不等式知識點歸納 (3)

1、第三章 不等式3.1、不等關(guān)系與不等式1、不等式的基本性質(zhì)（對稱性）（傳遞性）（可加性）（同向可加性）（異向可減性）（可積性）（同向正數(shù)可乘性）（異向正數(shù)可除性）（平方法則）（開方法則）（倒數(shù)法則）2、幾個重要不等式,（當(dāng)且僅當(dāng)時取號）. 變形公式：（基本不等式） ,（當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號）.變形公式： （也可用柯西不等式）用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”.（三個正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式）（當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號）.（當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號）.（當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號）.（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）其中規(guī)律：小于1同加則變大，大于1

2、同加則變小.絕對值三角不等式3、幾個著名不等式平均不等式：,（當(dāng)且僅當(dāng)時取號）.（即調(diào)和平均幾何平均算術(shù)平均平方平均）. 變形公式： 冪平均不等式：二維形式的三角不等式：二維形式的柯西不等式： 當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.三維形式的柯西不等式：一般形式的柯西不等式：向量形式的柯西不等式：設(shè)是兩個向量，則當(dāng)且僅當(dāng)是零向量，或存在實數(shù)，使時，等號成立.排序不等式（排序原理）：設(shè)為兩組實數(shù).是的任一排列，則（反序和亂序和順序和）當(dāng)且僅當(dāng)或時，反序和等于順序和.琴生不等式:（特例:凸函數(shù)、凹函數(shù)）若定義在某區(qū)間上的函數(shù),對于定義域中任意兩點有則稱f(x)為凸（或凹）函數(shù).4、不等式證明的幾種常用方法 常用方

3、法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學(xué)歸納法等.常見不等式的放縮方法： = 1 * GB3 舍去或加上一些項，如 = 2 * GB3 將分子或分母放大（縮?。?等.5、一元二次不等式的解法求一元二次不等式解集的步驟：一化：化二次項前的系數(shù)為正數(shù).二判：判斷對應(yīng)方程的根.三求：求對應(yīng)方程的根.四畫：畫出對應(yīng)函數(shù)的圖象.五解集：根據(jù)圖象寫出不等式的解集.規(guī)律：當(dāng)二次項系數(shù)為正時，小于取中間，大于取兩邊.6、高次不等式的解法：穿根法.分解因式，把根標(biāo)在數(shù)軸上，從右上方依次往下穿（奇穿偶切），結(jié)合原式不等號的方向，寫出不等式的解

4、集.7、分式不等式的解法：先移項通分標(biāo)準(zhǔn)化，則 （時同理）規(guī)律：把分式不等式等價轉(zhuǎn)化為整式不等式求解.8、無理不等式的解法：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解規(guī)律：把無理不等式等價轉(zhuǎn)化為有理不等式，訣竅在于從“小”的一邊分析求解.9、指數(shù)不等式的解法：當(dāng)時,當(dāng)時, 規(guī)律：根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.10、對數(shù)不等式的解法當(dāng)時, 當(dāng)時, 規(guī)律：根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)轉(zhuǎn)化.11、含絕對值不等式的解法：定義法：平方法：同解變形法，其同解定理有：規(guī)律：關(guān)鍵是去掉絕對值的符號.12、含有兩個（或兩個以上）絕對值的不等式的解法：規(guī)律：找零點、劃區(qū)間、分段討論去絕對值、每段中取交集，最后取各段的并集.13、含參數(shù)的不等式的解法解

5、形如且含參數(shù)的不等式時，要對參數(shù)進行分類討論，分類討論的標(biāo)準(zhǔn)有：討論與0的大小；討論與0的大??；討論兩根的大小.14、恒成立問題不等式的解集是全體實數(shù)（或恒成立）的條件是：當(dāng)時 當(dāng)時不等式的解集是全體實數(shù)（或恒成立）的條件是：當(dāng)時當(dāng)時恒成立恒成立恒成立恒成立15、線性規(guī)劃問題二元一次不等式所表示的平面區(qū)域的判斷： 法一：取點定域法：由于直線的同一側(cè)的所有點的坐標(biāo)代入后所得的實數(shù)的符號相同.所以，在實際判斷時，往往只需在直線某一側(cè)任取一特殊點（如原點），由的正負(fù)即可判斷出或表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.即：直線定邊界，分清虛實；選點定區(qū)域，常選原點.法二：根據(jù)或，觀察的符號與不等式開口的符號，若同號

6、，或表示直線上方的區(qū)域；若異號，則表示直線上方的區(qū)域.即：同號上方，異號下方.二元一次不等式組所表示的平面區(qū)域： 不等式組表示的平面區(qū)域是各個不等式所表示的平面區(qū)域的公共部分.利用線性規(guī)劃求目標(biāo)函數(shù)為常數(shù)）的最值： 法一：角點法：如果目標(biāo)函數(shù) （即為公共區(qū)域中點的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)）的最值存在，則這些最值都在該公共區(qū)域的邊界角點處取得，將這些角點的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，得到一組對應(yīng)值，最大的那個數(shù)為目標(biāo)函數(shù)的最大值，最小的那個數(shù)為目標(biāo)函數(shù)的最小值法二：畫移定求：第一步，在平面直角坐標(biāo)系中畫出可行域；第二步，作直線 ，平移直線（據(jù)可行域，將直線平行移動）確定最優(yōu)解；第三步，求出最優(yōu)解；第四步，將最優(yōu)解代

