2022年§44函數(shù)y=Asin的圖象及三角函

1、4.4 函數(shù) y = Asm（cox + 卩）的圖象及三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)潔應(yīng)用基礎(chǔ)學(xué)問(wèn)自主學(xué)習(xí)要點(diǎn)梳理1.用五點(diǎn)法畫(huà) y=4sin （ex+e ）個(gè)周期內(nèi)的簡(jiǎn)圖時(shí),要找五個(gè)特點(diǎn)點(diǎn) 如下表所示 . . X0_pn71 p3兀2 兀一（p廠卩2卩COcoCOCOco0兀TT3it2TT9Ty=Asinsx+e 0A0-A02.函數(shù) j = sin x 的圖象經(jīng)變換得到 下：方法一j=Asin （wx+ ）的圖 象的步驟如畫(huà)出 y=sinx 的圖象 彥驟 1向左（右）平移 W 丨個(gè)單位長(zhǎng)度 . 得至！ Jy = sin（x+卩）的圖象 步驟 2 齊點(diǎn)的橫處標(biāo)變?yōu)樵鹊谋?U e 得到 V = sin（

2、s：+卩）的圖象 | 步驟 3 各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵?來(lái)的 A 倍得至 Uy=Asi n（cox+卩）的圖 步驟 4 象方法二 畫(huà)出丿 = sinx 的圖象 步驟 1 各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)磴倍 U 得至 Uy = sin ox 的圖象 步驟 2 向左 右 平移 2 個(gè)單位長(zhǎng)度 0 得至収 =sincox+ 卩 的圖象 步驟 3 各點(diǎn)的縱坐標(biāo)變?yōu)樵鹊?A 倍 0 得至 Uy=Asinx+0 的圖象 步驟 4 以上兩種方法的區(qū)分：方法一先平移再伸縮；方法 二先伸縮再 平移 . 特殊留意方法二中的平移量 . 3. 當(dāng)函數(shù) y=4sincox+0 A0, e0, 0, + 8 表示一個(gè)振動(dòng)時(shí), A叫做

3、振幅 ,T= 號(hào)叫 做周期 ,叫做頻率, ax+p 叫 做相位 ,/ 叫做初相 .4.三角函數(shù)模型的應(yīng)用 1 依據(jù)圖象建立解析式或依據(jù)解析式作出圖 象. 2 將實(shí)際問(wèn)題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡(jiǎn)潔 函數(shù)模 型. 利用收集到的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖,并依據(jù)散點(diǎn)圖進(jìn)行函數(shù)擬合,從而得到函數(shù)模型. 1.作時(shí)應(yīng)留意的兩點(diǎn)難點(diǎn)正本疑點(diǎn)清源1作函數(shù)的圖象時(shí),第一要確定函數(shù)的定 義域 . 對(duì)于具有周期性的函數(shù),應(yīng)先求出周期 , 作圖象時(shí)只要作出一個(gè)周期的圖象,就可 作出整個(gè)函數(shù)的圖象 .扌艮據(jù)周期性2. 象變換的兩種方法的區(qū)分由 j = sin x 的圖象,利用圖象變換作函數(shù)y = Asin （car + 卩）+ B

4、 （A0, co0）（兀 WR ）的圖象,要特 別留意：當(dāng)周期變換和相位變換的先后次序不同時(shí),原圖象沿工軸的伸縮量的區(qū)分. 先平移變換再周期 變換（伸縮變換）,平移的量是咧個(gè)單位,而先周期 變換（伸縮變換）再平移變換,平移的量是緩個(gè)單位 . 為什么會(huì)有這個(gè)區(qū)分呢？其緣由是,我們所說(shuō)的平 移多少（即平移量）是相對(duì)于 x 來(lái)說(shuō)的,與兀的系數(shù) co 無(wú)關(guān),因而應(yīng)寫(xiě)成 y = Asin co + B 的形L I 3）.式. 故平移量為第個(gè)單位 . 基礎(chǔ)自測(cè) Z 、7F 1. j = 2sin 2x T 的振幅為2 , 頻率和1 K.初相分別為工 _、4 2.將函數(shù) y=73 的圖象向右平移 .個(gè)單位,

5、再T向上平移 2 個(gè)單位所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式是兀解析 y = = sin、x +弓向右平移 .個(gè)單位得 : 、 兀. Tl 兀 y = sin：V _6 =sin Tt 位得 y = sin x + v + 2.6 y = U + 2 sin再向上平移 2 個(gè)單3.將函數(shù) y=sin4x 的圖象向左平移尋個(gè)單位,得到兀 jr兀丿=或 n（4x+（p） （ （p2 ）的圖象,就 （p= 3解析 將函數(shù) y = sin 4x 的圖象向左平移巨個(gè)單位后得到的圖象的解兀 兀sin4 x + TX . = sin 4x + ,貝 U 丄/ 丿 d 丿析式為 y = 兀廠 3.4.將函數(shù) j=sinx

