復合材料設(shè)計基礎(chǔ) 第二章 單層的剛度與強度

1、復合材料結(jié)構(gòu)設(shè)計基礎(chǔ)材料科學與工程學院2 單層的剛度與強度層合板由許多單層板組成，所以，單層的剛度與強度是分析層合板剛度與強度的基礎(chǔ)。從力學的角度來分析復合材料宏觀力學方法細觀力學方法本章將討論單層的剛度與強度，給出宏觀力學分析方法的結(jié)果。單纖維12000本纖維直徑7mArarudaido AY103-1Hardener HY956單層板碳纖維復合材料的一般制作方法環(huán)氧樹脂碳纖維束實驗方法固定CF束在真空中完成樹脂浸入硬化成形模具固定CF束環(huán)氧樹脂宏觀試驗片電子顯微鏡下的試驗片2.1單層的正軸剛度單層的正軸剛度是指單層在正軸（即單層材料的彈性主方向）上所顯示的剛度性能?！居捎趩螌雍穸扰c其他尺寸

2、相比較小，一般按平面應力狀態(tài)進行分析。】對于各向同性材料，表達其剛度的參數(shù)是工程彈性常數(shù)E、G、 ，三者之間有如下關(guān)系： 獨立的彈性常數(shù)只有2個。2.1.1單層的正軸應力應變關(guān)系單層在正軸下的平面應力狀態(tài)只有1、2、12三個應力分量。本書討論的復合材料限于在線彈性與小變形情況下，所以材料力學中應變的疊加原理仍適用與復合材料。1、2、12符號：正面正向或負面負向均為正，否則為負。1，2 線應變，伸長為正，縮短為負。12 ：剪應變，與兩個坐標方向一致的直角變小為正，變大為負。圖21 單層的正軸及其應力分量. (1). (2)由12引起的應變：. (3)由2引起的應變：泊松比縱向 L 由縱向應力1

3、引起橫向應變的耦合系數(shù)橫向 T上標 （1）、（2）代表應力, 下標1、2代表方向。因此，由1引起的應變：綜合式（1）（3），利用疊加原理，即得單層在正軸方向的應變-應力關(guān)系式：. (4)單層的正軸工程彈性常數(shù)一共有5個。可以證明前4個存在如下關(guān)系式：. (5)因此，應變-應力關(guān)系式可寫成矩陣形式： 系數(shù)矩陣各分量可寫成：柔量分量用柔量分量表達的應力應變關(guān)系式(2-9)。應力-應變關(guān)系式：模量分量 其中 Sij與Qij之間存在互逆關(guān)系可以證明，模量分量或柔量分量存在如下的對稱關(guān)系式： Q21 = Q12 , S21 = S12 因此,表述單層的正軸剛度可以用工程彈性常數(shù)（EL、ET、L、GLT）

4、、模量分量、柔量分量中的任意一組。 實驗法測EL、ET、GLT、L， T, T可利用(5)式計算。 實際復合材料工程中，經(jīng)常碰到正方對稱單層的情況，如1：1經(jīng)緯交織布成型的玻璃鋼其單層就是這種情況，此時，它的剛度參數(shù)存在如下關(guān)系： Q11 = Q22 , S11 = S22 ， EL=ET 這種材料的工程彈性常數(shù)測3個就行了。 單層為正交各向異性的材料時，工程彈性常數(shù)的限制條件： 可利用上式限制條件來判斷材料的實驗數(shù)據(jù)或正交各相異性的材料模型是否正確。2.1.2 各種復合材料的單層正軸剛度參數(shù)例題： 證明：解：根據(jù)線彈性假設(shè)，單層在受到應力而引起應變時，單位體積所儲存的彈性應變能利用應力應變關(guān)

5、系，將上式分別對1與2 求導，得，微小地變?yōu)槎斪冃螤顟B(tài)由則單位體積應變能增量為： 由于w是1、2、12 的單值連續(xù)函數(shù)，所以這一增量可寫成全微分形式：比較上面兩個dw式，將它們與應力應變關(guān)系式（210）比較，2.2 單層的偏軸剛度2.2.1 應力轉(zhuǎn)化與應變轉(zhuǎn)化公式 單層的偏軸剛度參數(shù)由單層在偏軸下的應力應變關(guān)系所確定。 正軸下的應力應變關(guān)系與偏軸下的應力應變關(guān)系可以相互轉(zhuǎn)化。 根據(jù)材料力學中推導應力轉(zhuǎn)化公式的方法,推得由偏軸應力求正軸應力(稱為應力正轉(zhuǎn)換)的公式，如下：式中 m=cos n=sin （為輔助角，偏 軸正軸，逆時針為正，順時針為負。）上述轉(zhuǎn)換公式（1）可經(jīng)適當變化改為由正軸應力