7、入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最小值 .第二步中最優(yōu)解的確定方法：利用的幾何意義：,為直線的縱截距.若則使目標(biāo)函數(shù)所表示直線的縱截距最大的角點處，取得最大值，使直線的縱截距最小的角點處，取得最小值；若則使目標(biāo)函數(shù)所表示直線的縱截距最大的角點處，取得最小值，使直線的縱截距最小的角點處，取得最大值.常見的目標(biāo)函數(shù)的類型：“截距”型：“斜率”型：或“距離”型：或或在求該“三型”的目標(biāo)函數(shù)的最值時，可結(jié)合線性規(guī)劃與代數(shù)式的幾何意義求解，從而使問題簡單化. 基礎(chǔ)練習(xí)一 選擇題1設(shè)Mx2，Nx1，則M與N的大小關(guān)系是()AMNBMNCM0，MN.2(2013遼寧鞍山市第一中學(xué)高二期中測試)若abeq f(1,

8、b)B2a2bC|a|b|D(eq f(1,2)a(eq f(1,2)b答案B解析ab，y2x單調(diào)遞增，2a2b，故選B3已知a0，1babab2Babaab2Cab2abaDabab2a答案D解析1bb20b1，即bb2ab2a.故選D4如果a、b、c滿足cba，且acacBbcacCcb2ab2Dac(ac)0答案C解析cba，且ac0，c0，bcac(ba)c0，ac(ac)0，A、B、D均正確b可能等于0，也可能不等于0.cb2bcBacbCcabDcba答案B解析0lge1，b(lge)2a2a，clgeq r(e)eq f(1,2)lgeeq f(1,2)aa.又b(lge)2lg

9、eq r(10)lgeeq f(1,2)lgec，bc2xCeq f(1,x21)1Dxeq f(1,x)2答案C解析A中x0；B中x1時，x212x；C中任意x，x211，故eq f(1,x21)1；D中當(dāng)x1y，下列不等式不成立的是()Ax11yBx1y1Cxy1yD1xyx答案A解析特殊值法令x2，y1，則x1211(1)1y，故A不正確8設(shè)a100.1, b0.110，clg0.1，則a，b，c的大小關(guān)系是()AabbcCbacDcab答案B解析100.1100，100.11.又0.1100.10，00.1101.lg0.1lg1，lg0.11,0b1，cbc，選B9設(shè)ab0，則()A

10、a2abb2Bb2aba2Ca2b2abDabb2a2答案A解析ab0，0ab，a2abb2.10已知a2a0，那么a，a2，a，a2的大小關(guān)系是()Aa2aa2aBaa2a2aCaa2aa2Da2aaa2答案B解析a2a0，0a2a2a，aa2a2a，故選B點評可取特值檢驗，a2a0，即a(a1)eq f(1,4)eq f(1,4)eq f(1,2)，即aa2a2a，排除A、C、D，選B11設(shè)a，bR，則(ab)a20是ab的()A充分非必要條件B必要非充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件答案A解析由(ab)a20得a0且ab；反之，由ab，不能推出(ab)a20.即(ab)a20是a1

11、，則a3a2，eq f(a31,a21)1，logaeq f(a31,a21)0，MN，若0a1，則0a3a2，0a31a21，0eq f(a31,a21)0，MN，故選A13(2014江西文，2)設(shè)全集為R，集合Ax|x290，Bx|1x5，則A(綂RB)()A(3,0)B(3，1)C(3，1D(3,3)答案C解析本題主要考查集合的運算，Ax|x290 x|3x5，A綂RBx|30，Nx|x24，則MN()A(1,2)B1,2)C(1,2D1,2答案C解析本題考查對數(shù)不等式、一元二次不等式的解法及集合的交集運算Mx|x1，Nx|2x2，所以MNx|1x2(1,218(2013廣東東莞市第五高

12、級中學(xué)高二期中測試)不等式x22x30的解集為()Ax|x1或x3Bx|1x3Cx|x3或x1Dx|3x1答案C解析由x22x30，得(x3)(x1)0，x3或x1，故選C19(北京學(xué)業(yè)水平測試)不等式(x1)(2x1)0的解集是()Ax|1x2Bx|x2Cx|x1Dx|eq f(1,2)x1答案D解析方程(x1)(2x1)0的兩根為x11，x2eq f(1,2)，所以(x1)(2x1)0的解集為x|eq f(1,2)x1，選D20設(shè)集合Mx|0 x2，Nx|x22x30，則MN等于()Ax|0 x1Bx|0 x2Cx|0 x1Dx|0 x2答案D解析Nx|x22x30 x|1x3，Mx|0

13、x2，MNx|0 x2，故選D21若x|2x3為x2axb0的解集為()Ax|x3Bx|2x3Cx|eq f(1,3)xeq f(1,2)Dx|xeq f(1,2)答案D解析由x2axb0的解集為x|2x0，即6x25x10，解集為x|xeq f(1,2)，故選D22不等式eq f(x2)2(x3),x1)0的解集為()Ax|1x2或2x3Bx|1x3Cx|2x3Dx|1x3答案A解析原不等式等價于eq blcrc (avs4alco1(x3)(x1)0，,x10，,(x2)20，)解得1x0B3x02y00C3x02y08答案D解析3121830.28圖中陰影部分表示的區(qū)域?qū)?yīng)的二元一次不等

14、式組為()Aeq blcrc (avs4alco1(xy10,x2y20)Beq blcrc (avs4alco1(xy10,x2y20)Ceq blcrc (avs4alco1(xy10,x2y20)Deq blcrc (avs4alco1(xy10,x2y20)答案A解析取原點O(0,0)檢驗滿足xy10，故異側(cè)點應(yīng)為xy10，排除B、DO點滿足x2y20，排除C選A29不等式x2y20表示的平面區(qū)域是()答案B解析將(1,0)代入均滿足知選B30不等式組eq blcrc (avs4alco1(xy5)(xy)0,0 x3)表示的平面區(qū)域是一個()A三角形B直角梯形C梯形D矩形答案C解析畫

