2022年“分子有理化”在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

1、“ 分子有理化” 在高中數(shù)學(xué)中的典型應(yīng)用關(guān)鍵詞：分子有理化摘要：用分子有理化解高中數(shù)學(xué)試題中的幾類常見題型在中學(xué), 同學(xué)已學(xué)會(huì)了： 什么叫分母有理化？何時(shí)分母有理化？怎樣進(jìn)行分母有理化？在高中,我們不僅需要以上內(nèi)容,仍需要相應(yīng)的以退為進(jìn)的策略分子有理化,促使解題快速、簡(jiǎn)潔、正確；下面分類舉例說明：一、 分子有理化在判定函數(shù)的奇偶性中的應(yīng)用：例 1：判定函數(shù)f x lgx2 x1的奇偶性；lg2 x1x1解：函數(shù)f x 的定義域是R,即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱又fxlgxx 21lgx21x=lgx21xx 1x21xlgx211x2x=lgxx21f x f x 的關(guān)系,同學(xué)易判定為非奇非偶函數(shù)；f

2、 x 是奇函數(shù)；注：此題如未想到分子有理化,很難找到fx 與f x 或二、 分子有理化在判定函數(shù)的單調(diào)性中的應(yīng)用：例 2：用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：f x x 2 x 在 , 7上是增函數(shù)；4證明：設(shè) x 1 x 2 7,4就 f x 1 f x 2 x 1 2 x 1 x 2 2 x 2 = x 1 x 2 2 x 1 2 x 2 = x 1 x 2 x 2 x 12 x 1 2 x 21= x 1 x 2 1 2 x 1 2 x 2x 1 x 2 72 x 1 1 0,2 x 2 1 02 x 1 1 , 2 x 2 14 4 4 2 22 x 1 2 x 2 11 10 又有 x 1 x

3、2 02 x 1 2 x 2f x 1 f x 2 0 即 f x 1 f x 2 函數(shù) f x x 2 x 在 , 7 上是增函數(shù)；4注：此題分子有理化既使分母為正又使前后兩式有公因式可提,易于與 0 比較大??；三、 分子有理化在求對(duì)數(shù)值中的應(yīng)用：例 3：求值（ 1）74 3log74313；（2）log 542652 6解：（1）74 3log743 13=713log 73 134=743log743 13=74 3log743113= 1 13（ 2）log5 2652 6log5 2 652 652 6log5 2 65152 62 6log52 652 611注：此題通過分子有理化

4、再利用對(duì)數(shù)恒等式或?qū)?shù)的定義便輕易求解了；四、分子有理化在比較實(shí)數(shù)大小中的應(yīng)用：例 4：比較大?。海?）n1n 和nn1（n1）；3,試比較 P 與 Q 的大??；（2）已知Pa3a7,Q2a5, a解：（ 1） n1nn1n,nn1n1n11而n1n1a7a5a5a3n1nnn10n1n11nn1n1n nn1（2）PQa3a72a5= a22即PQ07a5a5a3又a7a5a5a3a72a5a52a30PQ注：此題如不用分子有理化就比較困難；五、 分子有理化在證明不等式中的應(yīng)用：例 5：（1）已知a0,b0,求證：|a 2c2b 2c 2| |ab|ab|2 ca11a0,求證：a1a1 a

5、1（2）已知23b |aa證明：（1）|a2c2b2c2|a2|a2b2|2 cb2c2aa22 cb22ab |ab|ab |b|ab|a2b2ab2 a2 c2 b2 c| |ab|12111aaa1a11a（ 2）aaaaaa1又a0有a121a21222a1121323aaaa1a111aa注：此題先分子有理化再用放縮法比其它方法簡(jiǎn)便；六、 分子有理化在求導(dǎo)函數(shù)中的應(yīng)用：例 5：求函數(shù)f x 1x2的導(dǎo)數(shù)；21 2 x1x21x2解：f x 1x2=1x21x21f 12 x 11 2x221x2x1x221注：此題先分子有理化再求導(dǎo),比直接用分式求導(dǎo)公式求導(dǎo)更簡(jiǎn)潔易算；七、分子有理化在求數(shù)列或函數(shù)的極限中的應(yīng)用：例 7：求極限：lim n1nn1