自動(dòng)控制原理：第23講（第五章 穩(wěn)定裕度）

1、例17-1：典型三階系統(tǒng)，在K值變化情況下，觀察閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。K=8K=6K=4K=1K=0.5可見(jiàn)，當(dāng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的某些系數(shù)(如開(kāi)環(huán)增益)改變時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性將發(fā)生變化。這種閉環(huán)穩(wěn)定有條件的系統(tǒng)稱為條件穩(wěn)定系統(tǒng)。2022/8/25由對(duì)數(shù)穩(wěn)定判據(jù)知道，無(wú)論開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的系數(shù)怎樣變化，系統(tǒng)總是不穩(wěn)定的。此系統(tǒng)為結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定系統(tǒng)例17-2 已知開(kāi)環(huán)系統(tǒng)，在K值變化情況下，觀察閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性。 不論是條件穩(wěn)定性系統(tǒng)還是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性系統(tǒng)，當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)，且接近臨界穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，雖然從理論上講，系統(tǒng)是穩(wěn)定的，但實(shí)際上，系統(tǒng)可能已處于不穩(wěn)定狀態(tài)。其原因可能是在建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型時(shí)，采用了線性化等近似處理

2、方法；或系統(tǒng)參數(shù)測(cè)量不準(zhǔn)確；或系統(tǒng)參數(shù)在工作中發(fā)生變化等。 因此要求系統(tǒng)保有一定的相對(duì)穩(wěn)定性，這樣才可以保證不致于因?yàn)榉治鲈O(shè)計(jì)過(guò)程中的簡(jiǎn)化處理，或系統(tǒng)的參數(shù)變化等因素而導(dǎo)致系統(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行中出現(xiàn)不穩(wěn)定的現(xiàn)象。2022/8/28為了表征系統(tǒng)的穩(wěn)定程度，引入“穩(wěn)定裕度”的概念，即頻域性能指標(biāo)的概念；此外，頻域性能指標(biāo)與系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能和穩(wěn)態(tài)性能具有什么樣的關(guān)系？頻域性能指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)的關(guān)系？弄清楚這幾方面的內(nèi)容才能更好地進(jìn)行控制系統(tǒng)頻域法分析與設(shè)計(jì)！第23講 穩(wěn)定裕度 本講主要內(nèi)容1、穩(wěn)定裕度2、開(kāi)環(huán)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系3、開(kāi)環(huán)、閉環(huán)頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)的關(guān)系四、控制系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性及頻域性能分析2

3、022/8/210a10jws b1、穩(wěn)定裕度 Nyquist曲線通過(guò)(-1,j0)點(diǎn)，系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。 在系統(tǒng)穩(wěn)定的情況下，系統(tǒng)Nyquist曲線與實(shí)軸交點(diǎn)坐標(biāo)離(-1, j0)點(diǎn)的距離越遠(yuǎn)，系統(tǒng)穩(wěn)定性越好，所以，閉合曲線偏離臨界點(diǎn)的程度，反映了系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)幅相曲線如圖：a點(diǎn)：a-110jwwc為截止頻率，定義相角裕度s b1/hb點(diǎn)：wx為穿越頻率，定義幅值裕度Nyquist曲線與負(fù)實(shí)軸交點(diǎn)處幅值的倒數(shù)頻域中的相對(duì)穩(wěn)定性即穩(wěn)定裕度包括相角裕度和幅值裕度兩個(gè)概念（1）穩(wěn)定裕度定義 開(kāi)環(huán)幅相曲線穩(wěn)定裕度定義 Bode圖與Nyquist圖之間具有對(duì)應(yīng)關(guān)系，所以在Nyquis

4、t圖上的分析結(jié)論可以移植到Bode圖上加以應(yīng)用。 c 為特性曲線與單位圓（0dB線）交接處的頻率； x為特性曲線與負(fù)實(shí)軸（-180 線）交接處的頻率。 Bode圖上的穩(wěn)定裕度描述00-900-1800-27000dB例17-3 已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)，設(shè)K分別為4和10時(shí)，試確定系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度 開(kāi)環(huán)頻率特性 穿越頻率 K=4截止頻率 K=10截止頻率閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定例17-4 已知單位負(fù)反饋系統(tǒng)，求K=5時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度 開(kāi)環(huán)頻率特性 穿越頻率 K=5截止頻率 相角穩(wěn)定裕度的物理意義在于：對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)，在 =c 處，系統(tǒng)的相角如果再減小 角度，系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)；減小的角度大于 后