15、出直線xy50及xy0，取點(0,1)代入(xy5)(xy)40，知點(0,1)在不等式(xy5)(xy)0表示的對頂角形區(qū)域內(nèi)，再畫出直線x0和x3，則原不等式組表示的平面區(qū)域為圖中陰影部分，它是一個梯形31目標(biāo)函數(shù)z2xy，將其看成直線方程時，z的意義是()A該直線的截距B該直線的縱截距C該直線的縱截距的相反數(shù)D該直線的橫截距答案C解析z2xy可變化形為y2xz，所以z的意義是該直線在y軸上截距的相反數(shù)，故選C32若x0，y0，且xy1，則zxy的最大值為()A1B1C2D2答案B解析可行域為圖中AOB，當(dāng)直線yxz經(jīng)過點B時，z最小從而z最大zmax1.33已知x、y滿足約束條件eq b

16、lcrc (avs4alco1(xy50,xy0,x3)，則z2x4y的最小值為()A5B6C10D10答案B解析可行域為圖中ABC及其內(nèi)部的平面區(qū)域，當(dāng)直線yeq f(x,2)eq f(z,4)經(jīng)過點B(3，3)時，z最小，zmin6.34若x、yR，且eq blcrc (avs4alco1(x1,x2y30,yx)，則zx2y的最小值等于()A2B3C5D9答案B解析不等式組表示的可行域如圖所示：畫出直線l0：x2y0，平行移動l0到l的位置，當(dāng)l通過點M時，z取到最小值此時M(1,1)，即zmin3.35設(shè)x、y滿足約束條件eq blcrc (avs4alco1(2xy4,xy1,x2y

17、2)，則目標(biāo)函數(shù)zxy()A有最小值2，無最大值B有最大值3，無最小值C有最小值2，最大值3D既無最小值，也無最大值答案A解析畫出不等式組eq blcrc (avs4alco1(2xy4,xy1,x2y2)表示的平面區(qū)域，如下圖，由zxy，得yxz，令z0，畫出yx的圖象當(dāng)它的平行線經(jīng)過點A(2,0)時，z取得最小值，最小值為2；無最大值故選A36(2013四川文，8)若變量x、y滿足約束條件eq blcrc (avs4alco1(xy8,2yx4,x0,y0)，且z5yx的最大值為a，最小值為b，則ab的值是()A48B30C24D16答案C解析本題考查了線性規(guī)劃中最優(yōu)解問題作出不等式組表示

18、的平面區(qū)域如圖作直線l0：yeq f(1,5)x，平移直線l0.當(dāng)l0過點A(4,4)時可得zmax16，a16.當(dāng)l0過點B(8,0)時可得zmin8，b8.ab16(8)24.37若變量x、y滿足約束條件eq blcrc (avs4alco1(y1,xy0,xy20)，則zx2y的最大值為()A4B3C2D1答案B解析先作出可行域如圖作直線x2y0在可行域內(nèi)平移，當(dāng)x2yz0在y軸上的截距最小時z值最大當(dāng)移至A(1，1)時，zmax12(1)3，故選B38設(shè)變量x、y滿足約束條件eq blcrc (avs4alco1(2xy4,4xy1,x2y2)，則目標(biāo)函數(shù)z3xy的取值范圍是()Aeq

19、 f(3,2)，6Beq f(3,2)，1C1,6D6，eq f(3,2)答案A解析本題考查了線性規(guī)劃的基礎(chǔ)知識及數(shù)形結(jié)合的思想根據(jù)約束條件，畫出可行域如圖，作直線l0：3xy0，將直線平移至經(jīng)過點A(2,0)處z有最大值，經(jīng)過點B(eq f(1,2)，3)處z有最小值，即eq f(3,2)z6.39設(shè)zxy，式中變量x和y滿足條件eq blcrc (avs4alco1(xy30,x2y0)，則z的最小值為()A1B1C3D3答案A解析作出可行域如圖中陰影部分直線zxy即yxz.經(jīng)過點A(2,1)時，縱截距最大，z最小zmin1.40變量x、y滿足下列條件eq blcrc (avs4alco1

20、(2xy12,2x9y36,2x3y24,x0,y0)，則使z3x2y最小的(x，y)是()A(4,5)B(3,6)C(9,2)D(6,4)答案B解析檢驗法：將A、B、C、D四選項中x、y代入z3x2y按從小到大依次為A、B、D、C然后按ABDC次序代入約束條件中，A不滿足2x3y24，B全部滿足，故選B41已知x、y滿足約束條件eq blcrc (avs4alco1(2xy4,x2y4,x0，y0)，則zxy的最大值是()Aeq f(4,3)Beq f(8,3)C2D4答案B解析畫出可行域為如圖陰影部分由eq blcrc (avs4alco1(x2y4,2xy4)，解得A(eq f(4,3)

21、，eq f(4,3)，當(dāng)直線zxy經(jīng)過可行域內(nèi)點A時，z最大，且zmaxeq f(8,3).42(2014廣東理，3)若變量x，y滿足約束條件eq blcrc (avs4alco1(yx,xy1,y1)，且z2xy的最大值和最小值分別為m和n，則mn()A5B6C7D8答案B解析作出可行域如圖，由eq blcrc (avs4alco1(yx，,y1，)得eq blcrc (avs4alco1(x1，,y1，)A(1，1)；由eq blcrc (avs4alco1(xy1，,y1.)得eq blcrc (avs4alco1(x2，,y1，)B(2，1)；由eq blcrc (avs4alco1(

22、yx，,xy1，)得eq blcrc (avs4alco1(xf(1,2)，,yf(1,2).)C(eq f(1,2)，eq f(1,2)作直線l：y2x，平移l可知，當(dāng)直線y2xz，經(jīng)過點A時，z取最小值，當(dāng)ymin3；當(dāng)經(jīng)過點B時，z取最大值，zmax3，m3，n3，mn6.43下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()Axeq f(1,2x)Bx21eq f(1,x21)C2x2x Dx(1x)答案：C44已知a、bR，且ab0，則在eq f(a2b2,2)ab；eq f(b,a)eq f(a,b)2；abeq blc(rc)(avs4alco1(f(ab,2)2；eq blc(rc)

