函數(shù)的數(shù)值微分計算

1、函數(shù)的數(shù)值微分計算實驗描述數(shù)值微分根據(jù)函數(shù)在一些離散點的函數(shù)值，推算它在某點的導數(shù)或高階導數(shù)的近似值的方法。通常用差商代替微商，或者用一個能夠近似代替該函數(shù)的較簡單的可微函數(shù)(如多項式或樣條函數(shù)等)的相應導數(shù)作為能求導數(shù)的近似值。例如一些常用的數(shù)值微分公式(如兩點公式、三點公式等)就是在等距步長情形下用插值多項式的導數(shù)作為近似值的。此外，還可以采用待定系數(shù)法建立各階導數(shù)的數(shù)值微分公式，并且用外推技術來提高所求近似值的精確度。當函數(shù)可微性不太好時，利用樣條插值進行數(shù)值微分要比多項式插值更適宜。如果離散點上的數(shù)據(jù)有不容忽視的隨機誤差，應該用曲線擬合代替函數(shù)插值，然后用擬合曲線的導數(shù)作為所求導數(shù)的近

2、似值，這種做法可以起到減少隨機誤差的作用。數(shù)值微分公式還是微分方程數(shù)值解法的重要依據(jù)。實驗內容計算余弦函數(shù)f(x)=cos(x)的數(shù)值微分實驗要求：1.一階導數(shù)O(hA2),O(hM)中心差分法的誤差分析P252；二階導數(shù)O(hA2),O(hA4)中心差分法的誤差分析P263；對上面4種微分計算其0n上不同步長h的微分曲線分布;在兩端點0，n采用對應精度的Lagrange多項式微分P264。實驗結果及分析一階精度為O(hH)的中心差分法的誤差分析：1一階精度為O(hM)的中心差分：設f6C3a,b，且x-h,x,x+h6a,b，則fx+hfxh2hfxu而且存在數(shù)c=c(x)6a,b，滿足fx

3、+hfxh2h+Etf,htrunc其中h2f3cf,h=0h26項Ef,h稱為截斷誤差。丿、trunc2誤差分析和步長優(yōu)化：(1)設函數(shù)f滿足1中的假設，并利用計算公式y(tǒng)1-y1 HYPERLINK l bookmark30 fxu1/02h則誤差分析可通過如下方程進行解釋 HYPERLINK l bookmark10 fx=兒y-1J02h其中殲傀巾燉嚴,f(x0+h)=y1+e1)Ef,h=E“roundEtrunc+Ef,h幾h+Etrunc幾h=el-e_l_h2f3c=2h_6這里的Ef,h為舍入誤差和截斷誤差的和。(2)設函數(shù)f滿足1中的假設，并進行數(shù)值計算。如果e_6,勺6,M

4、=max,(/3x，貝Uaxb26Mh2Ef,hh+一6一上式右邊最小時的h值為361/3h=M當h較小時，(1)中包含匕斗的部分相對較大。2h分析：一階精度為o(h2)的關于cos(x)的中心差分的誤差項為E=0.5*10A-9/h+hA2/6;E在h為0.001,0.005的圖形分析：步長為h,精度為o(h2)的cos(x)的一階中心差分公式f1f1=(cos(x+h)-cos(x-h)/(2*h);xh=0.O1,f1在O,pi的曲線一階精度為O(hM)的中心差分法的誤差分析:12h1一階精度為O(hA2)的中心差分：設f6C5a,b，且x-h,x,x+h6a,b，則fx+2h+8fx+