6、求偏軸應力（稱為應力負轉(zhuǎn)換）的公式：1212= m2 n2 2mn n2 m2 -2mn-mn mn m2-n2xyxy= m2 n2 2mn n2 m2 2mnmn mn m2n2xyxy1212同樣，由偏軸應變求正軸應變（應變正轉(zhuǎn)換）的公式（2-24）。圖23 鋪層角與偏軸應力分量由正軸應變求偏軸應變（稱為應變負轉(zhuǎn)換）的公式。2.2.2 單層的偏軸應力應變關(guān)系= m2 n2 2mn n2 m2 2mnmn mn m2n2xyxy1212= m2 n2 _2mn n2 m2 2mnmn mn m2n2Q11 Q12 0Q21 Q22 00 0 Q661212= m2 n2 _2mn n2 m

7、2 2mnmn mn m2n2Q11 Q12 0Q21 Q22 00 0 Q66xyxy m2 n2 mn n2 m2 mn2mn 2mn m2n2簡寫成： Q11 Q12 Q16Q21 Q22 Q26Q61 Q62 Q66xyxy=xyxyQij（i，j=1，2，6）稱為偏軸模量分量。Qij=Qji這里， 即偏軸模量仍具有對稱性。見書中公式（2-32）（2-34）同理偏軸柔量分量與偏軸模量分量之間也存在互逆關(guān)系。2.2.3 單層的偏軸模量 采用倍角函數(shù)的三角恒等式,將偏軸模量公式簡單化：Q11Q22Q12Q66Q16Q26 =U1（Q） cos2 cos4U1（Q） cos2 cos4U4（

8、Q） 0 cos4U5（Q） 0 cos4 0 1/2sin2 sin4 0 1/2sin2 sin4 1U2（Q）U3（Q） 其中， U1（Q） ， U2（Q） ， U3（Q）， U4（Q）， U5（Q）稱為單層正軸模量的線性組合，也為材料常數(shù)，表達式見（2-38），具體值可查表2-4。1、偏軸模量分量的常數(shù)項例如：Q11= U1（Q） + U2（Q） cos2 + U3（Q） cos4 =+Q11 只有增加U1（Q） 才能有效增加 Q11。 在各向同性材料的情況下，Q11=U1(Q) ,因此常數(shù)項又具有相當各向同性材料模量。 據(jù)此可以將常數(shù)項： U1（Q） 稱為復合材料的各向同性拉伸模量；

9、U5（Q）稱為復合材料的各向同性剪切模量。 因此，為提高復合材料的剛度，需提高 U1（Q） 與U5（Q） 的值。2、偏軸模量分量的周期項幅值 U2（Q） ，U3（Q） 是模量分量中周期項的幅值， U2（Q） 大于 U3（Q） （表2-4），所以U2（Q） 影響復合材料各向異性程度大些。3、偏軸模量分量之間的關(guān)系偏軸模量6個分量正軸模量4個分量 4、偏軸模量分量的估算值（P21參見18） 為方便起見，用近視公式來估算偏軸模量分量（公式2-38中第一項），即：U1（Q）=3/8Q11U2（Q）=1/2Q11U3（Q）= U4（Q）= U5（Q）=1/8Q11 2.2.4 單層的偏軸柔量 同樣，通過

10、三角恒等式,將偏軸柔量公式簡化為：S11S22S12S66S16S26 =U1（S） cos2 cos4U1（S） cos2 cos4U4（S） 0 cos4U5（S） 0 cos4 0 sin2 2sin4 0 sin2 2sin4 1U2（S）U3（S） 其中， U1（S） ， U2（S） ， U3（S）， U4（S）， U5（S）稱為單層正軸柔量的線性組合，也為材料常數(shù)，見表2-5。2.2.5 單層的偏軸工程彈性常數(shù) 單層的偏軸工程彈性常數(shù)是單層在偏軸下由單軸應力或純剪應力確定的剛度性能參數(shù)。1、單層的偏軸工程彈性常數(shù)定義 可分別設(shè)：x0，y=xy=0； y0，x=xy=0； xy0，x

11、=y=0。 三種情況來定義單層的 偏軸工程彈性常數(shù)。第一種情況時，由偏軸應變應力關(guān)系式（2-30），可得：所以，單層的偏軸工程彈性常數(shù)與柔量分量之間的關(guān)系： 反過來，可以寫出以偏軸工程彈性常數(shù)表示偏軸柔量分量的關(guān)系式。 類似地可求得第二種、第三種情況，書中公式（254）、（255）。 由于柔量分量的對稱性Sij=Sji, 所以偏軸工程彈性常數(shù)具有如下關(guān)系式： 2、偏軸工程彈性常數(shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系 由正軸工程彈性常數(shù)可求出偏軸工程彈性常數(shù)的轉(zhuǎn)換關(guān)系： 公式（258）。 注意：單層的各個偏軸工程彈性常數(shù)的最大值與最小值并不一定發(fā)生在材料主方向上，要具體材料具體分析。極值分析是作出這種分析的一種重要方法。