23、(avs4alco1(f(ab,2)2eq f(a2b2,2)這四個不等式中，恒成立的個數(shù)有()A1個 B2個C3個 D4個答案：C45某工廠第一年產(chǎn)量為A，第二年的增長率為a，第三年的增長率為b，這兩年的平均增長率為x，則()Axeq f(ab,2) Bxeq f(ab,2)Cxeq f(ab,2) Dxeq f(ab,2)解析：依題意有A(1x)2A(1a)(1b)，1xeq r(1a)(1b)eq f(1,2)(1a)(1b)1eq f(ab,2)xeq f(ab,2).故選B.答案：B46若x0，則函數(shù)yxeq f(1,x)()A有最大值2 B有最小值2C有最大值2 D有最小值2解析：

24、x0，xeq f(1,x)2.xeq f(1,x)2.當(dāng)且僅當(dāng)x1時，等號成立，故函數(shù)yxeq f(1,x)有最大值2.答案：A47數(shù)列an的通項公式aneq f(n,n290)，則數(shù)列an中的最大項是()A第9項 B第8項和第9項C第10項 D第9項和第10項解析：aneq f(n,n290)eq f(1,nf(90,n)neq f(90,n)2eq r(90)，且nN*，當(dāng)n9或10時，neq f(90,n)最小，an取最大值故選D.答案：D48lg 9lg 11與1的大小關(guān)系是()Alg 9lg 111 Blg 9lg 11 1Clg 9lg 111 D不能確定 解析：lg 9lg 11

25、1，故選C.答案：C49已知a，bR，且ab1，則abeq f(1,ab)的最小值為()A2 B.eq f(5,2)C.eq f(17,4) D不存在解析：a，bR，ab1，eq r(ab)eq f(ab,2)eq f(1,2)，0abeq f(1,4).令tab，則f(t)teq f(1,t)在eq blc(rc(avs4alco1(0，f(1,4)上單調(diào)遞減，f(t)的最小值為feq blc(rc)(avs4alco1(f(1,4)eq f(1,4)4eq f(17,4)，故選C.答案：C50某金店用一桿不準(zhǔn)確的天平(兩邊臂不等長)稱黃金，某顧客要購買10 g黃金，售貨員先將5 g的砝碼放

26、在左盤，將黃金放于右盤使之平衡后給顧客，然后又將5 g的砝碼放入右盤，將另一黃金放于左盤使之平衡后又給顧客，則顧客實際所得黃金()A大于10 g B小于10 gC大于等于10 g D小于等于10 g解析：設(shè)兩臂長分別為a，b，兩次放入的黃金數(shù)是x，y，依題意有ax5b，by5a，xy25.eq f(xy,2)eq r(xy)，xy10，又ab，xy.xy10.即兩次所得黃金數(shù)大于10克，故選A.答案：A51函數(shù)f(x)eq f(r(x),x1)的最大值為()A.eq f(2,5) B.eq f(1,2) C.eq f(r(2),2) D1解析：當(dāng)x0時，f(0)0；當(dāng)x0時，x12eq r(x

27、)0，f(x)eq f(r(x),2r(x)eq f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)x1時等號成立故函數(shù)f(x)eq f(r(x),x1)的最大值為eq f(1,2).答案：B二 填空題1若ab，則a3與b3的大小關(guān)系是_答案a3b32若x(a3)(a5)，y(a2)(a4)，則x與y的大小關(guān)系是_答案xy解析xy(a3)(a5)(a2)(a4)(a22a15)(a22a8)70，xy.3已知ab0，且cd0，則eq r(f(a,d)與eq r(f(b,c)的大小關(guān)系是_答案eq r(f(a,d)eq r(f(b,c)解析cd0，eq f(1,d)eq f(1,c)0，ab0，eq f(a,d)eq f(

28、b,c)0，eq r(f(a,d)eq r(f(b,c).4若a、b、c、d均為實數(shù)，使不等式eq f(a,b)eq f(c,d)0和adeq f(c,d)0知，a、b同號，c、d同號，且eq f(a,b)eq f(c,d)eq f(adbc,bd)0.由adbc，得adbc0，所以bd0.所以在取(a，b，c，d)時只需滿足以下條件即可：a、b同號，c、d同號，b、d異號；ad0，b0，c0，d0，不妨取a2，b1，c1，則deq f(bc,a)eq f(1,2)，取d2，則(2,1，1，2)滿足要求5(2013廣東理，9)不等式x2x20的解集為_答案x|2x1解析由x2x20，得(x2)

29、(x1)0，2x1，故原不等式的解集為x|2x16不等式0 x22x35的解集為_答案x|2x1或3x5解析由x22x30得：x1或x3；由x22x35得2x4，2x1或3x4.原不等式的解集為x|2x1或3x47關(guān)于x的不等式：x2(2m1)xm2m0的解集是_答案x|mxm1解析解法一：方程x2(2m1)xm2m0的解為x1m，x2m1，且知mm1.二次函數(shù)yx2(2m1)xm2m的圖象開口向上，且與x軸有兩個交點不等式的解集為x|mxm1解法二：注意到m2mm(m1)，及m(m1)2m1，可先因式分解，化為(xm)(xm1)0，mm1，mxm1.不等式的解集為x|mxm18若集合Ax|a

