2021-2022學(xué)年北京市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

1、2021-2022學(xué)年北京市高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于（）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限C運用復(fù)數(shù)乘法化簡復(fù)數(shù)得解【詳解】，因此復(fù)數(shù)z對應(yīng)點的坐標為，在第三象限.故應(yīng)選C.本題考查復(fù)數(shù)乘法運算及復(fù)數(shù)幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.2在“創(chuàng)文明城區(qū)”（簡稱“創(chuàng)城”）活動中，教委對某區(qū)甲、乙、丙、丁四所高中校按各校人數(shù)分層抽樣調(diào)查，將調(diào)查情況進行整理后制成下表：學(xué)校甲乙丙丁抽查人數(shù)50151025“創(chuàng)城”活動中參與的人數(shù)4010915若該區(qū)共2000名高中學(xué)生，估計甲學(xué)校參與“創(chuàng)城”活動的人數(shù)為（）A1600B1000C800D500C【分析】根據(jù)分層抽樣成比例

2、，結(jié)合該區(qū)共2000名高中學(xué)生可求得甲學(xué)校人數(shù)，進而根據(jù)“創(chuàng)城”活動中參與的人數(shù)的比例求解即可【詳解】由題意，抽查比例為，故甲學(xué)校人數(shù)為人，故估計甲學(xué)校參與“創(chuàng)城”活動的人數(shù)為故選：C3下列說法正確的是（）A三點確定一個平面B兩個平面可以只有一個公共點C三條平行直線一定共面D三條直線兩兩相交，可以確定1個或3個平面D【分析】對于A，根據(jù)不共線的三點確定一個平面即可判斷；對于B，由平面的基本公理即可判斷；對于C，考慮三條平行線的位置關(guān)系即可判斷；對于D，根據(jù)三條直線兩兩相交可能的交點個數(shù)進行判斷即可.【詳解】對于A，因為不共線的三點確定一個平面，故A錯誤；對于B，若兩個平面有一個公共點，那么就有

3、一條經(jīng)過該點的公共直線，即交線，該交線上有無數(shù)個公共點，故B錯誤；對于C，三條平行直線可能共面，也可能有一條在另外兩條確定的平面外，故C錯誤；對于D，當三條直線兩兩相交，三個交點不重合時，三條直線共面，當三條直線兩兩相交于一個點時，這三條直線可能在同一個平面內(nèi)，也可能不共面，此時其中任意兩條直線都可確定一個平面，即可確定3個平面，故D正確，故選：D4若角的終邊在第二象限，則下列三角函數(shù)值中大于零的是ABCDD【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡選項，再結(jié)合角的終邊所在象限即可作出判斷.【詳解】解：角的終邊在第二象限，0，A不符；0，B不符；0，C不符；0，所以，D正確故選D本題主要考查三角函數(shù)值的符號判斷

4、，考查了誘導(dǎo)公式，三角函數(shù)的符號是解決本題的關(guān)鍵5若一個正四棱錐的高和底面邊長都為2，則它的側(cè)面與底面所成角的余弦值為（）ABCDB【分析】作輔助線，找出正四棱錐側(cè)面與底面所成二面角的平面角，解直角三角形即可求得答案.【詳解】如圖，設(shè)PO為正四棱錐的高，O為底面正方形中心，作于E,連接PE,則E為BC中點，故 ,故即為正四棱錐側(cè)面與底面所成的角的平面角，因為正四棱錐的高和底面邊長都為2，故,故 ,故選：B6如圖所示，為了測量山高，選擇和另一座山的山頂作為測量基點，從點測得點的仰角，點的仰角，從點測得已知山高，則山高（單位：）為（）ABCDA【分析】計算出，在中，利用正弦定理求得，然后在中可計算

5、出.【詳解】在中，為直角，則，在中，則，由正弦定理，可得，在中，.故選：A.本題考查測量高度問題，考查正弦定理的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中等題.7已知兩個平面，兩條直線，給出下面的四個命題：其中，所有正確命題的序號是（）ABCDB【分析】利用線線、線面、面面的位置關(guān)系即可判斷出答案.【詳解】對于：當時不成立.錯誤.對于：當時有.正確.對于：當時,、直線可平行可異面.錯誤.對于：當時，可得，則有.正確.故選：B.8如圖，將底面半徑為2的圓錐放倒在平面上，使圓錐在此平面內(nèi)繞圓錐頂點S滾動，當這個圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時，圓本身恰好滾動了2周，則（）A圓錐的母線長為8B圓錐的表面積為C圓錐的側(cè)面展開

