(chǎn)函數(shù)的形式為：鞏

6、上起圧(訂哄“在方程(1)左右兩邊同時除以A(t)a/(1-a)L(t),可得:化簡得:將上式再簡化為:疋義：屮二a/(1-a)為求k的動態(tài)變動，可得：總資本存量的動態(tài)方程式為:，代入上式，可得:將方程(4)代入(3),可得:丘(町=占/(才)砂(町_SKZ(巧一(觸c-科)A;0將方程(2)代入上式，可得:血(匸)=誌)一(觸十衛(wèi)十占左()方程(5)與索洛模型(勞動增進(jìn)型)中的資本動態(tài)方程非常相似。不過，本模型用sk(ntt圖1-11k收斂于k*11；-1；而不是用有效勞動A(t)L(t)來衡量資本。圖1-11是k的變化圖。帥+口十3)k(t)當(dāng)每單位At)(t)的實際投資超過每單位At)(

7、t)的持平投資二時，k將上升趨向于k*;反之，當(dāng)每單位A(t)L(t)的實際投資小于每單位A(t)L(t)的持平投資丄：z時，k將下降趨向于k*。忽略k為0的情況，經(jīng)濟(jì)將在k二k*時收斂到平衡增長路徑。因為1；=1；，所以當(dāng)k二k*時，y也將保持不變。再分析總的情況：總資本K為ApLk，由于k保持不變，因此K的增長率為:;；“；同理，總產(chǎn)出Y為ALy,由于y保持不變，因此Y的增長率為二-。由于A和L被假定按既定的速率增長，因此，由于所有的變量均按既定的速率增長，經(jīng)濟(jì)收斂到平衡增長路徑。（b）考慮物化的技術(shù)進(jìn)步的情況。生產(chǎn)函數(shù)的形式為：廠（6）定義；=；-1,代入方程（6）,生產(chǎn)函數(shù)的形式可以重

8、寫為：df1一圧心以小7（小L（t）(7)對方程（7）兩邊同時除以（滬P），得：定義，止if及，代入方程（8）,可得：(9)為分析t丿的動態(tài)變化，對:=;-:二廠兩邊求導(dǎo)數(shù)，即：AOA(tyL(r)塑十4期刖L(t)Z(f)rA(t)Z(f)將川）（小理門，=及Zl；lZl；l=代入上式，可得：為求得i表達(dá)式，對11=1；1，；1兩邊取導(dǎo)數(shù)，即：亍=期如-旳皿_J（t）呦型J丿八衛(wèi)（QA（r）A（t）將，二”_：，.；.：.；：.：；：及IL“丨代入上式，可得：上式再簡化為：（11）將方程（11）代入（10）,可得:J(O=sF(t)/4O(t)-(-了的/貝砂期卜暢卜m)J(0=n0-tt-

9、5-Xl-)7(0將代入上式，可得：疋）=町（-占-血（1-0）川）（12）圖1-12是八:的變化圖。忽略為0這種情況，經(jīng)濟(jì)將在=時收斂。同理，由于=，當(dāng)經(jīng)濟(jì)收斂于.時，y將保持不變?？偖a(chǎn)出Y二ALy，由于y保持不變，總產(chǎn)出的增長率為上o由定義八可知，在經(jīng)濟(jì)收斂于平衡增長路徑時，-保持不變，的增長率為少。由于一二，所以，有效資本存量.的增長率為，或者是，：1。因此，由于所有的變量都以不變的速率增長，經(jīng)濟(jì)收斂于平衡增長路徑。(c)在平衡增長路徑上，八，由方程(12)一,可知進(jìn)一步可推出:產(chǎn)=即挖+方+“(1+0)。因此有下式：尸=卩/3“(1硏將方程(13)代入(9),可以求得在平衡增長路徑上每

10、單位A(t)cpL(t)的產(chǎn)出的表達(dá)式:才=卜%+6+（L+0）P（14）對y*關(guān)于s進(jìn)行求導(dǎo)，即：兩邊乘以.:以求得彈性形式，即：a1（Xn-戸（1+0）球1-町一1n_再_再（1單_嫌1_陰上式簡化為：最終可以得到：(d)求在y二y*處的一階泰勒展開式，即：對方程(9)兩邊求導(dǎo)，可得:將方程(12)代入(17)中，即：-(1-a4-f：0：，_：_(21)這表示經(jīng)濟(jì)每年向y*移動-(e)本模型中產(chǎn)出關(guān)于儲蓄的彈性與基本的索洛模型中得到的結(jié)果一樣。本模型中收斂的速度快于索洛模型中的收斂速度。在基本的索洛模型中，收斂的速度為：-匚-，小于本模型中的-:-:-1.13考慮處于平衡增長路徑上的索洛