30、x2ax10，則實數(shù)a的取值范圍是_答案0a4解析若a0，則10，)00，b0且ab，試比較aabb與abba的大小解析根據(jù)同底數(shù)冪的運算法則eq f(aabb,abba)aabbba(eq f(a,b)ab，當(dāng)ab0時，eq f(a,b)1，ab0，則(eq f(a,b)ab1，于是aabbabba.當(dāng)ba0時，0eq f(a,b)1，ab1，于是aabbabba.綜上所述，對于不相等的正數(shù)a、b，都有aabbabba.2已知a0，b0，ab，nN且n2，比較anbn與an1babn1的大小解析(anbn)(an1babn1)an1(ab)bn1(ba)(ab)(an1bn1)，(1)當(dāng)ab

31、0時，an1bn1，(ab)(an1bn1)0，(2)當(dāng)0ab時，an1bn1，(ab)(an1bn1)0，對任意a0，b0，ab，總有(ab)(an1bn1)0.anbnan1babn1.3如果30 x42,16y24.分別求xy、x2y及eq f(x,y)的取值范圍解析46xy66；482y32，18x2y10；30 x0的解集為(eq f(1,3)，eq f(1,2)，求cx22xa0的解集解析由ax22xc0的解集為(eq f(1,3)，eq f(1,2)，知a0，即2x22x120.解得2x0的解集為x|2x0；(2)eq f(ax,x1)0，xeq f(1,2).故原不等式的解集為

32、x|xeq f(1,2)(2)eq f(ax,x1)0ax(x1)0時，ax(x1)0 x(x1)01x0，解集為x|1x0；當(dāng)a0時，原不等式的解集為；當(dāng)a0時，ax(x1)0 x0或x0，或x0.解析原不等式可化為(xa)(xa2)0.則方程x2(aa2)xa30的兩根為x1a，x2a2，由a2aa(a1)可知，(1)當(dāng)a1時，a2a.原不等式的解集為xa2或xa.(2)當(dāng)0a1時，a2a或x0，x0.(4)當(dāng)a1時，原不等式為(x1)20，x1.綜上可知：當(dāng)a1時，原不等式的解集為x|xa2；當(dāng)0a1時，原不等式的解集為x|xa；當(dāng)a0時，原不等式的解集為x|x0；當(dāng)a1時，原不等式的解

33、集為x|x1.8畫出不等式組eq blcrc (avs4alco1(xy60,xy0,y3,x5)表示的平面區(qū)域解析不等式xy60表示在直線xy60上及右上方的點的集合，xy0表示在直線xy0上及右下方的點的集合，y3表示在直線y3上及其下方的點的集合，x5表示直線x5左方的點的集合，所以不等式組eq blcrc (avs4alco1(xy60,xy0,y3,x5) 表示的平面區(qū)域為如圖陰影部分9經(jīng)過點P(0，1)作直線l，若直線l與連結(jié)A(1，2)、B(2,1)的線段總有公共點，求直線l的斜率k的取值范圍解析由題意知直線l斜率存在，設(shè)為k.則可設(shè)直線l的方程為kxy10，由題知：A、B兩點在

34、直線l上或在直線l的兩側(cè)，所以有：(k1)(2k2)01k1.10求z3x5y的最大值和最小值，使式中的x、y滿足約束條件eq blcrc (avs4alco1(5x3y15,yx1,x5y3).解析作出可行域為如圖所示的陰影部分目標(biāo)函數(shù)為z3x5y，作直線l0：3x5y0.當(dāng)直線l0向右上平移時，z隨之增大，在可行域內(nèi)以經(jīng)過點A(eq f(3,2)，eq f(5,2)的直線l1所對應(yīng)的z最大類似地，在可行域內(nèi)，以經(jīng)過點B(2，1)的直線l2所對應(yīng)的z最小，zmax17，zmin11，z的最大值為17，最小值為11.11某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，其產(chǎn)量分別為45個與55個，所用原料為A、B兩種

35、規(guī)格金屬板，每張面積分別為2 m2與3 m2.用A種規(guī)格金屬板可造甲種產(chǎn)品3個，乙種產(chǎn)品5個；用B種規(guī)格金屬板可造甲、乙兩種產(chǎn)品各6個問A、B兩種規(guī)格金屬板各取多少張，才能完成計劃，并使總的用料面積最省？解析設(shè)A、B兩種金屬板分別取x張、y張，用料面積為z，則約束條件為eq blcrc (avs4alco1(3x6y45,5x6y55,x0,y0).目標(biāo)函數(shù)z2x3y.作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域(即可行域)，如圖所示z2x3y變?yōu)閥eq f(2,3)xeq f(z,3)，得斜率為eq f(2,3)，在y軸上截距為eq f(z,3)且隨z變化的一族平行直線當(dāng)直線z2x3y過可行域上點M時，

36、截距最小，z最小解方程組eq blcrc (avs4alco1(5x6y55,3x6y45) ，得M點的坐標(biāo)為(5,5)此時zmin253525 (m2)答：當(dāng)兩種金屬板各取5張時，用料面積最省.12制造甲、乙兩種煙花，甲種煙花每枚含A藥品3 g、B藥品4 g、C藥品4 g，乙種煙花每枚含A藥品2 g、B藥品11 g、C藥品6 g已知每天原料的使用限額為A藥品120 g、B藥品400 g、C藥品240 g甲種煙花每枚可獲利2 元，乙種煙花每枚可獲利1 元，問每天應(yīng)生產(chǎn)甲、乙兩種煙花各多少枚才能獲利最大解析設(shè)每天生產(chǎn)甲種煙花x枚，乙種煙花y枚，獲利為z元，則eq blcrc (avs4alco1