6、 的圖象向左平移卩（ 0W 卩2 兀）D. 11 兀 6解析將函數(shù) y = sin x的圖象向左平移個(gè)單位后,得到函數(shù)尸sinfx 帯的圖象,就卩等于（ D 0（OW00, co0） 孕,上的一個(gè)最高點(diǎn)的坐標(biāo)為吃,由此點(diǎn)到 軸交于點(diǎn)寸卄相鄰最低點(diǎn)間的曲線(xiàn)與兀兀, o,（兀 兀、如唱一刃 2）（1）試求這條曲線(xiàn)的函數(shù)解析式; （2） 寫(xiě)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 . 思維啟發(fā) （1）由最高點(diǎn)和相鄰最低點(diǎn)間的相對(duì)位置,確定周期；依據(jù)待定系數(shù)法求件 將 “ COX + （p“ 看作一個(gè)整體、放在一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)求解 . / 、解（1）依題意,人広 T= 4X 22 =4 兀, co0 ,又曲線(xiàn)上的最高點(diǎn)為 %邊

7、.11 7T 71 7 7.Isin 二X 二 + 卩=, 二 + j = 2A7C + 14 122.異 , kwZ.探究提高 依據(jù) y=Asin（ox+（P）+k 的圖象求其解析依據(jù)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn) , 式的問(wèn)題,主要從以下四個(gè)方面來(lái)考慮：最高點(diǎn)一最低點(diǎn) 2 A 的確定 : k 的確定：依據(jù)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn),即 k = 最高點(diǎn) +最低點(diǎn)2 ; 血的確定：結(jié)合圖象,先求出周期幾然后由 來(lái)確定 （O；T= （仞 0）卩的確定：由函數(shù) y=Asin （ex+）+R 最開(kāi)頭與 x 軸的交點(diǎn)（最靠近原點(diǎn)）的橫坐標(biāo)為一：（即令皿 確定外+卩= 0,x=f）變式訓(xùn)練 2 已知函數(shù) y=4sinc

8、ox+w lv 務(wù) 如 0的圖象的一部分如下列圖 . 求/ 兀 的表達(dá)式；2試寫(xiě)出 /U的對(duì)稱(chēng)軸方程 . 解 1觀看圖象可知：A =2 且點(diǎn)0,1在圖象上, . = g *.* 11 . ：0 =彳.1 =2sin O + 0 , 即 sin 0 過(guò) X軸形成的零點(diǎn) , . 11 兀亠兀 C .筒+6 = 2 兀,712. 5 =2sinr+6, 又. .豈兀是函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn),且是圖象遞增穿2設(shè)+ . = 就函數(shù) j = 2sin A的對(duì)稱(chēng)軸方程為&WZ,兀 7T 即 2X + & N二+ R 兀仏 w Z, 解上式得 x =等+ * *ez , /./x = 2sin 2x + 的對(duì)稱(chēng)軸方程

9、為kit Tt .XT + 6 KEZK的圖象與兀軸題型三函數(shù) j=Asin ox+ 的圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用 例 3 已知函數(shù) fx = Asinctx + 卩 ,且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為 的交點(diǎn)中,相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為號(hào) , 1 求/U的解析式；7T 7T 2 當(dāng) xe ,二時(shí),求 /U的值域 .思維啟發(fā) 易知 T= yr, A - 2, 利用點(diǎn) M在曲 線(xiàn)上可求卩,第 2問(wèn)由函數(shù)圖象易解,關(guān)鍵是 將 CDX + p 看成一個(gè)整僂 . 2 兀 解 1由最低點(diǎn)為 Mp, -2 得 A = 2.I O 丿2由兀軸上相鄰兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為壬得齊歩m ”.兀 2 兀 r 即 T =兀,. . o

10、= =2.1 7T 由點(diǎn),-2 在圖象上得 2sin2X Z 可+ 0 = 4 兀 3+ y 丿 72 兀兀一 2,即 sin“1 n 以 4 兀伙 W Z , /. p = 2kn - k W Z.兀 兀、.0 飛,故心=2sin 2x + 石.7T 兀 e 兀125 2 ,. 2x + 7 G7T “ 刃 ,即兀 兀 377 兀 一當(dāng) 2x+ = , 即兀時(shí), /W 取得最大值 2； 當(dāng) 2r + = y, 即專(zhuān)時(shí) , 滄 取得最小值 - 1, 故/x的值域?yàn)?- 1,2. 探究提高 熟悉并懂得三角兩數(shù)的圖象與性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵 . 圖象與兀軸的兩個(gè)相鄰 交點(diǎn)間的距離即為半個(gè)周期. 在求

