《解直角三角形》全章復(fù)習(xí)與鞏固(提高) 知識講解

1、解直角三角形全章復(fù)習(xí)與鞏固（提高）知識講解學(xué)習(xí)目標(biāo)】了解銳角三角函數(shù)的概念，能夠正確應(yīng)用sinA、cosA、tanA、cotA表示直角三角形中兩邊的比；記憶30、45、60的正弦、余弦、正切和余切的三角函數(shù)值，并能由一個(gè)特殊角的三角函數(shù)值說出這個(gè)角的度數(shù).能夠正確地使用計(jì)算器，由已知銳角求出它的三角函數(shù)值，由已知三角函數(shù)值求出相應(yīng)的銳角；理解直角三角形中邊與邊的關(guān)系，角與角的關(guān)系和邊與角的關(guān)系，會運(yùn)用勾股定理、直角三角形的兩個(gè)銳角互余、直角三角形斜邊上中線等于斜邊的一半，以及銳角三角函數(shù)解直角三角形，并會用解直角三角形的有關(guān)知識解決簡單的實(shí)際問題.通過銳角三角函數(shù)的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步認(rèn)識函數(shù)，體會函

2、數(shù)的變化與對應(yīng)的思想；通過解直角三角形的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問題中的作用.知識網(wǎng)絡(luò)】要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、直角三角形的性質(zhì)（1）直角三角形的兩個(gè)銳角互余.（2）直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.（勾股定理）如果直角三角形的兩直角邊長分別為a,b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2.3）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.要點(diǎn)二、銳角三角函數(shù)正弦、余弦、正切、余切的定義如右圖，在RtAABC中，ZC=900,如果銳角A確定:ZA的對邊與斜邊的比值是ZA的正弦，記作sinA=ZA的對邊斜邊ZA的鄰邊與斜邊的比值是ZA的余弦，記作cosA=ZA的鄰邊斜邊ZA的對邊與鄰邊的比值是ZA的正切，記

3、作tanA=ZA的對邊ZA的鄰邊ZA的鄰邊ZA的對邊ZA的鄰邊與對邊的比值是ZA的余切，記作cotA=要點(diǎn)詮釋：正弦、余弦、正切、余切是在一個(gè)直角三角形中定義的，其本質(zhì)是兩條線段的比值，它只是一個(gè)數(shù)值，其大小只與銳角的大小有關(guān)，而與所在直角三角形的大小無關(guān).sinA、cosA、tanA、cotA是一個(gè)整體符號，即表示ZA四個(gè)三角函數(shù)值，書寫時(shí)習(xí)慣上省略符號“Z”，但不能寫成sinA,對于用三個(gè)大寫字母表示一個(gè)角時(shí)，其三角函數(shù)中符號“Z”不能省略，應(yīng)寫成sinZBAC，而不能寫出sinBAC.sin2A表示(sinA)2，而不能寫成sinA2.三角函數(shù)有時(shí)還可以表示成smS;cos等.銳角三角函

4、數(shù)的定義銳角ZA的正弦、余弦、正切、余切都叫做ZA的銳角三角函數(shù).要點(diǎn)詮釋：函數(shù)值的取值范圍對于銳角A的每一個(gè)確定的值，sinA有唯一確定的值與它對應(yīng)，所以sinA是ZA的函數(shù).同樣，cosA、tanA、cotA也是ZA的函數(shù)，其中ZA是自變量，sinA、cosA、tanA、cotA分別是對應(yīng)的函數(shù).其中自變量ZA的取值范圍是0VZAV90，函數(shù)值的取值范圍是OVsinAVl,OVcosAVl,tanA0,cotA0.2銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系：余角三角函數(shù)關(guān)系：“正余互化公式”如ZA+ZB=90,那么：sinA=cosB；cosA=sinB；tanA=cotB,cotA=tanB.同角三角函數(shù)