37、(3x2y120,4x11y400,4x6y240,x0,y0)，作出可行域如圖所示目標(biāo)函數(shù)為：z2xy.作直線l：2xy0，將直線l向右上方平移至l1的位置時，直線經(jīng)過可行域上的點A(40,0)且與原點的距離最大此時z2xy取最大值故每天應(yīng)只生產(chǎn)甲種煙花40枚可獲最大利潤13某運輸公司接受了向抗洪搶險地區(qū)每天至少運送180t支援物資的任務(wù)，該公司有8輛載重為6t的A型卡車和4輛載重為10t的B型卡車，有10名駕駛員，每輛卡車每天往返的次數(shù)為A型卡車4次，B型卡車3次，每輛卡車每天往返的成本費A型車為320元，B型車為504元，請你給該公司調(diào)配車輛，使公司所花的成本費最低解析設(shè)每天調(diào)出A型車x

38、輛，B型車y輛，公司所花的成本為z元，則由題意知eq blcrc (avs4alco1(x8，,y4，,xy10，,4x63y10180，,x0，,y0，)目標(biāo)函數(shù)為z320 x504y(其中x，yN)作出可行域如圖所示由圖易知，當(dāng)直線z320 x504y在可行域內(nèi)經(jīng)過的整數(shù)點中，點(8,0)使z320 x504y取得最小值，zmin320850402560，每天調(diào)出A型車8輛，B型車0輛，公司所花成本費最低14(1)求函數(shù)yeq f(1,x3)x(x3)的最小值；解析：x3，yeq f(1,x3)xeq f(1,x3)(x3)35，當(dāng)且僅當(dāng)x3eq f(1,x3)，即x4時取等號ymin5.

39、 (2)求函數(shù)yx(a2x)(x0，a為大于2x的常數(shù))的最大值；解析：x0，a2x，yx(a2x)eq f(1,2)2x(a2x)eq f(1,2)eq f(a2,8)，當(dāng)且僅當(dāng)xeq f(a,4)時，取等號，ymaxeq f(a2,8).(3)已知x0，y0,2x5y20，求lg xlg y的最大值解析：x0，y0,2x5y20，2x5yeq blc(rc)(avs4alco1(f(2x5y,2)2eq blc(rc)(avs4alco1(f(20,2)2100，xy10，lg xlg ylg(xy)lg 101，當(dāng)且僅當(dāng)2x5y10，即x5，y2時上式取等號，當(dāng)x5，y2時，lg xlg

40、 y取最大值，最大值為1.15 圍建一個面積為360 m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻(利用的舊墻需維修)，其他三面圍墻要新建，在舊墻對面的新墻上要留一個寬度為2 m的進出口，如右上圖所示，已知舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m.設(shè)利用的舊墻長度為x(單位：m)，修建此矩形場地圍墻的總費用為y(單位：元)(1)將y表示為x的函數(shù)；解析：如圖所示，設(shè)矩形的另一邊長為a m，則y45x180(x2)1802a225x360a360.由已知xa360，得aeq f(360,x).所以y225xeq f(3602,x)360(x0)(2)試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費

41、用最小，并求出最小總費用解析：x0，225xeq f(3602,x)2eq r(2253602)10 800.y225xeq f(3602,x)36010 440.當(dāng)且僅當(dāng)225xeq f(3602,x)時，等號成立即當(dāng)x24 m時，修建圍墻的總費用最小，最小總費用是10 440強化練習(xí)一 選擇題1(20102011內(nèi)蒙古赤峰市田家炳中學(xué)高二期中)已知a0，1babab2Babaab2Cab2aba Dabab2a答案D解析1bb20b1，即bb21，兩邊同乘以aab2a.故選D.2如果a、b、c滿足cba，且acac BbcacCcb2ab2 Dac(ac)0答案C解析cba，且ac0，c0

42、，bcac(ba)c0，ac(ac)0，A、B、D均正確b可能等于0，也可能不等于0.cb20，b0，可取a2，b1，a2，b1，abba，排除A、B、D，選C.4設(shè)xa0，則下列各不等式一定成立的是()Ax2axa2 Bx2axa2Cx2a2ax Dx2a2ax答案B解析eq blc rc(avs4alco1(xa0,x0,a0)eq blcrc(avs4alco1(x2ax,axa2)x2axa2選B.5下列結(jié)論中正確的是()ab0，dc0eq f(a,c)eq f(b,d)，ab，cdacbd，eq f(a,c2)eq f(b,c2)ab，abanbn(nN，n1)A BC D答案B解析

43、eq blc rc(avs4alco1(dc0f(1,c)f(1,d)0,ab0)eq f(a,c)eq f(b,d)對；ab，cd不同向不可加，錯eq f(a,c2)eq f(b,c2)，c20.ab.對；只有ab0時，對任意正整數(shù)n1才有anbn，錯故選B.6設(shè)aeq r(2)，beq r(7)eq r(3)，ceq r(6)eq r(2)，則()Acba BacbCcab Dbca答案D解析假設(shè)ab即eq r(2)eq r(7)eq r(3)，eq r(2)eq r(3)eq r(7)，平方得eq r(6)1成立，ab排除B、C.又假設(shè)bc，即eq r(7)eq r(3)eq r(6)e

44、q r(2)eq r(7)eq r(2)eq r(6)eq r(3)，平方得eq r(14)eq r(18)顯然不成立bc排除A.7已知：0ab1，xab，ylogba，zlogeq f(1,a)b，則()Azxy BzyxCyzx Dxzy答案A解析ylogbalogbb1,0 xaba01，zlogeq f(1,a)b0，zxy.8若a，b是任意實數(shù)，且ab，則()Aa2b2 B.eq f(b,a)1Clg(ab)0 D(eq f(1,2)a(eq f(1,2)b答案D解析舉反例，A中25但22(5)2；B 中25但eq f(5,2)1；C中a5，b4時，lg(ab)0，故選D.9如圖，在