5、，系統(tǒng)將不穩(wěn)定。為了使最小相位系統(tǒng)是穩(wěn)定的， 必須為正值。 穩(wěn)定系統(tǒng) 0， 越大，系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性越高。 相位裕度是設(shè)計(jì)控制系統(tǒng)時(shí)的一個(gè)重要依據(jù)，描述系統(tǒng)的阻尼程度。（2）穩(wěn)定裕度物理意義 相角裕度物理意義a-110jws b1/h 幅值穩(wěn)定裕度的物理意義為：對(duì)于閉環(huán)穩(wěn)定的最小相位系統(tǒng)，若系統(tǒng)在相角穿越頻率x 處幅值增大 h 倍（或?qū)?shù)幅值上升h(dB)分貝），則系統(tǒng)將處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。穩(wěn)定系統(tǒng)h1， h(dB)0， h 越大，相對(duì)穩(wěn)定性越高。 幅值裕度物理意義ba-110j1/h 僅用相角裕量或幅值裕量都不能較全面地描述系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定性。-110j1/h上圖兩個(gè)系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性很差。 對(duì)于最小相

6、位系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，對(duì)數(shù)幅頻特性與對(duì)數(shù)相頻特性存在著一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，反映系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)與參數(shù)，能夠據(jù)此推出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。因此，根據(jù)系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性L()，就能了解系統(tǒng)的靜態(tài)和動(dòng)態(tài)性能。2、開(kāi)環(huán)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系 穩(wěn)態(tài)誤差是描述系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)性能的性能指標(biāo)，由終值定理知穩(wěn)態(tài)誤差由頻率特性的低頻段決定。（1）穩(wěn)態(tài)性能分析由時(shí)域分析法可知：系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差和系統(tǒng)的型別n、開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)K以及輸入信號(hào)R(s)有關(guān)。系統(tǒng)型別n的確定：對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的低頻段的斜率為-20n，由此可確定n的值。系統(tǒng)開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)K的確定：由于L(w)=20lgK-20nlgw，低頻漸近線或延長(zhǎng)線過(guò)(w=wc，0)或(w=1,20lgK)點(diǎn)

7、，由此可確定K的值。 n、K確定以后，即可求出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 低頻段：決定系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差 0型系統(tǒng)（有差系統(tǒng)）v=0，低頻漸近線的斜率為0dB/dec，高度為20lgK，靜態(tài)位置誤差系數(shù)Kp=1+K。系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess=1/Kp=1/（1+K）響應(yīng)斜坡信號(hào)與加速度信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差為，無(wú)法跟蹤。L()=20lgK - 20v lgI型系統(tǒng)（一階無(wú)差度系統(tǒng)）v=1，低頻漸近線L()=20lgK-20lg，斜率為-20dB/dec靜態(tài)速度誤差系數(shù)Kv=K系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差ess=1/Kv=1/K階躍信號(hào)響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差為0對(duì)加速度信號(hào)則穩(wěn)態(tài)誤差為，無(wú)法跟蹤。 L(K)=20lg

8、K-20lgK =0，Kv=K = KII型系統(tǒng)（二階無(wú)差度系統(tǒng)）v=2，低頻漸近線L()=20lgK-40lg，斜率為-40dB/dec靜態(tài)加速度誤差系數(shù)Ka=K系統(tǒng)響應(yīng)單位加速度信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差ess=1/Ka=1/K對(duì)階躍信號(hào)與斜坡信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差為0 L(K)=20lgK-40lgK，Ka=K = K2 由以上分析可知，L()低頻段的形狀能夠完全反映系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能。 為了使系統(tǒng)滿足一定的穩(wěn)態(tài)指標(biāo)，低頻段要有一定的高度(20lgK)和斜率(n)。準(zhǔn)（2）動(dòng)態(tài)性能分析例17-5（書例5-13） 確定典型二階系統(tǒng)的相角裕度 開(kāi)環(huán)頻率特性 截止頻率 相角裕度 是 的增函數(shù)和 減函數(shù)； 只與 有關(guān)，