5、關(guān)系：sin2Acos2A=l；sinAcosA1tanA=,cotA=,tanA=.cosAsinAcotAZA304560sinA:cosA亞1tanA1cotA朽113.30、45、60角的三角函數(shù)值在直角三角形中，如果一個(gè)角等于30，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.30、45、60角的三角函數(shù)值和解含30、60角的直角三角形、含45角的直角三角形為本章的重中之重，是幾何計(jì)算題的基本工具.要點(diǎn)三、解直角三角形在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形解直角三角形的依據(jù)是直角三角形中各元素之間的一些相等關(guān)系，如圖：角角關(guān)系：兩銳角互余，即ZA+ZB=90；邊邊關(guān)系：勾

6、股定理，即宀滬邊角關(guān)系：銳角三角函數(shù)，即ababsmA=,cosA=,tanA=,cotA=ccbasinBbaba=,cosB=,tanB=,cotB=ccab要點(diǎn)詮釋：解直角三角形，可能出現(xiàn)的情況歸納起來只有下列兩種情形：（1）已知兩條邊（一直角邊和一斜邊；兩直角邊）；（2）已知一條邊和一個(gè)銳角（一直角邊和一銳角；斜邊和一銳角）這兩種情形的共同之處：有一條邊因此，直角三角形可解的條件是：至少已知一條邊（3）解直角三角形的常見類型及解法：已知和解法三珀形逅已知條件解法步驟RtAABCB衛(wèi)Cb兩邊兩直角邊（a,b）由t如山=求ZA,ZB=90ZA,c=+護(hù)斜邊，一直角邊（如c,a）由sin.4

7、=-求ZA,ZB=90ZA,b=J/_a2邊角一直角邊和一銳角銳角、鄰邊（如ZA,b）ZB=90ZA,ba=btanA,c=cosA銳角、對邊（如ZA,a）ZB=90ZA,a,ac二,&二sinAtanA斜邊、銳角（如c,ZA）ZB=90ZA,a=csmA,b=ccos要點(diǎn)四、解直角三角形的應(yīng)用解直角三角形的知識應(yīng)用很廣泛，關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，善于將某些實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系化歸為直角三角形中的邊角關(guān)系是解決實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵.1.解這類問題的一般過程(1)弄清題中名詞、術(shù)語的意義，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根據(jù)題意畫出幾何圖形，建立數(shù)學(xué)模型.(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為

8、幾何圖形中的邊、角或它們之間的關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.根據(jù)直角三角形(或通過作垂線構(gòu)造直角三角形)元素(邊、角)之間的關(guān)系解有關(guān)的直角三角形.得出數(shù)學(xué)問題的答案并檢驗(yàn)答案是否符合實(shí)際意義，得出實(shí)際問題的解.常見的應(yīng)用問題類型(1)仰角與俯角角鉛垂線視線水平線視線(2)坡度：坡角：方向角：要點(diǎn)詮釋：1用解直角三角形的知識解決實(shí)際問題的基本方法是4抽象數(shù)學(xué)問題(解直角三角形)！(轉(zhuǎn)化)i解決求解得到實(shí)際問題的解解釋數(shù)學(xué)問題的解把實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)問題(解直角三角形)，就是要舍去實(shí)際事物的具體內(nèi)容，把事物及它們的聯(lián)系轉(zhuǎn)化為圖形(點(diǎn)、線、角等)以及圖形之間的大小或位置關(guān)系借助生活常識

9、以及課本中一些概念(如俯角、仰角、傾斜角、坡度、坡角等)的意義，也有助于把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題當(dāng)需要求解的三角形不是直角三角形時(shí)，應(yīng)恰當(dāng)?shù)刈鞲?，化斜三角形為直角三角形再求?銳角三角函數(shù)的應(yīng)用用相似三角形邊的比的計(jì)算具有一般性，適用于所有形狀的三角形，而三角函數(shù)的計(jì)算是在直角三角形中解決問題，所以在直角三角形中先考慮三角函數(shù)，可以使過程簡潔。如：射影定理不能直接用，但是用等角的三角函數(shù)值相等進(jìn)行代換很簡單：/sinZ!=BDBC=sin=BCABsmACAB/tan2CDAD典型例題】類型一、銳角三角函數(shù)1.在RtAABC中，ZC=90，若將各邊長度都擴(kuò)大為原來的2倍，則ZA的余切值（）A.