45、一個面積為200 m2的矩形地基上建造一個倉庫，四周是綠地，倉庫的長a大于寬b的4倍，則表示上面敘述的關(guān)系正確的是()Aa4b B(a4)(b4)200C.eq blcrc (avs4alco1(a4b,(a4)(b4)200) D.eq blcrc (avs4alco1(a4b,4ab200)答案C10已知1a0，A1a2，B1a2，Ceq f(1,1a)，比較A、B、C的大小結(jié)果為()AABC BBACCACB DBCA答案B解析不妨設(shè)aeq f(1,2)，則Aeq f(5,4)，Beq f(3,4)，C2，由此得BAC，排除A、C、D，選B.點評具體比較過程如下：由1a0，AB(1a2)

46、(1a2)2a20得AB，CAeq f(1,1a)(1a2)eq f(a(a2a1),1a)eq f(ablcrc(avs4alco1(blc(rc)(avs4alco1(af(1,2)2f(3,4),1a)0，得CA，BAC.11設(shè)ab0，則()Aa2abb2Bb2aba2Ca2b2ab Dabb2a2答案A解析ab0，0ab，a2abb2.12已知a2a0，那么a，a2，a，a2的大小關(guān)系是()Aa2aa2a Baa2a2aCaa2aa2 Da2aaa2答案B解析a2a0，0a2a2a，aa2a2a，故選B.點評可取特值檢驗，a2a0，即a(a1)eq f(1,4)eq f(1,4)eq

47、f(1,2)，即aa2a2a，排除A、C、D，選B.13如果a0，且a1，Mloga(a31)，Nloga(a21)，那么()AMN BMNCMN DM、N的大小無法確定答案A解析a1時a31a21，logax單調(diào)遞增，loga(a31)loga(a21)；0a1時，a31a21，logax單調(diào)遞減，loga(a31)loga(a21)，故選A.點評可對a取值檢驗14若ab0，則下列不等式中總成立的是()A.eq f(b,a)eq f(b1,a1) Baeq f(1,a)beq f(1,b)Caeq f(1,b)beq f(1,a) D.eq f(2ab,a2b)eq f(a,b)答案C解析解

48、法1：由ab00eq f(1,a)beq f(1,a)，故選C.解法2：(特值法)令a2，b1，排除A、D，再令aeq f(1,2)，beq f(1,3)，排除B.15若eq f(1,a)eq f(1,b)0，給出下列不等式：abab；|a|b|；ab；eq f(b,a)eq f(a,b)2.其中正確的有()A1個B2個C3個D4個答案B解析eq f(1,a)eq f(1,b)0，a0，b0，ab，故錯；ab0，ab0b，cd，則acbdB若ab，cd，則acbdC若ab，cd，則acbdD若ab，cd，則eq f(a,c)eq f(b,d)答案A解析由不等式的性質(zhì)知A正確點評要注意不等式性質(zhì)

49、中條件的把握17已知|a|1，則eq f(1,a1)與1a的大小關(guān)系為()A.eq f(1,a1)1aC.eq f(1,a1)1a D.eq f(1,a1)1a答案C解析|a|0eq f(1,1a)(1a)eq f(a2,1a)0eq f(1,a1)1a.點評如果aR，eq f(1,1a)與1a的大小關(guān)系如何，請嘗試探究，體會分類討論思想18若0ab1，下列不等式中正確的是()Aaaab BbabbCaaba Dbb0，bcad0，eq f(c,a)eq f(d,b)0(其中a，b，c，d均為實數(shù))用其中兩個不等式作為條件，余下的一個不等式作為結(jié)論組成一個命題，可組成的正確命題的個數(shù)是()A0

50、B1C2D3答案D解析設(shè)ab0為，bcad0為，eq f(c,a)eq f(d,b)0為，若成立，則eq f(1,ab)(bcad)0，即eq f(c,a)eq f(d,b)0，即成立；若成立，則ab(eq f(c,a)eq f(d,b)0，即bcad0，即成立；若成立，則由得eq f(bcad,ab)0，由bcad0得ab0，即成立故正確命題個數(shù)為3個，選D.點評運用不等式性質(zhì)時，一定要注意不等式成立的條件，若弱化了條件或強化了條件都可能得出錯誤的結(jié)論20若eq f(,2)eq f(,2)，則的取值范圍是()A(，) B(0，)C(，0) D0答案C解析eq f(,2)eq f(,2)，eq

51、 f(,2)eq f(,2)又eq f(,2)eq f(,2)，又，0，0的解集是()A(eq f(1,2)，1)B(1，)C(，1)(2，)D(，eq f(1,2)(1，)答案D解析2x2x1(2x1)(x1)0，所以不等式的解集為(，eq f(1,2)(1，)26對于任意實數(shù)x，不等式(a2)x22(a2)x40恒成立，則實數(shù)a的取值范圍()A(，2) B(，2C(2,2) D(2,2答案D解析當(dāng)a2時，40恒成立；當(dāng)a2時，eq blcrc (avs4alco1(a20,4(a2)216(a2)0)，2a2，綜上得2a2.27已知集合Ax|3x2x20，Bx|xa0且BA，則a的取值范圍

52、是()Aa1 B1a2Ca2 Da2答案A解析Ax|x1或x2，Bx|xa，BA，a1.28不等式eq f(3x1,2x)1的解集是()Ax|eq f(3,4)x2 Bx|xeq f(3,4)或x2Cx|eq f(3,4)x2 Dx|x2答案C解析不等式eq f(3x1,2x)1，化為：eq f(4x3,2x)0，eq f(3,4)x2.29若a0，則關(guān)于x的不等式x24ax5a20的解是()Ax5a或xa Bxa或x5aC5axa Dax5a答案B解析化為：(xa)(x5a)0，相應(yīng)方程的兩根x1a，x25aa0，x1x2.不等式解為x5a或xa.30如果方程x2(m1)xm220的兩個實根