9、且為 的增函數(shù)可見(jiàn)：對(duì)數(shù)幅頻特性的截止頻率 c 和相位裕量 這兩個(gè)特征量可以用來(lái)研究系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能。 在開(kāi)環(huán)頻率特性中，如何用對(duì)數(shù)幅頻特性的截止頻率 c 和相位裕量 這兩個(gè)特征量來(lái)研究系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能? 這兩個(gè)特征量都與系統(tǒng)中頻段的形狀有關(guān)。 中頻段：開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性 L() 的中頻段是指 L() 曲線在截止頻率 c 附近的區(qū)段，在伯德圖一般是 L() 從大約 +30dB 過(guò)渡到約 -15dB 的范圍內(nèi)。中頻段：L(w) 在開(kāi)環(huán)截止頻率 wc 附近的頻段 若L(w)的中頻段斜率為-20dB/dec，并且占據(jù)的頻率區(qū)間較寬，可認(rèn)為中頻段對(duì)應(yīng)的開(kāi)環(huán)傳函為：則閉環(huán)傳函： 相當(dāng)于一個(gè)一階系統(tǒng)，ts=3/

10、wc，階躍響應(yīng)按照指數(shù)規(guī)律變化，系統(tǒng)的穩(wěn)定性較高，wc越大，系統(tǒng)的快速性越好。 若L(w)的中頻段斜率為-40dB/dec，并且占據(jù)的頻率區(qū)間較寬，可認(rèn)為中頻段對(duì)應(yīng)的開(kāi)環(huán)傳函為：則閉環(huán)傳函：相當(dāng)于一個(gè)z=0二階系統(tǒng)，對(duì)應(yīng)的階躍響應(yīng)為等幅振蕩的。實(shí)際系統(tǒng)即使穩(wěn)定，一般超調(diào)量和調(diào)節(jié)時(shí)間都比較大，穩(wěn)定性和快速性都比較差。 若L(w)的中頻段斜率為-60dB/dec，中頻段對(duì)應(yīng)的傳函的分母比分子高三階，相角裕量必定小于0？系統(tǒng)不穩(wěn)定。在中頻段，為了使系統(tǒng)具有較高的動(dòng)態(tài)指標(biāo)，中頻段的斜率最好為-20dB/dec，且具有足夠的頻寬，這樣，系統(tǒng)容易得到大于450相角裕量。例17-6 某單位負(fù)反饋系統(tǒng)開(kāi)環(huán)傳遞

11、函數(shù)如下（T1 T2） ，分析中頻段形狀與相位裕量 間的關(guān)系。K分別取1 10 80；T1=0.8；T2=0.08。 繪制系統(tǒng)開(kāi)環(huán)L()如圖所示，調(diào)節(jié)開(kāi)環(huán)傳遞系數(shù)K的大小，使L()以不同的斜率穿越0分貝線。由圖可見(jiàn)，此系統(tǒng)不僅增加放大系數(shù)時(shí)會(huì)降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性，降低放大系數(shù)也將降低系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 L()在低頻段與高頻段的斜率為-40dB/dec，這兩段所對(duì)應(yīng)的() 相位值較小，所以當(dāng)以斜率-20dB/dec穿越 0 分貝線時(shí)，所對(duì)應(yīng)的 較大。同時(shí)希望 受其他斜率段的影響較小，所以 c 應(yīng)該遠(yuǎn)離其他斜率段，即中頻段也應(yīng)該有一定的寬度，保證對(duì)應(yīng)的 值（對(duì)其他系統(tǒng)同樣適用）。 當(dāng)1、 2確定， c處于

12、1、 2之間的幾何中心點(diǎn)時(shí)， 值有極大值。高頻段： L(w)在中頻段以后的頻段 由于高頻段遠(yuǎn)離開(kāi)環(huán)截止頻率，所以對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能影響不大。高頻段的形狀主要影響系統(tǒng)的抗干擾性能。 A(w)在高頻段的幅值，直接反映了系統(tǒng)對(duì)高頻干擾信號(hào)的抑制能力。高頻部分的幅值越低，系統(tǒng)的抗干擾能力就越強(qiáng)。高頻段的斜率一般設(shè)置為-60或-80dB/dec？ Nyquist判據(jù)(絕對(duì)穩(wěn)定性)、穩(wěn)定裕度(g和h) (相對(duì)穩(wěn)定性) 穩(wěn)定性分析 由對(duì)數(shù)坐標(biāo)圖的低頻段確定系統(tǒng)的型別和開(kāi)環(huán)放大系數(shù)K 穩(wěn)態(tài)性能分析： 三頻段法 動(dòng)態(tài)性能分析（定性） 截止頻率（幅值）c 與穿越頻率（相位）x，相位裕度 與幅值裕度 h 都是控制系統(tǒng)