11、經(jīng)濟(jì)。假設(shè)1.7節(jié)中的增長核算技術(shù)適用于本經(jīng)濟(jì)。(a)根據(jù)增長核算的方法，工人平均產(chǎn)出增長中有多大比例來自于工人平均資本的增長？多大比例來自于技術(shù)進(jìn)步？(b)如何用(a)中的結(jié)論解釋如下事實：索洛模型表明，平衡增長路徑上的工人平均產(chǎn)出增長率由技術(shù)進(jìn)步率唯一確定。答：(a)根據(jù)增長因素分析法，產(chǎn)出可以分解為：一尺其中,aK(t)是產(chǎn)出關(guān)于資本的彈性，R(t)是索洛剩余。在平衡增長路徑上，每位工人平均產(chǎn)出增長率和每位工人平均資本增長率都等于技術(shù)進(jìn)步率。在上述公式中，索洛將每位工人平均產(chǎn)出的aK(t)部分歸于資本的貢獻(xiàn)，而將1-aK(t)部分歸于技術(shù)進(jìn)步，即索洛剩余。通常估計aK(t)二1/3,因此

12、，增長因素分析法將67%的貢獻(xiàn)歸于技術(shù)進(jìn)步，而僅有33%的部分是資本所做的貢獻(xiàn)。(b)從增長因素分析法看,(a)部分的結(jié)論是正確的，但是，實際上不完全正確。在平衡增長路徑上，資本一勞動比率的增長率為g，這是因為有效勞動的增長率為g。這意味著有效勞動的增長率，即技術(shù)的增長率，通過兩條路徑來提高人均產(chǎn)出：可以直接提高產(chǎn)出，也可以通過提高投入到資本積累中的資源來提高資本一勞動比率。增長因素分析法將通過第二條路徑提高人均產(chǎn)出，而不是潛在的路徑。因此，增長因素分析法有時并不能提供更深刻的分析。1.14(a)在方程(1.38)和(1.39)關(guān)于收斂性和測量誤差的模型中，假設(shè)b的真實值為-1。用ln(Y/N

13、)1979-ln(Y/N)。對一個常數(shù)項和In(Y/N)。做回歸是否會得到b的有偏估計？請解釋。(b)假設(shè)1979年的人均收入存在測量誤差，但1870年的人均收入不存在測量誤差。用ln(Y/N)1979-In(Y/N)1870對一個常數(shù)項和In(Y/N)1870做回歸是否會得到b的有偏估計？請解釋。答：(a)最小二乘回歸分析中，如果解釋變量與誤差項之間存在相關(guān)關(guān)系，則斜率系數(shù)估計就是有偏估計。根據(jù)方程(1.38)與(1.39),有：1譏嘰訂-1譏F/N扁丁之-血(F.W爲(wèi)丁(138)血(1.39)假定與U無關(guān)，將(1.39)代入(1.38)，可得：血7小)辭卜呎f+血(器町胡+仏-(1+占)閔

14、如果解釋變量(Y/N)1870與誤差項w-(1+b)p相關(guān)，則進(jìn)行線性回歸所得估計值b就是有偏估計。在一般情況下，這一結(jié)論是成立的。但是，對于b二-1這種特殊情況，則不成立，因為上式中的誤差項僅僅是。這樣，即使與(Y/N)1870相關(guān)，但由于b二-1,解釋變量與誤差項無關(guān)，因而最小二乘回歸是無偏估計。（b）被解釋變量的測度誤差并不會導(dǎo)致最小二乘回歸失效，恰恰相反，誤差項正是為糾正被解釋變量的測度誤差而存在的。如果1870年每資本平均收入存在測度誤差，將會導(dǎo)致偏向收斂。如果1870年每資本平均收入被高估了，則增長率就會被低估，此時，一個初始收入高的國家傾向于有一個低的增長速度。反之，如果1870

15、每資本平均收入被低估，則增長率就會被高估，此時，一個初始收入低的國家傾向于有一個高的增長速度。假設(shè)1979年每資本平均收入月服從隨機的、零測度誤差。在給定1870年每資本平均收入的情況下，如果1979年每資本平均收入被高估，則相應(yīng)的增長率也會被高估；反之，如果1979年每資本平均收入被低估，則相應(yīng)的增長率也會被低估。因此，沒有理由認(rèn)為1979年每資本平均收入存在測度誤差會導(dǎo)致有偏估計。M勰=仕_住_#一刃莒1.15試推導(dǎo)方程（1.50）:.一。提示：可仿照方程（1.47）和（1.48）中的步驟。解：資本的動態(tài)方程是：匸二=一二廠，從中可以求出的增長率，即：53gKii在平衡增長路徑上，K的增長率保持不變，則為保持資本一產(chǎn)出（Y/K）比不變，Y的增長率必須與K保持一致。給定生產(chǎn)函數(shù)F（f=K（護(hù)尺了（廳廈（“（0廣2刃兩邊取對數(shù)：InF仏）=説InK+尸h（才）+了1口廠+（1説一力1口口（f）+h（訂上式再簡化為：-a.即為教材（1.50）式。再對生產(chǎn)函數(shù)兩邊關(guān)于