5、hf8x-h+f(x2h)而且存在數(shù)c=c(x)6a,b，滿足12hfx+2h+8fx+hf8xh+f(x2h)fx=其中h4f5cEf,h=0h4trunc30項E.f,h稱為截斷誤差。trunc2.誤差分析和步長優(yōu)化：(1)設函數(shù)f滿足1中的假設，并利用計算公式fX-y2+8181+y2丿012h則誤差分析可通過如下方程進行解釋r,_y2+818y+y2丄口f%fxo=缶一+Ef,h其中(fx+h=y1+e1，fxh=y1+e1，fx+2h=y2+勺，fx2h=y2+e2)Ef,h=E“f,h+Etf,hroundtrunce+8e8e+eh2f3c2112_2h6這里的Ef,h為舍入誤差

6、和截斷誤差的和。(2)設函數(shù)f滿足1中的假設，并進行數(shù)值計算。如果乞Se且M=max,T5x，則axbLLy3eMh4Ef，h-2h+麗上式右邊最小時的h值為4561/5h=4M分析：一階精度為o(h4)的關于cos(x)的中心差分的誤差項為E在h為0.001,0.05的圖形E=3*0.5*10A-9/(2*h)+hA4/30;分析：步長為h,精度為o(h4)的cos(x)的一階中心差分公式f1f1=(-cos(x+2*h)+8*cos(x+h)-8*cos(x-h)+cos(x-2*h)/(12*h);h=0.01,f1在0,pi的曲線二階導數(shù)0(h八2)中心差分法的誤差分析:1二階導數(shù)0(

7、22)中心差分法:fX的近似值公式為1-2厶+f-1h2fxf,hI+人一2fx+fx-h+已2h其中Etrunc幾h=2：，在4階導數(shù)處截斷。貝U在區(qū)間x-h,X+h內有一個值C,滿足r2.誤差分析和步長優(yōu)化廣%=vi一rh212設丘=兒+氣其中是計算f叫叫=兒_色+兒1+Ef,h產(chǎn)生的誤差,貝h2誤差項Ef,h包含舍入誤差和截斷誤差:Ef,h=勺-2eQ+j_h2f4ch2-12-如果設每個誤差項乞的量級為e,同時誤差是積累的，而且(f(4)xM則可以得到如下差界：4eMh2已仁h%+p如果h較小，則舍入誤差帶來的如就會較大。當h較大時，泄也會較大?？蒱212通過下式得到最佳步長。h=48

8、61/4w分析：二階精度為o(h2)的關于cos(x)的中心差分的誤差項E=4*0.5*10A-9/(hA2)+hA2/12;E在h為0.001,0.05的圖形分析：步長為h，精度為o(h2)的cos(x)的二階中心差分公式f2f2=(cos(x+h)-2*cos(x)+cos(x-h)/(hA2);h=0.01,f2在O,pi的曲線二階導數(shù)O(hM)中心差分法的誤差分析：1二階導數(shù)O(hM)中心差分法:fx的近似值公式為fXuJ012h2fx+2h+16fx+h30fx+16fxhfx2hfx12h2/2+16去3%+16匚1廣2+Ef,htruncJ其中Etmncf，h=巴汁，在4階導數(shù)處

9、截斷。貝U在區(qū)間x-h,X+h內有一個值C，滿足X=+16右_3%+16/1f2+h4f6CJ012h2902誤差分析和步長優(yōu)化：設fk=兒+氣其中是計算f叫產(chǎn)生的誤差，則廣飛=-兒+16兒-駕+16兒廠兒2+ef,h誤差項Ef,h包含舍入誤差和截斷誤差：q+16e“一30匕+16eqh4f6ch2Ef,h=21hl11+_0_如果設每個誤差項儀的量級為,同時誤差是積累的，而且(f(6)XM則可以得到如下差界：16eMh4E人h3h2+90如果h較小，則舍入誤差帶來的眶就會較大。當h較大時，沁也會較大?？?h290通過下式得到最佳步長。h=24061/6M分析：二階精度為o(h4)的關于cos