13、的開(kāi)環(huán)頻域指標(biāo)，頻域指標(biāo)是表征系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的間接指標(biāo)。由于時(shí)域指標(biāo)（穩(wěn)態(tài)誤差 ess、最大超調(diào)量%、調(diào)節(jié)時(shí)間ts 等）反映系統(tǒng)性能更為直接。因此需要探討開(kāi)環(huán)頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)之間的關(guān)系，以便于由開(kāi)環(huán)頻域指標(biāo)分析閉環(huán)系統(tǒng)的性能。3、開(kāi)環(huán)、閉環(huán)頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)的關(guān)系 頻率域系統(tǒng)設(shè)計(jì)和分析主要涉及信號(hào)的跟蹤能力和抑制干擾能力研究。閉環(huán)系統(tǒng)頻域指標(biāo)應(yīng)該體現(xiàn)出這方面的能力，閉環(huán)系統(tǒng)性能指標(biāo)是哪些？其與開(kāi)環(huán)系統(tǒng)頻域指標(biāo)、時(shí)域指標(biāo)又有什么關(guān)系？G(j) 為開(kāi)環(huán)頻率特性，(j) 為閉環(huán)頻率特性 （1）閉環(huán)系統(tǒng)頻域指標(biāo)控制系統(tǒng)帶寬 L(0)零頻值 在單位反饋情況下 v=0，L(0)0；v1，L(0)=0 帶寬

14、頻率定義： 為系統(tǒng)帶寬 帶寬定義 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)為I型系統(tǒng)？ 一階閉環(huán)系統(tǒng)的帶寬根據(jù)前面學(xué)過(guò)的知識(shí)，思考一下，能不能確定帶寬是多少？ 根據(jù)帶寬定義T越大，帶寬越??；帶寬與階躍響應(yīng)速度成正比。 二階閉環(huán)系統(tǒng)的帶寬 根據(jù)帶寬定義帶寬與阻尼比成反比；帶寬與單位階躍響應(yīng)速度成正比 幅頻特性 分析帶寬與自然頻率成正比令帶寬與單位階躍響應(yīng)速度成正比任意階次控制系統(tǒng) 系統(tǒng)帶寬與階躍響應(yīng)的關(guān)系 根據(jù)帶寬定義 兩個(gè)控制系統(tǒng)相同形狀系統(tǒng)2上升時(shí)間和過(guò)渡過(guò)程是系統(tǒng)1的倍，即當(dāng)系統(tǒng)帶寬增大倍時(shí)，系統(tǒng)響應(yīng)加快倍。 階躍響應(yīng)分析令又系統(tǒng)復(fù)現(xiàn)信號(hào)的能力取決于幅頻特性和相頻特性，對(duì)于輸入信號(hào)，帶寬大，則跟蹤信號(hào)的能力強(qiáng)；另一方面，

15、抑制輸入端高頻干擾的能力就弱。所以，系統(tǒng)帶寬的選擇在設(shè)計(jì)中應(yīng)該折中考慮。諧振峰值閉環(huán)系統(tǒng)振蕩性能指標(biāo) 二階系統(tǒng) 高階系統(tǒng)（2）閉環(huán)系統(tǒng)頻域指標(biāo)諧振峰值 均為阻尼比的減函數(shù)（3）確定閉環(huán)頻率特性的圖解方法（自學(xué)） 工程上常用等M和等N圓圖或尼柯?tīng)査箞D線，直接由單位反饋系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)頻率特性曲線繪制閉環(huán)特性曲線，而不必進(jìn)行任何計(jì)算。 等M圓圖 等N圓圖 開(kāi)環(huán)幅相曲線畫閉環(huán)頻率特性曲線 clear all; close all;G1 = tf(5,0.5 0.5 5);G2 = tf(5,2 1 5);figure; Bode(G1);hold on;Bode(G2);figure; step(G1);