12、 根據(jù)偏軸工程彈性常數(shù)隨的變化曲線，可以簡單地判斷復合材料在單軸應力或純剪應力時的變形形狀。如圖28。3、偏軸工程彈性常數(shù)與偏軸模量的關(guān)系 偏軸工程彈性常數(shù)是單軸應力或純剪應力下定義的一些系數(shù)。 偏軸模量是平面應力狀態(tài)下應力應變關(guān)系中的一些系數(shù)。 可以將單軸應力或純剪應力看作平面應力狀態(tài)的特殊情況，得到偏軸工程彈性常數(shù)與偏軸模量的關(guān)系式。例2.4 例2.62.3 單層的強度2.3.1 單層的基本強度 單層的4個工程彈性常數(shù)（EL，ET，VL，GLT）和5個基本強度（Xt，Xc，Yt，Yc，S），一般統(tǒng)稱為復合材料的9個工程常數(shù)。2.3.2 單層的失效準則 單層的失效準則是以判別單層在偏軸向應力

13、作用或平面應力狀態(tài)下是否失效的準則。1.最大應力失效準則1Xt （ 壓縮時 | 1 | Xc）2Yt （ 壓縮時 | 2 | Yc ） | 12 | S當單層在平面應力的任何應力狀態(tài)下，單層正軸向的任何一個應力分量達到極限應力時，單層就失效。 2. 最大應變失效準則 1 xt （ |1| xc ） 2 Yt （ |2| Yc ） |12|s 同樣，當單層在平面應力的任何應力狀態(tài)下,單層正軸向的任何一個應變分量到達極限應變時，單層失效。 根據(jù)材料線彈性假設(shè)，失效準則中的極限應變與基本強度的對應關(guān)系： 根據(jù)上面的公式（2-80），可將最大應變失效準則改寫成用應力和基本強度表達的形式： 將上式與最大

14、應力失效準則比較可知，最大應變失效準則中考慮了另一彈性主方向應力的影響。如果泊松耦合系數(shù)值很小，這一影響則很小。3、蔡希爾（ Tsai-Hill)失效準則 單層的蔡希爾失效準則由下式表示： 蔡希爾失效準則將基本強度X、Y、S聯(lián)系在一個表達式中，考慮了它們之間的相互影響。但是，對于拉、壓強度不同的材料，這一失效準則不能用一個表達式同時表達拉、壓應力的兩種情況。4、霍夫曼（Hoffman） 失效準則對于拉、壓強度不同的材料可用同一表達式給出。5、蔡胡（ Tsai-Wu） 失效準則 單層的蔡胡失效準則由下式表示： 當材料的拉、壓強度相等時，蔡胡與蔡希爾失效判據(jù)相當，只是1 2項的系數(shù)不同，前者為2F

15、12，后者為1/X2。所以蔡胡失效準則更具有普遍性，且考慮了1 2項系數(shù)的正確取值。2.3.3 單層的強度比方程強度比的定義 單層在作用應力下，極限應力的某一分量與其對應的作用應力分量之比值稱為強度 /應力比，簡稱強度比，記為 R，即強度比R取值的含義：（1）R=表明作用的應力為零；（2）R1表明作用應力為安全值，R-1表明作用應力到單層失效時尚可增加的應力倍數(shù)；（3）R=1表明作用的應力正好達到極限值；（4）R1表明作用應力超過極限應力，所以沒有實際意義。但設(shè)計計算中出現(xiàn)R1仍然是有用的，它表明必須使作用應力下降，或加大有關(guān)結(jié)構(gòu)尺寸。2. 強度比方程 利用強度比定義式，各種失效準則表達式均可

16、變成其對應的強度比方程。 蔡胡失效準則其對應的強度比方程為： 上式為一元二次方程，可對R求解。 例題：2.7 例題：2.82.4 單層的三維應力應變關(guān)系 前面討論單層的剛度與強度都是基于單層為平面應力狀態(tài)下的應力應變關(guān)系。 本節(jié)將討論單層的三維應力應變關(guān)系，以及它與平面應力狀態(tài)下應力應變關(guān)系之間的聯(lián)系。2.4.1 單層的一般三維應力應變關(guān)系 在線彈性、小變形的情況下，單層在任意符合右手螺旋規(guī)則的坐標系xyz下（圖213），仿照平面應力狀態(tài)下利用疊加原理得到應變應力關(guān)系，推廣到具有三維應力狀態(tài)的情況，得到單層的一般三維應變應力關(guān)系式：或簡寫成式中Sij稱為三維柔量分量。圖213 在任意坐標系xy