6、圖扇形圓心角為D圓錐的體積為D【分析】由題意可求出圓錐的母線長，可判斷A;由此可求得圓錐的表面積，判斷B;由側(cè)面展開圖為半圓可判斷C;求得圓錐的體積判斷D.【詳解】由題意，圓錐在平面內(nèi)轉(zhuǎn)回原位置時，圓本身恰好滾動了2周，即可知圓錐的側(cè)面展開圖的面積即圓錐的側(cè)面積是以母線為半徑形成的圓面積的，設(shè)圓錐母線長為l，即有 ，故A錯誤；圓錐的表面積為，故B錯誤；由題意可知，圓錐的側(cè)面展開圖是以母線為半徑形成的圓的一半，故側(cè)面展開圖扇形圓心角為，故C錯誤；圓錐的體積為 ，故D正確，故選：D9已知直三棱柱的六個頂點都在球的表面上，若，則球的體積是（）ABCDC【分析】易得，將三棱柱補全為長方體，再根據(jù)長方體

7、的體對角線即為其外接球的直徑，求出外接球的半徑，再根據(jù)球的體積公式即可得解.【詳解】解：在中，則，則，所以，如圖將三棱柱補全為長方體，其長，寬，高分別為，則外接球的半徑，所以球的體積是.故選：C.10在中，內(nèi)角，所對的邊分別是，已知，則ABCDA【詳解】試題分析：據(jù)正弦定理結(jié)合已知可得，整理得，故，由二倍角公式得.正弦定理及二倍角公式.【思路點晴】本題中用到了正弦定理實現(xiàn)三角形中邊與角的互化，同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系及二倍角公式，如,這要求學(xué)生對基本公式要熟練掌握解三角形時常借助于正弦定理，余弦定理， 實現(xiàn)邊與角的互相轉(zhuǎn)化.11已知函數(shù)的一條對稱軸為，且函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，則的最小值為（）

8、ABCDD【分析】利用輔助角公式化簡,對稱軸為,求出a和，得到解析式.由，且函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，,可得與關(guān)于對稱中心對稱,即可求解的最小值.【詳解】函數(shù)，其中.因為函數(shù)的一條對稱軸為，所以，解得：，所以.對稱中心橫坐標滿足可得.又，且函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，所以.所以當k=1時,可得最小.故選：D.12如圖，正方體的棱長為1，為對角線上的一點（不與點、重合），過點作平面與正方體表交形成的多邊形記為.若是三角形，則必定是銳角三角形若，則只可能為三角形或六邊形若且點為對角線的三等分點，則的周長為若點為對角線的三等分點，則點到各頂點的距離的不同取值有4個以上所有正確結(jié)論的個數(shù)為（）A4B3C2D

9、1A【分析】在正方體中，體對角線與其不相交的面對角線都垂直，作出幾個截面可確定其形狀.建立空間直角坐標系，利用空間向量可判斷位置關(guān)系與計算距離.【詳解】對于：若是三角形，當周長最大時，平面為平面或平面.且為等邊三角形.由“大角對大邊，大邊對大角”，根據(jù)對稱性我們可固定,則截面為，易知為最大角,記,.則恒成立.所以必定是銳角三角形.正確.對于：在正方體中體對角線與平面，平面，平面都垂直.由圖可知，平面在運動過程中只可能為三角形或六邊形.正確.對于：建立如圖所示空間直角坐標系，則,.所以,設(shè)點.所以解得.所以.所以.所以當點為對角線的三等分點且時：為平面或平面此時的周長為.正確.對于：由知：;；;

10、.所以點到各頂點的距離的不同取值為：，有4個.正確.故選：A.二、填空題13已知向量，且與共線，則實數(shù)_.2【分析】根據(jù)向量共線，即可求解.【詳解】解：與共線，所以，解得，故2.14已知復(fù)數(shù)，則=_【詳解】試題分析：，所以復(fù)數(shù)模的概念與復(fù)數(shù)的運算.15一半徑為4m的水車，水車圓心距離水面2m，已知水車每分鐘轉(zhuǎn)動（按逆時針方向）3圈，當水車上點從水中浮現(xiàn)時開始計時，即從圖中點開始計算時間，當秒時，點離水面的高度是_m.4【分析】根據(jù)勻速圓周運動的數(shù)學(xué)模型進行求解.【詳解】因為=4，圓心到水面的距離為2，所以到x軸的距離為2，所以x軸與所成角為 ，由題知水車轉(zhuǎn)動的角速度為 因為水車的半徑為4，設(shè)P

11、點到水面的距離為y，根據(jù)勻速圓周運動的數(shù)學(xué)模型有： 當t=10秒時，y=4，所以點離水面的高度是4m.故4.16如圖，等腰梯形沿對角線翻折，得到空間四邊形，若，則直線與所成角的大小可能為_.（寫出一個值即可）（答案在內(nèi)即可）【分析】由題意，補全等腰梯形為正三角形，則直線與所成角的大小為直線與所成角，再根據(jù)線線角的范圍求解即可【詳解】由題意，補全等腰梯形為正三角形，則直線與所成角的大小為直線與所成角，易得當?shù)妊菪窝貙蔷€翻折時，的軌跡為以為頂點，為高的圓錐側(cè)面，設(shè)，在上取使得，則直線與所成角即，故，因為，故，故，故只需寫出內(nèi)的角度即可，如 故（答案在內(nèi)即可）17在棱長為2的正方體中，為棱的中點