11、函數(shù)值域 時(shí),由定義域轉(zhuǎn)化成 cox 的范疇 . 即把兀 + 0 看作一個(gè)整體 . 7T,變式訓(xùn)練 3 己知函數(shù)fx=Asincox +p9 1 求/X 的解析式 ;2 當(dāng)兀丘 0,巨JT時(shí), 求/*的最值 . 解 1由最低點(diǎn)為2 兀、M 可,- 2 得 A = 2.由丁 = 兀, 得 69=竽=今=2.由點(diǎn) A/ 1 兀 4 兀 在圖象上得 2sin 丁+卩=-2,即 sin4兀U +其中 40, .O, 0v 卩鳥(niǎo)的周期為且圖象上一個(gè)最低點(diǎn)為,一 2.4 兀兀一11 兀. 丁 + 卩=2kn 一 2（ 已 Z）,即（p = 21at（k G Z ）. （、又 0 已 0,-, 厶）兀0,

12、12兀 兀：.（p =石、. /U） = 2sin（2x 兀2x 兀兀（2）Vxe .6,.3+石已. .當(dāng) 2x + . = g 即兀 =0 時(shí), /U）取得最小值 1； 當(dāng)2xr + .= 扌, 即* = 令時(shí), /* （兀）取得最大值 J 工答題模板 5. 用方程思想求三角函數(shù)圖象的解析式 試題： （14 分）如圖為 y=Asin （av+e）的圖象 的 一段,求其解析式 . 審題視角 （1）圖象是 y = Asin（cox +卩）白勺圖 象. 依據(jù)“ 五點(diǎn)法” 作圖的原就,M 可以看 作第一個(gè)零點(diǎn)； : 誓, 0 可以看作其次個(gè)零點(diǎn) . I；丿規(guī)范解答 解由圖象知 A = A/3, 以

13、 M&,（）2 分為第一個(gè)零點(diǎn),N& ,o為其次個(gè)零點(diǎn). 5兀 +卩4 分 列方程組兀,（）=2, 解之得2TT k 一亍10 分 14 分. . 所求解析式為 y = 3sin 加- 誓.答題模板第一步：依據(jù)圖象確定第一個(gè)平穩(wěn)點(diǎn) 或最高點(diǎn)“ 最低點(diǎn)、 . . 其次個(gè) 平穩(wěn)點(diǎn)、其次步：將“ 處 +卩” 作一個(gè)整體、找到對(duì)應(yīng)的值. 第三步：列方程組求解 . 第四步：寫(xiě)出所求的函數(shù)解析式 . 第五步 : 回憶反思,查看關(guān)鍵點(diǎn),易錯(cuò)點(diǎn)及答題規(guī)范 . 批閱筆記 用方程思想求解這類(lèi)題目, 思路清楚 , 過(guò)程簡(jiǎn)捷 .易錯(cuò)點(diǎn)是找不準(zhǔn)對(duì)應(yīng)的“ 五點(diǎn)” .思想方法感悟提高 方法與技巧1.五點(diǎn)法作函數(shù)圖象及函數(shù)圖

14、象變換問(wèn)題 1 當(dāng)明確了函數(shù)圖象基本特點(diǎn)后,“ 描點(diǎn)法” 是作函 數(shù)圖 象的快捷方式運(yùn)用“ 五點(diǎn)法” 作正、余弦型函數(shù) 圖象時(shí),應(yīng)取好五個(gè)特殊點(diǎn),并留意曲線(xiàn)的凹凸方向 . 2 在進(jìn)行三角函數(shù)圖象變換時(shí),提倡“ 先平移,后伸 縮” ,但“ 先伸縮,后平移” 也常常顯現(xiàn)在題目中,所以也必需熟練把握,無(wú)論是哪種變形, 切記每一個(gè) 變換總是對(duì)字母 *而言,2.即圖象變換要看“ 變量” 起 多大變化,而不是“ 角” 變化多少. 由圖象確定函數(shù)解析式由函數(shù) y - Asincox + p 的圖象確定 A、e、卩的題/ 、型,常常以“ 五點(diǎn)法” 中的第一零點(diǎn)-2, 0 作為I 60 丿突破口,要從圖象的升降情形找準(zhǔn)第一零點(diǎn)的位 置. 要善于抓住特殊量和特殊點(diǎn) . 3.對(duì)稱(chēng)問(wèn)題 + 卩 的圖象與 x 軸的每一個(gè)交點(diǎn)均為其函數(shù) y = Asnax對(duì)稱(chēng)中心,經(jīng)過(guò)該圖象上坐標(biāo)為x, 4的 點(diǎn)與 x 軸垂直的每一條直線(xiàn)均為其圖象的對(duì)稱(chēng)軸 , 這樣的最近兩點(diǎn)間橫坐標(biāo)的差的肯定值是半個(gè)周 期 或兩個(gè)相鄰平穩(wěn)點(diǎn)間的距離 . 失誤與防范 1. 由函數(shù) y = sinx（xGR）的圖象經(jīng)過(guò)變換得到函數(shù) y =Asn（cfjx + （p）的圖象,在詳細(xì)問(wèn)題中,可先平移 變 換后伸縮變換, 也可以先伸縮變換后平移變 換,但要留意：先伸