53、一個小于1，另一個大于1，那么實數(shù)m的取值范圍是()A(eq r(2)，eq r(2) B(2,0)C(2,1) D(0,1)答案D解析令f(x)x2(m1)xm22，則eq blcrc (avs4alco1(f(1)0,f(1)0)，eq blcrc (avs4alco1(m2m20,m2m0)，0m131若0t1，則不等式x2(teq f(1,t)x10的解集是()Ax|eq f(1,t)xtBx|xeq f(1,t)或xtCx|xeq f(1,t)或xt Dx|txeq f(1,t)答案D解析化為(xt)(xeq f(1,t)00t1，eq f(1,t)1t，txeq f(1,t)，32

54、已知不等式x2ax40的解集為空集，則a的取值范圍是()A4a4 B4a4Ca4或a4 Da4或a4答案A解析欲使不等式x2ax40的解集為空集，則a2160，4a4.33若f(x)x2mx1的函數(shù)值有正值，則m的取值范圍是()Am2或m2 B2m2Cm2 D1m3答案A解析f(x)x2mx1有正值，m240，m2或m2.34若方程7x2(k13)xk2k20有兩個不等實根x1，x2，且0 x11x22，則實數(shù)k的取值范圍是()A2k1B3k4C2k4D2k1或3k4答案D解析結(jié)合f(x)7x2(k13)xk2k2的圖象知：eq blcrc (avs4alco1(0,f(0)0,f(1)0,f

55、(2)0)eq blcrc (avs4alco1(f(0)0,f(1)0,f(2)0)eq blcrc (avs4alco1(k2k20,k22k80,k23k0)eq blcrc (avs4alco1(k1或k2,2k4,k2或k3)2k1或3k4.點評注意結(jié)合數(shù)軸找不等式解集的交集35(2011河南湯陰縣一中高二期中)設(shè)對任意實數(shù)x1,1，不等式x2ax3a0 Baeq f(1,2)Caeq f(1,4) Da0或a12答案B解析設(shè)f(x)x2ax3a，則由條件知eq blcrc (avs4alco1(f(1)0,f(1)0)，eq blcrc (avs4alco1(14a0,12aeq

56、f(1,2).36已知集合Ax|x22x30，Bx|x25ax4a20，ABx|3x4，則a的值為()A1 B4C1或4 D3答案A解析Ax|x3，ABx|3x4，x4是方程x25ax4a20的根，a25a40，a1或4，當(dāng)a1時，Bx|x25x40 x|1x4，ABx|30，)則不等式f(x)x2的解集為()A1,1 B2,2C2,1 D1,2答案A解析不等式f(x)x2化為(1)eq blcrc (avs4alco1(x0,x2x2)或(2)eq blcrc (avs4alco1(x0,x2x2) .解不等式組(1)得1x0；解不等式組(2)得0 x1.因此原不等式的解集是1,1，選A.3

57、8已知不等式x24x30；x26x80；2x29xm0，若同時滿足的x也滿足，則有()Am9 Bm9Cm9 D0m9答案C解析的解集是x|1x3；的解集是x|2x4，同時滿足的x取值集合是x|2x3，即當(dāng)2x3時，2x29xm0.令f(x)2x29xmeq blcrc (avs4alco1(f(2)0，,f(3)0.)m9.39二次方程x2(a21)xa20，有一個根比1大，另一個根比1小，則a的取值范圍是()A3a1 B2a0C1a0 D0a2答案C解析f(x)x2(a21)xa2開口向上，由題設(shè)條件eq blcrc (avs4alco1(f(1)0,f(1)0)，eq blcrc (avs

58、4alco1(a2a20,a2a0)，1a0.40(2009江西)函數(shù)yeq f(r(x23x4),x)的定義域為()A4,1 B4,0)C(0,1 D4,0)(0,1答案D解析要使函數(shù)有意義，則需eq blcrc (avs4alco1(x23x40,x0)，解得4x1且x0，故定義域為4,0)(0,141不在3x2y6表示的平面區(qū)域內(nèi)的點是()A(0,0)B(1,1)C(0,2) D(2,0)答案D解析將點的坐標(biāo)代入不等式中檢驗可知，只有(2,0)點不滿足3x2y6.42不等式組eq blcrc (avs4alco1(yx，,xy1,y3.)，表示的區(qū)域為D，點P1(0，2)，點P2(0,0

59、)，則()AP1D，P2D BP1D，P2DCP1D，P2D DP1D，P2D答案A解析P1點不滿足y3.P2點不滿足yx.選A.43圖中陰影部分表示的區(qū)域?qū)?yīng)的二元一次不等式組為()A.eq blcrc (avs4alco1(xy10，,x2y20) B.eq blcrc (avs4alco1(xy10,x2y20)C.eq blcrc (avs4alco1(xy10，,x2y20) D.eq blcrc (avs4alco1(xy10，,x2y20)答案A解析取原點O(0,0)檢驗滿足xy10，故異側(cè)點應(yīng)為xy10，排除B、D.O點滿足x2y20，排除C.選A.44不等式組eq blcrc

60、 (avs4alco1(x2,xy30)表示的平面區(qū)域是()答案D解析原點O(0,0)的坐標(biāo)代入兩個不等式都不成立，故平面區(qū)域應(yīng)在直線x2的右側(cè)和直線xy30的上方，故選D.45不等式x2y20表示的平面區(qū)域是()答案B解析將(1,0)代入均滿足知選B.46不等式組eq blcrc (avs4alco1(xy1)(xy1)0,1x4)表示的平面區(qū)域是()A兩個三角形 B一個三角形C梯形 D等腰梯形答案B解析如圖(xy1)(xy1)0表示如圖(1)所示的角形區(qū)域且兩直線交于點A(1,0)故添加條件1x4后表示的區(qū)域如圖(2)點評一般地(a1xb1yc)(a2xb2yc)0(ai，bi不同時為0，