12、，為側(cè)面內(nèi)的動點，且與平面的垂線垂直，則線段的軌跡所形成的圖形的面積為_.【分析】因為與平面的垂線垂直，即平面.即可找到點的軌跡.即可求出答案.【詳解】如圖所示：取中點為，連接、易知.即四點共面.因為與平面的垂線垂直.所以平面.所以點在線段上.所以線段的軌跡所形成的圖形為.在中：,.所以.故答案為.三、雙空題18在邊長為3的等邊三角形中，為線段上的動點，且交于點.且交于點，則的值為_；的最小值為_. 3 【分析】設(shè)，由可求出；將化為關(guān)于的關(guān)系式即可求出最值.【詳解】設(shè)，為邊長為3的等邊三角形，為邊長為的等邊三角形，所以當時，的最小值為.故3；.四、解答題19已知向量，其中，. （1）求，；（2

13、）求與夾角的大小.（1），；（2）.【分析】（1）利用平面向量數(shù)量積的坐標運算可求得，的值；（2）利用平面向量數(shù)量積的坐標運算求出的值，結(jié)合的取值范圍可求得的值.【詳解】（1）由已知可得，所以，因此，；（2）由平面向量數(shù)量積的坐標運算可得，因此，.20已知函數(shù)(1)求的值；(2)從，；，這兩個條件中任選一個，作為題目的已知條件，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值，并直接寫出函數(shù)的一個周期.注：如果選擇兩個條件分別解答，按第一個解答計分.(1)2(2)選，最小值為，.選，最小值為，周期為【分析】（1）直接將代入即可得解；（2）選，利用降冪公式及輔助角公式化簡，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可得出答案.選，根據(jù)平方關(guān)

14、系可得，求出的范圍，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得最值，根據(jù)三角函數(shù)的周期性即可求出函數(shù)的一個周期.【詳解】(1)解：;(2)解：選，由，得，因為，所以，所以，所以函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，.選，由，得，因為，所以，所以當時，取得最小值為，因為，所以函數(shù)的周期可以為.21如圖，三角形所在的平面與矩形所在的平面垂直，且，.(1)證明：平面；(2)若平面平面，判定直線與直線的位置關(guān)系并證明；(3)求點到平面的距離.(1)證明見解析；(2) ，證明見解析；(3)【分析】(1)取CD的中點F，利用平面PDC 平面ABCD即可證明；(2)由 推出 平面PAD，再推出 ；(3)運用等體積法即可求解.【詳解】(

15、1)取CD的中點F， ， 是等腰三角形， ，又 平面PDC 平面ABCD， 平面PDC， 平面ABCD， ，即 平面PDC， 平面PDC， ， 平面PDC；(2) 平面PAD， 平面PAD， 平面PAD， 平面PAD， 平面PBC， ；(3) 平面ABCD，PF是三棱錐P-ABD的高，設(shè)D點到平面PAB的距離為x，由條件可知： ， ， ，取AB的中點G，連接PG，則 ， ， 則三棱錐P-ABD的體積為 ， ；綜上，D點到平面PAB的距離為 .22已知中，點在邊上，(1)若，求的值；(2)求的最小值.(1)(2)【分析】（1）由求得，結(jié)合已知可得為正三角形，利用余弦定理求得，再由正弦定理即可求得

16、答案.（2）由余弦定理可求得，設(shè)，轉(zhuǎn)化為有正實根的問題，分類討論求得參數(shù)t的范圍，即可求得答案.【詳解】(1)由可得，由于，故為正三角形，而，故 ,則 ,故 ,所以 ,則；(2)設(shè)，則，所以 ，,故，設(shè)，則，即有正實根，當時， 不合題意，舍去；當時，若方程有兩正實根，則 ，解得 ，此時，故方程有兩異號根時，解得，當時，方程為，兩根為0和4，符合題意，綜合上述，,故的最小值為,則的最小值為.23已知函數(shù)，稱向量為的特征向量，為的特征函數(shù).(1)設(shè)，求的特征向量；(2)設(shè)向量的特征函數(shù)為，求當且時，的值；(3)設(shè)向量的特征函數(shù)為，記，若在區(qū)間上至少有40個零點，求的最小值.(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡，再根據(jù)函數(shù)的特征向量的定義即可得解；（2）根據(jù)向量的特征函數(shù)求出函數(shù)解析式，化簡可得，再