10、擴(kuò)大2倍B.縮小2倍C.擴(kuò)大4倍D.不變思路點(diǎn)撥】銳角三角函數(shù)的值是邊之間的比值，跟邊的長短無關(guān).答案】D；【解析】根據(jù)cotZA=ZA的臨邊對邊知cotZA的值與ZA的大小有關(guān)，與ZA的臨邊對邊的比值有關(guān)當(dāng)各邊長度都擴(kuò)大為原來的2倍時(shí)，其ZA的臨邊對邊的比值不變故選D.總結(jié)升華】銳角三角函數(shù)的大小只與銳角的大小有關(guān)，而與所在直角三角形的大小無關(guān).舉一反三：DE2【變式】已知，如圖，AABC中，CE丄AB，BD丄AC，=三，求cosA及tanA.BC5【答案】易證點(diǎn)B、C、D、E四點(diǎn)共圓，ADEsABC,cosA=ADABDEBCtanA=BD2ADV212何21類型二、特殊角的三角函數(shù)值2.

11、已知a=3,且（4tn45+b2、；+b-c佯,則以a、b、c為邊長的三角形面積等于().A.6B.7C.8D.9【思路點(diǎn)撥】利用非負(fù)數(shù)之和等于0的性質(zhì)，求出b、c的值，再利用勾股定理的逆定理判斷三角形是直角三角形,進(jìn)而求出三角形的面積.【答案】A；4tan45-b=0,【解析】根據(jù)題意知仁17c3+b一c=0,I2解得4,Ic=5.所以a=3,b=4,c=5,即a2+b2=c2,其構(gòu)成的三角形為直角三角形，且ZC=901所以S=ab=6.2總結(jié)升華】本題考察非負(fù)數(shù)的性質(zhì),勾股定理的逆定理.舉一反三：變式】計(jì)算：tan60-tan45tan60oXcot45+2sin603-1J3【答案】原式

12、=+2x-3x122、込+3類型三、解直角三角形如圖所示，在等腰RtAABC中，ZC=901,AC=6,D是AC上一點(diǎn)，若tanZDBA=5，則AD的長為().A.2B.*亍C.2D.1答案】A；【解析】如何用好tanZDBA=5是解題關(guān)解，因此要設(shè)法構(gòu)造直角三角形，作DE丄AB于點(diǎn)E.ABC為等腰直角三角形，.ZA=45,AE=DE.DB1設(shè)DE=x，貝9AE=x，由tanZDBA=-知BE=5x,EB5.AB=6x，由勾股定理知AC2+BC2=AB2,.62+62=(6x)2，x=2，.AD=f2AE=t2x2=2.總結(jié)升華】在直角三角形中，若已知兩邊，宜先用勾股定理求出第三邊，再求銳角三

13、角函數(shù)值；若已知一邊和角，應(yīng)先求另一角，再通過銳角三角函數(shù)列出含有未知元素和已知元素的等式求解若所在的元素不在直角三角形中，貝應(yīng)將它轉(zhuǎn)化到直角三角形中去，轉(zhuǎn)化的途徑及方法很多，如可作輔助線構(gòu)造直角三角形，或找已知直角三角形中的邊或角替代所要求的元素等類型四、銳角三角函數(shù)與其它知識的綜合4如圖所示，直角ABC中，ZC=90,AB=25,sinB=，點(diǎn)P為邊BC上一動點(diǎn)，PDAB,PD交AC于點(diǎn)D,連接AP,(1)求AC，BC的長；思路點(diǎn)撥】x之間的函數(shù)關(guān)系式(1)在RtAABC中，由AB=，易得AC=2，再由勾股定理求BC.5ABPCCD11由PDAB可得=，從而求出CD=-x，則AD=2xBC