16、hold on;step(G2);figure; G3=tf(5,2 1 0);nyquist(G3);grid;閉環(huán)頻域指標(biāo)：開(kāi)環(huán)頻域指標(biāo)：（4）開(kāi)環(huán)頻域指標(biāo)與閉環(huán)頻域指標(biāo)的關(guān)系衡量響應(yīng)速度衡量穩(wěn)定程度 在近似穩(wěn)定程度的情況下， 大的系統(tǒng)， 也大，兩個(gè)參數(shù)和響應(yīng)速度存在正比關(guān)系 閉環(huán)系統(tǒng)諧振峰值 和開(kāi)環(huán)指標(biāo)相角裕度 都能表征穩(wěn)定程度，兩者存在一定的關(guān)系。（5）開(kāi)環(huán)頻域指標(biāo)與時(shí)域指標(biāo)的關(guān)系 對(duì)于二階系統(tǒng)，其頻域性能指標(biāo)和時(shí)域性能指標(biāo)之間有著嚴(yán)格的數(shù)學(xué)關(guān)系 二階系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為 系統(tǒng)的閉環(huán)頻率特性為（5）閉環(huán)頻域性能指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)的關(guān)系 系統(tǒng)的閉環(huán)幅頻特性為 系統(tǒng)的閉環(huán)相頻特性為 諧振峰

17、值Mr和時(shí)域超調(diào)量%之間的關(guān)系二階系統(tǒng)的超調(diào)量% 諧振峰值Mr 由此可看出，諧振峰值Mr僅與阻尼比有關(guān)，超調(diào)量% 也僅取決于阻尼比 越小，Mr增加的越快，這時(shí)超調(diào)量%也很大，超過(guò)40%，一般這樣的系統(tǒng)不符和瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)的要求； 當(dāng)0.40.707時(shí)，無(wú)諧振峰值，Mr與%的對(duì)應(yīng)關(guān)系不再存在，通常設(shè)計(jì)時(shí)，取在0.4至0.7之間。 諧振頻率r 與峰值時(shí)間tp的關(guān)系 tp與 r之積為 由此可看出，當(dāng) 為常數(shù)時(shí)，諧振頻率 r與峰值時(shí)間 tp成反比，r值愈大， tp愈小，表示系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)愈快 閉環(huán)截止頻率b 與過(guò)渡過(guò)程時(shí)間ts的關(guān)系 b與 ts之積為 由此可看出，當(dāng)阻尼比給定后，閉環(huán)截止頻率 b與過(guò)渡過(guò)程

18、時(shí)間 ts成反比關(guān)系。換言之，b愈大（頻帶寬度0-b愈寬），系統(tǒng)的響應(yīng)速度愈快頻域性能指標(biāo)與時(shí)域性能指標(biāo)的關(guān)系例17-8 對(duì)于典型的二階系統(tǒng)，已知參數(shù) 試確定截止頻率 和相角裕度 。 典型二階開(kāi)環(huán)頻率特性 截止頻率 相角裕度本章小結(jié) 1 頻率特性是線性定常系統(tǒng)在正弦函數(shù)作用下，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入之比對(duì)頻率的關(guān)系，頻率特性也是一種數(shù)學(xué)模型。 頻率特性是傳遞函數(shù)的一種特殊形式。將系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）傳遞函數(shù)中的sj，得系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的頻率特性。2 頻率特性分析法是一種圖解分析法，用這種方法研究分析控制系統(tǒng)時(shí)，可免除許多復(fù)雜而又困難的數(shù)學(xué)運(yùn)算。頻率特性法借助于頻率特性曲線就能獲得控制系統(tǒng)品質(zhì)指標(biāo)得有關(guān)信息。 對(duì)于不易用解析方法求得頻率特性曲線的系統(tǒng)?？梢圆捎脤?shí)驗(yàn)方法測(cè)得其頻率特性，這是頻率法的突出優(yōu)點(diǎn)之一。3 典型環(huán)節(jié)的頻率特性比例環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、二階振蕩環(huán)節(jié)、延遲環(huán)節(jié)4 Nyquist判據(jù)是利用系統(tǒng)開(kāi)環(huán)幅相頻率特性判斷閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性的圖解法?？捎糜谂袛嚅]環(huán)系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性，也能計(jì)算系統(tǒng)的相對(duì)穩(wěn)定指標(biāo)和改善系統(tǒng)性能的方法。 5 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的伯德圖是控制系統(tǒng)工程設(shè)計(jì)的主要工具。開(kāi)環(huán)對(duì)數(shù)幅頻特性曲線低頻段的斜率表征了系統(tǒng)的類型；低頻段的高度表征了開(kāi)環(huán)放大系數(shù)的大小。因