17、z下的單層反知，單層的一般三維應力應變關(guān)系式：或簡寫成式中Cij稱為三維模量分量。 顯然，三維模量分量構(gòu)成的矩陣與三維柔量分量構(gòu)成的矩陣是互逆的，即模量分量與柔量分量均稱為彈性系數(shù)，在線彈性的情況下，所以彈性系數(shù)實際為21個。2.4.2 單層的正軸三維應力應變關(guān)系 當xyz坐標系正好位于具有正交各向異性的單層的主方向上，將坐標軸x、y、z改為1，2，3，且1、2為單層面內(nèi)主方向（約定1軸為剛度較大的主方向），3為垂直單層面的軸（圖214），那么，一點處的線應變1、2、3只與該點處的正應力1、2、3有關(guān)，而與剪應力無關(guān)。同樣，該點處的剪應變圖214 在正軸坐標系123下的單層1、2、3分別僅與剪

18、應力有關(guān)，而與正應力無關(guān)。所以單層正軸三維應變應力關(guān)系式為：或簡寫成式中Sij稱為三維正軸柔量分量，三維正軸柔量分量的如下各分量為零。 若上述應變應力關(guān)系式改為用應變表示應力，即得單層的正軸三維應力應變關(guān)系式：式中Cij稱為三維正軸模量分量，正軸模量分量與正軸柔量分量均稱為正軸彈性系數(shù)。類似于式（295）與（296），有所以獨立的正軸彈性系數(shù)為9個。2.4.3 橫向各向同性單層的正軸三維應力應變關(guān)系式 單層中的無緯單層通常具有橫向各向同性的性能，即垂直于纖維的平面為各向同性面（如圖214的23面）。 由于橫向各向同性，所以 因此，橫向各向同性單層獨立的正軸彈性系數(shù)減至為5個。橫向各向同性單層的

19、正軸三維應變應力關(guān)系式可寫為：2.4.4 單層的偏軸三維應力應變關(guān)系式 對于與單層面內(nèi)主方向1、2成鋪層角的x、y軸情況，此時Z軸與主方向3仍相同，則可以證明，三維的應變應力關(guān)系式為如下形式:由于單層對3軸對稱，單層在偏軸下的彈性系數(shù)為13個。 2.4.5 與平面應力狀態(tài)的關(guān)系 單層按平面應力狀態(tài)進行分析時， 在偏軸下（z軸與主方向3仍相同），由公式（2111），得只考慮x、y、xy等面內(nèi)應力分量。而應力應變關(guān)系式為： 上式表明，單層的偏軸模量分量與三維的模量分量是不同的，存在式（2117）的關(guān)系式。由式（2111）得代入式（2111）的x式中得將上式與偏軸應力應變關(guān)系比較，可知 但通過（21

20、10）我們可以推導平面應力狀態(tài)的柔量分量仍為Sij。類似地，可推出1、3主方向上的拉壓彈性模量及剪切彈性模量。例2.9 例2.10 2.4.6 單層的三維工程彈性常數(shù) 單層的三維工程彈性常數(shù)是單層在三維情況下，由單軸應力或純剪應力確定的剛度性能參數(shù)。 以單層的正軸情況為例：定義2軸的拉壓彈性模量：習題21 解：22解：因此，它們的直徑變化相同。23解：（1）可通過柔量分量的表達式，轉(zhuǎn)換，求Q（模量分量）。 公式（28）、（211） （2）利用數(shù)學方式，模量分量與柔量分量之間存在互逆關(guān)系。【Q】=【S】-124 答： （1）復合材料在線彈性與小變形情況下，材料力學中的應變疊加原理仍適合。（2）由

21、公式（27）或（29）25 答：Q11為模量分量，EL為縱向彈性模量。26 解：平面應力狀態(tài)下，單層正軸應變應力關(guān)系式：28 證：設(shè)最大主應力方向為1、2方向，由應力轉(zhuǎn)換公式（221），由應變轉(zhuǎn)換公式（224），同時，根據(jù)單層的正軸應變應力關(guān)系，可得，2-10 解：212 解: 偏軸柔量有6個分量，正軸柔量只有4 個分量。偏軸工程彈性常數(shù)關(guān)系式見公式（257）。214 解： 由偏軸工程彈性常數(shù)與柔量分量之間的關(guān)系：215 解：216 解：畫出薄壁圓管受力圖。 x ， y ，xy= 利用偏軸的應變應力關(guān)系式求出應變。 要使圓管不發(fā)生軸向變形，需使x =0例：T300/N5208復合材料單向板的應力狀態(tài)如圖所示。已知x