14、AC22答案與解析】,AB=2、厲得AC=2,由勾股定理得BC=4.(1)在RtAABC中，由sinB=ACDC1(2)tpdab,aabcsadpc,BCPC211PC=x，則DC=-x,則AD=2-x221即y二2_X.2【總結(jié)升華】本題綜合考察了解直角三角形和相似三角形的知識.舉一反三：【變式】如圖，設(shè)P是矩形ABCD的AD邊上一動點(diǎn)，PE丄AC于點(diǎn)E，PF丄BD于f,AB=3，AD=4.求PE+PF的值.PEPF【答案】如圖，sinZl二.sinZ2=.PAPD由矩形ABCD知Z1=Z2,CD3則PE二PAsinZl,PF二PDsinZ2,sinZl二AC=5AC53所以PE+PF=P

15、AsinZl+PDsinZ2=(PA+PD)sinZ1=5x4=類型五、三角函數(shù)與實(shí)際問題米.5.（2015?？悼h模擬）如圖，某廣場燈柱AB被一鋼纜CD固定，CD與地面成40夾角，且CB=5（1）求鋼纜CD的長度；（精確到0.1米）（2）若AD=2米，燈的頂端E距離A處1.6米，且ZEAB=120,則燈的頂端E距離地面多少米?(參考數(shù)據(jù)：tan40=0.84,sin40=0.64,cos40=弓)答案與解析】解：（1）在RtABCD中,CBCD二cos40520(2)在RtABCD中，BC=5,BD=5tan40=4.2.過E作AB的垂線，垂足為F,在RtAAFE中，AE=1.6,ZEAF=1

16、80-120=60,AF=*AE=0.8.FB=AF+AD+BD=0.8+2+4.20=7米.答：鋼纜CD的長度為6.7米，燈的頂端E距離地面7米./fCB【總結(jié)升華】構(gòu)造直角三角形，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形問題.舉一反三：【變式】小亮想知道亞洲最大的瀑布黃果樹夏季洪峰匯成巨瀑時(shí)的落差。如圖，他利用測角儀站在C處測得ZACB=68，再沿BC方向走80m到達(dá)D處，測得ZADC=34。，求落差A(yù)B。(測角儀高度忽略不計(jì)，結(jié)果精確到1m)答案】解：.ZACB=68,ZD=34,ZACB是厶ACD的外角,.ZCAD=ZACB-ZD=68-34=34，.ZCAD=ZD，.AC=CD=80,在RtAA

17、BC中，AB=ACXsin6880X0.92774(m).答：落差A(yù)B為74m.6.(2015攀枝花)如圖所示，港口B位于港口O正西方向120km處，小島C位于港口O北偏西60的方向一艘游船從港口O出發(fā)，沿OA方向(北偏西30)以vkm/h的速度駛離港口O,同時(shí)一艘快艇從港口B出發(fā)，沿北偏東30的方向以60km/h的速度駛向小島C,在小島C用1h加裝補(bǔ)給物資后，立即按原來的速度給游船送去.快艇從港口B到小島C需要多長時(shí)間？若快艇從小島C到與游船相遇恰好用時(shí)1h,求v的值及相遇處與港口O的距離.答案與解析】解：（1）TZCBO=60,ZCOB=30,ZBCO=90.在RtABCO中，TOB=12

18、0,BC=*OB=60,快艇從港口B到小島C的時(shí)間為：60-60=1（小時(shí)）；（2）過C作CD丄OA,垂足為D,設(shè)相會處為點(diǎn)E.則OC=OBcos30=60丙,CD=oC=30lP,OD=OCcos30=90,.DE=90-3v.?CE=60,CD2+DE2=CE2,.（30衛(wèi)）2+（90-3v）2=602,v=20或40，當(dāng)v=20km/h時(shí)，OE=3x20=60km,當(dāng)v=40km/h時(shí)，0E=3x40=120km.【總結(jié)升華】此題考查了解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題，理解方向角的定義，得出ZBCO=90是解題的關(guān)鍵.舉一反三：【變式】某海濱浴場東西走向的海岸線可近似看作直線1（如圖）.救生員甲在A處的瞭望臺上觀察海面情況，發(fā)現(xiàn)其正北方向的B