10、(x)的中心差分的誤差項EE=16*0.5*10A-9/(3*hA2)+hA4/90;E在h為0.001,0.25的圖形分析：步長為h,精度為o(h4)的cos(x)的二階中心差分公式f2f2=(-cos(x+2*h)+16*cos(x+h)-30*cos(x)+16*cos(x-h)-cos(x-2*h)/(12*hA2);h=0.01,f2在0,pi的曲線Lagrange多項式微分：一階精度為)在x0的前向差分公式和后項差分公式分別如下I=車4口廣叫二埜-4心+匸22h分析：步長為h,階精度為o(h2)的cos(x)的拉格朗日多項式向前差分公式f1f1=(-3*cos(x)+4*cos(x

11、+h)-cos(x+2*h)/(2*h);h=O.01,f1在O,pi的曲線分析：步長為h,一階精度為o(h2)的cos(x)的拉格朗日多項式向后差分公式f1f1=(3*cos(x)-4*cos(x-h)+cos(x-2*h)/(2*h);h=0.01,f1在0,pi的曲線結論采用中心差分法計算微分，不同精度相同步長所得到的結果可能不同。采用最佳步長時0(hA2)的最小誤差要大于0(hA4)的最小誤差，且步長區(qū)間相同時0(hT)誤差變化速率要快于0(hA4)的誤差變化速率。另外采用相同精度時，步長不同所得結果也不同，同時只有取最佳步長時的誤差最小，大于或小于最佳步長誤差增大。附件(代碼)一階精

12、度為0(/2)的中心差分法的誤差分析：symshE=0.5*10-9/h+h2/6;%階精度為o(h2)的關于cos(x)的中心差分的誤差項ezplot(E,0.000001,0.005)%畫出E在h為0.001,0.005的圖形一階精度為0(h4)的中心差分法的誤差分析：symsxsymshE=3*0.5*10-9/(2*h)+h4/30;%階精度為o(h4)的關于cos(x)的中心差分的誤差項ezplot(E,0.001,0.05)%畫出E在h為0.001,0.05的圖形二階精度為0(h2)的中心差分法的誤差分析：symshE=4*0.5*10-9/(h2)+h2/12;%二階精度為o(h

13、2)的關于cos(x)的中心差分的誤差項ezplot(E,0.001,0.05)%畫出E在h為0.001,0.05的圖形二階精度為0(24)的中心差分法的誤差分析：symshE=16*0.5*10-9/(3*h2)+h4/90;%二階精度為o(h4)的關于cos(x)的中心差分的誤差項Eezplot(E,0.001,0.25)%畫出E在h為0.001,0.25的圖形一階精度為0(h2)的中心差分法的不同步長的曲線：h=input(inputh=)symsxf1=(cos(x+h)-cos(x-h)/(2*h);%步長為h,精度為o(h2)的cos(x)的一階中心差分公式flezplot(f1,

14、0,pi)%畫出fl在0,pi的曲線一階精度為0(h4)的中心差分法的不同步長的曲線：h=input(inputh=)symsxf1=(-cos(x+2*h)+8*cos(x+h)-8*cos(x-h)+cos(x-2*h)/(12*h);%步長為h,精度為o(h4)的cos(x)的一階中心差分公式flezplot(f1,0,pi)%畫出fl在0,pi的曲線二階精度為0(!T2)的中心差分法的不同步長的曲線：h=input(inputh=)symsxf2=(cos(x+h)-2*cos(x)+cos(x-h)/(hA2);%步長為h,精度為o(h2)的cos(x)的二階中心差分公式f2ezplot(f2,0,pi)%畫出f2在0,pi的曲線二階精度為0(24)的中心差分法的不同步長的曲線：h=input(inputh=)symsxf2=(-cos(x+2*h)+16*cos(x+h)-30*cos(x)+16*cos(x-h)-cos(x-2*h)/(12*hA2);%步長為h,精度為o(h4)的cos(x)的二階中心差分公式f2ezplot(f2,0,pi)%畫出f2在0,pi的曲線Lagrange多項式微分向前差分公式：h=input(inputh=)f1=(-3*cos(x)+4*cos(x